高考数学模拟试卷 2 (2)

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- 1 - 钢城四中 2018 届高三模拟测试卷 理科数学(36) 第 I 卷（选择题 共 60 分） 一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2．下列命题中错误的是 A. 若命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,则命题“pV(¬q)”为真命题 B. 命题“若 a+b≠7,则 a≠2 或 b≠5”为真命题 C. 命题“若 x2-x=0,则 x=0 或 x=1”的否命题为“若 x2-x=0,则 x≠0 且 x≠1” D. 命题 p: x>0,sinx>2x-1,则  p 为 x>0,sinx≤2x-1 3．已知 nS 是公比为 4 的等比数列 na 的前 n 项和，若 3 8n nma S  ，则 m  （） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4．已知 是 所在平面内一点，且 ， ，则 （ ） A. 2 B. 1 C. D. 5．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算 法，已知   2017 20162018 2017 2 1f x x x x     ，下列程序框图设计的是求  0f x 的 值，在 M 处应填的执行语句是( ) A. n i B. 2018n i  C. 1n i  D. 2017n i  6．如图的折线图是某公司 2017 年 1 月至 12 月份的收入与支出数据，若从 7 月至 12 月这 6 个月中任意选 2 个月的数据进行分析，则这 2 个月中至少有一个月利润（利润=收入-支出） - 2 - 不低于 40 万的概率为（ ） A. 5 1 B. 5 2 C. 5 3 D. 5 4 7．已知 ，若存在点 ，使得 ，则 的取值范围为（ ） A. ),2 1(  B. ),2 1(  C. ),4 3(  D. ),4 3(  8． 是 上奇函数，对任意实数 都有 ，当 时， ，则 （ ） A. B. C. D. 9．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 10．下列关函数 的命题正确的个数为（ ） ① 的图象关于 对称；② 的周期为 ； ③若 ，则 ； ④ 在区间 上单调递减. - 3 - A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11．设 O 为坐标原点，点 P 为抛物线C ： 2 2 ( 0)y px p  上异于原点的任意一点，过点 P 作 斜率为0 的直线交 y 轴于点 M ，点 P 是线段 MN 的中点，连接ON 并延长交抛物线于点 H ，则 OH ON 的值为（ ） A. p B. 1 2 C. 2 D. 3 2 12 ． 已 知 定 义 在 上 的 偶 函 数 在 上 单 调 递 减 ， 若 不 等 式 对任意 恒成立，则实数 的取值范是（ ） A.      3 3ln2,1 e B.     ee ,1 C.      ,1 e D.  e,2 第 II 卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．记直线 : 2 1 0l x y   的倾斜角为 ，则 1 tan2sin2   的值为________. 14．   52 1x a x  的展开式中含 2x 的系数为 50，则 a 的值为__________． 15．四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形，侧面 是以 为斜边的等腰直角三 角形，若 ，则四棱锥 的外接球的表面积为__________． 16 ． 已 知 是 椭 圆 上 关 于 原 点 对 称 的 两 点 ， 若 椭 圆 上 存 在 点 ， 使 得 直 线 斜率的绝对值之和为 1，则椭圆 的离心率的取值范围是______. 三．解答题:本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分 12 分）若正项数列 na 的前 n 项和为 nS ，首项 1 1a  ，  1,n nP S S  点 在曲线  21y x  上． - 4 - （1）求数列 na 的通项公式 na ； （2）设 1 1 n n n b a a    ， nT 表示数列 nb 的前 n 项和，若 nT a 恒成立，求 nT 及实数 a 的 取值范围． 18．（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 A BCFE 中，四边形 EFCB为梯形， / /EF BC ， 且 3 4EF BC ， ABC 是边长为 2 的正三角形，顶点 F 在 AC 上的射影为点 G ，且 3FG  ， 21 2CF  ， 5 2BF  . （1）证明：平面 FGB 平面 ABC ； （2）求二面角 E AB F  的余弦值. 19．（本小题满分 12 分）某市教育部门为了了解全市高一学生的身高发育情况，从本市全体 高一学生中随机抽取了 100 人的身高数据进行统计分析。经数据处理后,得到了如下图 1 所示的频事分布直方图，并发现这 100 名学生中,身不低于 1.69 米的学生只有 16 名,其 身高茎叶图如下图 2 所示，用样本的身高频率估计该市高一学生的身高概率. (I)求该市高一学生身高高于 1.70 米的概率,并求图 1 中 的值. (II)若从该市高一学生中随机选取 3 名学生,记 为身高在 的学生人数,求 的分布列 和数学期望； (Ⅲ)若变量 满足 且 ,则称变量 满足近似于 正态分布 的概率分布.如果该市高一学生的身高满足近似于正态分布 的 概率分布，则认为该市高一学生的身高发育总体是正常的.试判断该市高一学生的身高发 育总体是否正常,并说明理由. - 5 - 20．（本小题满分 12 分）如图，已知 1F ， 2F 分别为椭圆 1C ： 2 2 2 2 1( 0)y x a ba b     的上、 下焦点， 1F 是抛物线 2C ： 2 4x y 的焦点，点 M 是 1C 与 2C 在第二象限的交点，且 1 5 3MF  ． （1）求椭圆 1C 的方程； （2）与圆  22 1 1x y   相切的直线l ：  y k x t  （其中 0kt  ）交椭圆 1C 于点 A ， B ，若椭圆 1C 上一点 P 满 足OA OB OP    ，求实数 2 的取值范围． 21．（本小题满分 12 分）已知 ,函数 . (Ⅰ)若 有极小值且极小值为 0，求 的值； (Ⅱ)当 时， , 求 的取值范围. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题 号. 22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 平面直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 3{ x cos y sin     （ 为参数），以坐标原 点 O 为 极 点 ， 以 x 轴 正 半 轴 为 极 轴 ， 建 立 极 坐 标 系， 曲 线 2C 的 极 坐 标 方 程 为 4sin 6       . （1）写出曲线 1C 的极坐标方程和曲线 2C 的直角坐标方程； （2）若射线OM ：  0 0    平分曲线 2C ，且与曲线 1C 交于点 A ，曲线 1C 上的点 B 满足 2AOB   ，求 AB . 23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 - 6 - 已知 . （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若关于 的不等式 恒成立，求 的取值范围. - 7 - 钢城四中 2018 届模拟测试卷理科数学参考答案(36) 一、选择题： BCBCB DCADA CA 二、填空题： 13． 1 12  14．-1 15． 16． 三、解答题： 17. 解：（1）由  2 1 1n nS S   ，得 1 1n nS S   ， 所以数列 nS 是以 1S 为首项，1 为公差的等差数列， 所以  1 1 1nS S n    ，即 2 nS n ， 由公式 1 1 , 1,{ , 2n n n S na S S n    ，得 1, 1,{ 2 1, 2,n na n n    所以 2 1na n  ． （2）因为   1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1n n n b a a n n n n           ， 所以 1 112 2 1nT n      ， 显然 nT 是关于 n 的增函数，所以 nT 有最小值   1min 1 1 112 3 3nT T         ． 由于 nT a 恒成立，所以 1 3a  ， 于是 a 的取值范围是 1 ,3    ． 18.解：（Ⅰ）证明：由顶点 F 在 AC 上投影为点G ，可知， FG AC ． 取 AC 的中点为O ，连结 OB ， GB ． 在 Rt FGC 中， 3FG  ， 21 2CF  ，所以 3 2CG  ． - 8 - 在 Rt GBO 中， 3OB  ， 1 2OG  ，所以 13 2BG  ． 所以， 2 2 2BG GF FB  ，即 FG BG ． ∵ , ,FG AC FG GB AC BG G    ∴ FG 面 ABC ． 又 FG  面 FGB ，所以面 FGB 面 ABC ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知， OB FG ， OB AC ，且 AC FG G  所以 OB 面 AFC ，且 FG 面 ABC ．以OB 所在直线为 x 轴， OC 所在直线为 y 轴， 过点O 作平面 ABC 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：     10, 1,0 , 3,0,0 , 0, , 32A B F      ， 33, , 32E     ，  3, 1,0BA    ， 3 5 1, , 3 , 3, , 34 4 2BE BF                   设平面 ABE ， ABF 的法向量分别为 ,m n  ，则 0{ 0 m BA m BM       ，则  1, 3, 1m    ， 0{ 0 n BA n BF       ，则 11, 3, 2n       ， - 9 - 7 85cos 85 m n m n        ， 所以二面角 E AB F  的余弦值为 7 85 85 ． 19.解： (I)由图 2 可知，100 名样本学生中身高高于 1.70 米共有 15 名，以样本的频率估计 总体的概率，可得这批学生的身高高于 1.70 的概率为 0.15. 记 为学生的身高，结合图 1 可得: ， , , 又由于组距为 0.1,所以 ， （Ⅱ）以样本的频率估计总体的概率， 可得: 从这批学生中随机选取 1 名，身高在 的概率 . 因为从这批学生中随机选取 3 名，相当于三次重复独立试验， 所以随机变量 服从二项分布 ， 故 的分布列为: 0 1 2 3 0.027 0.189 0.441 0.343 （或 - 10 - (Ⅲ)由 ，取 由（Ⅱ）可知， , 又结合(I)，可得: ， 所以这批学生的身高满足近似于正态分布 的概率分布，应该认为该市高一学生 的身高发育总体是正常的. 20．解：（1）由题意得  1 0,1F ，所以 2 2 1a b  ，又由抛物线定义可知 1 51 3MMF y   ， 得 2 3My  ，于是易知 2 6 2,3 3M      ，从而 2 2 2 2 6 2 713 3 3MF               ，由椭圆定义 知， 1 22a MF MF  4 ，得 2a  ，故 2 3b  ， 从而椭圆 1C 的方程为 2 2 13 4 x y  ． （2）设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，  0 0,P x y ，则由OA OB OP    知， 1 2 0x x x  ， 1 2 0y y y  ， 且 2 2 0 0 13 4 x y  ，① 又直线l ：  y k x t  （其中 0kt  ）与圆  22 1 1x y   相切，所以有 2 1 1 1 kt k    ， 由 0k  ，可得 2 2 1 tk t   （ 1t   ， 0t  ），② 又联立   2 2 ,{ 4 3 12, y k x t x y     消去 y 得 2 2 2 2 24 3 6 3 12 0k x k tx k t     ，且 0  恒成立， 且 2 1 2 2 6 4 3 k tx x k     ， 2 2 1 2 2 3 12 4 3 k tx x k   ， 所以  1 2 1 2 2 82 4 3 kty y k x x kt k       ， - 11 - 所以得     2 2 2 6 8, 4 3 4 3 k t ktP k k         ，代入①式，得     4 2 2 2 2 22 2 2 2 12 16 1 4 3 4 3 k t k t k k      ， 所以 2 2 2 2 4 4 3 k t k    ， 又将②式代入得， 2 2 2 2 4 1 1 1t t         ， 0t  ， 1t   ， 易知 2 2 2 1 1 1 1t t        ，且 2 2 2 1 1 1 3t t        ，所以 2 4 40, ,43 3             ． 21. 解：(Ⅰ) . ①若 ，则由 解得 , 当 时， 递减；当 上， 递增； 故当 时， 取极小值 ，令 ，得 （舍去）. 若 ，则由 ，解得 . (i) 若 ， 即 时 ， 当 ， . 递 增 ； 当 上， 递增. 故当 时， 取极小值 ，令 ，得 （舍去） （ii）若 ，即 时， 递增不存在极值； (iii)若 ，即 时，当 上， 递增； ， 上， 递减；当 上， 递增. 故当 时， 取极小值 ,得 满足条件. - 12 - 故当 有极小值且极小值为 0 时, (Ⅱ) 等价于 ，即 当 时，①式恒成立；当 时， ，故当 时，①式恒成立； 以下求当 时,不等式 恒成立，且当 时不等式 恒成立时正数 的取值范围. 令 , 以 下 求 当 恒 成 立 ， 且 当 , 恒成立时正数 的取值范围. 对 求导，得 ，记 . (i)当 时， , 故 在 上递增，又 ，故 , 即当 时， 式恒成立； (ii)当 时， ,故 的两个零点即 的两个零点 和 ,在区间 上， 是减函数， 又 ，所以 ，当 时①式不能恒成立. 综上所述,所求 的取值范围是 . 22. 解：（1）曲线 1C 的直角坐标方程是 2 2 13 x y  ，化成极坐标方程为 2 2 3 1 2sin    ； 曲线 2C 的直角坐标方程是    221 3 4x y    .. - 13 - （2）曲线 2C 是圆，射线 OM 过圆心，所以方程是  03    ，代入 2 2 3 1 2sin    得 2 6 5A  ，又 2AOB   ，所以 2 2B  ，因此 2 2 4 55A BAB     . 23. 解：（1）当 时，由 ， 得 ， 当 时，由 ，得 ； 当 时，由 ，得 ； 当 时，由 ，得 ； 综上所述， 的解集为 . （2）不等式 ， 即为 ， 即 关 于 的 不 等 式 恒 成 立 ， 而 ， 当且仅当 时等号成立，所以 ， 解得 或 ， 解得 或 . 所以 的取值范围是 .