高中数学选修2-2课时练习第三章 章末复习

高中数学选修2-2课时练习第三章 章末复习

章末复习 ‎1．判断函数的单调性 ‎(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间；‎ ‎(2)注意在某一区间内f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分条件．‎ ‎2．利用导数研究函数的极值要注意 ‎(1)极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧领域而言的．‎ ‎(2)连续函数f(x)在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有极值点，函数的极大值与极小值没有必然的大小联系，函数的一个极小值也不一定比它的一个极大值小．‎ ‎(3)可导函数的极值点一定是导数为零的点，但函数的导数为零的点，不一定是该函数的极值点．因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，其充要条件是加上这点两侧的导数异号．‎ ‎3．求函数的最大值与最小值 ‎(1)函数的最大值与最小值：在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)，在[a，b]上必有最大值与最小值；但在开区间(a，b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值，例如：f(x)＝x3，x∈(－1,1)．‎ ‎(2)求函数最值的步骤 一般地，求函数y＝f(x)在[a，b]上最大值与最小值的步骤如下：‎ ‎①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；‎ ‎②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．‎ ‎4．应用导数解决实际问题，关键在于建立恰当的数学模型(函数关系)，如果函数在区间内只有一个点x0，使f′(x0)＝0，则f(x0)是函数的最值．‎ 题型一　利用导数求函数的单调区间 在区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递增；在区间(a，b)内，如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递减．‎ 例1　已知函数f(x)＝x－＋a(2－ln x)，a＞0.讨论f(x)的单调性．‎ 解　由题知，f(x)的定义域是(0，＋∞)，‎ f′(x)＝1＋－＝.‎ 设g(x)＝x2－ax＋2，二次方程g(x)＝0的判别式Δ＝a2－8.‎ ‎①当Δ＜0即0＜a＜2时，对一切x＞0都有f′(x)＞0.此时f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数．‎ ‎②当Δ＝0即a＝2时，仅对x＝，有f′(x)＝0，对其余的x＞0都有f′(x)＞0.此时f(x)也是(0，＋∞)上的单调递增函数．‎ ‎③当Δ＞0即a＞2时，方程g(x)＝0有两个不同的实根x1＝，‎ x2＝，0＜x1＜x2.‎ 当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(0，x1)‎ x1‎ ‎(x1，x2)‎ x2‎ ‎(x2，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎  极大值 极小值  此时f(x)在上单调递增，‎ 在上单调递减，‎ 在上单调递增．‎ 跟踪演练1　求下列函数的单调区间：‎ ‎(1)f(x)＝(x－3)ex，x∈(0，＋∞)‎ ‎(2)f(x)＝x(x－a)2.‎ 解　(1)f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，‎ 令f′(x)＞0，解得x＞2，又x∈(0，＋∞)，‎ 所以函数的单调增区间(2，＋∞)，函数的单调减区间(0,2)．‎ ‎(2)函数f(x)＝x(x－a)2＝x3－2ax2＋a2x的定义域为R，由f′(x)＝3x2－4ax＋a2＝0，得x1＝，x2＝a.‎ ‎①当a>0时，x1x2，‎ ‎∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，a)，，‎ 单调递减区间为.‎ ‎③当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，‎ ‎∴函数f(x)的单调区间为(－∞，＋∞)，‎ 即f(x)在R上是递增的．‎ 综上，a>0时，函数f(x)的单调递增区间为，(a，＋∞)，单调递减区间为 .‎ a<0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，a)，，单调递减区间为.‎ a＝0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．‎ 题型二　利用导数求函数的极值和最值 ‎1．利用导数求函数极值的一般步骤 ‎(1)确定函数f(x)的定义域；‎ ‎(2)解方程f′(x)＝0的根；‎ ‎(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号．‎ 若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；‎ 若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；‎ 否则，此根不是f(x)的极值点．‎ ‎2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤 ‎(1)求f(x)在(a，b)内的极值；‎ ‎(2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．‎ 特别地，①当f(x)在[a，b]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(最小)值， 这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．‎ 例2　已知函数f(x)＝x2－aln x(a∈R), ‎ ‎(1)若f(x)在x＝2时取得极值，求a的值；‎ ‎(2)求f(x)的单调区间；‎ ‎(3)求证：当x＞1时，x2＋ln x＜x3.‎ ‎(1)解　f′(x)＝x－，因为x＝2是一个极值点，‎ 所以2－＝0，则a＝4.‎ 此时f′(x)＝x－＝，‎ 因为f(x)的定义域是(0，＋∞)，‎ 所以当x∈(0,2)时，f′(x)＜0；‎ 当x∈(2，＋∞)，f′(x)＞0，‎ 所以当a＝4时，x＝2是一个极小值点，则a＝4.‎ ‎(2)解　因为f′(x)＝x－＝，‎ 所以当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．‎ 当a＞0时，f′(x)＝x－＝＝，‎ 所以函数f(x)的单调递增区间(，＋∞)；递减区间为(0，)．‎ ‎(3)证明　设g(x)＝x3－x2－ln x，‎ 则g′(x)＝2x2－x－，‎ 因为当x＞1时，g′(x)＝＞0，‎ 所以g(x)在x∈(1，＋∞)上是增函数，‎ 所以g(x)＞g(1)＝＞0，‎ 所以当x＞1时，x2＋ln x＜x3.‎ 跟踪演练2　已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图像上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行．‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)求函数f(x)在区间[0，t](00.‎ 要使g(x)＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，‎ 则解得－2

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