高考数学理科二轮复习测试专题二三角恒等变换解三角形含解析
专题二 三角函数
第2讲 三角恒等变换与解三角形
一、选择题
1．(2016·河南中原名校3月联考)函数f(x)＝sin 2x＋tancos 2x的最小正周期为( )
A. B．π C．2π D．4π
解析：∵f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin，
∴函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
答案：B
2．(2016·全国Ⅱ卷)若cos＝，则sin 2α＝( )
A. B. C．－ D．－
解析：∵cos＝，
∴sin 2α＝cos＝cos2＝
2cos2－1＝2×－1＝－.
答案：D
3．(2016·山东卷)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝( )
(导学号 55460111)
A. B. C. D.
解析：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝2b2－2b2cos A，∴2b2(1－sin A)＝2b2(1－cos A)，∴sin A＝cos A，即tan A＝1，又0
(否则，若α＋β≤，则有0<β<α＋β≤，00)，则A＝________，b＝________．
解析：∵2cos2x＋sin 2x＝1＋cos 2x＋sin 2x＝sin＋1＝Asin(ωx＋φ)＋b，∴A＝，b＝1.
答案： 1
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2asin A＝(2sin B＋sin C)b＋(2c＋b)·sin C，则A＝________．
解析：根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，故cos A＝－，又A为三角形的内角，故A＝120°.
答案：120°
7.如图，山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角∠ABC＝120°；从B处攀登400米到达D处，回头看索道AC，发现张角∠ADC＝150°；从D处再攀登800米方到达C处，则索道AC的长为________米．
解析：如题图，在△ABD中，BD＝400米，∠ABD＝120°.
∵∠ADC＝150°，∴∠ADB＝30°.∴∠DAB＝180°－120°－30°＝30°.
由正弦定理，可得＝.
∴＝，得AD＝400(米)．
在△ADC中，DC＝800米，∠ADC＝150°，由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2·AD·CD·cos∠ADC＝(400)2＋8002－2×400×800×cos 150°＝4002×13，解得AC＝400(米)．故索道AC的长为400米．
答案：400
三、解答题
8．(2015·全国Ⅰ卷)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C
的对边，sin2B＝2sin Asin C.
(导学号 55460113)
(1)若a＝b，求cos B；
(2)设B＝90°，且a＝，求△ABC的面积．
解：(1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac.
又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.
由余弦定理可得cos B＝＝.
(2)由(1)知b2＝2ac.
∵B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2，
故a2＋c2＝2ac，得c＝a＝.
∴△ABC的面积为××＝1.
9．(2016·四川卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝.
(导学号 55460114)
(1)证明：sin Asin B＝sin C；
(2)若b2＋c2－a2＝bc，求tan B.
(1)证明：根据正弦定理，可设＝＝＝k(k>0)，则a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C.
代入＋＝中，
有＋＝，
变形可得sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)．
在△ABC中，由A＋B＋C＝π，
有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，
∴sin Asin B＝sin C.
(2)解：由已知，b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理，有
cos A＝＝，
∴sin A＝＝.
由(1)知，sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，
∴sin B＝cos B＋sin B，
故tan B＝＝4.
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tan A＋tan B)＝＋.
(1)证明：a＋b＝2c；
(2)求cos C的最小值．
(1)证明：由题意知2＝＋
，
化简得2(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin A＋sin B，
即2sin(A＋B)＝sin A＋sin B.
∵A＋B＋C＝π，
∴sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，
从而sin A＋sin B＝2sin C，
由正弦定理得a＋b＝2c.
(2)解：由(1)知c＝，
∴cos C＝＝＝
－≥，
当且仅当a＝b时，等号成立，
故cos C的最小值为.
