高考数学复习 17-18版 第4章 第20课 函数建模问题(一)——函数、导数、不等式

高考数学复习 17-18版 第4章 第20课 函数建模问题(一)——函数、导数、不等式

第20课 函数建模问题(一)——函数、导数、不等式 ‎[最新考纲]‎ 内容 要求 A B C 函数模型及其应用 ‎√‎ 基本不等式在实际问题中的应用 ‎√‎ 导数在实际问题中的应用 ‎√‎ ‎1．常见的几种函数模型 ‎(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)．‎ ‎(2)反比例函数模型：y＝＋b(k，b为常数且k≠0)．‎ ‎(3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)．‎ ‎(4)指数函数模型：y＝a·bx＋c(a，b，c为常数，b＞0，b≠1，a≠0)．‎ ‎(5)对数函数模型：y＝mlogax＋n(m，n，a为常数，a＞0，a≠1，m≠0)．‎ ‎(6)幂函数模型：y＝a·xn＋b(a≠0)．‎ ‎2．解函数应用问题的步骤(四步八字)‎ ‎(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；‎ ‎(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；‎ ‎(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；‎ ‎(4)还原：将数学问题还原为实际问题．‎ 以上过程用框图表示如下：‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．(　　)‎ ‎(2)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．(　　)‎ ‎(3)形如“y＝x＋”型的函数最值均可以用基本不等式解决．(　　)‎ ‎(4)在用导数解决生活中的优化问题时，若定义域中的极值点只有一个，则该点也是最值点．(　　)‎ ‎[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√‎ ‎2．(教材改编)在某种新型材料的研制中，试验人员获得了下列一组试验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是________．(填序号)‎ x ‎1.95‎ ‎3.00‎ ‎3.94‎ ‎5.10‎ ‎6.12‎ y ‎0.97‎ ‎1.59‎ ‎1.98‎ ‎2.35‎ ‎2.61‎ ‎①y＝2x；②y＝log2x；③y＝(x2－1)；④y＝2.61cos x.‎ ‎②　[由表格知当x＝3时，y＝1.59，而①中y＝23＝8，不合要求，②中y＝log23∈(1,2)，③中y＝(32－1)＝4，不合要求，④中y＝2.61cos 3＜0，不合要求．]‎ ‎3．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)间的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________万件．‎ ‎9　[因为y′＝－x2＋81，所以当x>9时，y′<0；当x∈(0,9)时，y′‎ ‎>0.所以函数y＝－x3＋81x－234在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上单调递增．所以x＝9是函数的极大值点．又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x＝9处取得最大值．]‎ ‎4．某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是________．‎ ‎20　[设每次购买该种货物x吨，则需要购买次，则一年的总运费为×2＝，一年的总存储费用为x，所以一年的总运费与总存储费用为＋x≥2＝40，当且仅当＝x，即x＝20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20吨．]‎ ‎5．(教材改编)用长为‎90 cm，宽为‎48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折90°角，再焊接而成，则该容器的高为________ cm时，容器的容积最大．‎ ‎10　[设容器的高为x cm，即小正方形的边长为x cm，该容器的容积为V，则V＝(90－2x)(48－2x)x＝4(x3－69x2＋1 080x)，00；当100)”型的函数求最值常用基本不等式，但需注意其等号成立的条件，倘若等号取不到，要借助导数来求解．如本题(2).‎ ‎[变式训练3]　为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．‎ ‎(1)求k的值及f(x)的表达式；‎ ‎(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．‎ ‎[解]　(1)由已知条件得C(0)＝8，则k＝40，‎ 因此f(x)＝6x＋20C(x)＝6x＋(0≤x≤10)．‎ ‎(2)f(x)＝6x＋10＋－10≥2－10＝70(万元)，‎ 当且仅当6x＋10＝，‎ 即x＝5时等号成立，‎ 所以当隔热层厚度为5 cm时，总费用f(x)达到最小值，最小值为70万元.‎ 课时分层训练(二十)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ ‎1.据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为k(k>0)．现已知相距‎18 km的A，B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a，b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC＝x(km)．‎ ‎(1)试将y表示为x的函数；‎ ‎(2)若a＝1，且x＝6时，y取得最小值，试求b的值．‎ ‎[解]　(1)设点C受A污染源污染程度为，点C受B污染源污染程度为，其中k为比例系数，且k>0，从而点C处受污染程度y＝＋.‎ ‎(2)因为a＝1，所以y＝＋，‎ y′＝k，‎ 令y′＝0，得x＝，‎ 又此时x＝6，解得b＝8，经验证符合题意，‎ 所以，污染源B的污染强度b的值为8.‎ ‎2.某种商品原来每件售价为25元，年销售量为8万件．‎ ‎(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？‎ ‎(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价. ‎ ‎【导学号：62172112】‎ ‎[解]　(1)设每件定价为x元，依题意，有x≥25×8，‎ 整理得x2－65x＋1 000≤0，解得25≤x≤40.‎ ‎∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．‎ ‎(2)依题意，x>25时，‎ 不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋x有解，等价于x>25时，a≥＋x＋有解．‎ ‎∵＋x≥2＝10(当且仅当x＝30时，等号成立)，‎ ‎∴a≥10.2.‎ ‎∴当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元.‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1.(2017·南京模拟)经市场调查，某商品每吨的价格为x(10)；月需求量为y2万吨，y2＝－x2－x＋1.当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量．该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积．‎ ‎(1)若a＝，问商品的价格为多少时，该商品的月销售额最大？‎ ‎(2)记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格．若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，求实数a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)若a＝，由y2>y1，得－x2－x＋1>x＋2－.‎ 解得－400，得x<8，所以g(x)在[6,8)上是增函数，在(8,14)上是减函数，当x＝8时，g(x)有最大值g(8)＝.‎ 综上得，若a＝，商品的每吨价格定为8百元时，月销售额最大．‎ ‎(2)设f(x)＝y1－y2＝x2＋x＋a2－1－a，‎ 因为a>0，所以f(x)在区间(1,14)上是增函数，‎ 若该商品的均衡价格不低于6百元，即函数f(x)在区间[6,14)上有零点，‎ 所以即解得00，g(t)单调递增；当t∈时，g′(t)<0，g(t)单调递减．‎ 从而当t＝时，g(t)取得最大值为g＝－5，‎ 即当t＝时，l取得最小值，最小值为1 km.‎ 法二：因为0≤t≤3，所以1≤4－t≤4，‎ 则4t＋－9＝4(t－4)＋＋7＝7－ ‎≤7－2＝7－2×6＝－5，‎ 当且仅当4(4－t)＝，即t＝时取等号，即当t＝时，l取得最小值，最小值为1 km.‎