高中数学人教a版选修2-2（课时训练）：1.3.3 函数的最大(小)值与导数
1.3.3 函数的最大(小)值与导数
[学习目标]
1．理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系．
2．会求某闭区间上函数的最值．
[知识链接]
极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性
质，但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小，函数的极
值与最值有怎样的关系？
答 函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是
比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；
极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最
值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值，
所以在开区间(a，b)上若存在最值，则必是极值．
[预习导引]
1．函数 f(x)在闭区间[a，b]上的最值
函数 f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一
定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得．
2．求函数 y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤
(1)求函数 y＝f(x)在(a，b)内的极值；
(2)将函数 y＝f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是
最大值，最小的一个是最小值．
3．函数在开区间(a，b)的最值
在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值与最小值；若函数 f(x)在开区间 I
上只有一个极值，且是极大(小)值，则这个极大(小)值就是函数 f(x)在区间 I 上的
最大(小)值．
4．极值与最值的意义
(1)最值是在区间[a，b]上的函数值相比较最大(小)的值；
(2)极值是在区间[a，b]上的某一个数值 x0 附近相比较最大(小)的值．
要点一 求函数在闭区间上的最值
例 1 求下列各函数的最值：
(1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]；
(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]．
解 (1)f′(x)＝－4x3＋4x，
令 f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得
x＝－1，x＝0，x＝1.
当 x 变化时，f′(x)及 f(x)的变化情况如下表：
x －3 (－3，－1) －1 (－1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ 0 －
f(x) －60
极大
值 4
极小
值 3
极大
值 4
－5
∴当 x＝－3 时，f(x)取最小值－60；
当 x＝－1 或 x＝1 时，f(x)取最大值 4.
(2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，
∵f′(x)在[－1,1]内恒大于 0，∴f(x)在[－1,1]上为增函数．故 x＝－1 时，f(x)最小值
＝－12；
x＝1 时，f(x)最大值＝2.
即 f(x)的最小值为－12，最大值为 2.
规律方法 (1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环．但仅仅是求最值，可
用下面简化的方法求得．
①求出导数为零的点．
②比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值．
(2)若函数在闭区间[a，b]上连续且单调，则最大、最小值在端点处取得．
跟踪演练 1 求下列函数的最值：
(1)f(x)＝1
3x3－4x＋4，x∈[0,3]；
(2)f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2,5]．
解 (1)∵f(x)＝1
3x3－4x＋4，∴f′(x)＝x2－4.
令 f′(x)＝0，得 x1＝－2，x2＝2.
∵f(2)＝－4
3
，f(0)＝4，f(3)＝1，
∴函数 f(x)在[0,3]上的最大值为 4，最小值－4
3.
(2)∵f(x)＝3ex－exx2，
∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)＝－ex(x2＋2x－3)
＝－ex(x＋3)(x－1)，
∵在区间[2,5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)＜0，
即函数 f(x)在区间[2,5]上单调递减，
∴x＝2 时，函数 f(x)取得最大值 f(2)＝－e2；
x＝5 时，函数 f(x)取得最小值 f(5)＝－22e5.
要点二 含参数的函数的最值问题
例 2 已知 a 是实数，函数 f(x)＝x2(x－a)．求 f(x)在区间[0,2]上的最大值．
解 令 f′(x)＝0，解得 x1＝0，x2＝2a
3 .
①当2a
3
≤0，即 a≤0 时，
f(x)在[0,2]上单调递增，
从而 f(x)max＝f(2)＝8－4a.
②当2a
3
≥2，即 a≥3 时，
f(x)在[0,2]上单调递减，
从而 f(x)max＝f(0)＝0.
③当 0<2a
3 <2，即 0
2.
规律方法 由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，
从而导致最值的变化．所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识
进行求解．
跟踪演练 2 在本例中，区间[0,2]改为[－1,0]结果如何？
解 令 f′(x)＝0，解得 x1＝0，x2＝2
3a，
①当 2
3a≥0，即 a≥0 时，f(x)在[－1,0]上单调递增，从而 f(x)max＝f(0)＝0；
②当 2
3a≤－1，即 a≤－3
2
时，f(x)在[－1,0]上单调递减，从而 f(x)max＝f(－1)＝－1
－a；
③当－1<2
3a<0，即－3
21.
故实数 m 的取值范围是(1，＋∞)．
规律方法 (1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，一般地，可
采用分 离 参 数 法进 行 转 化 ． λ≥f(x) 恒 成 立⇔ λ≥[f(x)]max ； λ≤f(x)恒 成 立 ⇔
λ≤[f(x)]min.对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可．
(2)此类问题特别要小心“最值能否取得到“和“不等式中是否含等号”的情况，
以此来确定参数的范围能否取得“＝”．
跟踪演练 3 设函数 f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，
(1)若对任意的 x∈[0,3]，都有 f(x)＜c2 成立，求 c 的取值范围；
(2)若对任意的 x∈(0,3)，都有 f(x)＜c2 成立，求 c 的取值范围．
解 (1)∵f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．
∴当 x∈(0,1)时，f′(x)＞0；当 x∈(1,2)时，f′(x)＜0；
当 x∈(2,3)时，f′(x)＞0.
∴当 x＝1 时，f(x)取极大值 f(1)＝5＋8c.
又 f(3)＝9＋8c＞f(1)，
∴x∈[0,3]时，f(x)的最大值为 f(3)＝9＋8c.
∵对任意的 x∈[0,3]，有 f(x)＜c2 恒成立，
∴9＋8c＜c2，即 c＜－1 或 c＞9.
∴c 的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．
(2)由(1)知 f(x)＜f(3)＝9＋8c，∴9＋8c≤c2，即 c≤－1 或 c≥9，
∴c 的取值范围为(－∞，－1]∪[9，＋∞)．
1．函数 f(x)＝－x2＋4x＋7，在 x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( )
A．f(2)，f(3) B．f(3)，f(5)
C．f(2)，f(5) D．f(5)，f(3)
答案 B
解析 ∵f′(x)＝－2x＋4，
∴当 x∈[3,5]时，f′(x)<0，
故 f(x)在[3,5]上单调递减，
故 f(x)的最大值和最小值分别是 f(3)，f(5)．
2．函数 f(x)＝x3－3x(|x|＜1)( )
A．有最大值，但无最小值
B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，但有最小值
D．既无最大值，也无最小值
答案 D
解析 f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当 x∈(－1,1)时，f′(x)＜0，所以 f(x)在(－
1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选 D.
3．函数 y＝x－sin x，x∈
π
2
，π 的最大值是( )
A．π－1 B．π
2
－1
C．π D．π＋1
答案 C
解析 因为 y′＝1－cos x，当 x∈
π
2
，π 时，y′＞0，则函数在区间
π
2
，π 上为
增函数，所以 y 的最大值为 ymax＝π－sin π＝π，故选 C.
4．(2012·安徽改编)函数 f(x)＝exsin x 在区间 0，π
2 上的值域为( )
A. 0，eπ
2 B． 0，eπ
2
C． 0，eπ
2 D． 0，eπ
2
答案 A
解析 f′(x)＝ex(sin x＋cos x)．
∵x∈ 0，π
2 ，f′(x)＞0.
∴f(x)在 0，π
2 上是单调增函数，
∴f(x)min＝f(0)＝0，f(x)max＝f
π
2 ＝eπ
2.
5．函数 f(x)＝x3－3x2－9x＋k 在区间[－4,4]上的最大值为 10，则其最小值为
________．
答案 －71
解析 f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．
由 f′(x)＝0 得 x＝3 或 x＝－1.
又 f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，
f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.
由 f(x)max＝k＋5＝10，得 k＝5，
∴f(x)min＝k－76＝－71.
1．求函数的最值时，应注意以下几点：
(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对
整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念．
(2)闭区间[a，b]上的连续函数一定有最值．开区间(a，b)内的可导函数不一定有
最值，但若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．
(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个，而函数的极值则可能不
止一个，也可能没有极值，并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值)．
2．求含参数的函数最值，可分类讨论求解．
3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题.
一、基础达标
1．函数 y＝f(x)在[a，b]上( )
A．极大值一定比极小值大
B．极大值一定是最大值
C．最大值一定是极大值
D．最大值一定大于极小值
答案 D
解析 由函数的最值与极值的概念可知，y＝f(x)在[a，b]上的最大值一定大于极
小值．
2．函数 y＝xe－x，x∈[0,4]的最大值是( )
A．0 B．1
e
C．4
e4 D．2
e2
答案 B
解析 y′＝e－x－x·e－x＝e－x(1－x)，令 y′＝0，∴x＝1，
∴f(0)＝0，f(4)＝4
e4
，f(1)＝e－1＝1
e
，∴f(1)为最大值，故选 B.
3．函数 y＝ln x
x
的最大值为( )
A．e－1 B．e
C．e2 D．10
3
答案 A
解析 令 y′＝ln x′x－ln x·x′
x2
＝1－ln x
x2
＝0.(x＞0)
解得 x＝e.当 x>e 时，y′<0；当 0＜x0)．
y′＝2t－1
t
＝2t2－1
t
＝2 t＋ 2
2 t－ 2
2
t .
当 0＜t＜ 2
2
时，y′＜0，可知 y 在 0， 2
2 上单调递减；
当 t＞ 2
2
时，y′＞0，可知 y 在
2
2
，＋∞ 上单调递增．
故当 t＝ 2
2
时，|MN|有最小值．
9．(2014·湖北重点中学检测)已知函数 f(x)＝x3－tx2＋3x，若对于任意的 a∈[1,2]，
b∈(2,3]，函数 f(x)在区间[a，b]上单调递减，则实数 t 的取值范围是( )
A．(－∞，3] B．(－∞，5]
C．[3，＋∞) D．[5，＋∞)
答案 D
解析 ∵f(x)＝x3－tx2＋3x，∴f′(x)＝3x2－2tx＋3，由于函数 f(x)在[a，b]上单调
递减，则有 f′(x)≤0 在[a，b]上恒成立，即不等式 3x2－2tx＋3≤0 在[a，b]上恒
成立，即有 t≥3
2
x＋1
x 在[a，b]上恒成立，而函数 y＝3
2
x＋1
x 在[1,3]上单调递增，
由于 a∈[1,2]，b∈(2,3]，当 b＝3 时，函数 y＝3
2
x＋1
x 取得最大值，即 ymax＝3
2
3＋1
3
＝5，所以 t≥5，故选 D.
10．如果函数 f(x)＝x3－3
2x2＋a 在[－1,1]上的最大值是 2，那么 f(x)在[－1,1]上的
最小值是________．
答案 －1
2
解析 f′(x)＝3x2－3x，令 f′(x)＝0 得 x＝0，或 x＝1.
∵f(0)＝a，f(－1)＝－5
2
＋a，f(1)＝－1
2
＋a，
∴f(x)max＝a＝2.
∴f(x)min＝－5
2
＋a＝－1
2.
11．已知函数 f(x)＝x3－ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．
(1)若函数 f(x)在 x＝－1 和 x＝3 处取得极值，试求 a，b 的值；
(2)在(1)的条件下，当 x∈[－2,6]时，f(x)＜2|c|恒成立，求 c 的取值范围．
解 (1)f′(x)＝3x2－2ax＋b，
∵函数 f(x)在 x＝－1 和 x＝3 处取得极值，
∴－1,3 是方程 3x2－2ax＋b＝0 的两根．
∴
－1＋3＝2
3a
－1×3＝b
3
，∴ a＝3
b＝－9
.
(2)由(1)知 f(x)＝x3－3x2－9x＋c，
f′(x)＝3x2－6x－9，令 f′(x)＝0，得 x＝－1 或 x＝3.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)随 x 的变化如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x)
极大值
c＋5
极小值
c－27
而 f(－2)＝c－2，f(6)＝c＋54，
∴当 x∈[－2,6]时，f(x)的最大值为 c＋54，
要使 f(x)＜2|c|恒成立，只要 c＋54＜2|c|即可，
当 c≥0 时，c＋54＜2c，∴c＞54；
当 c＜0 时，c＋54＜－2c，∴c＜－18.
∴c 的取值范围是(－∞，－18)∪(54，＋∞)，
此即为参数 c 的取值范围．
12．已知函数 f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.
(1)求 f(x)的单调递减区间；
(2)若 f(x)在区间[－2,2]上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值．
解 (1)∵f′(x)＝－3x2＋6x＋9.
令 f′(x)＜0，解得 x＜－1 或 x＞3，
∴函数 f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．
(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，
f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，∴f(2)＞f(－2)．
于是有 22＋a＝20，∴a＝－2.
∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2.
∵在(－1,3)上 f′(x)＞0，∴f(x)在[－1,2]上单调递增．又由于 f(x)在[－2，－1]上
单调递减，
∴f(2)和 f(－1)分别是 f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值，
∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即 f(x)最小值为－7.
三、探究与创新
13．(2013·新课标Ⅰ)已知函数 f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲线 y＝f(x)
和曲线 y＝g(x)都过点 P(0,2)，且在点 P 处有相同的切线 y＝4x＋2.
(1)求 a，b，c，d 的值；
(2)若 x≥－2 时，f(x)≤kg(x)，求 k 的取值范围．
解 (1)由已知得 f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，
g′(0)＝4，而 f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝ex(cx＋d＋c)，
∴a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.
(2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2ex(x＋1)，
设函数 F(x)＝kg(x)－f(x)＝2kex(x＋1)－x2－4x－2(x≥－2)，F′(x)＝2kex(x＋2)－
2x－4＝2(x＋2)(kex－1)．
由题设可得 F(0)≥0，即 k≥1，
令 F′(x)＝0 得 x1＝－ln k，x2＝－2，
①若 1≤k＜e2，则－2＜x1≤0，∴当 x∈(－2，x1)时，
F′(x)＜0，当 x∈(x1，＋∞)时，F′(x)＞0，即 F(x)在(－2，x1)单调递减，在(x1，
＋∞)单调递增，故 F(x)在 x＝x1 取最小值 F(x1)，而 F(x1)＝2x1＋2－x21－4x1－2＝
－x1(x1＋2)≥0.
∴当 x≥－2 时，F(x)≥0，即 f(x)≤kg(x)恒成立．
②若 k＝e2，则 F′(x)＝2e2(x＋2)(ex－e2)，
∴当 x≥－2 时，F′(x)≥0，∴F(x)在(－2，＋∞)单调递增，而 F(－2)＝0，∴当
x≥－2 时，F(x)≥0，即 f(x)≤kg(x)恒成立，
③若 k＞e2，则 F(－2)＝－2ke－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0，∴当 x≥－2 时，f(x)≤kg(x)
不可能恒成立．
综上所述，k 的取值范围为[1，e2].
