高考圆锥曲线大题

高考圆锥曲线大题

‎2018年高考圆锥曲线大题 ‎　‎ 一．解答题（共13小题）‎ ‎1．已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．‎ ‎（1）证明：k＜﹣；‎ ‎（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++=．证明：||，||，||成等差数列，并求该数列的公差．‎ ‎2．已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．‎ ‎（1）证明：k＜﹣；‎ ‎（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++=，证明：2||=||+||．‎ ‎3．双曲线﹣=1，F1、F2为其左右焦点，C是以F2为圆心且过原点的圆．‎ ‎（1）求C的轨迹方程；‎ ‎（2）动点P在C上运动，M满足=2，求M的轨迹方程．‎ ‎4．设椭圆C：+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）．‎ ‎（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；‎ ‎（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．‎ ‎5．已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2‎ ‎．斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆M的方程；‎ ‎（Ⅱ）若k=1，求|AB|的最大值；‎ ‎（Ⅲ）设P（﹣2，0），直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D．若C，D和点Q（﹣，）共线，求k．‎ ‎6．设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点．‎ ‎（1）用t表示点B到点F的距离；‎ ‎（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；‎ ‎（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎7．已知抛物线C：y2=2px经过点P（1，2），过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．‎ ‎（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）设O为原点，=λ，=μ，求证：+为定值．‎ ‎8．设椭圆+=1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，|AB|=．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l：y=kx（k＜0）与椭圆交于P，Q两点，1与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．‎ ‎9．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8．‎ ‎（1）求l的方程；‎ ‎（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．‎ ‎10．设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，点A的坐标为（b，0），且|FB|•|AB|=6．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l：y=kx（k＞0）与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q．若=sin∠AOQ（O为原点），求k的值．‎ ‎11．已知椭圆C：，直线l：y=kx+1（k≠0）与椭圆C相交于A，B两点，D为AB的中点．‎ ‎（1）若直线l与直线OD（O为坐标原点）的斜率之积为，求椭圆..的方程；‎ ‎（2）在（1）的条件下，y轴上是否存在定点M使得当k变化时，总有∠AMO=∠BMO（O为坐标原点）．若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎12．已知椭圆Γ：的离心率为，椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为4．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）直线l与椭圆Γ交于A，B两点，AB的中点M在圆x2+y2=1上，求△AOB（O为坐标原点）面积的最大值．‎ ‎13．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，两条准线之间的距离为4．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）已知椭圆的左顶点为A，点M在圆x2+y2=上，直线AM与椭圆相交于另一点B，且△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，求直线AB的方程．‎ ‎　‎ ‎2018年高考圆锥曲线大题 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．解答题（共13小题）‎ ‎1．已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．‎ ‎（1）证明：k＜﹣；‎ ‎（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++=．证明：||，||，||成等差数列，并求该数列的公差．‎ ‎【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ ‎∵线段AB的中点为M（1，m），‎ ‎∴x1+x2=2，y1+y2=2m 将A，B代入椭圆C：+=1中，可得 ‎，‎ 两式相减可得，3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，‎ 即6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）=0，‎ ‎∴k==﹣=﹣‎ 点M（1，m）在椭圆内，即，‎ 解得0＜m ‎∴．‎ ‎（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），‎ 可得x1+x2=2，‎ ‎∵++=，F（1，0），∴x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1=0，y1+y2+y3=0，‎ ‎∴x3=1，y3=﹣（y1+y2）=﹣2m ‎∵m＞0，可得P在第四象限，故y3=﹣，m=，k=﹣1‎ 由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex1=2﹣x1，|FB|=2﹣x2，|FP|=2﹣x3=．‎ 则|FA|+|FB|=4﹣，∴|FA|+|FB|=2|FP|，‎ 联立，可得|x1﹣x2|=‎ 所以该数列的公差d满足2d=|x1﹣x2|=，‎ ‎∴该数列的公差为±．‎ ‎　‎ ‎2．已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．‎ ‎（1）证明：k＜﹣；‎ ‎（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++=，证明：2||=||+||．‎ ‎【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ ‎∵线段AB的中点为M（1，m），‎ ‎∴x1+x2=2，y1+y2=2m 将A，B代入椭圆C：+=1中，可得 ‎，‎ 两式相减可得，3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，‎ 即6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）=0，‎ ‎∴k==﹣=﹣‎ 点M（1，m）在椭圆内，即，‎ 解得0＜m ‎∴k=﹣．‎ ‎（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），‎ 可得x1+x2=2‎ ‎∵++=，F（1，0），∴x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1=0，‎ ‎∴x3=1‎ 由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex1=2﹣x1，|FB|=2﹣x2，|FP|=2﹣x3=．‎ 则|FA|+|FB|=4﹣，‎ ‎∴|FA|+|FB|=2|FP|，‎ ‎　‎ ‎3．双曲线﹣=1，F1、F2为其左右焦点，C是以F2为圆心且过原点的圆．‎ ‎（1）求C的轨迹方程；‎ ‎（2）动点P在C上运动，M满足=2，求M的轨迹方程．‎ ‎【解答】解：（1）由已知得a2=12，b2=4，故c==4，所以F1（﹣4，0）、F2（4，0），‎ 因为C是以F2为圆心且过原点的圆，故圆心为（4，0），半径为4，‎ 所以C的轨迹方程为（x﹣4）2+y2=16；‎ ‎（2）设动点M（x，y），P（x0，y0），‎ 则=（x+4，y），，‎ 由，得（x+4，y）=2（x0﹣x，y0﹣y），‎ 即，解得，‎ 因为点P在C上，所以，‎ 代入得，‎ 化简得．‎ ‎　‎ ‎4．设椭圆C：+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）．‎ ‎（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；‎ ‎（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．‎ ‎【解答】解：（1）c==1，‎ ‎∴F（1，0），‎ ‎∵l与x轴垂直，‎ ‎∴x=1，‎ 由，解得或，‎ ‎∴A（1.），或（1，﹣），‎ ‎∴直线AM的方程为y=﹣x+，y=x﹣，‎ 证明：（2）当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°，‎ 当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，∴∠OMA=∠OMB，‎ 当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y=k（x﹣1），k≠0，‎ A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＜，x2＜，‎ 直线MA，MB的斜率之和为kMA，kMB之和为kMA+kMB=+，‎ 由y1=kx1﹣k，y2=kx2﹣k得kMA+kMB=，‎ 将y=k（x﹣1）代入+y2=1可得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，‎ ‎∴x1+x2=，x1x2=，‎ ‎∴2kx1x2﹣3k（x1+x2）+4k=（4k3﹣4k﹣12k3+8k3+4k）=0‎ 从而kMA+kMB=0，‎ 故MA，MB的倾斜角互补，‎ ‎∴∠OMA=∠OMB，‎ 综上∠OMA=∠OMB．‎ ‎　‎ ‎5．已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2．斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆M的方程；‎ ‎（Ⅱ）若k=1，求|AB|的最大值；‎ ‎（Ⅲ）设P（﹣2，0），直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D．若C，D和点Q（﹣，）共线，求k．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：2c=2，则c=，椭圆的离心率e==，则a=，‎ b2=a2﹣c2=1，‎ ‎∴椭圆的标准方程：；‎ ‎（Ⅱ）设直线AB的方程为：y=x+m，A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 联立，整理得：4x2+6mx+3m2﹣3=0，△=（6m）2﹣4×4×3（m2﹣1）＞0，整理得：m2＜4，‎ x1+x2=﹣，x1x2=，‎ ‎∴|AB|==，‎ ‎∴当m=0时，|AB|取最大值，最大值为；‎ ‎（Ⅲ）设直线PA的斜率kPA=，直线PA的方程为：y=（x+2），‎ 联立，消去y整理得：（x12+4x1+4+3y12）x2+12y12x+（12y12﹣3x12﹣12x1﹣12）=0，‎ 由代入上式得，整理得：（4x1+7）x2+（12﹣4x12）x﹣（7x12+12x1）=0，‎ x1•xC=﹣，xC=﹣，则yC=（﹣+2）=，‎ 则C（﹣，），同理可得：D（﹣，），‎ 由Q（﹣，），则=（，），=（，），‎ 由与三点共线，则×=×，‎ 整理得：y2﹣x2=y1﹣x1，则直线AB的斜率k==1，‎ ‎∴k的值为1．‎ ‎　‎ ‎6．设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤‎ t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点．‎ ‎（1）用t表示点B到点F的距离；‎ ‎（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；‎ ‎（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）方法一：由题意可知：设B（t，2t），‎ 则|BF|==t+2，‎ ‎∴|BF|=t+2；‎ 方法二：由题意可知：设B（t，2t），‎ 由抛物线的性质可知：|BF|=t+=t+2，∴|BF|=t+2；‎ ‎（2）F（2，0），|FQ|=2，t=3，则|FA|=1，‎ ‎∴|AQ|=，∴Q（3，），设OQ的中点D，‎ D（，），‎ kQF==﹣，则直线PF方程：y=﹣（x﹣2），‎ 联立，整理得：3x2﹣20x+12=0，‎ 解得：x=，x=6（舍去），‎ ‎∴△AQP的面积S=××=；‎ ‎（3）存在，设P（，y），E（，m），则kPF==，kFQ=，‎ 直线QF方程为y=（x﹣2），∴yQ=（8﹣2）=，Q（8，），‎ 根据+=，则E（+6，），‎ ‎∴（）2=8（+6），解得：y2=，‎ ‎∴存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上，且P（，）．‎ ‎　‎ ‎7．已知抛物线C：y2=2px经过点P（1，2），过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．‎ ‎（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）设O为原点，=λ，=μ，求证：+为定值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线C：y2=2px经过点 P（1，2），∴4=2p，解得p=2，‎ 设过点（0，1）的直线方程为y=kx+1，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2）‎ 联立方程组可得，‎ 消y可得k2x2+（2k﹣4）x+1=0，‎ ‎∴△=（2k﹣4）2﹣4k2＞0，且k≠0解得k＜1，‎ 且k≠0，x1+x2=﹣，x1x2=，‎ 又∵PA、PB要与y轴相交，∴直线l不能经过点（1，﹣2），即k≠﹣3，‎ 故直线l的斜率的取值范围（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）∪（0，1）；‎ ‎（Ⅱ）证明：设点M（0，yM），N（0，yN），‎ 则=（0，yM﹣1），=（0，﹣1）‎ 因为=λ，所以yM﹣1=﹣yM﹣1，故λ=1﹣yM，同理μ=1﹣yN，‎ 直线PA的方程为y﹣2=（x﹣1）=（x﹣1）=（x﹣1），‎ 令x=0，得yM=，同理可得yN=，‎ 因为+=+=+======2，‎ ‎∴+=2，∴+为定值．‎ ‎　‎ ‎8．设椭圆+=1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，|AB|=．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l：y=kx（k＜0）与椭圆交于P，Q两点，1与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．‎ ‎【解答】解：（1）设椭圆的焦距为2c，‎ 由已知可得，又a2=b2+c2，‎ 解得a=3，b=2，‎ ‎∴椭圆的方程为：，‎ ‎（Ⅱ）设点P（x1，y1），M（x2，y2），（x2＞x1＞0）．则Q（﹣x1，﹣y1）．‎ ‎∵△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，∴|PM|=2|PQ|，从而x2﹣x1=2[x1﹣（﹣x1）]，‎ ‎∴x2=5x1，‎ 易知直线AB的方程为：2x+3y=6．‎ 由，可得＞0．‎ 由，可得，‎ ‎⇒，⇒18k2+25k+8=0，解得k=﹣或k=﹣．‎ 由＞0．可得k，故k=﹣，‎ ‎　‎ ‎9．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8．‎ ‎（1）求l的方程；‎ ‎（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．‎ ‎【解答】解：（1）方法一：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），‎ 设直线AB的方程为：y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则，整理得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，则x1+x2=，x1x2=1，‎ 由|AB|=x1+x2+p=+2=8，解得：k2=1，则k=1，‎ ‎∴直线l的方程y=x﹣1；‎ 方法二：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），设直线AB的倾斜角为θ，由抛物线的弦长公式|AB|===8，解得：sin2θ=，‎ ‎∴θ=，则直线的斜率k=1，‎ ‎∴直线l的方程y=x﹣1；‎ ‎（2）由（1）可得AB的中点坐标为D（3，2），则直线AB的垂直平分线方程为y﹣2=﹣（x﹣3），即y=﹣x+5，‎ 设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则，‎ 解得：或，‎ 因此，所求圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=16或（x﹣11）2+（y+6）2=144．‎ ‎　‎ ‎10．设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，点A的坐标为（b，0），且|FB|•|AB|=6．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l：y=kx（k＞0）与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q．若=sin∠AOQ（O为原点），求k的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设椭圆+=1（a＞b＞0）的焦距为2c，‎ 由椭圆的离心率为e=，‎ ‎∴=；‎ 又a2=b2+c2，‎ ‎∴2a=3b，‎ 由|FB|=a，|AB|=b，且|FB|•|AB|=6；‎ 可得ab=6，‎ 从而解得a=3，b=2，‎ ‎∴椭圆的方程为+=1；‎ ‎（Ⅱ）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），由已知y1＞y2＞0；‎ ‎∴|PQ|sin∠AOQ=y1﹣y2；‎ 又|AQ|=，且∠OAB=，‎ ‎∴|AQ|=y2，‎ 由=sin∠AOQ，可得5y1=9y2；‎ 由方程组，消去x，可得y1=，‎ ‎∴直线AB的方程为x+y﹣2=0；‎ 由方程组，消去x，可得y2=；‎ 由5y1=9y2，可得5（k+1）=3，‎ 两边平方，整理得56k2﹣50k+11=0，‎ 解得k=或k=；‎ ‎∴k的值为或．‎ ‎　‎ ‎11．已知椭圆C：，直线l：y=kx+1（k≠0）与椭圆C相交于A，B两点，D为AB的中点．‎ ‎（1）若直线l与直线OD（O为坐标原点）的斜率之积为，求椭圆..的方程；‎ ‎（2）在（1）的条件下，y轴上是否存在定点M使得当k变化时，总有∠AMO=∠BMO（O为坐标原点）．若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）由得（4+a2k2）x2+2a2kx﹣3a2=0，‎ 显然△＞0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），‎ 则，，‎ ‎∴，．‎ ‎∴=．‎ ‎∴a2=8．‎ 所以椭圆C的方程为．‎ ‎（2）假设存在定点M，且设M（0，m），‎ 由∠AMO=∠BMO得kAM+kBM=0．‎ ‎∴．‎ 即y1x2+y2x1﹣m（x1+x2）=0，‎ ‎∴2kx1x2+x1+x2﹣m（x1+x2）=0．‎ 由（1）知，，‎ ‎∴．‎ ‎∴m=4．‎ 所以存在定点M（0，4）使得∠AMO=∠BMO．‎ ‎　‎ ‎12．已知椭圆Γ：的离心率为，椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为4．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）直线l与椭圆Γ交于A，B两点，AB的中点M在圆x2+y2=1上，求△AOB（O为坐标原点）面积的最大值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）根据题意，椭圆Γ：的离心率为，则，得，，‎ 所以，‎ 由椭圆Γ的四个顶点围成的四边形的面积为4，得2ab=4，‎ 所以a=2，b=1，‎ 椭圆Γ的标准方程为．‎ ‎（Ⅱ）根据题意，直线l与椭圆Γ交于A，B两点，‎ 当直线l的斜率不存在时，‎ 令x=±1，得，，‎ 当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），‎ 由，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，‎ 则，，‎ 所以，，‎ 将代入x2+y2=1，得，‎ 又因为=，‎ 原点到直线l的距离，‎ 所以 ‎==×‎ ‎==．‎ 当且仅当12k2=1+4k2，即时取等号．‎ 综上所述，△AOB面积的最大值为1．‎ ‎　‎ ‎13．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，两条准线之间的距离为4．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）已知椭圆的左顶点为A，点M在圆x2+y2=上，直线AM与椭圆相交于另一点B，且△‎ AOB的面积是△AOM的面积的2倍，求直线AB的方程．‎ ‎【解答】解：（1）设椭圆的焦距为2c，由题意得，=，=4，‎ 解得a=2，c=b=．‎ ‎∴椭圆的方程为：+=1．‎ ‎（2）△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，∴AB=2AM，‎ ‎∴点M为AB的中点．‎ ‎∵椭圆的方程为：+=1．∴A（﹣2，0）．‎ 设M（x0，y0），则B（2x0+2，2y0）．‎ 由+=，+=1，‎ 化为：﹣18x0﹣16=0，≤x0≤．‎ 解得：x0=﹣．‎ 代入解得：y0=，‎ ‎∴kAB=，‎ 因此，直线AB的方程为：y=（x+2）．‎ ‎　‎