高考理数　常用逻辑用语

高考理数　常用逻辑用语

§1.2 　常用逻辑用语 高考 理 数 ( 课标专用) (2015课标Ⅰ,3,5分,0.922)设命题 p : ∃ n ∈N, n 2 >2 n ,则¬ p 为   (　　) A. ∀ n ∈N, n 2 >2 n 　    B. ∃ n ∈N, n 2 ≤ 2 n C. ∀ n ∈N, n 2 ≤ 2 n 　    D. ∃ n ∈N, n 2 =2 n A组  统一命题·课标卷题组 五年高考 答案      C 　根据特称命题的否定为全称命题,知¬ p : ∀ n ∈N, n 2 ≤ 2 n ,故选C. 思路分析 　根据“特称命题的否定是把存在量词改为全称量词,并否定结论”即可得到正确 答案. 方法总结     对含有存在(全称)量词的命题进行否定的步骤: (1)将存在(全称)量词改写成全称(存在)量词; (2)将结论加以否定. 易错警示 　这类题常见的错误是没有变换量词,或者对于结论没有给予否定.有些命题中的量 词不明显,应注意挖掘其隐含的量词. 考点一　命题及其关系 1. (2018北京,13,5分)能说明“若 f ( x )> f (0)对任意的 x ∈(0,2]都成立,则 f ( x )在[0,2]上是增函数”为 假命题的一个函数是 　　　　　　　　     . B组  自主命题·省(区、市)卷题组 答案      f ( x )=sin x , x ∈[0,2](答案不唯一) 解析 　本题主要考查函数的单调性及最值. 根据函数单调性的概念,只要找到一个定义域为[0,2]的不单调函数,满足在定义域内有唯一的 最小值点,且 f ( x ) min = f (0)即可,除所给答案外,还可以举出 f ( x )=   等. 导师点睛 　函数的单调性是对一个区间上的任意两个变量而言的.根据题意,本题只要找到一 个定义域为[0,2]的不单调函数,满足在[0,2]上有唯一的最小值点,而且 f ( x ) min = f (0)即可. 2. (2017北京,13,5分)能够说明“设 a , b , c 是任意实数.若 a > b > c ,则 a + b > c ”是假命题的一组整数 a , b , c 的值依次为 　　　     . 答案 　-1,-2,-3(答案不唯一) 解析 　答案不唯一,如: a =-1, b =-2, c =-3,满足 a > b > c ,但不满足 a + b > c . 考点二　充分条件与必要条件 1. (2018天津,4,5分)设 x ∈R,则“   <   ”是“ x 3 <1”的   (　　) A.充分而不必要条件　    B.必要而不充分条件 C.充要条件　    D.既不充分也不必要条件 答案      A 　本题主要考查解不等式和充分、必要条件的判断. 由   <   得-   < x -   <   ,解得0< x <1. 由 x 3 <1得 x <1.当0< x <1时能得到 x <1一定成立;当 x <1时,0< x <1不一定成立.所以“   <   ”是 “ x 3 <1”的充分而不必要条件. 方法总结 　(1)充分、必要条件的判断.解决此类问题应分三步:①确定条件是什么,结论是什 么;②尝试从条件推结论,从结论推条件;③确定条件和结论是什么关系. (2)探究某结论成立的充要、充分、必要条件.解答此类题目,可先从结论出发,求出使结论成 立的必要条件,然后验证得到的必要条件是否满足充分性. 2. (2018北京,6,5分)设 a , b 均为单位向量,则“| a -3 b |=|3 a + b |”是“ a ⊥ b ”的   (　　) A.充分而不必要条件　    B.必要而不充分条件 C.充分必要条件　    D.既不充分也不必要条件 答案      C 　本题主要考查平面向量的数量积的应用以及充分、必要条件的判断. | a -3 b |=|3 a + b | ⇔ | a -3 b | 2 =|3 a + b | 2 ⇔ a 2 -6 a · b +9 b 2 =9 a 2 +6 a ·b+b 2 ⇔ 2 a 2 +3 a · b -2 b 2 =0,又∵| a |=| b |=1,∴ a · b =0 ⇔ a ⊥ b ,故选C. 方法总结 　1.平面向量模的问题的处理方法: 通常是进行平方,转化成平面向量的数量积问题解决. 2 . 充分条件与必要条件的判断方法: (1)直接法:分别判断命题“若 p ,则 q ”和“若 q ,则 p ”的真假. (2)集合法:设 p 、 q 对应的集合分别为 P , Q ,利用集合间的包含关系进行判断. (3)利用原命题与其逆否命题同真假来判断. 3. (2015陕西,6,5分)“sin α =cos α ”是“cos 2 α =0”的   (　　) A.充分不必要条件　    B.必要不充分条件 C.充分必要条件　    D.既不充分也不必要条件 答案    A 　由sin α =cos α ,得cos 2 α =cos 2 α -sin 2 α =0,即充分性成立.由cos 2 α =0,得sin α = ± cos α ,即 必要性不成立.故选A. 4. (2017北京,6,5分)设 m , n 为非零向量,则“存在负数 λ ,使得 m = λn ”是“ m · n <0”的   (　　) A.充分而不必要条件　    B.必要而不充分条件 C.充分必要条件　    D.既不充分也不必要条件 答案    A 　由存在负数 λ ,使得 m = λn ,可得 m 、 n 共线且反向,夹角为180 ° ,则 m · n =-| m || n |<0,故充分 性成立.由 m · n <0,可得 m , n 的夹角为钝角或180 ° ,故必要性不成立.故选A. 5. (2015北京,4,5分)设 α , β 是两个不同的平面, m 是直线且 m ⊂ α .“ m ∥ β ”是“ α ∥ β ”的   (　　) A.充分而不必要条件　B.必要而不充分条件　C.充分必要条件　D.既不充分也不必要条件 答案      B 　由两平面平行的判定定理可知,当在其中一个平面内的两条相交直线均平行于另 一平面时,两平面平行,所以“ m ∥ β ”不能推出“ α ∥ β ”;若两平面平行,则其中一个平面内的 任意一条直线平行于另一个平面,所以“ α ∥ β ”可以推出“ m ∥ β ”.因此“ m ∥ β ”是“ α ∥ β ”的必要而不充分条件.故选B. 6. (2017浙江,6,5分)已知等差数列{ a n }的公差为 d ,前 n 项和为 S n ,则“ d >0”是“ S 4 + S 6 >2 S 5 ”的   (　　) A.充分不必要条件　    B.必要不充分条件 C.充分必要条件　    D.既不充分也不必要条件 答案    C 　本题考查充分必要条件的判断,等差数列的概念,数列前 n 项和与通项的关系,考查 运算求解能力. 解法一: S 4 + S 6 >2 S 5 等价于( S 6 - S 5 )+( S 4 - S 5 )>0,等价于 a 6 - a 5 >0,等价于 d >0.故选C. 解法二:∵ S n = na 1 +   n ( n -1) d ,∴ S 4 + S 6 -2 S 5 =4 a 1 +6 d +6 a 1 +15 d -2(5 a 1 +10 d )= d ,即 S 4 + S 6 >2 S 5 等价于 d >0. 故选C. 7. (2014福建,6,5分)直线 l : y = kx +1与圆 O : x 2 + y 2 =1相交于 A , B 两点,则“ k =1”是“△ OAB 的面积为   ”的   (　　) A.充分而不必要条件　    B.必要而不充分条件 C.充分必要条件　    D.既不充分又不必要条件 答案      A 　当 k =1时, l : y = x +1,由题意不妨令 A (-1,0), B (0,1),则 S △ AOB =   × 1 × 1=   ,所以充分性成立; 当 k =-1时, l : y =- x +1,也有 S △ AOB =   ,所以必要性不成立. 8. (2015重庆,4,5分)“ x >1”是“lo   ( x +2)<0”的   (　　) A.充要条件　    B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件　    D.既不充分也不必要条件 答案      B 　当 x >1时, x +2>3>1, 又 y =lo   x 是减函数, ∴lo   ( x +2)1 ⇒ lo   ( x +2)<0; 当lo   ( x +2)<0时, x +2>1, x >-1, 则lo   ( x +2)<0 ⇒ / x >1. 故“ x >1”是“lo   ( x +2)<0”的充分而不必要条件.选B. 9. (2015四川,8,5分)设 a , b 都是不等于1的正数,则“3 a >3 b >3”是“log a 33 b >3”等价于“ a > b >1”,“log a 3 b >1或0< a <1< b 或0< b < a < 1”,从而“3 a >3 b >3”是“log a 30,ln( x +1)>0;命题 q :若 a > b ,则 a 2 > b 2 .下列命题为真命题的是   (　　) A. p ∧ q 　    B. p ∧¬ q 　    C.¬ p ∧ q 　    D.¬ p ∧¬ q 答案      B 　本题主要考查复合命题真假的判断. ∵ ∀ x >0, x +1>1,∴ln( x +1)>0,∴命题 p 为真命题;当 b < a <0时, a 2 < b 2 ,故命题 q 为假命题,由真值表可 知B正确,故选B. 2. (2014辽宁,5,5分)设 a , b , c 是非零向量.已知命题 p :若 a · b =0, b · c =0,则 a · c =0;命题 q :若 a ∥ b , b ∥ c ,则 a ∥ c .则下列命题中真命题是   (　　) A. p ∨ q 　    B. p ∧ q C.(¬ p )∧(¬ q )　    D. p ∨(¬ q ) 答案      A 　由题意知命题 p 为假命题,命题 q 为真命题,所以 p ∨ q 为真命题.故选A. 考点四　全称量词与存在量词 1. (2016浙江,4,5分)命题“ ∀ x ∈R, ∃ n ∈N * ,使得 n ≥ x 2 ”的否定形式是   (　　) A. ∀ x ∈R, ∃ n ∈N * ,使得 n < x 2 B. ∀ x ∈R, ∀ n ∈N * ,使得 n < x 2 C. ∃ x ∈R, ∃ n ∈N * ,使得 n < x 2 D. ∃ x ∈R, ∀ n ∈N * ,使得 n < x 2 答案      D 　先将条件中的全称量词变为存在量词,存在量词变为全称量词,再否定结论.故选D. 2. (2015浙江,4,5分)命题“ ∀ n ∈N * , f ( n )∈N * 且 f ( n ) ≤ n ”的否定形式是   (　　) A. ∀ n ∈N * , f ( n ) ∉ N * 且 f ( n )> n B. ∀ n ∈N * , f ( n ) ∉ N * 或 f ( n )> n C. ∃ n 0 ∈N * , f ( n 0 ) ∉ N * 且 f ( n 0 )> n 0 D. ∃ n 0 ∈N * , f ( n 0 ) ∉ N * 或 f ( n 0 )> n 0 答案      D 　“ f ( n )∈N * 且 f ( n ) ≤ n ”的否定为“ f ( n ) ∉ N * 或 f ( n )> n ”,全称命题的否定为特称命题, 故选D. 3. (2015山东,12,5分)若“ ∀ x ∈   ,tan x ≤ m ”是真命题,则实数 m 的最小值为 　　　     . 答案 　1 解析 　∵0 ≤ x ≤   ,∴0 ≤ tan x ≤ 1,∵“ ∀ x ∈   ,tan x ≤ m ”是真命题,∴ m ≥ 1.∴实数 m 的最 小值为1. 考点一　命题及其关系 1. (2012课标,3,5分)下面是关于复数 z =   的四个命题: p 1 :| z |=2,　     p 2 : z 2 =2i, p 3 : z 的共轭复数为1+i,　     p 4 : z 的虚部为-1. 其中的真命题为   (　　) A. p 2 , p 3 　    B. p 1 , p 2 C. p 2 , p 4 　    D. p 3 , p 4 C组    教师专用题组 答案      C      z =   =   =-1-i,所以| z |=   , p 1 为假命题; z 2 =(-1-i) 2 =(1+i) 2 =2i, p 2 为真命题;   =-1+i, p 3 为假命题; p 4 为真命题.故选C. 评析     本题考查了复数的运算及复数的有关概念,考查了运算求解能力. 2. (2011课标,10,5分)已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 θ ,有下列四个命题 p 1 :| a + b |>1 ⇔ θ ∈   　     p 2 :| a + b |>1 ⇔ θ ∈   p 3 :| a - b |>1 ⇔ θ ∈   　     p 4 :| a - b |>1 ⇔ θ ∈   其中的真命题是   (　　) A. p 1 , p 4 　    B. p 1 , p 3 C. p 2 , p 3 　    D. p 2 , p 4 答案      A 　由题意知| a |=| b |=1,且 θ ∈[0,π], 若| a + b |>1,则( a + b ) 2 >1,∴ a 2 +2 a · b + b 2 >1,即 a · b >-   , ∴cos θ =   = a · b >-   ,∴ θ ∈   ,反之也成立; 若| a - b |>1,同理求得 a · b <   , ∴cos θ = a · b <   ,∴ θ ∈   ,反之也成立,故 p 1 , p 4 正确,应选A. 易错警示 　由cos θ >-   或cos θ <   求 θ 的范围时搞错余弦函数的单调性,从而导致错选. 考点二　充分条件与必要条件 1. (2015安徽,3,5分)设 p :1< x <2, q :2 x >1,则 p 是 q 成立的   (　　) A.充分不必要条件　    B.必要不充分条件 C.充分必要条件　    D.既不充分也不必要条件 答案      A 　由2 x >1,得 x >0.∵{ x |1< x <2} ⫋ { x | x >0},∴ p 是 q 成立的充分不必要条件. 2. (2014浙江,2,5分)已知i是虚数单位, a , b ∈R,则“ a = b =1”是“( a + b i) 2 =2i”的   (　　) A.充分不必要条件　    B.必要不充分条件 C.充分必要条件　    D.既不充分也不必要条件 答案      A 　当 a = b =1时,有(1+i) 2 =2i,∴充分性成立.当( a + b i) 2 =2i时,有 a 2 - b 2 +2 ab i=2i,得   解得 a = b =1或 a = b =-1,∴必要性不成立,故选A. 评析     本题考查复数的运算,复数相等的概念,充分条件与必要条件的判定. 3. (2014北京,5,5分,0.34)设{ a n }是公比为 q 的等比数列.则“ q >1”是“{ a n }为递增数列”的   (　　) A.充分而不必要条件　    B.必要而不充分条件 C.充分必要条件　    D.既不充分也不必要条件 答案      D 　若 q >1,则当 a 1 =-1时, a n =- q n -1 ,{ a n }为递减数列,所以“ q >1” “{ a n }为递增数列”; 若{ a n }为递增数列,则当 a n =-   时, a 1 =-   , q =   <1,即“{ a n }为递增数列” 　 “ q >1”.故选D. 4. (2015湖北,5,5分)设 a 1 , a 2 , … , a n ∈R, n ≥ 3.若 p : a 1 , a 2 , … , a n 成等比数列; q :(   +   + … +   )(   +   + … +   )=( a 1 a 2 + a 2 a 3 + … + a n -1 a n ) 2 ,则   (　　) A. p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 B. p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 C. p 是 q 的充分必要条件 D. p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件 答案      A 　若 a 1 , a 2 , … , a n 成等比数列,设其公比为 q , 当 q =1时,(   +   + … +   )(   +   + … +   )=( n -1)   ·( n -1)   =( n -1) 2   ,而( a 1 a 2 + a 2 a 3 + … + a n -1 a n ) 2 =[( n - 1)   ] 2 =( n -1) 2   ,∴(   +   + … +   )(   +   + … +   )=( a 1 a 2 + a 2 a 3 + … + a n -1 a n ) 2 . 当 q ≠ 1时,(   +   + … +   )(   +   + … +   ) =   ·   =   , ( a 1 a 2 + a 2 a 3 + … + a n -1 a n ) 2 =   =   , ∴(   +   + … +   )(   +   + … +   )=( a 1 a 2 + a 2 a 3 + … + a n -1 a n ) 2 ,即 p 是 q 的充分条件. 当 a 1 =1, a n =0( n ≥ 2, n ∈N * )时, 有(   +   + … +   )(   +   + … +   )=( a 1 a 2 + a 2 a 3 + … + a n -1 · a n ) 2 ,但 a 1 , a 2 , a 3 , … , a n 不成等比数列,即 p 不是 q 的必要条件,故选A. 考点一　命题及其关系 1. (2018山东济南外国语中学3月月考,3)设 a > b , a , b , c ∈R,则下列命题为真命题的是   (　　) A. ac 2 > bc 2 　    B.   >1 C. a - c > b - c 　    D. a 2 > b 2 答案    C 　对于选项A, a > b ,若 c =0,则 ac 2 = bc 2 ,故A错;对于选项B, a > b ,若 a >0, b <0,则   <1,故B错; 对于选项C, a > b ,则 a - c > b - c ,故C正确;对于选项D, a > b ,若 a , b 均小于0,则 a 2 < b 2 ,故D错,综上,真命题 为C. 三年模拟 A组 201 6 —201 8 年 高考模拟·基础题 组 2. (2018河南郑州一模,3)下列说法正确的是   (　　) A.“若 a >1,则 a 2 >1”的否命题是“若 a >1,则 a 2 ≤ 1” B.“若 am 2 < bm 2 ,则 a < b ”的逆命题为真命题 C.存在 x 0 ∈(0,+ ∞ ),使   >   成立 D.“若sin α ≠   ,则 α ≠   ”是真命题 答案      D 　对于选项A,“若 a >1,则 a 2 >1”的否命题是“若 a ≤ 1,则 a 2 ≤ 1”,故选项A错误;对于 选项B,“若 am 2 < bm 2 ,则 a < b ”的逆命题为“若 a < b ,则 am 2 < bm 2 ”,因为当 m =0时, am 2 = bm 2 ,所以逆 命题为假命题,故选项B错误;对于选项C,由指数函数的图象知,对任意的 x ∈(0,+ ∞ ),都有4 x >3 x , 故选项C错误;对于选项D,“若sin α ≠   ,则 α ≠   ”的逆否命题为“若 α =   ,则sin α =   ”,该逆 否命题为真命题,所以原命题为真命题,故选D. 3. (2017河北衡水二中模拟,2)命题“若 x , y 都是偶数,则 x + y 也是偶数”的逆否命题是   (　　) A.若 x + y 是偶数,则 x 与 y 不都是偶数 B.若 x + y 是偶数,则 x 与 y 都不是偶数 C.若 x + y 不是偶数,则 x 与 y 不都是偶数 D.若 x + y 不是偶数,则 x 与 y 都不是偶数 答案      C 　将原命题的条件和结论互换的同时进行否定即得逆否命题,因此“若 x , y 都是偶数, 则 x + y 也是偶数”的逆否命题是“若 x + y 不是偶数,则 x , y 不都是偶数”,所以选C. 4. (2017河南八市联考,2)命题“若 a > b ,则 a + c > b + c ”的否命题是(　　) A.若 a ≤ b ,则 a + c ≤ b + c 　    B.若 a + c ≤ b + c ,则 a ≤ b C.若 a + c > b + c ,则 a > b 　    D.若 a > b ,则 a + c ≤ b + c 答案      A 　否命题是将原命题的条件和结论都否定,故命题“若 a > b ,则 a + c > b + c ”的否命题是 “若 a ≤ b ,则 a + c ≤ b + c ”,故选A. 考点二　充分条件与必要条件 1. (2018山西太原期末联考,3)已知 a , b 都是实数,那么“2 a >2 b ”是“ a 2 > b 2 ”的   (　　) A.充分不必要条件　    B.必要不充分条件 C.充要条件　    D.既不充分也不必要条件 答案      D 　充分性:若2 a >2 b ,则2 a - b >1,∴ a - b >0,∴ a > b .当 a =-1, b =-2时,满足2 a >2 b ,但 a 2 < b 2 ,故由2 a >2 b 不能得出 a 2 > b 2 ,因此充分性不成立.必要性:若 a 2 > b 2 ,则| a |>| b |.当 a =-2, b =1时,满足 a 2 > b 2 ,但2 -2 <2 1 ,即 2 a <2 b ,故必要性不成立.综上,“2 a >2 b ”是“ a 2 > b 2 ”的既不充分也不必要条件.故选D. 2. (2018江西南昌二中4月月考,3)给出下列命题: ①已知 a , b ∈R,“ a >1且 b >1”是“ ab >1”的充分条件; ②已知平面向量 a , b ,“| a |>1,| b |>1”是“| a + b |>1”的必要不充分条件; ③已知 a , b ∈R,“ a 2 + b 2 ≥ 1”是“| a |+| b | ≥ 1”的充分不必要条件; ④命题 p :“ ∃ x 0 ∈R,使   ≥ x 0 +1且ln x 0 ≤ x 0 -1”的否定为¬ p :“ ∀ x ∈R,都有e x < x +1且ln x > x -1”. 其中正确命题的个数是   (　　) A.0　    B.1　    C.2　    D.3 答案      C 　①已知 a , b ∈R,“ a >1且 b >1”能够推出“ ab >1”,“ ab >1”不能推出“ a >1且 b >1”, 故①正确; ②已知平面向量 a , b ,“| a |>1,| b |>1”不能推出“| a + b |>1”,| a + b |>1不能推出| a |>1且| b |>1,故②不 正确; ③已知 a , b ∈R,当 a 2 + b 2 ≥ 1时, a 2 + b 2 +2| a |·| b | ≥ 1,则(| a |+| b |) 2 ≥ 1,则| a |+| b | ≥ 1,又 a =0.5, b =0.5满足| a |+| b | ≥ 1,但 a 2 + b 2 =0.5<1,所以“ a 2 + b 2 ≥ 1”是“| a |+| b | ≥ 1”的充分不必要条件,故③正确; ④命题 p :“ ∃ x 0 ∈R,使   ≥ x 0 +1且ln x 0 ≤ x 0 -1”的否定为¬ p :“ ∀ x ∈R,都有e x < x +1或ln x > x -1”, 故④不正确. 所以正确命题的个数为2.故选C. 3. (2018山东日照3月联考,7)“ m <0”是“函数 f ( x )= m +log 2 x ( x ≥ 1)存在零点”的   (　　) A.充分不必要条件　    B.必要不充分条件 C.充要条件　    D.既不充分也不必要条件 答案      A 　当 m <0时,由图象的平移变换可知,函数 f ( x )必有零点;当函数 f ( x )有零点时, m ≤ 0,所以 “ m <0”是“函数 f ( x )= m +log 2 x ( x ≥ 1)存在零点”的充分不必要条件,故选A. 4. (2017赣中南五校4月联考,3)已知 α , β 均为第一象限角,那么 α > β 是sin α >sin β 的   (　　) A.充分不必要条件　    B.必要不充分条件 C.充要条件　    D.既不充分也不必要条件 答案      D 　由 α , β 均为第一象限角,可取 α =2π+   , β =   ,有 α > β ,但sin α =sin β ,即 α > β 不是sin α >sin β 的充分条件;又由 α , β 均为第一象限角,可取 α =   , β =2π+   ,有sin α >sin β 成立,但 α < β ,即 α > β 不是 sin α >sin β 的必要条件,综上所述, α > β 是sin α >sin β 的既不充分也不必要条件.故选D. 5. (2016中原名校4月联考,3)已知 p : a <0, q : a 2 > a ,则¬ p 是¬ q 的   (　　) A.充分不必要条件　    B.必要不充分条件 C.充要条件　    D.既不充分也不必要条件 答案      B 　因为¬ p : a ≥ 0,¬ q :0 ≤ a ≤ 1,所以¬ q ⇒ ¬ p 且¬ p ⇒ / ¬ q ,所以¬ p 是¬ q 的必要不充分条件. 6. (2017山西五校4月联考,13)已知 p :( x - m ) 2 >3( x - m )是 q : x 2 +3 x -4<0的必要不充分条件,则实数 m 的 取值范围为 　　　　　　　　     . 答案      m ≥ 1或 m ≤ -7 解析      p 对应的集合 A ={ x | x < m 或 x > m +3}, q 对应的集合 B ={ x |-4< x <1},由 p 是 q 的必要不充分条件 可知 B ⫋ A ,∴ m ≥ 1或 m +3 ≤ -4,即 m ≥ 1或 m ≤ -7. 解后反思 　正确将充分、必要条件问题转化为集合之间的包含问题是求解本类题的关键. x ∈ A 是 x ∈ B 的充分不必要条件 ⇔ A ⫋ B ; x ∈ A 是 x ∈ B 的充要条件 ⇔ A = B . 7. (2018湖南浏阳三校联考,17)设 p :实数 x 满足 x 2 -4 ax +3 a 2 <0, a ∈R; q :实数 x 满足 x 2 - x -6 ≤ 0或 x 2 +2 x - 8>0.若 a <0且¬ p 是¬ q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 解析 　由 p 得( x -3 a )( x - a )<0, 当 a <0时,3 a < x < a . 由 q 得 x 2 - x -6 ≤ 0或 x 2 +2 x -8>0,则-2 ≤ x ≤ 3或 x <-4或 x >2,则 x <-4或 x ≥ 2. ∵¬ p 是¬ q 的必要不充分条件,∴ p 是 q 的充分不必要条件. 设 A =(3 a , a ), B =(- ∞ ,-4) ∪ [-2,+ ∞ ), 可知 A ⫋ B ,∴ a ≤ -4或3 a ≥ -2,即 a ≤ -4或 a ≥ -   . 又∵ a <0,∴ a ≤ -4或-   ≤ a <0, 即实数 a 的取值范围为(- ∞ ,-4] ∪   . 方法点拨 　(1)解决根据充要条件求参数取值范围的问题一般是把充分条件、必要条件或充 要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的包含、相等关系列出关于参数的不等式 (组)求解;有时也采用等价转化思想把复杂、疑难问题转化为简单、熟悉的问题来解决. (2)在解求参数的取值范围的题目时,一定要注意区间端点值的检验,在利用集合关系列不等式 时,不等式是否能取到等号直接决定着端点值的取舍,在这里容易增解或漏解. 考点三　简单的逻辑联结词 1. (2018河南郑州外国语中学2月模拟,2)已知命题 p :若复数 z 满足( z -i)·(-i)=5,则 z =6i;命题 q :复数   的虚部为-   i,则下列命题中为真命题的是   (　　) A.(¬ p )∧(¬ q )　    B.(¬ p )∧ q C. p ∧(¬ q )　    D. p ∧ q 答案    C 　复数 z 满足( z -i)·(-i)=5,则 z =-   +i=6i,故命题 p 为真命题,则¬ p 为假命题;复数   =   =   -   i,则 z 的虚部为-   ,故命题 q 为假命题,则¬ q 为真命题.由复合命题真假判断的 真值表可知(¬ p )∧(¬ q )为假命题,(¬ p )∧ q 为假命题, p ∧(¬ q )为真命题, p ∧ q 为假命题.故选C. 2. (2018山西太原3月模拟,3)已知命题 p : ∃ x 0 ∈R,   - x 0 +1 ≥ 0;命题 q :若 a < b ,则   >   ,则下列命题 中为真命题的是   (　　) A. p ∧ q 　    B. p ∧(¬ q ) C.(¬ p )∧ q 　    D.(¬ p )∧(¬ q ) 答案      B      x 2 - x +1=   +   ≥   >0,所以 ∃ x 0 ∈R,使   - x 0 +1 ≥ 0成立,故 p 为真命题,¬ p 为假命 题,又易知命题 q 为假命题,所以¬ q 为真命题,由复合命题真假判断的真值表知 p ∧(¬ q )为真命题, 故选B. 考点四　全称量词与存在量词 1. (2018清华大学自主招生3月能力测试,2)“ ∀ x ∈R, x 2 -π x ≥ 0”的否定是   (　　) A. ∀ x ∈R, x 2 -π x <0　    B. ∀ x ∈R, x 2 -π x ≤ 0 C. ∃ x 0 ∈R,   -π x 0 ≤ 0　    D. ∃ x 0 ∈R,   -π x 0 <0 答案      D 　全称命题的否定是特称命题,所以“ ∀ x ∈R, x 2 -π x ≥ 0”的否定是“ ∃ x 0 ∈R,   -π x 0 < 0”.故选D. 2. (2017湖南师大附中月考,2)已知命题 p : ∃ x 0 ∈(- ∞ ,0),   <   ;命题 q : ∀ x ∈   ,sin x < x ,则下 列命题为真命题的是(　　) A. p ∧ q 　    B. p ∨(¬ q )　    C.(¬ p )∧ q 　    D. p ∧(¬ q ) 答案      C 　因为当 x <0时,   >1,即2 x >3 x ,所以命题 p 为假命题,从而¬ p 为真命题;因为当 x ∈   时, x >sin x ,所以命题 q 为真命题,所以(¬ p )∧ q 为真命题,故选C. 3. (2018豫西南五校4月联考,13)若“ ∀ x ∈   , m ≤ tan x +2”为真命题,则实数 m 的最大值 为 　　　     . 答案 　1 解析 　由 x ∈   可得-1 ≤ tan x ≤   .∴1 ≤ tan x +2 ≤ 2+   ,∵“ ∀ x ∈   , m ≤ tan x + 2”为真命题,∴实数 m 的最大值为1. 一、选择题(每题5分,共50分) 1. (2018山东泰安3月联考,4)下列命题正确的是   (　　) A.命题“ ∃ x ∈[0,1],使 x 2 -1 ≥ 0”的否定为“ ∀ x ∈[0,1],都有 x 2 -1 ≤ 0” B.若命题 p 为假命题,命题 q 是真命题,则(¬ p )∨(¬ q )为假命题 C.命题“若 a 与 b 的夹角为锐角,则 a · b >0”及它的逆命题均为真命题 D.命题“若 x 2 + x =0,则 x =0或 x =-1”的逆否命题为“若 x ≠ 0且 x ≠ -1,则 x 2 + x ≠ 0” 答案      D 　对于选项A,命题“ ∃ x ∈[0,1],使 x 2 -1 ≥ 0”的否定为“ ∀ x ∈[0,1],都有 x 2 -1<0”,故A 项错误;对于选项B, p 为假命题,则¬ p 为真命题; q 为真命题,则¬ q 为假命题,所以(¬ p )∨(¬ q )为真命 题,故B项错误;对于选项C,原命题为真命题,若 a · b >0,则 a 与 b 的夹角可能为锐角或零角,所以原 命题的逆命题为假命题,故C项错误;对于选项D,命题“若 x 2 + x =0,则 x =0或 x =-1”的逆否命题为 “若 x ≠ 0且 x ≠ -1,则 x 2 + x ≠ 0”,故选项D正确.因此选D. 解题关键 　判断命题真假的方法有两种:(1)直接判断,判定一个命题为真命题,要给出严格的 推理证明;说明一个命题是假命题,只需举出一个反例即可;(2)间接判断,利用命题真假的等价 性进行判断. B 组 201 6 —201 8 年 高考模拟·综合题组 (时间: 4 0分钟　分值: 6 0分) 2. (2018湖南湘东五校4月联考,3)已知命题“ ∃ x ∈R,4 x 2 +( a -2) x +   ≤ 0”是假命题,则实数 a 的取 值范围为   (　　) A.(- ∞ ,0)　    B.[0,4]　    C.[4,+ ∞ )　    D.(0,4) 答案      D 　因为命题“ ∃ x ∈R,4 x 2 +( a -2) x +   ≤ 0”是假命题,所以其否定命题“ ∀ x ∈R,4 x 2 +( a - 2) x +   >0”是真命题,则 Δ =( a -2) 2 -4 × 4 ×   = a 2 -4 a <0,解得0< a <4,故选D. 方法指导 　本题根据已知特称命题是假命题这一条件无法直接求解,但考虑到命题的否定与 该命题的真假相反这一性质,将给出的特称命题转化为全称命题,再利用一元二次方程根的判 别式列不等式计算即可. 3. (2018湖南师大附中3月月考,2)设 p :ln(2 x -1) ≤ 0, q :( x - a )[ x -( a +1)] ≤ 0,若 q 是 p 的必要而不充分条 件,则实数 a 的取值范围是   (　　) A.   　     B.   C.(- ∞ ,0] ∪   　    D.(- ∞ ,0) ∪   答案    A 　由 p 得:   < x ≤ 1,由 q 得: a ≤ x ≤ a +1,因为 q 是 p 的必要而不充分条件,所以 a ≤   且 a +1 ≥ 1,所以0 ≤ a ≤   .故选A. 易错警示 　在求解参数范围时,一定要注意对区间端点值的处理,尤其是利用两个集合之间的 包含关系求解参数的取值范围时,不等式中的等号是否能够取得决定着端点值的取舍,处理不 当容易出现漏解或增解的现象. 4. (2018广东汕头一模,6)已知命题 p :关于 x 的方程 x 2 + ax +1=0没有实根;命题 q : ∀ x >0,2 x - a >0.若 “¬ p ”和“ p ∧ q ”都是假命题,则实数 a 的取值范围是   (　　) A.(- ∞ ,-2) ∪ (1,+ ∞ )　    B.(-2,1] C.(1,2)　     D.(1,+ ∞ ) 答案      C 　方程 x 2 + ax +1=0无实根等价于 Δ = a 2 -4<0,即-2< a <2; ∀ x >0,2 x - a >0等价于 a <2 x 在(0,+ ∞ ) 上恒成立,即 a ≤ 1. 因“¬ p ”是假命题,则 p 是真命题,又因“ p ∧ q ”是假命题,则 q 是假命题,∴   得1< a <2, 所以实数 a 的取值范围是(1,2),故选C. 方法点拨 　解决此类问题的步骤:(1)视简单命题 p , q 为真命题,求出相应的参数范围;(2)正确解 读复合命题真假的含义;(3)根据(2)的解读求出参数的范围. 5. (2018清华大学自主招生3月能力测试,12)已知下列命题: ①已知随机变量 ξ 服从正态分布 N (2, σ 2 ), P ( ξ ≤ 4)=0.84,则 P ( ξ ≤ 0)=0.16; ②若样本数据 x 1 , x 2 , … , x n 的平均值和方差分别为16和1.44,则数据3 x 1 -8,3 x 2 -8, … ,3 x n -8的平均值和 标准差分别为40,3.6; ③两个事件不是互斥事件的必要不充分条件是两个事件不是对立事件; ④在2 × 2列联表中,若比值   与   相差越大,则两个分类变量有关系的可能性就越大; ⑤已知 α 、 β 为两个平面,且 α ⊥ β , l 为直线,则命题:“若 l ⊥ β ,则 l ∥ α ”的逆命题和否命题均为假 命题. ⑥设定点 F 1 (0,-1)、 F 2 (0,1),动点 P 满足条件| PF 1 |+| PF 2 |= a +   ( a 为正常数),则 P 的轨迹是椭圆. 其中真命题的个数为   (　　) A.5　    B.4　    C.3　    D.2 答案      A 　①由随机变量 ξ ~ N (2, σ 2 )可得 P ( ξ ≥ 2)=0.5,又 P ( ξ ≤ 4)=0.84,所以 P (2 ≤ ξ ≤ 4)=0.34,所 以 P ( ξ ≤ 0)= P ( ξ ≥ 4)=0.5-0.34=0.16,故①正确; ②数据3 x 1 -8,3 x 2 -8, … ,3 x n -8的标准差为   =3.6,平均值为3 × 16-8=40,故②正确; ③原命题的逆否命题为两个事件是对立事件的必要不充分条件是两个事件为互斥事件,该命 题正确,所以原命题为真命题,故③正确; ④在2 × 2列联表中,比值   与   相差越大,则两个分类变量有关系的可能性越大,故④正 确; ⑤已知 α 、 β 为两个平面,且 α ⊥ β , l 为直线,若 l ∥ α ,则 l 与平面 β 的位置关系不确定,所以逆命题: “若 l ∥ α ,则 l ⊥ β ”为假命题,而逆命题与否命题同真同假,故⑤正确; ⑥当 a =1时, P 的轨迹是线段,显然命题是假命题. 所以真命题的个数为5,故选A. 方法点拨　 当原命题的真假不易判断时,可通过其逆否命题的真假进行判断,应牢记互为逆否 命题的两命题真假相同. 6. (2018江西赣州2月联考,12)已知 p :关于 x 的不等式e x -ln x - m ≥ 0(e为自然对数的底数)对任意 x ∈(0,+ ∞ )恒成立; q : m ∈   .那么 p 是 q 的   (　　) A.充要条件　    B.充分不必要条件 C.必要不充分条件　    D.既不充分也不必要条件 答案      C     e x -ln x - m ≥ 0即e x -ln x ≥ m ,设 f ( x )=e x -ln x ,则 f '( x )=e x -   ,显然 f '( x )在(0,+ ∞ )上单调递增, 又 f '   =   -2<0, f '   =   -   >0,故存在 x 0 ∈   ,使得 f '( x 0 )=   -   =0,当 x ∈(0, x 0 )时, f '( x )<0, 当 x ∈( x 0 ,+ ∞ )时, f '( x )>0,所以 f ( x ) min = f ( x 0 )=   -ln x 0 = x 0 +   ,因为 x 0 ∈   ,所以 x 0 +   >   +   =   , 记 n = x 0 +   ,则 n >   ,由e x -ln x - m ≥ 0( x ∈(0,+ ∞ )),得 m ∈(- ∞ , n ],又   ⫋ (- ∞ , n ],故选C. 思路分析 　首先进行参变量分离,构造函数 f ( x )=e x -ln x ,利用导数判断函数单调性,求得 f ( x ) min ,从 而求得e x -ln x - m ≥ 0在(0,+ ∞ )上恒成立时,实数 m 的取值范围,最后利用相应集合间的关系得结 论. 7. (2017豫西五校4月联考,4)若定义域为R的函数 f ( x )不是偶函数,则下列命题中一定为真命题 的是   (　　) A. ∀ x ∈R, f (- x ) ≠ f ( x )　    B. ∀ x ∈R, f (- x )=- f ( x ) C. ∃ x 0 ∈R, f (- x 0 ) ≠ f ( x 0 )　    D. ∃ x 0 ∈R, f (- x 0 )=- f ( x 0 ) 答案      C 　由题意知 ∀ x ∈R, f (- x )= f ( x )是假命题,则其否定为真命题,即 ∃ x 0 ∈R, f (- x 0 ) ≠ f ( x 0 )是 真命题,故选C. 思路分析 　利用偶函数的定义,结合命题的否定,即可得到结论. 方法点拨 　对于省略量词的命题,否定时应先挖掘命题中的隐含量词,将命题改写成含量词的 完整形式,再写出命题的否定. 8. (2016安徽江南十校3月联考,3)“ a =0”是“函数 f ( x )=sin x -   + a 为奇函数”的   (　　) A.充分不必要条件　    B.必要不充分条件 　C.充要条件　    D.既不充分也不必要条件 答案      C      f ( x )的定义域为{ x | x ≠ 0},关于原点对称,当 a =0时, f ( x )=sin x -   , f (- x )=sin(- x )-   =-sin x +   =-   =- f ( x ),故 f ( x )为奇函数; 反之,当 f ( x )=sin x -   + a 为奇函数时, f (- x )+ f ( x )=0, 又 f (- x )+ f ( x )=sin(- x )-   + a +sin x -   + a =2 a ,故 a =0, 所以“ a =0”是“函数 f ( x )=sin x -   + a 为奇函数”的充要条件,故选C. 思路分析 　先根据奇函数的定义判断出 a =0时,函数 f ( x )为奇函数,再根据奇函数的定义得出当 函数 f ( x )为奇函数时, a =0,故可以判断“ a =0”是“函数 f ( x )=sin x -   + a 为奇函数”的充要条件. 易错警示 　在判断充分、必要条件时需注意:(1)确定条件是什么,结论是什么;(2)尝试从条件 推导结论,从结论推导条件,抓住“以小推大”的技巧,即从小范围推出大范围,这样可以快速 解决充分、必要条件问题,否则就易掉进充分、必要条件判断的陷阱. 9. (2017广东七校5月联考,5)已知命题 p : ∃ a ∈   ,函数 f ( x )=   在   上单调递增; 命题 q :函数 g ( x )= x +log 2 x 在区间   上无零点.则下列命题中是真命题的是   (　　) A.¬ p 　    B. p ∧ q 　    C.(¬ p )∨ q 　    D. p ∧(¬ q ) 答案      D 　设 h ( x )= x +   .易知当 a =-   时,函数 h ( x )为增函数,且 h   =   >0,则此时函数 f ( x )在   上必单调递增,即 p 是真命题;∵ g   =-   <0, g (1)=1>0,∴ g ( x )在   上有零点,即 q 是假 命题,根据真值表可知 p ∧(¬ q )是真命题,故选D. 思路分析 　先判断出命题 p , q 的真假,然后根据真值表对选项进行逐一判定. 解题关键 　判断出简单命题的真假是解题的关键. 10. (2016山东临沂一模,5)下列四个结论中正确的个数是   (　　) ①“ x 2 + x -2>0”是“ x >1”的充分不必要条件; ②命题“ ∀ x ∈R,sin x ≤ 1”的否定是“ ∃ x 0 ∈R,sin x 0 >1”; ③“若 x =   ,则tan x =1”的逆命题为真命题; ④若 f ( x )是R上的奇函数,则 f (log 3 2)+ f (log 2 3)=0. A.1　    B.2　    C.3　    D.4 答案    A 　对于①,由 x 2 + x -2>0解得 x <-2或 x >1,故“ x 2 + x -2>0”是“ x >1”的必要不充分条件,故 ①错误. 对于②,命题“ ∀ x ∈R,sin x ≤ 1”的否定是“ ∃ x 0 ∈R,sin x 0 >1”,故②正确. 对于③,“若 x =   ,则tan x =1”的逆命题为“若tan x =1,则 x =   ”,若tan x =1,则 x = k π+   ( k ∈Z),故 命题“若tan x =1,则 x =   ”为假命题,故③错误. 对于④, f ( x )是R上的奇函数,则 f (- x )+ f ( x )=0,∵log 3 2=   ≠ -log 2 3,∴log 3 2与log 2 3不互为相反数, 故④错误.故选A. 思路分析 　①利用充分、必要条件的概念即可判断;②利用含有一个量词的命题的否定方法 正确写出即可判断;③先求出逆命题,再判断真假即可;④根据奇函数的性质和对数的运算性质 即可判断. 方法总结 　判断命题真假的关键是将命题简化,对等价的简化命题进行判断.要判定一个命题 是假命题,只需举出反例. 二、解答题(共10分) 11. (2017湖北襄阳五中模拟,19)设 p :实数 a 满足不等式3 a ≤ 9, q :函数 f ( x )=   x 3 +   x 2 +9 x 无极 值点. (1)若“ p ∧ q ”为假命题,“ p ∨ q ”为真命题,求实数 a 的取值范围; (2)已知“ p ∧ q ”为真命题,并记为 r ,且 t : a 2 -   a + m   >0,若 r 是¬ t 的必要不充分条件, 求正整数 m 的值. 解析 　(1)若 p 为真,则3 a ≤ 9,得 a ≤ 2. 若 q 为真,则函数 f ( x )无极值点,∴ f '( x )= x 2 +3(3- a ) x +9 ≥ 0恒成立, 得 Δ =9(3- a ) 2 -4 × 9 ≤ 0,解得1 ≤ a ≤ 5. ∵“ p ∧ q ”为假命题,“ p ∨ q ”为真命题, ∴ p 与 q 一真一假. 若 p 为真命题, q 为假命题,则   ⇒ a <1; 若 q 为真命题, p 为假命题,则   ⇒ 2< a ≤ 5. 综上,实数 a 的取值范围为{ a | a <1或2< a ≤ 5}. (2)∵“ p ∧ q ”为真命题,∴ p 、 q 都为真命题, ∴   ⇒ 1 ≤ a ≤ 2. ∵ a 2 -   a + m   >0, ∴( a - m )   >0,∴ a < m 或 a > m +   , 即 t : a < m 或 a > m +   ,从而¬ t : m ≤ a ≤ m +   , ∵ r 是¬ t 的必要不充分条件,∴¬ t ⇒ r , r ⇒ / ¬ t , ∴   或   解得1 ≤ m ≤   ,又∵ m ∈N * ,∴ m =1 .