【数学】2019届一轮复习北师大版平面向量与复数学案
【考向解读】
1.考查平面向量的基本定理及基本运算，预测多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题、难度中低档.
2.考查平面向量的数量积，预测以选择题、填空题为主，难度低；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现.
【命题热点突破一】平面向量的线性运算
(1)在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化；
(2)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．
例1、【2017课标1，理13】已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= .
【答案】
【2016高考新课标2理数】已知向量，且，则（ ）
（A）－8 （B）－6 （C）6 （D）8
【答案】D
【解析】向量，由得，解得，故选D.
【变式探究】(1)设0<θ<，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，若a∥b，则tanθ＝______.
(2)如图，在△ABC中，AF＝AB，D为BC的中点，AD与CF交于点E.若＝a，＝b，且＝xa＋yb，则x＋y＝________.
【答案】(1) (2)－
【解析】(1)因为a∥b，
所以sin2θ＝cos2θ，2sinθcosθ＝cos2θ.
因为0<θ<，所以cosθ>0，
得2sinθ＝cosθ，tanθ＝.学
(2)如图，设FB的中点为M，连接MD.
所以x＝，y＝－，所以x＋y＝－.
【感悟提升】(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底；同时注意共线向量定理的灵活运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．
【变式探究】
(1)已知向量i与j不共线，且＝i＋mj，＝ni＋j，m≠1，若A，B，D三点共线，则实数m，n满足的条件是( )
A．m＋n＝1 B．m＋n＝－1
C．mn＝1 D．mn＝－1
(2)在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________；y＝________.
【答案】(1)C (2) －
【解析】(1)因为A，B，D三点共线，所以＝λ⇔i＋mj＝λ(ni＋j)，m≠1，
又向量i与j不共线，所以所以mn＝1. 学
(2)如图，＝＋
＝＋
＝＋(－)
＝－，
∴x＝，y＝－.
【命题热点突破二】平面向量的数量积
(1)数量积的定义 a·b＝|a||b|cosθ.
(2)三个结论
①若a＝(x，y)，则|a|＝＝.
②若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
||＝.
③若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，
则cosθ＝＝.
例2、【2017天津，理13】在中，，，.若，，且，则的值为___________.
【答案】
【变式探究】【2016高考江苏卷】如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，， ，则 的值是 ▲ .
【答案】
【解析】因为，
，
因此，
【变式探究】(1)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．
(2)在△AOB中，G为△AOB的重心，且∠AOB＝60°，若·＝6，则||的最小值是________．
【答案】(1)22 (2)2
【解析】(1)由＝3，得＝＝，＝＋＝＋，
＝－＝＋－＝－.因为·＝2，所以(＋)·(－)＝2，
即2－·－2＝2.又因为2＝25，2＝64，所以·＝22. 学
【感悟提升】(1)数量积的计算通常有三种方法 数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义；(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算．
【命题热点突破三】平面向量与三角函数
平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件．
例3、已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，其中0<α
c，已知·＝2，cosB＝，b＝3.求
(1)a和c的值；
(2)cos(B－C)的值．
(2)在△ABC中，
sinB＝＝＝，
由正弦定理，
得sinC＝sinB＝×＝.
因为a＝b>c，
所以C为锐角，
因此cosC＝＝＝.
于是cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC＝×＋×＝.
【命题热点突破四】复数的概念与运算
复数运算的重点是除法运算，其关键是进行分母实数化，分子分母同时乘分母的共轭复数．对一些常见的运算，如 (1±i)2＝±2i，＝i，＝－i等要熟记．
例4、【2017山东，理2】已知,i是虚数单位，若，则a=
（A）1或-1 （B） （C）- （D）
【答案】A
【解析】由得，所以，故选A. 学
【变式探究】【2016高考天津理数】已知，i是虚数单位，若，则的值为_______.
【答案】2
【变式探究】(1)若复数 ＝，则| |＝( )
A． B．
C．1 D．2
(2)已知复数 ＝(i为虚数单位)，则复数 在复平面内对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】(1)C (2)B
【解析】 (1) ＝＝＝－i，，所以| |＝＝1.
(2) ＝＝－1－i，则复数 ＝－1＋i，对应的点在第二象限．
【高考真题解读】
1.【2017课标3，理12】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若= +，则+的最大值为
A．3 B．2 C． D．2
【答案】A
【解析】如图所示，建立平面直角坐标系
2.【2017北京，理6】设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若，使，即两向量反向，夹角是，那么T，若，那么两向量的夹角为 ，并不一定反向，即不一定存在负数，使得，所以是充分不必要条件，故选A. 学
3.【2017课标II，理12】已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
4.【2017课标1，理13】已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= .
【答案】
【解析】利用如下图形，可以判断出的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，
所以.
5.【2017天津，理13】在中，，，.若，，且，则的值为___________.
【答案】
【解析】 ,则
.
6.【2017山东，理12】已知是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 .
【答案】
7．【2017浙江，15】已知向量a，b满足则的最小值是________，最大值是_______．
【答案】4，
【解析】设向量的夹角为，由余弦定理有 ，
，则
，
令，则，
据此可得 ，
即的最小值是4，最大值是．学 .
8.【2017浙江，10】如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记，，，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为， ， ，所以，故选C。
9.【2017江苏，12】如图,在同一个平面内，向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为,且tan=7,与的夹角为45°.若, 则 ▲ .
A
C
B
O
(第12题)
【答案】3
10.【2017江苏，16】 已知向量
（1）若a∥b,求x的值；
（2）记,求的最大值和最小值以及对应的的值.
【答案】（1）（2）时，取得最大值，为3； 时，取得最小值，为
.
【解析】
（2）.
因为，所以，
从而.
于是，当，即时， 取到最大值3；
当，即时， 取到最小值.
1.【2017课标1，理3】设有下面四个命题
若复数满足，则； 若复数满足，则；
若复数满足，则； 若复数，则.
其中的真命题为
A. B． C． D．
【答案】B
【解析】令，则由得，所以，故正确；
当时，因为，而知，故不正确；
当时，满足，但，故不正确；
对于，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故正确，故选B.
2.【2017课标II，理1】（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由复数除法的运算法则有 ，故选D。学
3.【2017山东，理2】已知,i是虚数单位，若，则a=
（A）1或-1 （B） （C）- （D）
【答案】A
【解析】由得，所以，故选A.
4.【2017课标3，理2】设复数 满足(1+i) =2i，则∣ ∣=
A． B． C． D．2
【答案】C
1.【2016高考新课标2理数】已知向量，且，则（ ）
（A）－8 （B）－6 （C）6 （D）8
【答案】D
【解析】向量，由得，解得，故选D.
2.【2016高考江苏卷】如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，， ，则 的值是 ▲ .
【答案】
3.【2016年高考四川理数】在平面内，定点A，B，C，D满足 ==,===-2，动点P，M满足 =1，=，则的最大值是( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】甴已知易得.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则设由已知，得，又
，它表示圆上的点与点的距离的平方的，，故选B.
1.【2016新课标理】设其中,实数,则( )
（A）1 （B） （C） （D）2
【答案】B
2.【2016高考新课标3理数】若，则（ ）
(A)1 (B) -1 (C) (D)
【答案】C
【解析】，故选C．学
3.【2016高考新课标2理数】已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】要使复数对应的点在第四象限应满足 ，解得，故选A.
4.【2016年高考北京理数】设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则_______________.
【答案】－1
【解析】，故填 －1
5.【2016高考山东理数】若复数 满足 其中i为虚数单位，则 =（ ）
（A）1+2i （B）12i （C） （D）
【答案】B
【解析】设，则，故，则，选B.
6.【2016高考天津理数】已知，i是虚数单位，若，则的值为_______.
【答案】2
【解析】由，可得，所以，，故答案为2．
7.【2016高考江苏卷】复数其中i为虚数单位，则 的实部是________▲________.
【答案】5
【解析】，故 的实部是5
1．(2015·新课标全国Ⅱ，2)若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
2．(2015·广东，2)若复数 ＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则 ＝( )
A．3－2i B．3＋2i C．2＋3i D．2－3i
【答案】D
【解析】因为 ＝i(3－2i)＝2＋3i，所以 ＝2－3i，故选D.
3．(2015·四川，2)设i是虚数单位，则复数i3－＝( )
A．－i B．－3i C．i D．3i
【答案】C
【解析】i3－＝－i－＝－i＋2i＝i.选C.
4．(2015·山东，2)若复数 满足＝i，其中i为虚数单位，则 ＝( )
A．1－i B．1＋i C．－1－i D．－1＋i
【答案】A
【解析】∵＝i，∴ ＝i(1－i)＝i－i2＝1＋i，∴ ＝1－i.
5．(2015·新课标全国Ⅰ，1)设复数 满足＝i，则| |＝( )
A．1 B. C. D．2
【答案】A
6.【2015高考福建，理9】已知 ，若 点是 所在平面内一点，且 ，则 的最大值等于（ ）
A．13 B． 15 C．19 D．21
【答案】A
【解析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，
则，，，即，所以，，因此，因为，
所以 的最大值等于，当，即时取等号．学
7.【2015高考湖北，理11】已知向量，，则 .
【答案】9
【解析】因为，，
所以.
8.【2015高考山东，理4】已知菱形的边长为 ， ,则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】因为
故选D. 学
9.【2015高考陕西，理7】对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（ ）
A． B．[ 学 ]
C． D．
【答案】B
10.【2015高考四川，理7】设四边形ABCD为平行四边形，，.若点M，N满足，，则（ ）
（A）20 （B）15 （C）9 （D）6
【答案】C
【解析】
，所以
，选C.
11.【2015高考安徽，理8】是边长为的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论正确的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】如图，
12.【2015高考福建，理9】已知 ，若 点是 所在平面内一点，且 ，则 的最大值等于（ ）
A．13 B． 15 C．19 D．21
【答案】A
【解析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，即，所以，，因此
，因为，所以 的最大值等于，当，即时取等号．
