三维设计高考数学一轮总复习三角函数解三角形文新人教A版
第三章Error!三角函数、解三角形
第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数
1．角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图
形．
(2)分类Error!
(3)终边相同的角：所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合 S＝
{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，弧度记作 rad.
(2)公式
角 α 的弧度数公式 |α|＝
l
r(弧长用 l 表示)
角度与弧度的换算 ①1°＝
π
180 rad；②1 rad＝(180
π )°
弧长公式 弧长 l＝|α|r
扇形面积公式 S＝
1
2lr＝
1
2|α|r2
3.任意角的三角函数
三角函数 正弦 余弦 正切
设 α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么
定义 y 叫做 α 的正弦，记
作 sin α
x 叫做 α 的余弦，记
作 cos α
y
x叫做 α 的正切，记
作 tan α
Ⅰ ＋ ＋ ＋
Ⅱ ＋ － －
Ⅲ － － ＋
各象限符号
Ⅳ － ＋ －
三角函
数线
有向线段 MP 为正弦 有向线段 OM 为余弦 有向线段 AT 为正切
线 线 线
[小题体验]
1．若 sin α＜0 且 tan α＞0，则 α 是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案：C
2．(教材习题改编)3 900°是第________象限角，－1 000°是第________象限角．
答案：四 一
3．(教材习题改编)已知半径为 120 mm 的圆上，有一条弧的长是 144 mm，则该弧所对的
圆心角的弧度数为________．
答案：1.2
1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于 90°的角是概念不同的三类角．第一类
是象限角，第二、第三类是区间角．
2．角度制与弧度制可利用 180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制
度必须一致，不可混用．
3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．
4．三角函数的定义中，当 P(x，y)是单位圆上的点时有 sin α＝y，cos α＝x，tan α
＝
y
x，但若不是单位圆时，如圆的半径为 r，则 sin α＝
y
r，cos α ＝
x
r，tan α＝
y
x.
[小题纠偏]
1．下列说法正确的是( )
A．三角形的内角必是第一、二象限角
B．第一象限角必是锐角
C．不相等的角终边一定不相同
D．若 β＝α＋k·360°(k∈Z)，则 α 和 β 终边相同
答案：D
2．若角 α 终边上有一点 P(x,5)，且 cos α＝
x
13(x≠0)，则 sin α＝________.
答案：
5
13
考点一 角的集合表示及象限角的判定基础送分型考点——自主练透
[题组练透]
1．给出下列四个命题：
①－
3π
4 是第二象限角；②
4π
3 是第三角限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第
一象限角．其中正确的命题有( )
A．1 个 B．2 个
C．3 个 D．4 个
解析：选 C －
3π
4 是第三象限角，故①错误；
4π
3 ＝π＋
π
3 ，从而
4π
3 是第三象限角，
故②正确；－400°＝－360°－40°，从而③正确；－315°＝－360°＋45°，从而④正
确．
2．(易错题)若角 α 是第二象限角，则
α
2 是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角
解析：选 C ∵α 是第二象限角，
∴
π
2 ＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，
∴
π
4 ＋kπ＜
α
2 ＜
π
2 ＋kπ，k∈Z.
当 k 为偶数时，
α
2 是第一象限角；
当 k 为奇数时，
α
2 是第三象限角．
3．设集合 M＝Error!，N＝Error!，那么( )
A．M＝N B．M⊆N
C．N⊆M D．M∩N＝∅
解析：选 B 法一：由于 M＝Error!＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，
N＝Error!＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M⊆
N.
法二：由于 M 中，x＝
k
2·180°＋45°＝k·90°＋45°＝45°·(2k＋1)，2k＋1 是奇
数；而 N 中，x＝
k
4·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1 是整数，因此必
有 M⊆N.
4．在－720°～0°范围内所有与 45°终边相同的角为________．
解析：所有与 45°有相同终边的角可表示为：
β＝45°＋k×360°(k∈Z)，
则令－720°≤45°＋k×360°<0°，
得－765°≤k×360°<－45°，解得－
765
360≤k<－
45
360，
从而 k＝－2 或 k＝－1，代入得 β＝－675°或 β＝－315°.
答案：－675°或－315°
[谨记通法]
1．终边在某直线上角的求法 4 步骤
(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；
(2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角；
(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合；
(4)求并集化简集合．
2．确定 kα，
α
k (k∈N*)的终边位置 3 步骤
(1)用终边相同角的形式表示出角 α 的范围；
(2)再写出 kα 或
α
k 的范围；
(3)然后根据 k 的可能取值讨论确定 kα 或
α
k 的终边所在位置，如“题组练透”第 2 题
易错．
考点二 扇形的弧长及面积公式基础送分型考点——自主练透
[题组练透]
1．已知扇形的周长是 6，面积是 2，则扇形的圆心角的弧度数是( )
A．1 B．4
C．1 或 4 D．2 或 4
解析：选 C 设此扇形的半径为 r，弧长为 l，
则Error!解得Error!或Error!
从而 α＝
l
r＝
4
1＝4 或 α＝
l
r＝
2
2＝1.
2．(易错题)若扇形的圆心角是 α＝120°，弦长 AB＝12 cm，则弧长 l＝________cm.
解析：设扇形的半径为 r cm，如图．
由 sin 60°＝
6
r，
得 r＝4 3 cm，
∴l＝|α|·r＝
2π
3 ×4 3＝
8 3
3 π cm.
答案：
8 3
3 π
3．已知扇形周长为 40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？
解：设圆心角是 θ，半径是 r，则 2r＋rθ＝40.
又 S＝
1
2θr2＝
1
2r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100.
当且仅当 r＝10 时，Smax＝100，此时 2×10＋10θ＝40，θ＝2.
所以当 r＝10，θ＝2 时，扇形的面积最大．
[谨记通法]
弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略
(1)明确弧度制下弧长公式 l＝αr，扇形的面积公式是 S＝
1
2lr＝
1
2αr2(其中 l 是扇形的
弧长，α 是扇形的圆心角)．
(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量，如“题
组练透”第 2 题．
考点三 三角函数的定义常考常新型考点——多角探明
[命题分析]
任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内容．在高考中多以选择题、填
空题的形式出现．
常见的命题角度有：
(1)三角函数值的符号判定；
(2)由角的终边上一点的 P 的坐标求三角函数值；
(3)由角的终边所在的直线方程求三角函数值．
[题点全练]
角度一： 三角函数值的符号判定
1．若 sin αtan α＜0，且
cos α
tan α＜0，则角 α 是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：选 C 由 sin αtan α＜0 可知 sin α，tan α 异号，
则 α 为第二或第三象限角．
由
cos α
tan α＜0 可知 cos α，tan α 异号，
则 α 为第三或第四象限角．
综上可知，α 为第三象限角．
角度二：由角的终边上一点 P 的坐标求三角函数值
2．如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，角 α 的终边与单位圆交
于点 A，点 A 的纵坐标为
4
5，则 cos α＝________.
解析：因为 A 点纵坐标 yA＝
4
5，且 A 点在第二象限，又因为圆 O 为
单位圆，所以 A 点横坐标 xA＝－
3
5，由三角函数的定义可得 cos α＝－
3
5.
答案：－
3
5
3．已知角 α 的终边上一点 P(－ 3，m)(m≠0)，且 sin α＝
2m
4 ，
则 m＝________.
解析：由题设知 x＝－ 3，y＝m，
∴r2＝|OP|2＝(－ 3)2＋m2(O 为原点)，r＝ 3＋m2.
∴sin α＝
m
r＝
2m
4 ＝
m
2 2，
∴r＝ 3＋m2＝2 2，
即 3＋m2＝8，解得 m＝± 5.
答案：± 5
角度三：由角的终边所在的直线方程求三角函数值
4．已知角 α 的终边在直线 3x＋4y＝0 上，求 sin α，cos α，tan α 的值．
解：设 α 终边上任一点为 P(－4a,3a)，
当 a＞0 时，r＝5a，sin α＝
3
5，cos α＝－
4
5，tan α＝－
3
4；
当 a＜0 时，r＝－5a，sin α＝－
3
5，cos α＝
4
5，tan α＝－
3
4.
[方法归纳]
应用三角函数定义的 3 种求法
(1)已知角 α 终边上一点 P 的坐标，可求角 α 的三角函数值．先求 P 到原点的距离，
再用三角函数的定义求解．
(2)已知角 α 的某三角函数值，可求角 α 终边上一点 P 的坐标中的参数值，可根据定
义中的两个量列方程求参数值．
(3)已知角 α 的终边所在的直线方程或角 α 的大小，根据三角函数的定义可求角 α 终
边上某特定点的坐标．
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．若一扇形的圆心角为 72°，半径为 20 cm，则扇形的面积为( )
A．40π cm2 B．80π cm2
C．40 cm2 D．80 cm2
解析：选 B ∵72°＝
2π
5 ，∴S 扇形＝
1
2αr2＝
1
2×
2π
5 ×202＝80π(cm2)．
2．已知点 P(tan α，cos α)在第三象限，则角 α 的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选 B 因为点 P 在第三象限，所以Error!所以角 α 的终边在第二象限．
3．如图，在直角坐标系 xOy 中，射线 OP 交单位圆 O 于点 P，若∠AOP＝θ，则点 P 的
坐标是( )
A．(cos θ，sin θ)
B．(－cos θ，sin θ)
C．(sin θ，cos θ)
D．(－sin θ，cos θ)
解析：选 A 由三角函数定义知，点 P 的横坐标 x＝cos θ，纵坐标 y＝sin θ.
4．(2016·江西六校联考)点 A(sin 2 015°，cos 2 015°)位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选 C 因为 sin 2 015°＝sin(11×180°＋35°)
＝－sin 35°＜0，cos 2 015°＝cos(11×180°＋35°)
＝－cos 35°＜0，
所以点 A(sin 2 015°，cos 2 015°)位于第三象限．
5．(2016·福州一模)设 α 是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且 cos α＝
1
5x，
则 tan α＝( )
A.
4
3 B.
3
4
C．－
3
4 D．－
4
3
解析：选 D 因为 α 是第二象限角，所以 cos α＝
1
5x＜0，
即 x＜0.又 cos α＝
1
5x＝
x
x2＋16.
解得 x＝－3，所以 tan α＝
4
x＝－
4
3.
二保高考，全练题型做到高考达标
1．将表的分针拨快 10 分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( )
A.
π
3 B.
π
6
C．－
π
3 D．－
π
6
解析：选 C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．
故 A，B 不正确，又因为拨快 10 分钟，故应转过的角为圆周的
1
6.
即为－
1
6×2π＝－
π
3 .
2．(2016·南昌二中模拟)已知角α 终边上一点 P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则 sin
α 等于( )
A．sin 2 B．－sin 2
C．cos 2 D．－cos 2
解析：选 D 因为 r＝ 2sin 22＋－2cos 22＝2，由任意三角函数的定义，
得 sin α＝
y
r＝－cos 2.
3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角 α∈(0，π)的弧度
数为( )
A.
π
3 B.
π
2
C. 3 D．2
解析：选 C 设圆半径为 r，则其内接正三角形的边长为 3r，所以 3r＝αr，
∴α＝ 3.
4．(2015·潍坊二模)集合Error!中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
解析：选 C 当 k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋
π
4 ≤α≤2nπ＋
π
2 ，此时 α 表示的范围与
π
4
≤α≤
π
2 表示的范围一样；当 k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋
π
4 ≤α≤2nπ＋π＋
π
2 ，此
时 α 表示的范围与 π＋
π
4 ≤α≤π＋
π
2 表示的范围一样．
5．已知角 θ 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直线 y＝2x 上，
则 cos 2θ＝( )
A．－
4
5 B．－
3
5
C.
3
5 D.
4
5
解析：选 B 取终边上一点(a,2a)(a≠0)，根据任意角的三角函数定义，可得 cos θ＝
±
5
5 ，故 cos 2θ＝2cos2θ－1＝－
3
5.
6．已知 α 是第二象限的角，则 180°－α 是第________象限的角．
解析：由 α 是第二象限的角可得 90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)，则
180°－(180°＋ k·360°)＜180°－ α＜180°－(90°＋ k·360°)，即－ k·360°＜
180°－α＜90°－k·360°(k∈Z)，所以 180°－α 是第一象限的角．
答案：一
7．在直角坐标系中，O 是原点，A( 3，1)，将点 A 绕 O 逆时针旋转 90°到 B 点，则 B
点坐标为__________．
解析：依题意知 OA＝OB＝2，∠AOx＝30°，∠BOx＝120°，
设点 B 坐标为(x，y)，所以 x＝2cos 120°＝－1，y＝2sin 120°＝ 3，即 B(－1，
3)．
答案：(－1， 3)
8．已知角 θ 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的非负半轴，若 P(4，y)是角 θ 终边上
一点，且 sin θ＝－
2 5
5 ，则 y＝________.
解析：因为 sin θ＝
y
42＋y2＝－
2 5
5 ，
所以 y＜0，且 y2＝64，所以 y＝－8.
答案：－8
9．在(0,2π)内，使 sin x>cos x 成立的 x 的取值范围为____________________．
解析：如图所示，找出在(0,2π)内，使 sin x＝cos x 的 x 值，
sin
π
4 ＝cos
π
4 ＝
2
2 ，sin
5π
4 ＝cos
5π
4 ＝－
2
2 .根据三角函数线的变
化规律标出满足题中条件的角 x∈(π
4 ，
5π
4 ).
答案：(π
4 ，
5π
4 )
10．已知扇形 AOB 的周长为 8.
(1)若这个扇形的面积为 3，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长 AB.
解：设扇形 AOB 的半径为 r，弧长为 l，圆心角为 α，
(1)由题意可得Error!
解得Error!或Error!
∴α＝
l
r＝
2
3或 α＝
l
r＝6.
(2)法一：∵2r＋l＝8，
∴S 扇＝
1
2lr＝
1
4l·2r
≤
1
4(l＋2r
2 )2＝
1
4×(8
2 )2＝4，
当且仅当 2r＝l，即 α＝
l
r＝2 时，扇形面积取得最大值 4.
∴圆心角 α＝2，弦长 AB＝2sin 1×2＝4sin 1.
法二：∵2r＋l＝8，
∴S 扇＝
1
2lr＝
1
2r(8－2r)＝r(4－r)
＝－(r－2)2＋4≤4，
当且仅当 r＝2，即 α＝
l
r＝2 时，扇形面积取得最大值 4.
∴弦长 AB＝2sin 1×2＝4sin 1.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．若 α 是第三象限角，则下列各式中不成立的是( )
A．sin α＋cos α＜0 B．tan α－sin α＜0
C．cos α－tan α＜0 D．tan αsin α＜0
解析：选 B ∵α 是第三象限角，∴sin α＜0，cos α＜0，tan α＞0，则可排除
A，C，D.
2．已知角 α＝2kπ－
π
5 (k∈Z)，若角 θ 与角 α 的终边相同，则 y＝
sin θ
|sin θ|＋
cos θ
|cos θ|＋
tan θ
|tan θ|的值为( )
A．1 B．－1
C．3 D．－3
解析：选 B 由 α＝2kπ－
π
5 (k∈Z)及终边相同的概念知，角 α 的终边在第四象限，
又角 θ 与角 α 的终边相同，所以角 θ 是第四象限角，所以 sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ
＜0.
所以 y＝－1＋1－1＝－1.
3．已知 sin α＜0，tan α＞0.
(1)求 α 角的集合；
(2)求
α
2 终边所在的象限；
(3)试判断 tan
α
2 sin
α
2 cos
α
2 的符号．
解：(1)由 sin α＜0，知 α 在第三、四象限或 y 轴的负半轴上；
由 tan α＞0, 知 α 在第一、三象限，故 α 角在第三象限，
其集合为Error!.
(2)由 2kπ＋π＜α＜2kπ＋
3π
2 ，k∈Z，
得 kπ＋
π
2 ＜
α
2 ＜kπ＋
3π
4 ，k∈Z，
故
α
2 终边在第二、四象限．
(3)当
α
2 在第二象限时，tan
α
2 ＜0，
sin
α
2 ＞0, cos
α
2 ＜0，
所以 tan
α
2 sin
α
2 cos
α
2 取正号；
当
α
2 在第四象限时， tan
α
2 ＜0，
sin
α
2 ＜0, cos
α
2 ＞0，
所以 tan
α
2 sin
α
2 cos
α
2 也取正号．
因此，tan
α
2 sin
α
2 cos
α
2 取正号．
第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式_
1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系
sin2α＋cos2α＝1；
(2)商数关系
tan α＝
sin α
cos α.
2．诱导公式
组序 一 二 三 四 五 六
角
2kπ＋
α(k∈Z)
π＋α －α π－α
π
2 －α
π
2 ＋α
正弦 sin α －sin α
－sin
α
sin α cos α cos_α
余弦 cos α －cos α cos α －cos_α sin α －sin α
正切 tan α tan α
－tan
α
－tan_α
口诀
函数名不变
符号看象限
函数名改变
符号看象限
记忆
规律
奇变偶不变，符号看象限
[小题体验]
1．已知 sin(5π
2 ＋α)＝
1
5，那么 cos α＝( )
A．－
2
5 B．－
1
5
C.
1
5 D.
2
5
解析：选 C ∵sin(5π
2 ＋α)＝sin(π
2 ＋α)＝cos α，
∴cos α＝
1
5.
2．若 sin θcos θ＝
1
2，则 tan θ＋
cos θ
sin θ的值是( )
A．－2 B．2
C．±2 D.
1
2
解析：选 B tan θ＋
cos θ
sin θ＝
sin θ
cos θ＋
cos θ
sin θ＝
1
cos θsin θ＝2.
3．(教材习题改编)(1)sin(－
31π
4 )＝________，
(2)tan(－
26π
3 )＝________.
答案：(1)
2
2 (2) 3
1．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，
其步骤：去负—脱周—化锐．
特别注意函数名称和符号的确定．
2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．
[小题纠偏]
1．(2015·福建高考)若 sin α＝－
5
13，且 α 为第四象限角，则 tan α 的值等于( )
A.
12
5 B．－
12
5
C.
5
12 D．－
5
12
解析：选 D 因为 α 为第四象限的角，
故 cos α＝ 1－sin2α＝ 1－(－
5
13 )2＝
12
13，
所以 tan α＝
sin α
cos α＝
－
5
13
12
13
＝－
5
12.
2．若 sin(3π＋θ)＝
1
3，则 sin θ＝________.
答案：－
1
3
考点一 三角函数的诱导公式基础送分型考点——自主练透
[题组练透]
1．sin 210°cos 120°的值为( )
A.
1
4 B．－
3
4
C．－
3
2 D.
3
4
解析：选 A sin 210°cos 120°＝－sin 30°(－cos 60°)＝
1
2×
1
2＝
1
4.
2．已知 A＝
sinkπ＋α
sin α ＋
coskπ＋α
cos α (k∈Z)，则 A 的值构成的集合是( )
A．{1，－1,2，－2} B．{－1,1}
C．{2，－2} D．{1，－1,0,2，－2}
解析：选 C 当 k 为偶数时，A＝
sin α
sin α＋
cos α
cos α＝2；
k 为奇数时，A＝
－sin α
sin α －
cos α
cos α＝－2.
3．已知 tan(π
6 －α)＝
3
3 ，则 tan(5π
6 ＋α)＝________.
解析：tan(5π
6 ＋α)＝tan(π－
π
6 ＋α)
＝tan[π－(π
6 －α)]
＝－tan(π
6 －α)＝－
3
3 .
答案：－
3
3
4 ． ( 易 错 题 ) 设 f(α) ＝
2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α
1＋sin2α＋cos(3π
2 ＋α)－sin2(π
2 ＋α)
(sin α ≠ －
1
2)，则 f(－
23π
6 )＝________.
解析：∵f(α)＝
－2sin α－cos α＋cos α
1＋sin2α＋sin α－cos2α
＝
2sin αcos α＋cos α
2sin2α＋sin α ＝
cos α1＋2sin α
sin α1＋2sin α
＝
1
tan α，
∴f(－
23π
6 )＝
1
tan(－
23π
6 )＝
1
tan(－4π＋
π
6 )＝
1
tan
π
6
＝ 3.
答案： 3
[谨记通法]
1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤
也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．”
2．利用诱导公式化简三角函数的要求
(1)化简过程是恒等变形；
(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值，如“题
组练透”第 4 题．
考点二 同角三角函数的基本关系题点多变型考点——纵引横联
[典型母题]
已知 α 是三角形的内角，且 sin α＋cos α＝
1
5.求 tan α 的值．
[解] 法一： 联立方程Error! ①
②
由①得 cos α＝
1
5－sin α，
将其代入②，整理得
25sin2α－5sin α－12＝0.
∵α 是三角形的内角，
∴Error!
∴tan α＝－
4
3.
法二：∵sin α＋cos α＝
1
5，
∴(sin α＋cos α)2＝(1
5 )2，
即 1＋2sin αcos α＝
1
25，
∴2sin αcos α＝－
24
25，
∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋
24
25＝
49
25.
∵sin αcos α＝－
12
25＜0 且 0＜α＜π，
∴sin α＞0，cos α＜0，
∴sin α－cos α＞0.
∴sin α－cos α＝
7
5.
由Error!得Error!
∴tan α＝－
4
3.
[类题通法]
同角三角函数基本关系式的应用技巧
技巧 解读 适合题型
切弦
互化
主要利用公式 tan θ＝
sin θ
cos θ化成正弦、
余弦，或者利用公式
sin θ
cos θ＝tan θ 化
成正切
表达式中含有 sin θ，cos θ 与 tan θ
“1”的
变换
1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)
＝ tan
π
4 ＝ (sin θ±cos θ)2 ∓ 2sin
θcos θ
表达式中需要利用“1”转化
和积
转换
利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos
θ 的关系进行变形、转化
表达式中含有 sin θ±cos θ 或 sin
θcos θ
[越变越明]
[变式一] 保持母题条件不变，
求：(1)
sin α－4cos α
5sin α＋2cos α；
(2)sin2α＋2sin αcos α 的值．
解：由母题可知：
tan α＝－
4
3.
(1)
sin α－4cos α
5sin α＋2cos α＝
tan α－4
5tan α＋2
＝
－
4
3－4
5 × (－
4
3 )＋2
＝
8
7.
(2)sin2α＋2sin αcos α＝
sin2α＋2sin αcos α
sin2α＋cos2α
＝
tan2α＋2tan α
1＋tan2α ＝
16
9 －
8
3
1＋
16
9
＝－
8
25.
[变式二] 若母题条件变为“
sin α＋3cos α
3cos α－sin α＝5”， 求 tan α 的值．
解：法一：由
sin α＋3cos α
3cos α－sin α＝5, 得
tan α＋3
3－tan α＝5，即 tan α＝2.
法二：由
sin α＋3cos α
3cos α－sin α＝5，得 sin α＋3cos α＝15cos α－5sin α，∴6sin α
＝12cos α，即 tan α＝2.
[变式三] 若母题中的条件和结论互换：已知 α 是三角形的内角，且 tan α＝－
1
3，
求 sin α＋cos α 的值．
解：由 tan α＝－
1
3，得 sin α＝ －
1
3cos α，
将其代入 sin2α＋cos2α＝1，
得
10
9 cos2α＝1，∴cos2α＝
9
10，易知 cos α＜0，
∴cos α＝－
3 10
10 ， sin α＝
10
10 ，
故 sin α＋cos α＝－
10
5 .
1．三角形中求值问题，首先明确角的范围，才能求出角的值或三角函数值．
2．三角形中常用的角的变形有：A＋B＝π－C,2A＋2B＝2π－2C，
A
2＋
B
2＋
C
2＝
π
2 等，于
是可得 sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B
2 )＝sin
C
2等．
[破译玄机]
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．若 α∈(－
π
2 ，
π
2 )，sin α＝－
3
5，则 cos(－α)＝( )
A．－
4
5 B.
4
5
C.
3
5 D．－
3
5
解析：选 B 因为 α∈(－
π
2 ，
π
2 )，sin α＝－
3
5，所以 cos α＝
4
5，即 cos(－α)＝
4
5.
2．已知 sin(π＋θ)＝－ 3cos(2π－θ)，|θ|＜
π
2 ，则 θ 等于( )
A．－
π
6 B．－
π
3
C.
π
6 D.
π
3
解析：选 D ∵sin(π＋θ)＝－ 3cos(2π－θ)，
∴－sin θ＝－ 3cos θ，∴tan θ＝ 3.∵|θ|＜
π
2 ，∴θ＝
π
3 .
3．已知 sin(α－
π
4 )＝
1
3，则 cos(π
4 ＋α)＝( )
A.
2 2
3 B．－
2 2
3
C.
1
3 D．－
1
3
解析：选 D ∵cos(π
4 ＋α)＝sin[π
2 －(π
4 ＋α)]
＝sin(π
4 －α)＝－sin(α－
π
4 )＝－
1
3.
4．已知 α∈(π
2 ，π)，sin α＝
4
5，则 tan α＝________.
解析：∵α∈(π
2 ，π)，∴cos α＝－ 1－sin2α＝－
3
5，
∴tan α＝
sin α
cos α＝－
4
3.
答案：－
4
3
5．如果 sin(π＋A)＝
1
2，那么 cos (3π
2 －A)的值是________．
解析：∵sin(π＋A)＝
1
2，∴－sin A＝
1
2.
∴cos(3π
2 －A)＝－sin A＝
1
2.
答案：
1
2
二保高考，全练题型做到高考达标
1．已知 sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则下列不等关系中必定成立的是( )
A．sin θ<0，cos θ>0 B．sin θ>0，cos θ<0
C．sin θ>0，cos θ>0 D．sin θ<0，cos θ<0
解析：选 B ∵sin(θ＋π)<0，∴－sin θ<0，sin θ>0.
∵cos(θ－π)>0，∴－cos θ>0，cos θ<0.
2．若 sin(π－α)＝－2sin(π
2 ＋α)，则 sin α·cos α 的值等于( )
A．－
2
5 B．－
1
5
C.
2
5或－
2
5 D.
2
5
解析：选 A 由 sin(π－α)＝－2sin(π
2 ＋α)，可得 sin α＝－2cos α，则 tan α＝－
2，sin α·cos α＝
tan α
1＋tan2α＝－
2
5.
3．(2016·江西五校联考)
cos 350°－2sin 160°
sin－190° ＝( )
A．－ 3 B．－
3
2
C.
3
2 D. 3
解析：选 D 原式＝
cos360°－10°－2sin180°－20°
－sin180°＋10° ＝
cos 10°－2sin30°－10°
－－sin 10° ＝
cos 10°－2(1
2cos 10°－
3
2 sin 10°)
sin 10° ＝ 3.
4．已知 f(α)＝
sinπ－αcos2π－α
cos－π－αtan α ，则 f (－
31π
3 )的值为( )
A.
1
2 B．－
1
3
C．－
1
2 D.
1
3
解析：选 C ∵f(α)＝
sin α·cos α
－cos αtan α＝－cos α，
∴f(－
31π
3 )＝－cos(－
31π
3 )＝－cos(10π＋
π
3 )
＝－cos
π
3 ＝－
1
2.
5．已知 sin αcos α＝
1
8，且
5π
4 <α<
3π
2 ，则 cos α－sin α 的值为( )
A．－
3
2 B.
3
2
C．－
3
4 D.
3
4
解析：选 B ∵
5π
4 <α<
3π
2 ，
∴cos α<0，sin α<0 且|cos α|<|sin α|，
∴cos α－sin α>0.
又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×
1
8＝
3
4，
∴cos α－sin α＝
3
2 .
6．化简：
sin(π
2 ＋α)·cos(π
2 －α)
cosπ＋α ＋
sinπ－α·cos(π
2 ＋α)
sinπ＋α
＝________.
解析：原式＝
cos α·sin α
－cos α ＋
sin α－sin α
－sin α
＝－sin α＋sin α＝0.
答案：0
7．sin
4π
3 ·cos
5π
6 ·tan (－
4π
3 )的值是________．
解析：原式＝sin(π＋
π
3 )·cos(π－
π
6 )·tan(－π－
π
3 )
＝(－sin
π
3 )·(－cos
π
6 )·(－tan
π
3 )
＝(－
3
2 )×(－
3
2 )×(－ 3)＝－
3 3
4 .
答案：－
3 3
4
8 ． 已 知 cos(π
6 －θ)＝ a(|a|≤1) ， 则 cos(5π
6 ＋θ)＋ sin (2π
3 －θ)的 值 是
________．
解析：由题意知，cos(5π
6 ＋θ)＝cos[π－(π
6 －θ)]
＝－cos(π
6 －θ)＝－a.
sin(2π
3 －θ)＝sin[π
2 ＋(π
6 －θ)]＝cos(π
6 －θ)＝a，
∴cos(5π
6 ＋θ)＋sin(2π
3 －θ)＝0.
答案：0
9．求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan
945°.
解：原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945°
＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225°
＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45°
＝
3
2 ×
3
2 ＋
1
2×
1
2＋1＝2.
10．已知 sin(3π＋α)＝2sin(3π
2 ＋α)，求下列各式的值：
(1)
sin α－4cos α
5sin α＋2cos α；
(2)sin2α＋sin 2α.
解：由已知得 sin α＝2cos α.
(1)原式＝
2cos α－4cos α
5 × 2cos α＋2cos α＝－
1
6.
(2)原式＝
sin2α＋2sin αcos α
sin2α＋cos2α
＝
sin2α＋sin2α
sin2α＋
1
4sin2α
＝
8
5.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．sin21°＋sin22°＋…＋sin290°＝________.
解析：sin21°＋sin22°＋…＋sin290°＝sin21°＋sin22°＋…＋sin244°＋sin245°
＋ cos244° ＋ cos243° ＋ … ＋ cos21° ＋ sin290° ＝ (sin21° ＋ cos21°) ＋ (sin22° ＋
cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋sin245°＋sin290°＝44＋
1
2＋1＝
91
2 .
答案：
91
2
2．已知 f(x)＝
cos2nπ＋x·sin2nπ－x
cos2[2n＋1π－x] (n∈Z)．
(1)化简 f(x)的表达式；
(2)求 f ( π
2 014)＋f ( 503π
1 007)的值．
解：(1)当 n 为偶数，即 n＝2k(k∈Z)时，
f(x)＝
cos22kπ＋x·sin22kπ－x
cos2[2 × 2k＋1π－x]
＝
cos2x·sin2－x
cos2π－x
＝
cos2x·－sin x2
－cos x2
＝sin2x；
当 n 为奇数，即 n＝2k＋1(k∈Z)时，
f(x)＝
cos2[2k＋1π＋x]·sin2[2k＋1π－x]
cos2{[2 × 2k＋1＋1]π－x}
＝
cos2[2kπ＋π＋x]·sin2[2kπ＋π－x]
cos2[2 × 2k＋1π＋π－x]
＝
cos2π＋x·sin2π－x
cos2π－x
＝
－cos x2sin2x
－cos x2
＝sin2x，
综上得 f(x)＝sin2x.
(2)由(1)得 f( π
2 014)＋f( 503π
1 007)
＝sin2 π
2 014＋sin21 006π
2 014
＝sin2 π
2 014＋sin2(π
2 －
π
2 014)
＝sin2 π
2 014＋cos2 π
2 014＝1.
第三节 三角函数的图象与性质
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数 y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，(π
2 ，1)，(π，0)，
(3π
2 ，－1)，(2π，0)．
余弦函数 y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，(π
2 ，0)，(π，－
1)，(3π
2 ，0)，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中 k∈Z).
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R
x x∈R，且 x
Error!
值域 [－1,1] [－1,1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单调性
Error!
Error!为增；Error!
Error!为减
[2kπ，2kπ＋π]为减；
[2kπ－π，2kπ]为增
Error!
Error!为增
对称
中心
(kπ，0) (kπ＋
π
2 ，0) (kπ
2 ，0)
对称轴 x＝kπ＋
π
2 x＝kπ
[小题体验]
1．下列函数中，最小正周期为 π 的奇函数是( )
A．y＝cos 2x B．y＝sin 2x
C．y＝tan 2x D．y＝sin(2x－
π
2 )
答案：B
2．(教材习题改编)函数 y＝4sin x，x∈[－π，π]的单调性是( )
A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数
B．在[－
π
2 ，
π
2 ]上是增函数，在[－π，－
π
2 ]和[π
2 ，π]上都是减函数
C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数
D．在[π
2 ，π]和[－π，－
π
2 ]上是增函数，在[－
π
2 ，
π
2 ]上是减函数
答案：B
3．(教材习题改编)函数 y＝－tan(x＋
π
6 )＋2 的定义域为________________．
答案：Error!
1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，
要讨论参数对最值的影响．
2．要注意求函数 y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时 ω 的符号，尽量化成 ω>0 时的情
况．
3．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．
[小题纠偏]
1．函数 f(x)＝sin (2x－
π
4 )在区间[0，
π
2 ]上的最小值为( )
A．－1 B．－
2
2
C.
2
2 D．0
解析：选 B 由已知 x∈[0，
π
2 ]，
得 2x－
π
4 ∈[－
π
4 ，
3π
4 ]，
所以 sin(2x－
π
4 )∈[－
2
2 ，1]，
故函数 f(x)＝sin (2x－
π
4 )在区间[0，
π
4 ]上的最小值为－
2
2 .
2．函数 y＝cos (π
4 －2x)的单调减区间为____________．
解析：由 y＝cos(π
4 －2x)＝cos (2x－
π
4 )得
2kπ≤2x－
π
4 ≤2kπ＋π(k∈Z)，
解得 kπ＋
π
8 ≤x≤kπ＋
5π
8 (k∈Z)．
所以函数的单调减区间为[kπ＋
π
8 ，kπ＋
5π
8 ](k∈Z)．
答案：[kπ＋
π
8 ，kπ＋
5π
8 ](k∈Z)
考点一 三角函数的定义域与值域基础送分型考点——自主练透
[题组练透]
1．函数 y＝2sin(πx
6 －
π
3 )(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )
A．2－ 3 B．0
C．－1 D．－1－ 3
解析：选 A ∵0≤x≤9，∴－
π
3 ≤
π
6 x－
π
3 ≤
7π
6 ，
∴sin(π
6 x－
π
3 )∈[－
3
2 ，1].
∴y∈[－ 3，2]，∴ymax＋ymin＝2－ 3.
2．(易错题)函数 y＝
1
tan x－1的定义域为__________________．
解析：要使函数有意义，必须有Error!
即Error!
故函数的定义域为Error!.
答案：Error!
3．函数 y＝lg(sin 2x)＋ 9－x2的定义域为______________．
解析：由Error!得Error!
∴－3≤x<－
π
2 或 0
0)在区间[0，
π
3 ]上单调递增，在区间[π
3 ，
π
2 ]上单调递
减，则 ω＝________.
解析：∵f(x)＝sin ωx(ω>0)过原点，
∴当 0≤ωx≤
π
2 ，即 0≤x≤
π
2ω时，y＝sin ωx 是增函数；
当
π
2 ≤ωx≤
3π
2 ，即
π
2ω≤x≤
3π
2ω时，y＝sin ωx 是减函数．
由 f(x)＝sin ωx(ω>0)在[0，
π
3 ]上单调递增，
在[π
3 ，
π
2 ]上单调递减知，
π
2ω＝
π
3 ，∴ω＝
3
2.
答案：
3
2
考点三 三角函数的奇偶性、周期性及对称性常考常新型考点——多角探明
[命题分析]
正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对
称图形，应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一．
常见的命题角度有：
(1)三角函数的周期；
(2)求三角函数的对称轴或对称中心；
(3)三角函数对称性的应用．
[题点全练]
角度一：三角函数的周期
1．函数 y＝1－2sin2 (x－
3π
4 )是( )
A．最小正周期为 π 的奇函数
B．最小正周期为 π 的偶函数
C．最小正周期为
π
2 的奇函数
D．最小正周期为
π
2 的偶函数
解析：选 A y＝1－2sin2(x－
3π
4 )＝cos 2(x－
3π
4 )＝－sin 2x，所以 f(x)是最小正周
期为 π 的奇函数．
2．(2015·长沙一模)若函数 f(x)＝2tan (kx＋
π
3 )的最小正周期 T 满足 1＜T＜2，则自
然数 k 的值为________．
解析：由题意知，1＜
π
k ＜2，即 k＜π＜2k.又 k∈N，所以 k＝2 或 k＝3.
答案：2 或 3
角度二：求三角函数的对称轴或对称中心
3．(2015·太原模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋
π
4 )(ω>0)的最小正周期为 π，则函数
f(x)的图象( )
A．关于直线 x＝
π
4 对称 B．关于直线 x＝
π
8 对称
C．关于点(π
4 ，0)对称 D．关于点(π
8 ，0)对称
解析：选 B ∵f(x)＝sin (ωx＋
π
4 )的最小正周期为 π，
∴
2π
ω ＝π，ω＝2，
∴f(x)＝sin(2x＋
π
4 ).当 x＝
π
4 时，2x＋
π
4 ＝
3π
4 ，
∴A，C 错误；当 x＝
π
8 时，2x＋
π
4 ＝
π
2 ，
∴B 正确，D 错误．
角度三：三角函数对称性的应用
4．(2015·西安八校联考)若函数 y＝cos(ωx＋
π
6 )(ω∈N*)图象的一个对称中心是
(π
6 ，0)，则 ω 的最小值为( )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：选 B
πω
6 ＋
π
6 ＝kπ＋
π
2 (k∈Z)⇒ω＝6k＋2(k∈Z)⇒ωmin＝2.
5.设偶函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为
等腰直角三角形，∠KML＝90°，KL＝1，则 f (1
6 )的值为( )
A．－
3
4 B．－
1
4
C．－
1
2 D.
3
4
解析：选 D 由题意知，点 M 到 x 轴的距离是
1
2，根据题意可设 f(x)＝
1
2cos ωx，又由
题图知
1
2·
2π
ω ＝1，所以 ω＝π，所以 f(x)＝
1
2cos πx，故 f(1
6 )＝
1
2cos
π
6 ＝
3
4 .
[方法归纳]
函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性、周期性和对称性
(1)若 f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当 x＝0 时，f(x)取得最大或最小值；若 f(x)＝
Asin(ωx＋φ)为奇函数，则当 x＝0 时，f(x)＝0.
(2)对于函数 y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心
一定是函数的零点，因此在判断直线 x＝x0 或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，
可通过检验 f(x0)的值进行判断．
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．函数 y＝ cos x－
3
2 的定义域为( )
A.[－
π
6 ，
π
6 ]
B.[kπ－
π
6 ，kπ＋
π
6 ](k∈Z)
C.[2kπ－
π
6 ，2kπ＋
π
6 ](k∈Z)
D．R
解析：选 C ∵cos x－
3
2 ≥0，得 cos x≥
3
2 ，∴2kπ－
π
6 ≤x≤2kπ＋
π
6 ，k∈Z.
2．已知函数 f(x)＝sin(ωx＋
π
4 )(ω>0)的最小正周期为 π，则 f (π
8 )＝( )
A．1 B.
1
2
C．－1 D．－
1
2
解析：选 A 由题设知
2π
ω ＝π，所以 ω＝2，f(x)＝sin(2x＋
π
4 )，所以 f (π
8 )＝sin
(2 ×
π
8 ＋
π
4 )＝sin
π
2 ＝1.
3．(2016·石家庄一模)函数 f(x)＝tan (2x－
π
3 )的单调递增区间是( )
A.[kπ
2 －
π
12，
kπ
2 ＋
5π
12 ](k∈Z)
B.(kπ
2 －
π
12，
kπ
2 ＋
5π
12 )(k∈Z)
C.[kπ－
π
12，kπ＋
5π
12 ](k∈Z)
D.(kπ＋
π
6 ，kπ＋
2π
3 )(k∈Z)
解析：选 B 由 kπ－
π
2 ＜2x－
π
3 ＜kπ＋
π
2 (k∈Z)得，
kπ
2 －
π
12＜x＜
kπ
2 ＋
5π
12 (k∈Z)，
所以函数 f(x)＝tan (2x－
π
3 )的单调递增区间为(kπ
2 －
π
12，
kπ
2 ＋
5π
12 )(k∈Z)．
4．函数 f(x)＝sin(－2x)的单调增区间是____________．
解析：由 f(x)＝sin(－2x)＝－sin 2x，
2kπ＋
π
2 ≤2x≤2kπ＋
3π
2 得 kπ＋
π
4 ≤x≤kπ＋
3π
4 (k∈Z)．
答案：[kπ＋
π
4 ，kπ＋
3π
4 ](k∈Z)
5．函数 y＝3－2cos (x＋
π
4 )的最大值为______，此时 x＝______.
解析：函数 y＝3－2cos (x＋
π
4 )的最大值为 3＋2＝5，此时 x＋
π
4 ＝π＋2kπ，即 x＝
3π
4
＋2kπ(k∈Z)．
答案：5
3π
4 ＋2kπ(k∈Z)
二保高考，全练题型做到高考达标
1．若函数 f(x)＝－cos 2x，则 f(x)的一个递增区间为( )
A.(－
π
4 ，0) B.(0，
π
2 )
C.(π
2 ，
3π
4 ) D.(3π
4 ，π)
解析：选 B 由 f(x)＝－cos 2x 知递增区间为[kπ，kπ＋
π
2 ]，k∈Z，故只有 B 项满
足．
2．(2015·河北五校联考)下列函数最小正周期为 π 且图象关于直线x＝
π
3 对称的函数
是( )
A．y＝2sin(2x＋
π
3 ) B．y＝2sin(2x－
π
6 )
C．y＝2sin(x
2＋
π
3 ) D．y＝2sin(2x－
π
3 )
解析：选 B 由函数的最小正周期为 π，可排除 C.由函数图象关于直线 x＝
π
3 对称知，
该直线过函数图象的最高点或最低点，对于 A，因为 sin(2 ×
π
3 ＋
π
3 )＝sin π＝0，所以
选项 A 不正确．对于 D，sin(2 ×
π
3 －
π
3 )＝sin
π
3 ＝
3
2 ，所以选项 D 不正确．对于 B，sin
(2 ×
π
3 －
π
6 )＝sin
π
2 ＝1，所以选项 B 正确．
3．已知函数 f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|<π),若 f(π
8 )＝－2，则 f(x)的一个单调
递增区间可以是( )
A.[－
π
8 ，
3π
8 ] B.[5π
8 ，
9π
8 ]
C.[－
3π
8 ，
π
8 ] D.[π
8 ，
5π
8 ]
解析：选 D ∵f (π
8 )＝－2，
∴－2sin(π
4 ＋φ)＝－2，sin(π
4 ＋φ)＝1.
又∵|φ|<π，∴φ＝
π
4 ，
∴f(x)＝－2sin(2x＋
π
4 )，
由 2kπ＋
π
2 ≤2x＋
π
4 ≤2kπ＋
3π
2 ，k∈Z，
得 kπ＋
π
8 ≤x≤kπ＋
5π
8 ，k∈Z.
当 k＝0 时，得
π
8 ≤x≤
5π
8 .
4．若函数 f(x)＝sin(ωx＋
π
6 )(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为
π
2 ，且该
函数图象关于点(x0,0)成中心对称，x0∈[0，
π
2 ]，则 x0＝( )
A.
5π
12 B.
π
4
C.
π
3 D.
π
6
解析：选 A 由题意得
T
2＝
π
2 ，T＝π，ω＝2.又 2x0＋
π
6 ＝kπ(k∈Z)，x0＝
kπ
2 －
π
12(k∈
Z)，而 x0∈[0，
π
2 ]，所以 x0＝
5π
12 .
5．若函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，且|φ|＜
π
2 )在区间[π
6 ，
2π
3 ]上是单调减函数，
且函数值从 1 减少到－1，则 f (π
4 )＝( )
A.
1
2 B.
2
2
C.
3
2 D．1
解析：选 C 由题意得函数 f(x)的周期 T＝2(2π
3 －
π
6 )＝π，所以 ω＝2，此时 f(x)＝
sin(2x＋φ)，将点(π
6 ，1)代入上式得 sin(π
3 ＋φ)＝1(|φ|＜
π
2 )，所以 φ＝
π
6 ，所以 f(x)
＝sin(2x＋
π
6 )，于是 f (π
4 )＝sin(π
2 ＋
π
6 )＝cos
π
6 ＝
3
2 .
6．已知函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)，对于任意 x 都有 f (π
6 ＋x)
＝f (π
6 －x)，则 f (π
6 )的值为________．
解析：∵f (π
6 ＋x)＝f (π
6 －x)，
∴x＝
π
6 是函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)的一条对称轴．
∴f (π
6 )＝±2.
答案：2 或－2
7．函数 y＝tan (2x＋
π
4 )的图象与 x 轴交点的坐标是________________．
解析：由 2x＋
π
4 ＝kπ(k∈Z)得，
x＝
kπ
2 －
π
8 (k∈Z)．
∴函数 y＝tan (2x＋
π
4 )的图象与 x 轴交点的坐标是(kπ
2 －
π
8 ，0)，k∈Z.
答案：(kπ
2 －
π
8 ，0)，k∈Z
8．已知 x∈(0，π]，关于 x 的方程 2 sin(x＋
π
3 )＝a 有两个不同的实数解，则实数 a
的取值范围为________．
解析：令 y1＝2sin(x＋
π
3 )，x∈(0，π]，y2＝a，作出 y1 的图象如图所示．若
2sin(x＋
π
3 )＝a 在(0，π]上有两个不同的实数解，则 y1 与 y2 应有两个不
同的交点，所以 30 时，Error!∴a＝3 2－3，b＝5.
②当 a<0 时，Error!∴a＝3－3 2，b＝8.
综上所述，a＝3 2－3，b＝5 或 a＝3－3 2，b＝8.
第四节 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用
1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
振幅 周期 频率 相位 初相
y＝Asin(ωx＋φ)
(A>0，ω>0)， A
T＝
2π
ω f＝
1
T＝
ω
2π
ωx＋
φ
φ
2.用五点法画 y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画 y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
x －
φ
ω －
φ
ω＋
π
2ω
π－φ
ω
3π
2ω－
φ
ω
2π－φ
ω
ωx＋φ 0 π
2 π 3π
2 2π
y＝Asin(ωx＋
φ)
0 A 0 －A 0
3.由函数 y＝sin x 的图象变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法
[小题体验]
1．若函数 y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图，则 ω＝
( )
A．5 B．4
C．3 D．2
答案：B
2．(教材习题改编)函数 y＝
2
3sin (1
2x－
π
4 )的振幅为________，周期为________，初相
为________．
答案：
2
3 4π －
π
4
3．用五点法作函数 y＝sin (x－
π
6 )在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是______、
______、______、______、______.
答案：(π
6 ，0) (2π
3 ，1) (7π
6 ，0) (5π
3 ，－1) (13π
6 ，0)
1．函数图象变换要明确，要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；
2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名
函数；
3．由 y＝Asin ωx 的图象得到 y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，需平移的单位数应为
|φ
ω |，而不是|φ|.
[小题纠偏]
1．把 y＝sin
1
2x 的图象上点的横坐标变为原来的 2 倍得到 y＝sin ωx 的图象，则 ω 的
值为( )
A．1 B．4
C.
1
4 D．2
答案：C
2．要得到函数 y＝sin 2x 的图象，只需把函数 y＝sin (2x＋
π
3 )的图象向右平移______
个单位长度．
答案：
π
6
考点一 求函数y＝Asinωx＋φ的解析式基础送分型考点——自主练透
[题组练透]
1 ． (2016· 洛 阳 调 研 ) 已 知 函 数 f(x) ＝ Asin(ωx ＋ φ)
(A > 0，ω > 0，|φ| <
π
2 )的部分图象如图所示，则 f(x)的解析式是
( )
A．f(x)＝sin(3x＋
π
3 )
B．f(x)＝sin(2x＋
π
3 )
C．f(x)＝sin(x＋
π
3 )
D．f(x)＝sin(2x＋
π
6 )
解析：选 D 由图象可知
T
4＝
5π
12 －
π
6 ，∴T＝π，∴ω＝
2π
T ＝2，故排除 A，C，把 x＝
π
6
代入检验知，选项 D 符合题意．
2．(易错题)(2015·全国卷Ⅰ)函数 f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则 f(x)
的单调递减区间为( )
A.(kπ－
1
4，kπ＋
3
4)，k∈Z
B.(2kπ－
1
4，2kπ＋
3
4)，k∈Z
C.(k－
1
4，k＋
3
4)，k∈Z
D.(2k－
1
4，2k＋
3
4)，k∈Z
解析：选 D 由图象知，周期 T＝2(5
4－
1
4 )＝2，
∴
2π
ω ＝2，∴ω＝π.
由 π×
1
4＋φ＝
π
2 ＋2kπ，得 φ＝
π
4 ＋2kπ，k∈Z，
不妨取 φ＝
π
4 ，∴f(x)＝cos(πx＋
π
4 ).
由 2kπ＜πx＋
π
4 ＜2kπ＋π，
得 2k－
1
4＜x＜2k＋
3
4，k∈Z，
∴f(x)的单调递减区间为(2k－
1
4，2k＋
3
4)，k∈Z，故选 D.
3．已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的最大值为 4，最小值为 0，最小正周
期为
π
2 ，直线 x＝
π
3 是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )
A．y＝4sin(4x＋
π
6 ) B．y＝2sin(2x＋
π
3 )＋2
C．y＝2sin(4x＋
π
3 )＋2 D．y＝2sin(4x＋
π
6 )＋2
解析：选 D 由函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b 的最大值为 4，最小值为 0，可知 b＝2，A＝
2.由函数的最小正周期为
π
2 ，可知
2π
ω ＝
π
2 ，得 ω＝4.由直线 x＝
π
3 是其图象的一条对称轴，
可知 4×
π
3 ＋φ＝kπ＋
π
2 ，k∈Z，从而 φ＝kπ－
5π
6 ，k∈Z，故满足题意的是 y＝2sin
(4x＋
π
6 )＋2.
[谨记通法]
确定 y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法
(1)求 A，b：确定函数的最大值 M 和最小值 m，则 A＝
M－m
2 ，b＝
M＋m
2 ；
(2)求 ω：确定函数的周期 T，则可得 ω＝
2π
T ；
(3)求 φ：常用的方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时 A，ω，b 已知)或代入图象与直线 y＝b 的
交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
②五点法：确定 φ 值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：
“第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)时 ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)
时 ωx＋φ＝
π
2 ；“第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)时 ωx＋φ＝π；“第四点”(即
图象的“谷点”)时 ωx＋φ＝
3π
2 ；“第五点”时 ωx＋φ＝2π.如“题组练透”第 2 题．
考点二 函数y＝Asinωx＋φ的图象题点多变型考点——纵引横联
[典型母题]
(2015· 湖 北 高 考 ) 某 同 学 用 “ 五 点 法 ” 画 函 数 f(x) ＝ Asin(ωx ＋ φ)
(ω > 0，|φ| <
π
2 )在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ 0 π
2 π 3π
2 2π
x π
3
5π
6
Asin(ωx＋φ) 0 5 －5 0
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数 f(x)的解析式；
(2)将 y＝f(x)图象上所有点向左平行移动
π
6 个单位长度，得到 y＝g(x)的图象，求 y＝g(x)
的图象离原点 O 最近的对称中心．
[解] (1)根据表中已知数据，解得 A＝5，ω＝2，φ＝－
π
6 ，数据补全如下表：
ωx＋φ 0 π
2 π 3π
2 2π
x π
12
π
3
7π
12
5π
6
13π
12
Asin(ωx＋φ) 0 5 0 －5 0
且函数解析式为 f(x)＝5sin(2x－
π
6 ).
(2)由(1)知 f(x)＝5sin(2x－
π
6 )，
因此 g(x)＝5sin[2(x＋
π
6 )－
π
6 ]＝5sin(2x＋
π
6 ).
因为 y＝sin x 的对称中心为(kπ，0)，k∈Z，
令 2x＋
π
6 ＝kπ，k∈Z，解得 x＝
kπ
2 －
π
12，k∈Z，
即 y＝g(x)图象的对称中心为(kπ
2 －
π
12，0)，k∈Z，
其中离原点 O 最近的对称中心为(－
π
12，0).
[类题通法]
函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种作法
(1)五点法：设 z＝ωx＋φ，由 z 取 0，
π
2 ，π，
3π
2 ，2π 来求出相应的 x，通过列表，
计算得出五点坐标，描点后得出图象．
(2)图象变换法：由函数 y＝sinx 的图象通过变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两
种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
[提醒] 平移变换和伸缩变换都是针对 x 而言，即 x 本身加减多少值，而不是依赖于
ωx 加减多少值．
[越变越明]
[变式 1] 在母题条件下，试作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象．
解：由母题数据作出的图象如图所示：
[变式 2] 在母题条件下，若将 y＝f(x)图象上所有点向左平行移动 θ(θ>0)个单位长
度，得到 y＝g(x)的图象．若 y＝g(x)图象的一个对称中心为(5π
12 ，0)，求 θ 的最小值．
解：因为 f(x)＝5sin(2x－
π
6 )，
则 g(x)＝5sin(2x＋2θ－
π
6 ).
因为函数 y＝sin x 图象的对称中心为(kπ，0)，k∈Z，
令 2x＋2θ－
π
6 ＝kπ，k∈Z，解得 x＝
kπ
2 ＋
π
12－θ，k∈Z.
由于函数 y＝g(x)的图象关于点(5π
12 ，0)成中心对称，
所以令
kπ
2 ＋
π
12－θ＝
5π
12 ，k∈Z，解得 θ＝
kπ
2 －
π
3 ，k∈Z.
由 θ>0 可知，当 k＝1 时，θ 取得最小值
π
6 .
[变式 3] 在母题条件下，说明函数 f(x)的图象可由 y＝sin x 的图象经过怎样的变换
而得到的．
解：把 y＝sin x 的图象上所有的点向右平移
π
6 个单位长度，得到 y＝sin (x－
π
6 )的图
象，再把 y＝sin (x－
π
6 )的图象上的点的横坐标缩短到原来的
1
2倍(纵坐标不变)，得到 y＝
sin (2x－
π
6 )的图象，最后把 y＝sin (2x－
π
6 )上所有点的纵坐标伸长到原来的 5 倍(横坐标
不变)，即可得到 y＝5sin (2x－
π
6 )的图象．
由函数 y＝sin x 的图象通过变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径：“先
[破译玄机]
平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．要注意两者不同，后者可利用ωx＋φ＝ω (x＋
φ
ω)来确
定平移的单位长度．
考点三 三角函数模型及其应用重点保分型考点——师生共研
[典例引领]
(2014·湖北高考)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间 t(单位：h)的变化近似满足
函数关系：f(t)＝10－ 3cos
π
12t－sin
π
12t，t∈[0,24)．
(1)求实验室这一天的最大温差；
(2)若要求实验室温度不高于 11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？
解：(1)因为 f(t)＝10－2( 3
2 cos
π
12t＋
1
2sin
π
12t)＝10－2sin(π
12t＋
π
3 )，
又 0≤t＜24，
所以
π
3 ≤
π
12t＋
π
3 <
7π
3 ，－1≤sin(π
12t＋
π
3 )≤1.
当 t＝2 时，sin(π
12t＋
π
3 )＝1；
当 t＝14 时，sin(π
12t＋
π
3 )＝－1.
于是 f(t)在[0,24)上取得最大值 12，取得最小值 8.
故实验室这一天最高温度为 12 ℃，最低温度为 8 ℃，最大温差为 4 ℃.
(2)依题意，当 f(t)>11 时实验室需要降温．
由(1)得 f(t)＝10－2sin(π
12t＋
π
3 )，
故有 10－2sin(π
12t＋
π
3 )>11，
即 sin(π
12t＋
π
3 )<－
1
2.
又 0≤t<24，因此
7π
6 <
π
12t＋
π
3 <
11π
6 ，即 100)的图象的相邻两支截直线 y＝2 所得
线段长为
π
2 ，则 f (π
6 )的值是( )
A．－ 3 B.
3
3
C．1 D. 3
解析：选 D 由题意可知该函数的周期为
π
2 ，
∴
π
ω＝
π
2 ，ω＝2，f(x)＝tan 2x.
∴f (π
6 )＝tan
π
3 ＝ 3.
4．(2015·山东高考)要得到函数 y＝sin (4x－
π
3 )的图象，只需将函数 y＝sin 4x 的图
象( )
A．向左平移
π
12个单位 B．向右平移
π
12个单位
C．向左平移
π
3 个单位 D．向右平移
π
3 个单位
解析：选 B 由 y＝sin(4x－
π
3 )＝sin 4 (x－
π
12)得，只需将 y＝sin 4x 的图象向右平移
π
12个单位即可，故选 B.
5．(2015·邢台一模)先把函数 f(x)＝sin (x－
π
6 )的图象上各点的横坐标变为原来的
1
2
(纵坐标不变)，再把新得到的图象向右平移
π
3 个单位，得到 y＝g(x)的图象．当 x∈(π
4 ，
3π
4 )
时，函数 g(x)的值域为( )
A.(－
3
2 ，1] B.(－
1
2，1]
C.(－
3
2 ，
3
2 ) D．[－1,0)
解析：选 A 依题意得 g(x)＝sin[2(x－
π
3 )－
π
6 ]
＝sin(2x－
5π
6 )，
当 x∈(π
4 ，
3π
4 )时，2x－
5π
6 ∈(－
π
3 ，
2π
3 )，
sin(2x－
5π
6 )∈(－
3
2 ，1]，
此时 g(x)的值域是(－
3
2 ，1].
二保高考，全练题型做到高考达标
1．(2016·济南模拟)将函数 y＝cos 2x＋1 的图象向右平移
π
4 个单位，再向下平移 1 个
单位后得到的函数图象对应的解析式为( )
A．y＝sin 2x B．y＝sin 2x＋2
C．y＝cos 2x D．y＝cos(2x－
π
4 )
解析：选 A 将函数 y＝cos 2x＋1 的图象向右平移
π
4 个单位得到 y＝cos 2(x－
π
4 )＋1＝
sin 2x＋1，再向下平移 1 个单位得到 y＝sin 2x.
2．已知 f(x)＝sin 2x＋ 3cos 2x，在直角坐标系下利用“五点法”作 f(x)在区间
[－
π
3 ，
2π
3 ]上的图象，应描出的关键点的横坐标依次是( )
A．0，
π
2 ，π，
3π
2 ，2π
B．－
π
3 ，0，
π
2 ，
2π
3 ，π
C．－
π
3 ，－
π
6 ，
π
12，
π
3 ，
7π
12 ，
2π
3
D．－
π
3 ，0，
π
2 ，π，
3π
2 ，
5π
3
解 析 ： 选 C 由 题 意 知 f(x) ＝ 2sin(2x＋
π
3 )， 当 x∈ Error!Error! 时 ， 2x＋
π
3 ∈
[－
π
3 ，
5π
3 ]，当 2x＋
π
3 ＝－
π
3 ，0，
π
2 ，π，
3π
2 ，
5π
3 时，x 的值分别为－
π
3 ，－
π
6 ，
π
12，
π
3 ，
7π
12 ，
2π
3 .
3．(2016·浙江瑞安四校联考)已知函数 f(x)＝cos(ωx＋
π
4 )(x∈R，ω>0)的最小正周
期为 π，为了得到函数 g(x)＝cos ωx 的图象，只要将 y＝f(x)的图象( )
A．向左平移
π
8 个单位长度
B．向右平移
π
8 个单位长度
C．向左平移
π
4 个单位长度
D．向右平移
π
4 个单位长度
解析：选 B ∵T＝
2π
ω ＝π，∴ω＝2.即 f(x)＝cos(2x＋
π
4 )＝cos 2(x＋
π
8 )，因为 g(x)
＝cos 2x，所以为了得到 g(x)＝cos 2x 的图象只需将 f(x)＝cos(2x＋
π
4 )＝cos 2 (x＋
π
8 )的
图象向右平移
π
8 个单位长度．
4．(2015·贵阳监测)函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(x∈R)(ω > 0，|φ| <
π
2 )的部分图
象如图所示，如果 x1，x2∈(－
π
6 ，
π
3 )，且 f(x1)＝f(x2)，则 f(x1＋x2)＝( )
A.
1
2 B.
3
2
C.
2
2 D．1
解析：选 B 由图可知，
T
2＝
π
3 －(－
π
6 )＝
π
2 ，
则 T＝π，ω＝2，
又∵
－
π
6 ＋
π
3
2 ＝
π
12，∴f(x)的图象过点(π
12，1)，
即 sin(2 ×
π
12＋φ)＝1，得 φ＝
π
3 ，
∴f(x)＝sin(2x＋
π
3 ).
而 x1＋x2＝－
π
6 ＋
π
3 ＝
π
6 ，
∴f(x1＋x2)＝f(π
6 )＝sin(2 ×
π
6 ＋
π
3 )＝sin
2π
3 ＝
3
2 .
5．(2016·太原模拟)已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω > 0，|φ| <
π
2 )的最小正周
期是 π，若将 f(x)的图象向右平移
π
3 个单位后得到的图象关于原点对称，则函数 f(x)的图
象( )
A．关于直线 x＝
π
12对称 B．关于直线 x＝
5π
12 对称
C．关于点(π
12，0)对称 D．关于点(5π
12 ，0)对称
解析：选 B ∵f(x)的最小正周期为 π，∴
2π
ω ＝π，ω＝2，
∴ f(x) 的 图 象 向 右 平 移
π
3 个 单 位 后 得 到 g(x) ＝ sin[2(x－
π
3 )＋φ]＝ sin
(2x－
2π
3 ＋φ)的图象，
又 g(x)的图象关于原点对称，
∴－
2π
3 ＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝
2π
3 ＋kπ，k∈Z，
又|φ|<
π
2 ，∴φ＝－
π
3 ，
∴f(x)＝sin(2x－
π
3 ).
当 x＝
π
12时，2x－
π
3 ＝－
π
6 ，∴A，C 错误；
当 x＝
5π
12 时，2x－
π
3 ＝
π
2 ，∴B 正确，D 错误．
6．若函数 f(x)＝ 3sin(ωx－
π
3 )(ω＞0)的最小正周期为
π
2 ，则 f (π
3 )＝________.
解析：由 f(x)＝ 3sin(ωx－
π
3 )(ω＞0)的最小正周期为
π
2 ，得 ω＝4.所以 f (π
3 )
＝ 3sin(4 ×
π
3 －
π
3 )＝0.
答案：0
7．已知函数 f(x)＝3sin(ωx－
π
6 )(ω＞0)和 g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象完全相同，
若 x∈[0，
π
2 ]，则 f(x)的值域是________．
解析：f(x)＝3sin(ωx－
π
6 )＝3cos[π
2 －(ωx－
π
6 )]＝3cos(ωx－
2π
3 )，易知 ω＝2，
则 f(x)＝3sin(2x－
π
6 )，
∵x∈[0，
π
2 ]，∴－
π
6 ≤2x－
π
6 ≤
5π
6 ，
∴－
3
2≤f(x)≤3.
答案：[－
3
2，3]
8．函数 f(x)＝2sin ωx(ω>0)在[0，
π
4 ]上单调递增，且在这个区间上的最大值是 3，
那么 ω＝________.
解析：因为 f(x)＝2sin ωx(ω>0)在[0，
π
4 ]上单调递增，且在这个区间上的最大值是
3，所以 2sin
π
4 ω＝ 3，且 0<
π
4 ω<
π
2 ，因此 ω＝
4
3.
答案：
4
3
9．已知函数 f(x)＝ 2sin(2x－
π
4 )＋1.
(1)求它的振幅、最小正周期、初相；
(2)画出函数 y＝f(x)在[－
π
2 ，
π
2 ]上的图象．
解：(1)振幅为 2，最小正周期 T＝π，初相为－
π
4 .
(2)图象如图所示．
10．(2015·天津十二区联考)函数f(x)＝cos(πx＋φ)(0 < φ <
π
2 )的部分图象如图
所示．
(1)求 φ 及图中 x0 的值；
(2)设 g(x)＝f(x)＋f (x＋
1
3 )，求函数 g(x)在区间[－
1
2，
1
3]上的最大值和最小值．
解：(1)由题图得 f(0)＝
3
2 ，所以 cos φ＝
3
2 ，
因为 0<φ<
π
2 ，故 φ＝
π
6 .
由于 f(x)的最小正周期等于 2，
所以由题图可知 10，ω>0，0<|φ|<π)，根据条件①，
可知这个函数的周期是 12；
由②可知，f(2)最小，f(8)最大，且 f(8)－f(2)＝400，故该函数的振幅为 200；
由③可知，f(x)在[2,8]上单调递增，且 f(2)＝100，
所以 f(8)＝500.
根据上述分析可得，
2π
ω ＝12，故 ω＝
π
6 ，
且Error!解得Error!
根据分析可知，当 x＝2 时 f(x)最小，
当 x＝8 时 f(x)最大，
故 sin(2 ×
π
6 ＋φ)＝－1，且 sin(8 ×
π
6 ＋φ)＝1.
又因为 0<|φ|<π，故 φ＝－
5π
6 .
所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为
f(x)＝200sin(π
6 x－
5π
6 )＋300.
(2)由条件可知，200sin(π
6 x－
5π
6 )＋300≥400，
化简得 sin(π
6 x－
5π
6 )≥
1
2，
即 2kπ＋
π
6 ≤
π
6 x－
5π
6 ≤2kπ＋
5π
6 ，k∈Z，
解得 12k＋6≤x≤12k＋10，k∈Z.
因为 x∈N*，且 1≤x≤12，故 x＝6,7,8,9,10.
即只有 6,7,8,9,10 五个月份要准备 400 份以上的食物．
命题点一 同角三角函数的基本关系式及三角函数的诱导公式
命题指数：☆☆☆ 难度：中、低 题型：选择题、填空题
1．(2013·浙江高考)已知 α∈R，sin α＋2cos α＝
10
2 ，则 tan 2α＝( )
A.
4
3 B.
3
4
C．－
3
4 D．－
4
3
解析：选 C 两边平方，再同时除以 cos2α，得 3tan2α－8tan α－3＝0，tan α＝3
或 tan α＝－
1
3，代入 tan 2α＝
2tan α
1－tan2α，得到 tan 2α＝－
3
4.
2．(2014·全国卷Ⅰ)如图，圆 O 的半径为 1，A 是圆上的定点，P 是圆
上的动点，角 x 的始边为射线 OA，终边为射线 OP，过点 P 作直线 OA 的垂线，
垂足为 M.将点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函数 f(x)，则 y＝f(x)在[0，
π]的图象大致为( )
解析：选 B 由题意知，f(x)＝|cos x|·sin x，
当 x∈[0，
π
2 ]时，f(x)＝cos x·sin x＝
1
2sin 2x；
当 x∈(π
2 ，π]时，f(x)＝－cos x·sin x＝－
1
2sin 2x，故选 B.
3．(2015·四川高考)已知 sin α＋2cos α＝0，则 2sin αcos α－cos2α 的值是
________．
解析：由 sin α＋2cos α＝0，得 tan α＝－2.
所以 2sin αcos α－cos2α＝
2sin αcos α－cos2α
sin2α＋cos2α
＝
2tan α－1
tan2α＋1 ＝
－4－1
4＋1 ＝－1.
答案：－1
命题点二 三角函数的图象与性质命题指数：☆☆☆☆☆
难度：中题型：选择题、填空题、解答题
1．(2015·四川高考)下列函数中，最小正周期为π 且图象关于原点对称的函数是( )
A．y＝cos(2x＋
π
2 ) B．y＝sin(2x＋
π
2 )
C．y＝sin 2x＋cos 2x D．y＝sin x＋cos x
解析：选 A y＝cos(2x＋
π
2 )＝－sin 2x，最小正周期 T＝
2π
2 ＝π，且为奇函数，其图
象关于原点对称，故 A 正确；
y＝sin(2x＋
π
2 )＝cos 2x，最小正周期为 π，且为偶函数，其图象关于 y 轴对称，故 B
不正确；C、D 均为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，故 C、D 不正确．
2．(2015·陕西高考)如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 y＝
3sin(π
6 x＋φ)＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )
A．5 B．6
C．8 D．10
解析：选 C 根据图象得函数的最小值为 2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为 3＋k＝8.
3．(2014·福建高考)将函数 y＝sin x 的图象向左平移
π
2 个单位，得到函数 y＝f(x) 的
图象，则下列说法正确的是 ( )
A．y＝f(x)是奇函数
B．y＝f(x)的周期为 π
C．y＝f(x)的图象关于直线 x＝
π
2 对称
D．y＝f(x)的图象关于点(－
π
2 ，0)对称
解析：选 D 函数 y＝sin x 的图象向左平移
π
2 个单位后，得到函数 f(x)＝sin(x＋
π
2 )＝
cos x 的图象，f(x)＝cos x 为偶函数，A 错；f(x)＝cos x 的周期为 2π，B 错；因为f(π
2 )
＝cos
π
2 ＝0，所以 f(x)＝cos x 不关于直线 x＝
π
2 对称，C 错；函数 f(x)的对称中心是点
(kπ＋
π
2 ，0)k∈Z，D 对．
4．(2014·全国卷Ⅰ)在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos2x＋
π
6 ，④y＝tan
(2x－
π
4 )中，最小正周期为 π 的所有函数为( )
A．①②③ B．①③④
C．②④ D．①③
解析：选 A ①y＝cos|2x|，最小正周期为 π；②y＝|cos x|，最小正周期为 π；③y
＝cos(2x＋
π
6 )，最小正周期为 π；④y＝tan(2x－
π
4 )，最小正周期为
π
2 ，所以最小正周期
为 π 的所有函数为①②③，故选 A.
5．(2014·天津高考)已知函数f(x)＝ 3sin ωx＋cos ωx(ω>0)，x∈R.在曲线 y＝f(x)
与直线 y＝1 的交点中，若相邻交点距离的最小值为
π
3 ，则 f(x)的最小正周期为( )
A.
π
2 B.
2π
3
C．π D．2π
解析：选 C 由题意得函数 f(x)＝2sin(ωx＋
π
6 )(ω＞0)，又曲线 y＝f(x)与直线 y＝1
相邻交点距离的最小值是
π
3 ，由正弦函数的图象知，ωx＋
π
6 ＝
π
6 和 ωx＋
π
6 ＝
5π
6 对应的 x
的值相差
π
3 ，即
2π
3ω＝
π
3 ，解得 ω＝2，所以 f(x)的最小正周期是 T＝
2π
ω ＝π.
6．(2015·安徽高考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ 均为正的常数)的最小
正周期为 π，当 x＝
2π
3 时，函数 f(x)取得最小值，则下列结论正确的是( )
A．f(2)＜f(－2)＜f(0) B．f(0)＜f(2)＜f(－2)
C．f(－2)＜f(0)＜f(2) D．f(2)＜f(0)＜f(－2)
解析：选 A 由题意，得 T＝
2π
ω ＝π，∴ω＝2，
∴f(x)＝Asin(2x＋φ)，
而当 x＝
2π
3 时，2×
2π
3 ＋φ＝2kπ＋
3π
2 (k∈Z)，
∴φ＝2kπ＋
π
6 (k∈Z)，
又 φ>0，∴可取 f(x)＝Asin(2x＋
π
6 ).
当 2x＋
π
6 ＝2kπ＋
π
2 (k∈Z)，
即 x＝
π
6 ＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值．
下面只需判断 2，－2,0 与最近的最大值处的对称轴距离大小，距离越大，函数值越小，
当 k＝0 时，x＝
π
6 ，|0－
π
6 |≈0.52，|2－
π
6 |≈1.48，
当 k＝－1 时，x＝－
5π
6 ，|－2－(－
5π
6 )|≈0.6，
∴f(2)＜f(－2)＜f(0)．
7．(2015·浙江高考)函数 f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1 的最小正周期是________，最
小值是________．
解析：f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1
＝
1－cos 2x
2 ＋
1
2sin 2x＋1＝
3
2＋
2
2 sin(2x－
π
4 ).
故最小正周期 T＝
2π
2 ＝π.当 sin(2x－
π
4 )＝－1 时， f(x)取得最小值为
3
2－
2
2 ＝
3－ 2
2 .
答案：π
3－ 2
2
8．(2015·天津高考)已知函数 f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，x∈R.若函数 f(x)在区
间(－ ω，ω)内单调递增，且函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝ω 对称，则 ω 的值为
________．
解析：f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝ 2sin(ωx＋
π
4 )，
因为 f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线 x＝ω 对称，
所以 f(ω)必为一个周期上的最大值，所以有 ω·ω＋
π
4 ＝2kπ＋
π
2 ，k∈Z，所以 ω2
＝
π
4 ＋2kπ，k∈Z.
又 ω－(－ω)≤
2π
ω
2 ，即 ω2≤
π
2 ，所以 ω2＝
π
4 ，
所以 ω＝
π
2 .
答案：
π
2
9．(2014·北京高考)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ 是常数，A>0，ω>0)．若
f(x)在区间[π
6 ，
π
2 ]上具有单调性，且 f(π
2 )＝f(2π
3 )＝－f(π
6 )，则 f(x)的最小
正周期为________．
解析：∵f(x)在区间[π
6 ，
π
2 ]上具有单调性，且 f(π
2 )＝f(2π
3 )，∴x＝
π
2 和 x＝
2π
3
均不是 f(x)的极值点，其极值应该在 x＝
π
2 ＋
2π
3
2 ＝
7π
12 处取得，∵f(π
2 )＝－f(π
6 )，∴
x＝
π
6 也不是函数 f(x)的极值点，又 f(x)在区间 [π
6 ，
π
2 ]上具有单调性，∴x＝
π
6 －
(7π
12 －
π
2 )＝
π
12为 f(x)的另一个相邻的极值点，故函数 f(x)的最小正周期 T＝2×(7π
12 －
π
12)
＝π.
答案：π
10．(2014·北京高考)函数 f(x)＝3sin(2x＋
π
6 ) 的部分图象如图所示．
(1)写出 f(x)的最小正周期及图中 x0，y0 的值；
(2)求 f(x)在区间[－
π
2 ，－
π
12] 上的最大值和最小值．
解：(1)f(x)的最小正周期为
2π
ω ＝
2π
2 ＝π，x0＝
7π
6 ，y0＝3.
(2)因为 x∈[－
π
2 ，－
π
12]，所以 2x＋
π
6 ∈[－
5π
6 ，0].
于是，当 2x＋
π
6 ＝0，即 x＝－
π
12时，f(x)取得最大值 0；
当 2x＋
π
6 ＝－
π
2 ，即 x＝－
π
3 时，f(x)取得最小值－3.
11．(2015·重庆高考)已知函数 f(x)＝
1
2sin 2x－ 3cos2x.
(1)求 f(x)的最小正周期和最小值；
(2)将函数 f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数 g(x)
的图象．当 x∈[π
2 ，π]时，求 g(x)的值域．
解：(1)f(x)＝
1
2sin 2x－ 3cos2x
＝
1
2sin 2x－
3
2 (1＋cos 2x)
＝
1
2sin 2x－
3
2 cos 2x－
3
2
＝sin(2x－
π
3 )－
3
2 ，
因此 f(x)的最小正周期为 π，最小值为－
2＋ 3
2 .
(2)由条件可知 g(x)＝sin(x－
π
3 )－
3
2 .
当 x∈[π
2 ，π]时，有 x－
π
3 ∈[π
6 ，
2π
3 ]，
从而 y＝sin (x－
π
3 )的值域为[1
2，1 ]，
那么 g(x)＝sin(x－
π
3 )－
3
2 的值域为[1－ 3
2 ，
2－ 3
2 ].
故 g(x)在区间[π
2 ，π]上的值域是[1－ 3
2 ，
2－ 3
2 ].
12．(2014·福建高考)已知函数 f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－
1
2.
(1)若 0＜α＜
π
2 ，且 sin α＝
2
2 ，求 f(α)的值；
(2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间．
解：法一：(1)因为 0＜α＜
π
2 ，sin α＝
2
2 ，所以 cos α＝
2
2 .
所以 f(α)＝
2
2 ( 2
2 ＋
2
2 )－
1
2＝
1
2.
(2)因为 f(x)＝sin xcos x＋cos2x－
1
2
＝
1
2sin 2x＋
1＋cos 2x
2 －
1
2
＝
1
2sin 2x＋
1
2cos 2x
＝
2
2 sin(2x＋
π
4 )，
所以 T＝
2π
2 ＝π.
由 2kπ－
π
2 ≤2x＋
π
4 ≤2kπ＋
π
2 ，k∈Z，
得 kπ－
3π
8 ≤x≤kπ＋
π
8 ，k∈Z.
所以 f(x)的单调递增区间为[kπ－
3π
8 ，kπ＋
π
8 ]，k∈Z.
法二：f(x)＝sin xcos x＋cos2x－
1
2
＝
1
2sin 2x＋
1＋cos 2x
2 －
1
2
＝
1
2sin 2x＋
1
2cos 2x
＝
2
2 sin(2x＋
π
4 ).
(1)因为 0＜α＜
π
2 ，sin α＝
2
2 ，所以 α＝
π
4 ，
从而 f(α)＝
2
2 sin(2α＋
π
4 )＝
2
2 sin
3π
4 ＝
1
2.
(2)T＝
2π
2 ＝π.
由 2kπ－
π
2 ≤2x＋
π
4 ≤2kπ＋
π
2 ，k∈Z，
得 kπ－
3π
8 ≤x≤kπ＋
π
8 ，k∈Z.
所以 f(x)的单调递增区间为[kπ－
3π
8 ，kπ＋
π
8 ]，k∈Z.
第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；
cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β；
tan(α±β)＝
tan α ± tan β
1 ∓ tan αtan β.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin_αcos_α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan 2α＝
2tan α
1－tan2α.
3．公式的常用变形
(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；
(2)cos2α＝
1＋cos 2α
2 ，sin2α＝
1－cos 2α
2 ；
(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，
sin α±cos α＝ 2sin(α ±
π
4 ).
4．角的变换技巧
2α＝(α＋β)＋(α－β)；
α＝(α＋β)－β；β＝
α＋β
2 －
α－β
2 ；
α－β
2 ＝(α＋
β
2 )－(α
2 ＋β).
[小题体验]
1．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为( )
A．－
2
2 B.
2
2
C.
3
2 D．1
答案：B
2．(教材习题改编)已知 sin α＝－
3
5，α 是第四象限角，则 cos(α＋
π
4 )＝________.
答案：
7 2
10
3．(教材习题改编)已知 sin(α－π)＝
3
5，则 cos 2α＝________.
答案：
7
25
1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升
次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．
2．在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝
2
2 所对应的角 α＋β 不是唯一的．
3．在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值．
[小题纠偏]
1．已知 cos α＝－
3
5，α∈(π
2 ，π)，则 sin (α＋
π
3 )的值是________．
答案：
4－3 3
10
2．若锐角 α，β 满足 tan α＋tan β＝ 3－ 3tan αtan β，则 α＋β＝
________.
解析：由已知可得
tan α＋tan β
1－tan αtan β＝ 3，即 tan(α＋β)＝ 3.
又 α＋β∈(0，π)，所以 α＋β＝
π
3 .
答案：
π
3
考点一 三角函数公式的基本应用基础送分型考点——自主练透
[题组练透]
1．已知 cos θ＝－
5
13，θ∈(π，
3π
2 )，则 sin (θ－
π
6 )的值为________．
解析：由 cos θ＝－
5
13，θ∈(π，
3π
2 )得 sin θ＝－ 1－cos2θ＝－
12
13，故 sin
(θ－
π
6 )＝sin θcos
π
6 －cos θsin
π
6 ＝－
12
13×
3
2 －(－
5
13 )×
1
2＝
5－12 3
26 .
答案：
5－12 3
26
2．(2016·江西新余三校联考)已知 cos(π
3 －2x)＝－
7
8，则 sin (x＋
π
3 )的值为( )
A.
1
4 B.
7
8
C．±
1
4 D．±
7
8
解析：选 C 因为 cos[π－(π
3 －2x)]＝cos(2x＋
2π
3 )＝
7
8，所以有 sin2(x＋
π
3 )＝
1
2
(1－
7
8 )＝
1
16，从而求得 sin (x＋
π
3 )的值为±
1
4，故选 C.
3．(易错题)设 sin 2α＝－sin α，α∈(π
2 ，π)，则 tan 2α 的值是________．
解析：∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，∴cos α＝－
1
2，
又 α∈(π
2 ，π)，∴sin α＝
3
2 ，tan α＝－ 3，
∴tan 2α＝
2tan α
1－tan2α＝
－2 3
1－－ 32＝ 3.
答案： 3
4．(2014·江苏高考)已知 α∈(π
2 ，π)，sin α＝
5
5 .
(1)求 sin (π
4 ＋α)的值；
(2)求 cos (5π
6 －2α)的值．
解：(1)因为 α∈(π
2 ，π)，sin α＝
5
5 ，
所以 cos α＝－ 1－sin2α＝－
2 5
5 .
故 sin(π
4 ＋α)＝sin
π
4 cos α＋cos
π
4 sin α
＝
2
2 ×(－
2 5
5 )＋
2
2 ×
5
5
＝－
10
10 .
(2)由(1)知 sin 2α＝2sin αcos α＝2×
5
5 ×(－
2 5
5 )＝－
4
5，
cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×( 5
5 )2＝
3
5，
所以 cos(5π
6 －2α)＝cos
5π
6 cos 2α＋sin
5π
6 sin 2α
＝(－
3
2 )×
3
5＋
1
2×(－
4
5 )
＝－
4＋3 3
10 .
[谨记通法]
三角函数公式的应用策略
(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．如“题组练透”第 3
题易忽视 α 范围．
考点二 三角函数公式的逆用与变形应用重点保分型考点——师生共研
[典例引领]
1．(2016·贵阳监测)已知 sin(π
3 ＋α)＋sin α＝
4 3
5 ，则 sin (α＋
7π
6 )的值是( )
A．－
2 3
5 B.
2 3
5
C.
4
5 D．－
4
5
解析：选 D ∵sin(π
3 ＋α)＋sin α＝
4 3
5 ，
∴sin
π
3 cos α＋cos
π
3 sin α＋sin α＝
4 3
5 ，
∴
3
2sin α＋
3
2 cos α＝
4 3
5 ，
即
3
2 sin α＋
1
2cos α＝
4
5，
故 sin(α＋
7π
6 )＝sin αcos
7π
6 ＋cos αsin
7π
6
＝－( 3
2 sin α＋
1
2cos α)＝－
4
5.
2．计算
sin 110°sin 20°
cos2155°－sin2155°的值为( )
A．－
1
2 B.
1
2
C.
3
2 D．－
3
2
解析：选 B
sin 110°sin 20°
cos2155°－sin2155°＝
sin 70°sin 20°
cos 310°
＝
cos 20°sin 20°
cos 50° ＝
1
2sin 40°
sin 40° ＝
1
2.
[由题悟法]
三角函数公式活用技巧
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．
(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或 tan α－tan β)，tan(α＋β)(或 tan(α－β))
三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．
[即时应用]
1．(2015·贵阳监测)已知 sin(π
6 －α)＝
1
3，则 cos [2(π
3 ＋α)]的值是( )
A.
7
9 B.
1
3
C．－
1
3 D．－
7
9
解析：选 D ∵sin(π
6 －α)＝
1
3，∴cos(π
3 －2α)＝
cos[2(π
6 －α)]＝1－2sin2(π
6 －α)＝
7
9，
∴cos[2(π
3 ＋α)]＝cos(2π
3 ＋2α)＝cos[π－(π
3 －2α)]＝－cos(π
3 －2α)＝－
7
9.
2．在△ABC 中，若 tan Atan B＝ tan A＋tan B＋1, 则 cos C 的值为( )
A．－
2
2 B.
2
2
C.
1
2 D．－
1
2
解析：选 B 由 tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，可得
tan A＋tan B
1－tan Atan B＝－1，即 tan(A
＋B)＝－1，又 A＋B∈(0，π)，
所以 A＋B＝
3π
4 ，则 C＝
π
4 ，cos C＝
2
2 .
考点三 角的变换题点多变型考点——纵引横联
[典型母题]
已知 α，β 均为锐角，且 sin α＝
3
5，tan(α－β)＝－
1
3.
(1)求 sin(α－β)的值；
(2)求 cos β 的值．
[解] (1)∵α，β∈(0，
π
2 )，从而－
π
2 <α－β<
π
2 .
又∵tan(α－β)＝－
1
3<0，∴－
π
2 <α－β<0.
∴sin(α－β)＝－
10
10 .
(2)由(1)可得，cos(α－β)＝
3 10
10 .
∵α 为锐角，且 sin α＝
3
5，∴cos α＝
4
5.
∴cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝
4
5×
3 10
10 ＋
3
5×(－
10
10 )
＝
9 10
50 .
[类题通法]
利用角的变换求三角函数值的策略
(1)当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，
然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
[越变越明]
[变式 1] 在母题条件下，求 sin(α－2β)的值．
解：∵sin(α－β)＝－
10
10 ，cos(α－β)＝
3 10
10 ，
cos β＝
9 10
50 ，sin β＝
13 10
50 .
∴sin(α－2β)＝sin[(α－β)－β]＝sin(α－β)cos β－
cos(α－β)sin β＝－
24
25.
[变式 2] 若母题中“sin α＝
3
5”变为“tan α＝
3
5，”其他条件不变，求 tan(2α－β)
的值．
解：∵tan α＝
3
5，tan(α－β)＝－
1
3，
∴tan(2α－β)＝tan[α＋α－β]＝
tan α＋tanα－β
1－tan α tanα－β＝
3
5－
1
3
1＋
3
5 ×
1
3
＝
2
9.
[变式 3] 将母题变为：已知 0<β<
π
2 <α<π，且 cos(α－
β
2 )＝－
1
9，sin(α
2 －β)＝
2
3，求 cos
α＋β
2 的值．
解：∵0<β<
π
2 <α<π，
∴
π
4 <α－
β
2 <π，－
π
4 <
α
2 －β<
π
2 ，
∴sin(α－
β
2 )＝ 1－cos2(α－
β
2 )＝
4 5
9 ，
cos(α
2 －β)＝ 1－sin2(α
2 －β)＝
5
3 ，
∴cos
α＋β
2 ＝cos[(α－
β
2 )－(α
2 －β)]
＝cos(α－
β
2 )cos(α
2 －β)＋sin(α－
β
2 )sin(α
2 －β)
＝(－
1
9 )×
5
3 ＋
4 5
9 ×
2
3＝
7 5
27 .
解答本题利用了
α＋β
2 ＝(α－
β
2 )－(α
2 －β)，其关键是把“所求角”变成“已知
[破译玄机]
角”．
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2015·全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )
A．－
3
2 B.
3
2
C．－
1
2 D.
1
2
解析：选 D sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin
10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝
1
2，故选 D.
2．(2015·南宁二模)已知 sin 2α＝
1
3，则 cos2(α－
π
4 )＝( )
A．－
1
3 B.
1
3
C．－
2
3 D.
2
3
解析：选 D 依题意得 cos2(α－
π
4 )＝
1
2(cos α＋sin α)2＝
1
2(1＋sin 2α)＝
2
3.
3．已知 sin(π
2 ＋α)＝
1
2，－
π
2 ＜α＜0，则 cos (α－
π
3 )的值是( )
A.
1
2 B.
2
3
C．－
1
2 D．1
解析：选 C 由已知得 cos α＝
1
2，sin α＝－
3
2 ，
∴cos(α－
π
3 )＝
1
2cos α＋
3
2 sin α＝－
1
2.
4．(2015·邢台摸底)已知 tan(3π－ α)＝－
1
2，tan(β－α)＝－
1
3，则 tan β＝
________.
解析：依题意得 tan α＝
1
2，tan β＝tan[(β－α)＋α]＝
tanβ－α＋tan α
1－tanβ－α·tan α
＝
1
7.
答案：
1
7
5．(2016·贵阳摸底)设 sin α＝2cos α，则 tan 2α 的值为________．
解析：由题可知，tan α＝
sin α
cos α＝2，∴tan 2α＝
2tan α
1－tan2α＝－
4
3.
答案：－
4
3
二保高考，全练题型做到高考达标
1．(2015·唐山一模)已知 2sin 2α＝1＋cos 2α，则 tan 2α＝( )
A．－
4
3 B.
4
3
C．－
4
3或 0 D.
4
3或 0
解析：选 D ∵Error!
∴Error!或Error!∴tan 2α＝0 或 tan 2α＝
4
3.
2．已知 cos(x－
π
6 )＝－
3
3 ，则 cos x＋cos(x－
π
3 )＝( )
A．－
2 3
3 B．±
2 3
3
C．－1 D．±1
解析：选 C ∵cos(x－
π
6 )＝－
3
3 ，
∴cos x＋cos(x－
π
3 )＝cos x＋cos xcos
π
3 ＋sin xsin
π
3 ＝
3
2cos x＋
3
2 sin x＝ 3
( 3
2 cos x＋
1
2sin x)
＝ 3cos(x－
π
6 )＝ 3×(－
3
3 )＝－1.
3．(2016·东北三省三校联考)已知 sin α＋cos α＝
1
3，则 sin2(π
4 －α)＝( )
A.
1
18 B.
17
18
C.
8
9 D.
2
9
解析：选 B 由 sin α＋cos α＝
1
3两边平方得 1＋sin 2α＝
1
9，解得 sin 2α＝－
8
9，所
以 sin2(π
4 －α)＝
1－cos(π
2 －2α)
2 ＝
1－sin 2α
2 ＝
1＋
8
9
2 ＝
17
18.
4．已知 sin(α－
π
4 )＝
7 2
10 ，cos 2α＝
7
25，则 sin α＝( )
A.
4
5 B．－
4
5
C.
3
5 D．－
3
5
解析：选 C 由 sin(α－
π
4 )＝
7 2
10 得 sin α－cos α＝
7
5， ①
由 cos 2α＝
7
25得 cos2α－sin2α＝
7
25，
所以(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)＝
7
25， ②
由①②可得 cos α＋sin α＝－
1
5， ③
由①③可得 sin α＝
3
5.
5．(2016·江西九校联考)已知锐角 α，β 满足 sin α－cos α＝
1
6，tan α＋tan β
＋ 3tan αtan β＝ 3，则 α，β 的大小关系是( )
A．α<
π
4 ＜β B．β<
π
4 <α
C.
π
4 <α<β D.
π
4 <β<α
解析：选 B ∵α 为锐角，sin α－cos α＝
1
6>0，∴α>
π
4 .
又 tan α＋tan β＋ 3tan αtan β＝ 3，
∴tan(α＋β)＝
tan α＋tan β
1－tan αtan β＝ 3，
∴α＋β＝
π
3 ，又 α>
π
4 ，∴β<
π
4 <α.
6．(2015·河南统考)已知 tan α，tan β 是 lg(6x2－5x＋2)＝0 的两个实根，则 tan(α
＋β)＝________.
解析：由 lg(6x2－5x＋2)＝0，得 6x2－5x＋1＝0，
∴由题意知 tan α＋tan β＝
5
6，tan α·tan β＝
1
6，
∴tan(α＋β)＝
tan α＋tan β
1－tan αtan β＝
5
6
1－
1
6
＝1.
答案：1
7．计算
sin250°
1＋sin 10°＝________.
解析：
sin250°
1＋sin 10°＝
1－cos 100°
21＋sin 10°＝
1－cos90°＋10°
21＋sin 10° ＝
1＋sin 10°
21＋sin 10°＝
1
2.
答案：
1
2
8．设 α 为锐角，若 cos(α＋
π
6 )＝
4
5，则 sin (2α＋
π
12)的值为________．
解析：因为 α 为锐角，cos(α＋
π
6 )＝
4
5，
所以 sin(α＋
π
6 )＝
3
5，sin 2(α＋
π
6 )＝
24
25，
cos 2(α＋
π
6 )＝
7
25，
所以 sin(2α＋
π
12)＝sin[2(α＋
π
6 )－
π
4 ]
＝
24
25×
2
2 －
7
25×
2
2 ＝
17 2
50 .
答案：
17 2
50
9．已知 α∈(0，
π
2 )，tan α＝
1
2，求 tan 2α 和 sin (2α＋
π
3 )的值．
解：∵tan α＝
1
2，∴tan 2α＝
2tan α
1－tan2α＝
2 ×
1
2
1－
1
4
＝
4
3，
且
sin α
cos α＝
1
2，即 cos α＝2sin α，
又 sin2α＋cos2α＝1，∴5sin2α＝1，而 α∈(0，
π
2 )，
∴sin α＝
5
5 ，cos α＝
2 5
5 .
∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×
5
5 ×
2 5
5 ＝
4
5，
cos 2α＝cos2α－sin2α＝
4
5－
1
5＝
3
5，
∴sin(2α＋
π
3 )＝sin 2αcos
π
3 ＋cos 2αsin
π
3 ＝
4
5×
1
2＋
3
5×
3
2 ＝
4＋3 3
10 .
10．已知 α∈(π
2 ，π)，且 sin
α
2 ＋cos
α
2 ＝
6
2 .
(1)求 cos α 的值；
(2)若 sin(α－β)＝－
3
5，β∈(π
2 ，π)，求 cos β 的值．
解：(1)因为 sin
α
2 ＋cos
α
2 ＝
6
2 ，
两边同时平方，得 sin α＝
1
2.
又
π
2 <α<π，所以 cos α＝－ 1－sin2α＝－
3
2 .
(2)因为
π
2 <α<π，
π
2 <β<π，
所以－
π
2 <α－β<
π
2 .
又由 sin(α－β)＝－
3
5，得 cos(α－β)＝
4
5.
所以 cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝－
3
2 ×
4
5＋
1
2×(－
3
5 )＝－
4 3＋3
10 .
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．化简 sin2(α－
π
6 )＋sin2(α＋
π
6 )－sin2α 的结果是________．
解析：法一：原式＝
1－cos(2α－
π
3 )
2 ＋
1－cos(2α＋
π
3 )
2 －sin2α
＝1－
1
2[cos(2α－
π
3 )＋cos(2α＋
π
3 )]－sin2α＝1－cos 2α·cos
π
3 －sin2α＝1－
cos 2α
2 －
1－cos 2α
2 ＝
1
2.
法二：令 α＝0，则原式＝
1
4＋
1
4＝
1
2.
答案：
1
2
2．(2016·合肥质检)已知 cos(π
6 ＋α)cos(π
3 －α)＝－
1
4，α∈(π
3 ，
π
2 ).
(1)求 sin 2α 的值；
(2)求 tan α－
1
tan α的值．
解：(1)cos(π
6 ＋α)·cos(π
3 －α)＝cos(π
6 ＋α)·sin(π
6 ＋α)＝
1
2sin(2α＋
π
3 )＝－
1
4，
即 sin(2α＋
π
3 )＝－
1
2.
∵α∈(π
3 ，
π
2 )，∴2α＋
π
3 ∈(π，
4π
3 )，
∴cos(2α＋
π
3 )＝－
3
2 ，
∴ sin 2α＝sin[(2α＋
π
3 )－
π
3 ]
＝sin(2α＋
π
3 )cos
π
3 －cos(2α＋
π
3 )sin
π
3 ＝
1
2.
(2)∵α∈(π
3 ，
π
2 )，∴2α∈(2π
3 ，π)，
又由(1)知 sin 2α＝
1
2，∴cos 2α＝－
3
2 .
∴ tan α －
1
tan α＝
sin α
cos α－
cos α
sin α＝
sin2α－cos2α
sin αcos α＝
－2cos 2α
sin 2α ＝ － 2×
－
3
2
1
2
＝2 3.
第六节 简单的三角恒等变换
考点一 三角函数式的化简基础送分型考点——自主练透
[题组练透]
1．化简：
sin 2α－2cos2α
sin(α－
π
4 ) ＝________.
解析：原式＝
2sin αcos α－2cos2α
2
2 sin α－cos α
＝2 2cos α.
答案：2 2cos α
2．(易错题)化简：sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－
1
2cos 2α·cos 2β＝________.
解析：法一：原式＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－
1
2·(2cos2α－1)·(2cos2β－1)
＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－
1
2(4cos2α·cos2β－2cos2α－2cos2β＋1)
＝sin2α·sin2β－cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β－
1
2
＝sin2α·sin2β＋cos2α·sin2β＋cos2β－
1
2
＝sin2β＋cos2β－
1
2＝1－
1
2＝
1
2.
法二：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)
原式＝
1－cos 2α
2 ·
1－cos 2β
2 ＋
1＋cos 2α
2 ·
1＋cos 2β
2 －
1
2cos 2α·cos 2β
＝
1
4(1＋cos 2α·cos 2β－cos 2α－cos 2β)＋
1
4(1＋cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋
cos 2β)－
1
2cos 2α·cos 2β＝
1
2.
答案：
1
2
3．化简：
2cos4x－2cos2x＋
1
2
2tan(π
4 －x)sin2(π
4 ＋x).
解：原式＝
－2sin2xcos2x＋
1
2
2sin(π
4 －x)cos2(π
4 －x)
cos(π
4 －x)
＝
1
21－sin22x
2sin(π
4 －x)cos(π
4 －x)＝
1
2cos22x
sin(π
2 －2x)＝
1
2cos 2x.
[谨记通法]
1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则
2．三角函数式化简的方法
弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函
数式时，一般需要升次．如“题组练透”第 2 题．
考点二 三角函数式的求值常考常新型考点——多角探明
[命题分析]
研究三角函数式的求值，解题的关键都是找出条件中的角与结论中的角的联系，依据函
数名称的变换特点，选择合适的公式求解．
常见的命题角度有：
(1)给值求值；
(2)给角求值；
(3)给值求角．
[题点全练]
角度一：给值求值
1．(2015·广东高考)已知 tan α＝2.
(1)求 tan (α＋
π
4 )的值；
(2)求
sin 2α
sin2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．
解：(1)tan(α＋
π
4 )＝
tan α＋tan
π
4
1－tan αtan
π
4
＝
2＋1
1－2 × 1＝－3.
(2)
sin 2α
sin2α＋sin αcos α－cos 2α－1
＝
2sin αcos α
sin2α＋sin αcos α－2cos2α
＝
2tan α
tan2α＋tan α－2＝
2 × 2
4＋2－2＝1.
角度二：给角求值
2．(2016·衡水中学二调)
3
cos 10°－
1
sin 170°＝( )
A．4 B．2
C．－2 D．－4
解析：选 D
3
cos 10°－
1
sin 170°＝
3
cos 10°－
1
sin 10°＝
3sin 10°－cos 10°
sin 10°cos 10° ＝
2sin10°－30°
1
2sin 20°
＝
－2sin 20°
1
2sin 20°
＝－4.
3．化简：sin 50°(1＋ 3tan 10°)＝________.
解析：sin 50°(1＋ 3tan 10°)
＝sin 50°(1＋ 3·
sin 10°
cos 10°)
＝sin 50°×
cos 10°＋ 3sin 10°
cos 10°
＝sin 50°×
2(1
2cos 10°＋
3
2 sin 10°)
cos 10°
＝
2sin 50°·cos 50°
cos 10° ＝
sin 100°
cos 10° ＝
cos 10°
cos 10°＝1.
答案：1
角度三：给值求角
4．(2015·菏泽二模)已知α，β∈(0，π)，且 tan(α－β)＝
1
2，tan β＝－
1
7，则 2α
－β＝________.
解 析 ： 因 为 tan α ＝ tan[(α － β) ＋ β] ＝
tanα－β＋tan β
1－tanα－βtan β＝
1
2－
1
7
1－
1
2 × (－
1
7 )＝
1
3<1，所以 0<α<
π
4 ，
又因为 tan 2α＝
2tan α
1－tan2α＝
2 ×
1
3
1－(1
3 )2
＝
3
4<1，
所以 0<2α<
π
4 ，
所以 tan(2α－β)＝
tan 2α－tan β
1＋tan 2αtan β＝
3
4－(－
1
7 )
1＋
3
4 × (－
1
7 )＝1.
因为 0<β<π，所以－π<2α－β<
π
4 ，
所以 2α－β＝－
3π
4 .
答案：－
3π
4
[方法归纳]
三角函数求值的 3 类求法
(1)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题
关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
(2)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观
察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊
角并且消除非特殊角的三角函数而得解．
(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，
最后确定角．
考点三 三角恒等变换的综合应用重点保分型考点——师生共研
[典例引领]
(2015·天津高考)已知函数 f(x)＝sin2x－sin2(x－
π
6 )，x∈R.
(1)求 f(x)的最小正周期；
(2)求 f(x)在区间[－
π
3 ，
π
4 ]上的最大值和最小值．
解：(1)由已知，有
f(x)＝
1－cos 2x
2 －
1－cos(2x－
π
3 )
2
＝
1
2(1
2cos 2x＋
3
2 sin 2x)－
1
2cos 2x
＝
3
4 sin 2x－
1
4cos 2x＝
1
2sin(2x－
π
6 ).
所以 f(x)的最小正周期 T＝
2π
2 ＝π.
(2)因为 f(x)在区间[－
π
3 ，－
π
6 ]上是减函数，
在区间[－
π
6 ，
π
4 ]上是增函数，
且 f(－
π
3 )＝－
1
4，f (－
π
6 )＝－
1
2，f (π
4 )＝
3
4 ，
所以 f(x)在区间[－
π
3 ，
π
4 ]上的最大值为
3
4 ，最小值为－
1
2.
[由题悟法]
三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数
化为 y＝Asin(ωx＋φ)的形式再研究其性质，解题时注意观察函数的角、名、结构等特征，
注意利用整体思想解决相关问题．
[即时应用]
(2016·沈阳质检)已知函数 f(x)＝2sin xsin(x＋
π
6 ).
(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)当 x∈[0，
π
2 ]时，求函数 f(x)的值域．
解 ： (1)f(x) ＝ 2sin x( 3
2 sin x＋
1
2cos x)＝ 3×
1－cos 2x
2 ＋
1
2sin 2x ＝ sin
(2x－
π
3 )＋
3
2 .
所以函数 f(x)的最小正周期为 T＝π.
由－
π
2 ＋2kπ≤2x－
π
3 ≤
π
2 ＋2kπ，k∈Z，
解得－
π
12＋kπ≤x≤
5π
12 ＋kπ，k∈Z，
所以函数 f(x)的单调递增区间是[－
π
12＋kπ，
5π
12 ＋kπ]，
k∈Z.
(2)当 x∈[0，
π
2 ]时，2x－
π
3 ∈[－
π
3 ，
2π
3 ]，
sin(2x－
π
3 )∈[－
3
2 ，1]，
f(x)∈[0，1＋
3
2 ].
故 f(x)的值域为[0，1＋
3
2 ].
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2015·济南一模)若
cos 2α
sin(α＋
7π
4 )＝－
2
2 ，则 sin α＋cos α 的值为( )
A．－
2
2 B．－
1
2
C.
1
2 D.
7
2
解析：选 C 由已知得
cos2α－sin2α
2
2 sin α－cos α
＝
cos α＋sin αcos α－sin α
2
2 sin α－cos α
＝－
2
2 ，
整理得 sin α＋cos α＝
1
2.
2．已知 sin 2α＝
3
5(π
2 < 2α < π)，tan(α－β)＝
1
2，则 tan(α＋β)等于( )
A．－2 B．－1
C．－
2
11 D.
2
11
解析：选 A 由题意，可得 cos 2α＝－
4
5，则 tan 2α＝－
3
4，tan(α＋β)＝tan[2α－
(α－β)]＝
tan 2α－tanα－β
1＋tan 2αtanα－β＝－2.
3．(2016·贵州七校联考)已知角θ 的顶点与原点重合，始边与 x 轴正半轴重合，终边
在直线 y＝2x 上，则 sin (2θ＋
π
4 )的值为( )
A．－
7 2
10 B.
7 2
10
C．－
2
10 D.
2
10
解析：选 D 由三角函数的定义得 tan θ＝2，cos θ＝±
5
5 ，
所以 tan 2θ＝
2tan θ
1－tan2θ＝－
4
3，cos 2θ＝2cos2θ－1＝－
3
5，
所以 sin 2θ＝cos 2θtan 2θ＝
4
5，
所以 sin(2θ＋
π
4 )＝
2
2 (sin 2θ＋cos 2θ)
＝
2
2 ×(4
5－
3
5 )＝
2
10 .
4．(2016·东北三省四市教研联合体)已知 tan(3π－x)＝2，则
2cos2
x
2－sin x－1
sin x＋cos x ＝
________.
解析：由诱导公式得 tan(3π－x)＝－tan x＝2，
故
2cos2
x
2－sin x－1
sin x＋cos x ＝
cos x－sin x
sin x＋cos x＝
1－tan x
tan x＋1＝－3.
答案：－3
5.
tan(π
4 ＋α)·cos 2α
2cos2(π
4 －α) 的值为________．
解析：原式＝
sin(π
4 ＋α)·cos 2α
2sin2(π
4 ＋α)cos(π
4 ＋α)
＝
cos 2α
2sin(π
4 ＋α)cos(π
4 ＋α)
＝
cos 2α
sin(π
2 ＋2α)＝
cos 2α
cos 2α＝1.
答案：1
二保高考，全练题型做到高考达标
1．若 tan θ＝ 3，则
sin 2θ
1＋cos 2θ＝( )
A. 3 B．－ 3
C.
3
3 D．－
3
3
解析：选 A
sin 2θ
1＋cos 2θ＝
2sin θcos θ
1＋2cos2θ－1 ＝tan θ＝ 3.
2．已知锐角 α 满足 cos 2α＝cos(π
4 －α)，则 sin 2α 等于( )
A.
1
2 B．－
1
2
C.
2
2 D．－
2
2
解析：选 A ∵cos 2α＝cos(π
4 －α)，
∴cos2α－sin2α＝cos
π
4 cos α＋sin
π
4 sin α.
∵α 为锐角，
∴cos α－sin α＝
2
2 ， ∴sin 2α＝
1
2.
3.
2cos 10°－sin 20°
sin 70° 的值是( )
A.
1
2 B.
3
2
C. 3 D. 2
解析：选 C 原式＝
2cos30°－20°－sin 20°
sin 70° ＝
2cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°－sin 20°
sin 70°
＝
3cos 20°
cos 20° ＝ 3.
4．在斜三角形 ABC 中，sin A＝－ 2cos B·cos C，且 tan B·tan C＝1－ 2，则角
A 的值为( )
A.
π
4 B.
π
3
C.
π
2 D.
3π
4
解析：选 A 由题意知，sin A＝－ 2cos B·cos C＝sin(B＋C)＝sin B·cos C＋cos
B·sin C，
在等式－ 2cos B·cos C＝sin B·cos C＋cos B·sin C 两边同除以 cos B·cos C 得 tan
B＋tan C＝－ 2，
又 tan(B＋C)＝
tan B＋tan C
1－tan Btan C＝－1＝－tan A，
即 tan A＝1，所以 A＝
π
4 .
5．(2016·成都一诊)若 sin 2α＝
5
5 ，sin(β－α)＝
10
10 ，且 α∈[π
4 ，π]，β∈
[π，
3π
2 ]，则 α＋β 的值是( )
A.
7π
4 B.
9π
4
C.
5π
4 或
7π
4 D.
5π
4 或
9π
4
解析：选 A 因为 α∈[π
4 ，π]，所以 2α∈[π
2 ，2π]，
又 sin 2α＝
5
5 ，所以 2α∈[π
2 ，π]，α∈[π
4 ，
π
2 ]，
故 cos 2α＝－
2 5
5 .
又 β∈[π，
3π
2 ]，所以 β－α∈[π
2 ，
5π
4 ]，
故 cos(β－α)＝－
3 10
10 .
所以 cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]
＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α)
＝－
2 5
5 ×(－
3 10
10 )－
5
5 ×
10
10 ＝
2
2 ，
且 α＋β∈[5π
4 ，2π]，故 α＋β＝
7π
4 .
6．已知 cos(α＋β)＝
1
6，cos(α－β)＝
1
3，则 tan αtan β 的值为________．
解析：因为 cos(α＋β)＝
1
6，
所以 cos αcos β－sin αsin β＝
1
6.①
因为 cos(α－β)＝
1
3，
所以 cos αcos β＋sin αsin β＝
1
3.②
①＋②得 cos αcos β＝
1
4.
②－①得 sin αsin β＝
1
12.
所以 tan αtan β＝
sin αsin β
cos αcos β＝
1
3.
答案：
1
3
7．(2015·北京西城一模)若锐角 α，β 满足(1＋ 3tan α)(1＋ 3tan β)＝4，则
α＋β＝________.
解析：因为(1＋ 3tan α)(1＋ 3tan β)＝4，
所以 1＋ 3(tan α＋tan β)＋3tan αtan β＝4，
即 3(tan α＋tan β)＝3－3tan αtan β＝3(1－tan αtan β)，
即 tan α＋tan β＝ 3(1－tan αtan β)．
∴tan(α＋β)＝
tan α＋tan β
1－tan αtan β＝ 3.
又∵α，β 为锐角，∴α＋β＝
π
3 .
答案：
π
3
8.
3tan 12°－3
4cos212°－2sin 12°＝________.
解析：原式＝
3·
sin 12°
cos 12°－3
22cos212°－1sin 12°
＝
2 3(1
2sin 12°－
3
2 cos 12°)
cos 12°
2cos 24°sin 12° ＝
2 3sin－48°
2cos 24°sin 12°cos 12°
＝
－2 3sin 48°
sin 24°cos 24°＝
－2 3sin 48°
1
2sin 48°
＝－4 3.
答案：－4 3
9．已知 tan α＝－
1
3，cos β＝
5
5 ，α∈(π
2 ，π)，β∈(0，
π
2 )，求 tan(α＋β)的
值，并求出 α＋β 的值．
解：由 cos β＝
5
5 ，β∈(0，
π
2 )，
得 sin β＝
2 5
5 ，tan β＝2.
∴tan(α＋β)＝
tan α＋tan β
1－tan αtan β＝
－
1
3＋2
1＋
2
3
＝1.
∵α∈(π
2 ，π)，β∈(0，
π
2 )，
∴
π
2 <α＋β<
3π
2 ，
∴α＋β＝
5π
4 .
10．已知函数 f(x)＝Acos(x
4＋
π
6 )，x∈R，且 f(π
3 )＝ 2.
(1)求 A 的值；
(2)设 α，β∈[0，
π
2 ]，f(4α＋
4π
3 )＝－
30
17，f(4β－
2π
3 )＝
8
5，求 cos(α＋β)的
值．
解：(1)因为 f(π
3 )＝Acos(π
12＋
π
6 )＝Acos
π
4 ＝
2
2 A＝ 2，所以 A＝2.
(2)由 f(4α＋
4π
3 )＝2cos(α＋
π
3 ＋
π
6 )
＝2cos(α＋
π
2 )＝－2sin α＝－
30
17，
得 sin α＝
15
17，又 α∈[0，
π
2 ]，
所以 cos α＝
8
17.
由 f (4β－
2π
3 )＝2cos(β－
π
6 ＋
π
6 )
＝2cos β＝
8
5，
得 cos β＝
4
5，又 β∈[0，
π
2 ]，
所以 sin β＝
3
5，
所以 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝
8
17×
4
5－
15
17×
3
5＝－
13
85.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．cos
π
9 ·cos
2π
9 ·cos(－
23π
9 )＝( )
A．－
1
8 B．－
1
16
C.
1
16 D.
1
8
解析：选 A cos
π
9 ·cos
2π
9 ·cos(－
23π
9 )
＝cos 20°·cos 40°·cos 100°
＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°
＝－
sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°
sin 20°
＝－
1
2sin 40°·cos 40°·cos 80°
sin 20°
＝－
1
4sin 80°·cos 80°
sin 20°
＝－
1
8sin 160°
sin 20° ＝－
1
8sin 20°
sin 20° ＝－
1
8.
2．已知角 α 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，终边经过点 P(－3，
3)．
(1)求 sin 2α－tan α 的值；
(2)若函数 f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α，求函数 g(x)＝ 3f(π
2 －2x)
－2f 2(x)在区间[0，
2π
3 ]上的值域．
解：(1)∵角 α 的终边经过点 P(－3， 3)，
∴sin α＝
1
2，cos α＝－
3
2 ，tan α＝－
3
3 .
∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－
3
2 ＋
3
3 ＝－
3
6 .
(2)∵f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α＝cos x，x∈R，
∴g(x)＝ 3cos(π
2 －2x)－2cos2x＝ 3sin 2x－1－cos 2x＝2sin(2x－
π
6 )－1，
∵0≤x≤
2π
3 ，∴－
π
6 ≤2x－
π
6 ≤
7π
6 .
∴－
1
2≤sin(2x－
π
6 )≤1，∴－2≤2sin(2x－
π
6 )－1≤1，
故函数 g(x)＝ 3f(π
2 －2x)－2f2(x)在区间[0，
2π
3 ]上的值域是[－2,1]．
第七节 正弦定理和余弦定理
1．正弦定理
a
sin A＝
b
sin B＝
c
sin C＝2R，其中 R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：
(1)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；
(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C.
2．余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦定理可以
变形：cos A＝
b2＋c2－a2
2bc ，cos B＝
a2＋c2－b2
2ac ，cos C＝
a2＋b2－c2
2ab .
3．三角形中常用的面积公式
(1)S＝
1
2ah(h 表示边 a 上的高)；
(2)S＝
1
2bcsin A＝
1
2acsin B＝
1
2absin C；
(3)S＝
1
2r(a＋b＋c)(r 为三角形的内切圆半径)．
[小题体验]
1．(2015·广东高考)设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 a＝2，c＝2
3，cos A＝
3
2 且 b＜c，则 b＝( )
A．3 B．2 2
C．2 D. 3
解析：选 C 由 a2＝b2＋c2－2bccos A，得 4＝b2＋12－6b，解得 b＝2 或 4.又 b＜c，∴
b＝2.
2．在△ABC 中，a＝3 2，b＝2 3，cos C＝
1
3，则△ABC 的面积为( )
A．3 3 B．2 3
C．4 3 D. 3
答案：C
3．(教材习题改编)在△ABC 中，已知 A＝60°，B＝45°，c＝20，则 a＝________.
答案：10(3 2－ 6)
1．由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判
断．
2．在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏
解．
3．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制．
[小题纠偏]
1．在△ABC 中，若 a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有( )
A．无解 B．两解
C．一解 D．解的个数不确定
解析：选 B ∵
a
sin A＝
b
sin B，
∴sin B＝
b
asin A＝
24
18sin 45°，∴sin B＝
2 2
3 .
又∵a0，∴sin A＝1，即 A＝
π
2 .
[答案] B
[类题通法]
判定三角形形状的 2 种常用途径
[提醒] 在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在
变形过程中要注意角 A，B，C 的范围对三角函数值的影响．
[越变越明]
[变式 1] 母题的条件变为“若 2sin Acos B＝sin C”，那么△ABC 一定是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
解析：选 B 法一：由已知得 2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin
B，即 sin(A－B)＝0，因为－π0)，由余弦定理可得
cos C＝
a2＋b2－c2
2ab ＝
25k2＋121k2－169k2
2 × 5 × 11k2 ＝－
23
110<0，
又∵C∈(0，π)，∴C∈(π
2 ，π)，
∴△ABC 为钝角三角形．
本题以比例形式呈现，求解时，常根据比例的性质引入 k，从而转化三边长，再利用正、
余弦定理求解．
考点三 与三角形面积有关的问题重点保分型考点——师生共研
[典例引领]
(2015·全国卷Ⅱ)△ABC 中，D 是 BC 上的点，AD 平分∠BAC，△ABD 面积是△ADC 面积
的 2 倍．
(1)求
sin B
sin C；
(2)若 AD＝1，DC＝
2
2 ，求 BD 和 AC 的长．
[破译玄机]
解：(1)S△ABD＝
1
2AB·ADsin∠BAD，
S△ADC＝
1
2AC·ADsin∠CAD.
因为 S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，
所以 AB＝2AC.
由正弦定理，得
sin B
sin C＝
AC
AB＝
1
2.
(2)因为 S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以 BD＝ 2.
在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理，知
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，
AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.
故 AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6.
由(1)，知 AB＝2AC，所以 AC＝1.
[由题悟法]
三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式 S＝
1
2absin C＝
1
2acsin B＝
1
2bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一
个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
[即时应用]
(2015·湖南四月调研)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边长分别为 a，b，c，且(2b－
c)cos A＝acos C.
(1)求角 A 的大小；
(2)若 a＝3，b＝2c，求△ABC 的面积．
解：(1)由(2b－c)cos A＝acos C，
得 2sin Bcos A＝sin Acos C＋sin Ccos A，
即 2sin Bcos A＝sin(A＋C)，
所以 2sin Bcos A＝sin B，
因为 01.
∴角 B 不存在，即满足条件的三角形不存在．
3．(2015·郑州质量预测)已知a，b，c 分别为△ABC 三个内角 A，B，C 的对边，且(b－
c)(sin B＋sin C)＝(a－ 3c)sin A，则角 B 的大小为( )
A．30° B．45°
C．60° D．120°
解析：选 A 由正弦定理
a
sin A＝
b
sin B＝
c
sin C及(b－c)·(sin B＋sin C)＝(a－ 3
c)sinA 得(b－c)(b＋c)＝(a－ 3c)a，即 b2－c2＝a2－ 3ac，所以 a2＋c2－b2＝ 3ac，又
因为 cos B＝
a2＋c2－b2
2ac ，所以 cos B＝
3
2 ，所以 B＝30°.
4．(2016·南昌一模)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 c＝1，B＝
45°，cos A＝
3
5，则 b 等于( )
A.
5
3 B.
10
7
C.
5
7 D.
5 2
14
解析：选 C 因为 cos A＝
3
5，
所以 sin A＝ 1－cos2A＝ 1－(3
5 )2＝
4
5，
所以 sin C＝sin[180°－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝
4
5cos 45°
＋
3
5sin 45°＝
7 2
10 .
由正弦定理
b
sin B＝
c
sin C，得 b＝
1
7 2
10
×sin 45°＝
5
7.
5．已知△ABC 中，内角 A，B，C 所对边长分别为 a，b，c，若 A＝
π
3 ，b＝2acos B，c＝
1，则△ABC 的面积等于( )
A.
3
2 B.
3
4
C.
3
6 D.
3
8
解析：选 B 由正弦定理得 sin B＝2sin Acos B，
故 tan B＝2sin A＝2sin
π
3 ＝ 3，又 B∈(0，π)，所以 B＝
π
3 ，
又 A＝B＝
π
3 ，则△ABC 是正三角形，
所以 S△ABC＝
1
2bcsin A＝
1
2×1×1×
3
2 ＝
3
4 .
6．(2015·北京高考)在△ABC 中，a＝4，b＝5，c＝6，则
sin 2A
sin C ＝________.
解析：由正弦定理得
sin A
sin C＝
a
c，
由余弦定理得 cos A＝
b2＋c2－a2
2bc ，
∵a＝4，b＝5，c＝6，
∴
sin 2A
sin C ＝
2sin Acos A
sin C ＝2·
sin A
sin C·cos A
＝2×
4
6×
52＋62－42
2 × 5 × 6＝1.
答案：1
7．(2016·南昌二中模拟)在△ABC 中，如果 cos(B＋A)＋2sin Asin B＝1，那么△ABC
的形状是________．
解析：∵cos(B＋A)＋2sin Asin B＝1，∴cos Acos B＋sin Asin B＝1，∴cos(A－B)＝
1，在△ABC 中，A－B＝0⇒A＝B，所以此三角形是等腰三角形．
答案：等腰三角形
8．(2015·丰台一模)已知△ABC 中，AB＝ 3，BC＝1，sin C＝ 3cos C，则△ABC 的面
积为________．
解析：由 sin C＝ 3cos C 得 tan C＝ 3>0，所以 C＝
π
3 .
根据正弦定理可得
BC
sin A＝
AB
sin C，即
1
sin A＝
3
3
2
＝2，
所以 sin A＝
1
2.因为 AB>BC，所以 A0.
则 cos A＝
b2＋c2－a2
2bc >0，
∵0
π
3 .
因此得角 A 的取值范围是(π
3 ，
π
2 ).
6.如图所示，一艘海轮从 A 处出发，测得灯塔在海轮的北偏东 15°
方向，与海轮相距 20 海里的 B 处，海轮按北偏西 60°的方向航行了 30
分钟后到达 C 处，又测得灯塔在海轮的北偏东 75°的方向，则海轮的速
度为________海里/分钟．
解析：由已知得∠ACB＝45°，∠B＝60°，
由正弦定理得
AC
sin B＝
AB
sin∠ACB，
所以 AC＝
AB·sin B
sin∠ACB ＝
20 × sin 60°
sin 45° ＝10 6，
所以海轮航行的速度为
10 6
30 ＝
6
3 (海里/分钟)．
答案：
6
3
7.如图，为测得河岸塔 AB 的高，先在河岸上选一点 C，使 C 在塔底 B 的正
东方向上，测得点 A 的仰角为 60°，再由点 C 沿北偏东 15°方向走 10 米到位
置 D，测得∠BDC＝45°，则塔 AB 的高是________米．
解析：在△BCD 中，CD＝10，∠BDC＝45°，
∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，
由正弦定理得
BC
sin 45°＝
CD
sin 30°，
所以 BC＝
CDsin 45°
sin 30° ＝10 2.
在 Rt△ABC 中，tan 60°＝
AB
BC，
AB＝BCtan 60°＝10 6(米)．
答案：10 6
8．(2016·洛阳统考)如图，在△ABC 中，sin
∠ABC
2 ＝
3
3 ，AB＝2，
点 D 在线段 AC 上，且 AD＝2DC，BD＝
4 3
3 ，则 cos∠C＝________.
解析：由条件得 cos∠ABC＝
1
3，sin∠ABC＝
2 2
3 .
在△ABC 中，设 BC＝a，AC＝3b，
则由余弦定理得 9b2＝a2＋4－
4
3a.①
因为∠ADB 与∠CDB 互补，
所以 cos∠ADB＝－cos∠CDB，
所以
4b2＋
16
3 －4
16 3
3 b
＝－
b2＋
16
3 －a2
8 3
3 b
，
所以 3b2－a2＝－6，②
联合①②解得 a＝3，b＝1，所以 AC＝3，BC＝3.
在△ABC 中，cos∠C＝
BC2＋AC2－AB2
2BC·AC ＝
32＋32－22
2 × 3 × 3＝
7
9.
答案：
7
9
9．某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在 A 处获悉后，立即测出该
渔轮在方位角为 45°，距离为 10 n mile 的 C 处，并测得渔轮正沿方位角为 105°的方向，
以 9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以 21 n mile/h 的速度前去营救，求舰
艇的航向和靠近渔轮所需的时间.(sin 21.8° ≈
3 3
14 )
解：如图所示，根据题意可知 AC＝10，∠ACB＝120°，设舰艇靠近渔轮
所需的时间为 t h，并在 B 处与渔轮相遇，则 AB＝21t，BC＝9t，在△ABC 中，
根据余弦定理得 AB2 ＝AC2 ＋BC2 －2AC·BC·cos 120° ，所以 212t2 ＝102 ＋
81t2 ＋2×10×9t×
1
2，即 360t2－90t－100＝0，解得 t＝
2
3或 t＝－
5
12(舍
去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为
2
3 h.
此时 AB＝14，BC＝6.
在△ABC 中，根据正弦定理，得
BC
sin∠CAB＝
AB
sin 120°，
所以 sin∠CAB＝
6 ×
3
2
14 ＝
3 3
14 ，
即∠CAB≈21.8°或∠CAB≈158.2°(舍去)，
即舰艇航行的方位角为 45°＋21.8°＝66.8°.
所以舰艇以 66.8°的方位角航行，需
2
3 h 才能靠近渔轮．
10.如图所示，摄影爱好者 S 在某公园 A 处，发现正前方 B 处有一立柱，
测得立柱顶端 O 的仰角和立柱底部 B 的俯角均为
π
6 .设 S 的眼睛到地面的
距离为 3米．
(1)求摄影爱好者到立柱的水平距离和立柱的高度；
(2)立柱的顶端有一长 2 米的彩杆 MN 绕其中点 O 在 S 与立柱所在的平面内旋转．摄影爱
好者有一视角范围为
π
3 的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者是否都可以将彩杆全部
摄入画面？说明理由．
解：(1)作 SC 垂直 OB 于 C，则∠CSB＝
π
6 ，∠ASB＝
π
3 .
又 SA＝ 3，故在 Rt△SAB 中，可求得 BA＝3，
即摄影爱好者到立柱的水平距离为 3 米．
由 SC＝3，∠CSO＝
π
6 ，在 Rt△SCO 中，可求得 OC＝ 3.
因为 BC＝SA＝ 3，故 OB＝2 3，即立柱高为 2 3米．
(2)连接 SM，SN，设 SN＝a，SM＝b.由(1)知 SO＝2 3，
在△SOM 和△SON 中，cos∠SOM＝－cos∠SON，
即
2 32＋1－b2
2 × 2 3 × 1 ＝－
2 32＋1－a2
2 × 2 3 × 1 ，可得 a2＋b2＝26.
在△MSN 中，cos∠MSN＝
a2＋b2－22
2ab ＝
11
ab≥
22
a2＋b2＝
11
13>
1
2，当且仅当 a＝b 时等号成立，
又∠MSN∈(0，π)，则 0<∠MSN<
π
3 .
故摄影爱好者 S 可以将彩杆全部摄入画面．
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为 10
000 m，速度为 50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为 15°，经过 420 s 后看山顶的俯角为
45°，则山顶的海拔高度为________m．(取 2＝1.4， 3＝1.7)
解析：如图，作 CD 垂直于 AB 的延长线于点 D，由题意知∠A＝
15°，∠DBC＝45°，∴∠ACB＝30°，AB＝50×420＝21 000(m)．
又在△ABC 中，
BC
sin A＝
AB
sin∠ACB，
∴BC＝
21 000
1
2
×sin 15°＝10 500( 6－ 2)．
∵CD⊥AD，∴CD＝BC·sin∠DBC＝10 500( 6－ 2)×
2
2 ＝10 500( 3－1)＝7 350.
故山顶的海拔高度 h＝10 000－7 350＝2 650(m)．
答案：2 650
2.已知在东西方向上有 M，N 两座小山，山顶各有一个发射塔 A，B，
塔顶 A，B 的海拔高度分别为 AM＝100 米和 BN＝200 米，一测量车在小山 M
的正南方向的点 P 处测得发射塔顶 A 的仰角为 30°，该测量车向北偏西
60°方向行驶了 100 3米后到达点 Q，在点 Q 处测得发射塔顶 B 处的仰角
为 θ，且∠BQA＝θ，经测量 tan θ＝2，求两发射塔顶 A，B 之间的距
离．
解：在 Rt△AMP 中，∠APM＝30°，AM＝100，∴PM＝100 3，连接 QM，在△PQM 中，∠
QPM＝60°，又 PQ＝100 3，
∴△PQM 为等边三角形，
∴QM＝100 3.
在 Rt△AMQ 中，由 AQ2＝AM2＋QM2，得 AQ＝200.
在 Rt△BNQ 中，tan θ＝2，BN＝200，
∴BQ＝100 5，cos θ＝
5
5 .
在△BQA 中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQcos θ＝(100 5)2，
∴BA＝100 5.
即两发射塔顶 A，B 之间的距离是 100 5米．
命题点一 简单的三角恒等变换命题指数：☆☆☆☆☆
难度：中、低题型：选择题、填空题、解答题
1．(2015·重庆高考)若 tan α＝2tan
π
5 ，则
cos(α－
3π
10 )
sin(α－
π
5 ) ＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选 C ∵cos(α－
3π
10 )＝cos(α＋
π
5 －
π
2 )
＝sin(α＋
π
5 )，
∴原式＝
sin(α＋
π
5 )
sin(α－
π
5 )＝
sin αcos
π
5 ＋cos αsin
π
5
sin αcos
π
5 －cos αsin
π
5
＝
tan α＋tan
π
5
tan α－tan
π
5
.
又∵tan α＝2tan
π
5 ，∴原式＝
2tan
π
5 ＋tan
π
5
2tan
π
5 －tan
π
5
＝3.
2．(2013·全国卷Ⅱ)设 θ 为第二象限角，若 tan(θ＋
π
4 )＝
1
2，则 sin θ＋cos θ＝
________.
解析：法一：由 θ 在第二象限，且 tan(θ＋
π
4 )＝
1
2，因而 sin(θ＋
π
4 )＝－
5
5 ，因而
sin θ＋cos θ＝ 2sin(θ＋
π
4 )＝－
10
5 .
法二：如果将 tan(θ＋
π
4 )＝
1
2利用两角和的正切公式展开，则
tan θ＋1
1－tan θ＝
1
2，求得 tan
θ＝－
1
3.又因为 θ 在第二象限，则 sin θ＝
1
10，cos θ＝－
3
10，从而 sin θ＋cos θ
＝－
2
10＝－
10
5 .
答案：－
10
5
3．(2015·北京高考)已知函数 f(x)＝sin x－2 3sin2x
2.
(1)求 f(x)的最小正周期；
(2)求 f(x)在区间[0，
2π
3 ]上的最小值．
解：(1)因为 f(x)＝sin x＋ 3cos x－ 3
＝2sin(x＋
π
3 )－ 3，
所以 f(x)的最小正周期为 2π.
(2)因为 0≤x≤
2π
3 ，所以
π
3 ≤x＋
π
3 ≤π.
当 x＋
π
3 ＝π，即 x＝
2π
3 时，f(x)取得最小值．
所以 f(x)在区间[0，
2π
3 ]上的最小值为 f (2π
3 )＝－ 3.
4．(2015·四川高考)已知 A，B，C 为△ABC 的内角，tan A，tan B 是关于 x 的方程 x2
＋ 3px－p＋1＝0(p∈R)的两个实根．
(1)求 C 的大小；
(2)若 AB＝3，AC＝ 6，求 p 的值．
解：(1)由已知，方程 x2＋ 3px－p＋1＝0 的判别式
Δ＝( 3p)2－4(－p＋1)＝3p2＋4p－4≥0，
所以 p≤－2 或 p≥
2
3.
由根与系数的关系，
有 tan A＋tan B＝－ 3p，tan Atan B＝1－p，
于是 1－tan Atan B＝1－(1－p)＝p≠0，
从而 tan(A＋B)＝
tan A＋tan B
1－tan Atan B＝－
3p
p ＝－ 3.
所以 tan C＝－tan(A＋B)＝ 3，所以 C＝60°.
(2)由正弦定理，得 sin B＝
ACsin C
AB ＝
6sin 60°
3 ＝
2
2 ，
解得 B＝45°或 B＝135°(舍去)．
于是 A＝180°－B－C＝75°.
则 tan A＝tan 75°＝tan(45°＋30°)＝
tan 45°＋tan 30°
1－tan 45°tan 30°＝
1＋
3
3
1－
3
3
＝2＋ 3.
所以 p＝－
1
3(tan A＋tan B)＝－
1
3(2＋ 3＋1)＝－1－ 3.
Error!Error!
1.(2013·天津高考)在△ABC 中，∠ABC＝
π
4 ，AB＝ 2，BC＝3，则 sin∠BAC＝( )
A.
10
10 B.
10
5
C.
3 10
10 D.
5
5
解析：选 C 由余弦定理可得 AC 2＝9＋2－2×3× 2×
2
2 ＝5，所以 AC＝ 5.再由正
弦定理得
AC
sin B＝
BC
sin A，所以 sin A＝
BC·sin B
AC ＝
3 ×
2
2
5 ＝
3 10
10 .
2．(2014·江西高考)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.若 3a＝2b，
则
2sin2B－sin2A
sin2A 的值为( )
A．－
1
9 B.
1
3
C．1 D.
7
2
解析：选 D 由正弦定理可得
2sin2B－sin2A
sin2A ＝2(sin B
sin A)2－1＝2(b
a )2－1，因为 3a＝
2b，所以
b
a＝
3
2，所以
2sin2B－sin2A
sin2A ＝2×(3
2 )2－1＝
7
2.
3．(2015·福建高考)若锐角△ ABC 的面积为 10 3，且 AB＝5， AC＝8，则 BC 等于
________．
解析：由已知，得 S＝
1
2×AB×AC×sin A＝10 3，
∴sin A＝
20 3
5 × 8＝
3
2 .∵A∈(0，
π
2 )，∴A＝
π
3 .
由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos A
＝25＋64－2×5×8×cos
π
3 ＝49，∴BC＝7.
答案：7
4．(2014·天津高考)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.已知 b－c＝
1
4a,2sin B＝3sin C，则 cos A 的值为________．
解析：由已知及正弦定理，得 2b＝3c，
因为 b－c＝
1
4a，不妨设 b＝3，c＝2，所以 a＝4，
所以 cos A＝
b2＋c2－a2
2bc ＝－
1
4.
答案：－
1
4
5．(2015·全国卷Ⅰ)已知 a，b，c 分别为△ABC 内角 A，B，C 的对边，sin2B＝
2sin Asin C.
(1)若 a＝b，求 cos B；
(2)设 B＝90°，且 a＝ 2，求△ABC 的面积．
解：(1)由题设及正弦定理可得 b2＝2ac.
又 a＝b，可得 b＝2c，a＝2c.
由余弦定理可得 cos B＝
a2＋c2－b2
2ac ＝
1
4.
(2)由(1)知 b2＝2ac.
因为 B＝90°，由勾股定理得 a2＋c2＝b2，
故 a2＋c2＝2ac，进而可得 c＝a＝ 2.
所以△ABC 的面积为
1
2× 2× 2＝1.
6．(2015·山东高考)△ ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 cos B＝
3
3 ，sin(A＋B)＝
6
9 ，ac＝2 3，求 sin A 和 c 的值．
解：在△ABC 中，由 cos B＝
3
3 ，得 sin B＝
6
3 ，
因为 A＋B＋C＝π，
所以 sin C＝sin(A＋B)＝
6
9 .
因为 sin C＜sin B，所以 C＜B，可得 C 为锐角，
所以 cos C＝
5 3
9 ，
因此 sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C
＝
6
3 ×
5 3
9 ＋
3
3 ×
6
9 ＝
2 2
3 .
由
a
sin A＝
c
sin C，
可得 a＝
csin A
sin C ＝
2 2
3 c
6
9
＝2 3c.
又 ac＝2 3，所以 c＝1.
7.(2014·北京高考)如图，在△ABC 中，∠B＝
π
3 ，AB＝8，点 D 在 BC 边上，
且 CD＝2，cos∠ADC＝
1
7.
(1)求 sin∠BAD；
(2)求 BD，AC 的长．
解：(1)在△ADC 中，因为
cos∠ADC＝
1
7，所以 sin∠ADC＝
4 3
7 .
所以 sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)
＝sin∠ADCcos∠B－cos∠ADCsin∠B
＝
4 3
7 ×
1
2－
1
7×
3
2 ＝
3 3
14 .
(2)在△ABD 中，由正弦定理得
BD＝
AB·sin∠BAD
sin∠ADB ＝
8 ×
3 3
14
4 3
7
＝3.
在△ABC 中，由余弦定理得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠B
＝82＋52－2×8×5×
1
2＝49.
所以 AC＝7.
命题点三 三角函数与解三角形的综合问题
命题指数：☆☆☆☆☆ 难度：高、中 题型：解答题
1.(2015·浙江高考)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 tan(π
4 ＋A)
＝2.
(1)求
sin 2A
sin 2A＋cos2A的值；
(2)若 B＝
π
4 ，a＝3，求△ABC 的面积．
解：(1)由 tan(π
4 ＋A)＝2，得 tan A＝
1
3，
所以
sin 2A
sin 2A＋cos2A＝
2tan A
2tan A＋1＝
2
5.
(2)由 tan A＝
1
3，A∈(0，π)，得
sin A＝
10
10 ，cos A＝
3 10
10 .
由 a＝3，B＝
π
4 及正弦定理
a
sin A＝
b
sin B，得 b＝3 5.
由 sin C＝sin(A＋B)＝sin(A＋
π
4 )，得 sin C＝
2 5
5 .
设△ABC 的面积为 S，则 S＝
1
2absin C＝9.
2．(2015·山东高考)设 f(x)＝sin xcos x－cos2x＋
π
4 .
(1)求 f(x)的单调区间；
(2)在锐角△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 f(A
2 )＝0，a＝1，求△ABC
面积的最大值．
解：(1)由题意知 f(x)＝
sin 2x
2 －
1＋cos(2x＋
π
2 )
2
＝
sin 2x
2 －
1－sin 2x
2 ＝sin 2x－
1
2.
由－
π
2 ＋2kπ≤2x≤
π
2 ＋2kπ，k∈Z，
可得－
π
4 ＋kπ≤x≤
π
4 ＋kπ，k∈Z；
由
π
2 ＋2kπ≤2x≤
3π
2 ＋2kπ，k∈Z，
可得
π
4 ＋kπ≤x≤
3π
4 ＋kπ，k∈Z.
所以 f(x)的单调递增区间是[－
π
4 ＋kπ，
π
4 ＋kπ](k∈Z)，
单调递减区间是[π
4 ＋kπ，
3π
4 ＋kπ](k∈Z)．
(2)由 f (A
2 )＝sin A－
1
2＝0，得 sin A＝
1
2，
由题意知 A 为锐角，所以 cos A＝
3
2 .
由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A，
可得 1＋ 3bc＝b2＋c2≥2bc，
即 bc≤2＋ 3，当且仅当 b＝c 时等号成立．
因此
1
2bcsin A≤
2＋ 3
4 .
所以△ABC 面积的最大值为
2＋ 3
4 .
