2014年辽宁省高考数学试卷(文科)

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文档介绍

2014年辽宁省高考数学试卷(文科)

‎2014年辽宁省高考数学试卷(文科)‎ ‎ ‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分)‎ ‎1.(5分)已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=(  )‎ A.{x|x≥0} B.{x|x≤1} C.{x|0≤x≤1} D.{x|0<x<1}‎ ‎2.(5分)设复数z满足(z﹣2i)(2﹣i)=5,则z=(  )‎ A.2+3i B.2﹣3i C.3+2i D.3﹣2i ‎3.(5分)已知a=,b=log2,c=log,则(  )‎ A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b ‎4.(5分)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面,下列说法正确的是(  )‎ A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m⊥α,n⊂α,则m⊥n C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α D.若m∥α,m⊥n,则n⊥α ‎5.(5分)设,,是非零向量,已知命题p:若•=0,•=0,则•=0;命题q:若∥,∥,则∥,则下列命题中真命题是(  )‎ A.p∨q B.p∧q C.(¬p)∧(¬q) D.p∨(¬q)‎ ‎6.(5分)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.(5分)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为(  )‎ A.8﹣ B.8﹣ C.8﹣π D.8﹣2π ‎8.(5分)已知点A(﹣2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为(  )‎ A.﹣ B.﹣1 C.﹣ D.﹣‎ ‎9.(5分)设等差数列{an}的公差为d,若数列{2}为递减数列,则(  )‎ A.d>0 B.d<0 C.a1d>0 D.a1d<0‎ ‎10.(5分)已知f(x)为偶函数,当x≥0时,f(x)=,则不等式f(x﹣1)≤的解集为(  )‎ A.[,]∪[,] B.[﹣,﹣]∪[,]‎ C.[,]∪[,] D.[﹣,﹣]∪[,]‎ ‎11.(5分)将函数y=3sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数(  )‎ A.在区间[,]上单调递减 B.在区间[,]上单调递增 C.在区间[﹣,]上单调递减 D.在区间[﹣,]上单调递增 ‎12.(5分)当x∈[﹣2,1]时,不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是(  )‎ A.[﹣5,﹣3] B.[﹣6,﹣] C.[﹣6,﹣2] D.[﹣4,﹣3]‎ ‎ ‎ 二、填空题(共4小题,每小题5分)‎ ‎13.(5分)执行如图的程序框图,若输入n=3,则输出T=  .‎ ‎14.(5分)已知x,y满足约束条件,则目标函数z=3x+4y的最大值为  .‎ ‎15.(5分)已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合,若M关于C的焦点的对称点分别为A、B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=  .‎ ‎16.(5分)对于c>0,当非零实数a,b满足4a2﹣2ab+b2﹣c=0且使|2a+b|最大时,++的最小值为  .‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎17.(12分)在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a,b,c,且a>c,已知•=2,cosB=,b=3,求:‎ ‎(Ⅰ)a和c的值;‎ ‎(Ⅱ)cos(B﹣C)的值.‎ ‎18.(12分)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如表所示:‎ 喜欢甜品 不喜欢甜品 合计 南方学生 ‎60‎ ‎20‎ ‎80‎ 北方学生 ‎10‎ ‎10‎ ‎20‎ 合计 ‎70‎ ‎30‎ ‎100‎ ‎(Ⅰ)根据表中数据,问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”;‎ ‎(Ⅱ)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生,其中2名喜欢甜品,现在从这5名学生中随机抽取3人,求至多有1人喜欢甜品的概率.‎ 附:X2=‎ P(x2>k)‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎19.(12分)如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2.∠ABC=∠DBC=120°,E、F、G分别为AC、DC、AD的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:EF⊥平面BCG;‎ ‎(Ⅱ)求三棱锥D﹣BCG的体积.‎ 附:锥体的体积公式V=Sh,其中S为底面面积,h为高.‎ ‎20.(12分)圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图).‎ ‎(Ⅰ)求点P的坐标;‎ ‎(Ⅱ)焦点在x轴上的椭圆C过点P,且与直线l:y=x+交于A、B两点,若△PAB的面积为2,求C的标准方程.‎ ‎21.(12分)已知函数f(x)=π(x﹣cosx)﹣2sinx﹣2,g(x)=(x﹣π)+﹣1.‎ 证明:‎ ‎(Ⅰ)存在唯一x0∈(0,),使f(x0)=0;‎ ‎(Ⅱ)存在唯一x1∈(,π),使g(x1)=0,且对(Ⅰ)中的x0,有x0+x1>π.‎ ‎ ‎ 四、选考题,请考生在22-24三题中任选一题作答,多做则按所做的第一题给分选修4-1:几何证明选讲 ‎22.(10分)如图,EP交圆于E,C两点,PD切圆于D,G为CE上一点且PG=PD,连接DG并延长交圆于点A,作弦AB垂直EP,垂足为F.‎ ‎(Ⅰ)求证:AB为圆的直径;‎ ‎(Ⅱ)若AC=BD,求证:AB=ED.‎ ‎ ‎ 选修4-4:坐标系与参数方程 ‎23.将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.‎ ‎(Ⅰ)写出C的参数方程;‎ ‎(Ⅱ)设直线l:2x+y﹣2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.‎ ‎ ‎ 选修4-5:不等式选讲 ‎24.设函数f(x)=2|x﹣1|+x﹣1,g(x)=16x2﹣8x+1.记f(x)≤1的解集为M,g(x)≤4的解集为N.‎ ‎(Ⅰ)求M;‎ ‎(Ⅱ)当x∈M∩N时,证明:x2f(x)+x[f(x)]2≤.‎ ‎ ‎ ‎2014年辽宁省高考数学试卷(文科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分)‎ ‎1.(5分)(2014•辽宁)已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=(  )‎ A.{x|x≥0} B.{x|x≤1} C.{x|0≤x≤1} D.{x|0<x<1}‎ ‎【分析】先求A∪B,再根据补集的定义求CU(A∪B).‎ ‎【解答】解:A∪B={x|x≥1或x≤0},‎ ‎∴CU(A∪B)={x|0<x<1},‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)(2014•辽宁)设复数z满足(z﹣2i)(2﹣i)=5,则z=(  )‎ A.2+3i B.2﹣3i C.3+2i D.3﹣2i ‎【分析】把给出的等式两边同时乘以,然后利用复数代数形式的除法运算化简,则z可求.‎ ‎【解答】解:由(z﹣2i)(2﹣i)=5,得:‎ ‎,‎ ‎∴z=2+3i.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)(2014•辽宁)已知a=,b=log2,c=log,则(  )‎ A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b ‎【分析】利用指数式的运算性质得到0<a<1,由对数的运算性质得到b<0,c>1,则答案可求.‎ ‎【解答】解:∵0<a=<20=1,‎ b=log2<log21=0,‎ c=log=log23>log22=1,‎ ‎∴c>a>b.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)(2014•辽宁)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面,下列说法正确的是(  )‎ A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m⊥α,n⊂α,则m⊥n C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α D.若m∥α,m⊥n,则n⊥α ‎【分析】A.运用线面平行的性质,结合线线的位置关系,即可判断;‎ B.运用线面垂直的性质,即可判断;‎ C.运用线面垂直的性质,结合线线垂直和线面平行的位置即可判断;‎ D.运用线面平行的性质和线面垂直的判定,即可判断.‎ ‎【解答】解:A.若m∥α,n∥α,则m,n相交或平行或异面,故A错;‎ B.若m⊥α,n⊂α,则m⊥n,故B正确;‎ C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α,故C错;‎ D.若m∥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α或n⊥α,故D错.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)(2014•辽宁)设,,是非零向量,已知命题p:若•=0,•=0,则•=0;命题q:若∥,∥,则∥,则下列命题中真命题是(  )‎ A.p∨q B.p∧q C.(¬p)∧(¬q) D.p∨(¬q)‎ ‎【分析】根据向量的有关概念和性质分别判断p,q的真假,利用复合命题之间的关系即可得到结论.‎ ‎【解答】解:若•=0,•=0,则•=•,即(﹣)•=0,则•=0不一定成立,故命题p为假命题,‎ 若∥,∥,则∥平行,故命题q为真命题,‎ 则p∨q,为真命题,p∧q,(¬p)∧(¬q),p∨(¬q)都为假命题,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)(2014•辽宁)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】利用几何槪型的概率公式,求出对应的图形的面积,利用面积比即可得到结论.‎ ‎【解答】解:∵AB=2,BC=1,‎ ‎∴长方体的ABCD的面积S=1×2=2,‎ 圆的半径r=1,半圆的面积S=,‎ 则由几何槪型的概率公式可得质点落在以AB为直径的半圆内的概率是,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)(2014•辽宁)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为(  )‎ A.8﹣ B.8﹣ C.8﹣π D.8﹣2π ‎【分析】几何体是正方体切去两个圆柱,根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高,把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算.‎ ‎【解答】解:由三视图知:几何体是正方体切去两个圆柱,‎ 正方体的棱长为2,切去的圆柱的底面半径为1,高为2,‎ ‎∴几何体的体积V=23﹣2××π×12×2=8﹣π.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)(2014•辽宁)已知点A(﹣2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为(  )‎ A.﹣ B.﹣1 C.﹣ D.﹣‎ ‎【分析】利用点A(﹣2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,确定焦点F的坐标,即可求出直线AF的斜率.‎ ‎【解答】解:∵点A(﹣2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,‎ ‎∴﹣=﹣2,‎ ‎∴F(2,0),‎ ‎∴直线AF的斜率为=﹣.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)(2014•辽宁)设等差数列{an}的公差为d,若数列{2}为递减数列,则(  )‎ A.d>0 B.d<0 C.a1d>0 D.a1d<0‎ ‎【分析】由数列递减可得<1,由指数函数的性质和等差数列的通项公式化简可得.‎ ‎【解答】解:∵数列{2}为递减数列,‎ ‎∴<1,即<1,‎ ‎∴<1,‎ ‎∴a1(an+1﹣an)=a1d<0‎ 故选:D ‎ ‎ ‎10.(5分)(2014•辽宁)已知f(x)为偶函数,当x≥0时,f(x)=,则不等式f(x﹣1)≤的解集为(  )‎ A.[,]∪[,] B.[﹣,﹣]∪[,]‎ C.[,]∪[,] D.[﹣,﹣]∪[,]‎ ‎【分析】先求出当x≥0时,不等式f(x)≤的解,然后利用函数的奇偶性求出整个定义域上f(x)≤的解,即可得到结论.‎ ‎【解答】解:当x∈[0,],由f(x)=,即cosπx=,‎ 则πx=,即x=,‎ 当x>时,由f(x)=,得2x﹣1=,‎ 解得x=,‎ 则当x≥0时,不等式f(x)≤的解为≤x≤,(如图)‎ 则由f(x)为偶函数,‎ ‎∴当x<0时,不等式f(x)≤的解为﹣≤x≤﹣,‎ 即不等式f(x)≤的解为≤x≤或﹣≤x≤﹣,‎ 则由≤x﹣1≤或﹣≤x﹣1≤﹣,‎ 解得≤x≤或≤x≤,‎ 即不等式f(x﹣1)≤的解集为{x|≤x≤或≤x≤},‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎11.(5分)(2014•辽宁)将函数y=3sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数(  )‎ A.在区间[,]上单调递减 B.在区间[,]上单调递增 C.在区间[﹣,]上单调递减 D.在区间[﹣,]上单调递增 ‎【分析】直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式,然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间,取k=0即可得到函数在区间[,]上单调递增,则答案可求.‎ ‎【解答】解:把函数y=3sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,‎ 得到的图象所对应的函数解析式为:y=3sin[2(x﹣)+].‎ 即y=3sin(2x﹣).‎ 当函数递增时,由,得.‎ 取k=0,得.‎ ‎∴所得图象对应的函数在区间[,]上单调递增.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)(2014•辽宁)当x∈[﹣2,1]时,不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是(  )‎ A.[﹣5,﹣3] B.[﹣6,﹣] C.[﹣6,﹣2] D.[﹣4,﹣3]‎ ‎【分析】分x=0,0<x≤1,﹣2≤x<0三种情况进行讨论,分离出参数a后转化为函数求最值即可,利用导数即可求得函数最值,注意最后要对a取交集.‎ ‎【解答】解:当x=0时,不等式ax3﹣x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立;‎ 当0<x≤1时,ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≥,‎ 令f(x)=,则f′(x)==﹣(*),‎ 当0<x≤1时,f′(x)>0,f(x)在(0,1]上单调递增,‎ f(x)max=f(1)=﹣6,∴a≥﹣6;‎ 当﹣2≤x<0时,ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≤,‎ 由(*)式可知,当﹣2≤x<﹣1时,f′(x)<0,f(x)单调递减,当﹣1<x<0时,f′(x)>0,f(x)单调递增,‎ f(x)min=f(﹣1)=﹣2,∴a≤﹣2;‎ 综上所述,实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2,即实数a的取值范围是[﹣6,﹣2].‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ 二、填空题(共4小题,每小题5分)‎ ‎13.(5分)(2014•辽宁)执行如图的程序框图,若输入n=3,则输出T= 20 .‎ ‎【分析】算法的功能是求T=1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+3+…+i)的值,根据条件确定跳出循环的i值,计算输出的T值.‎ ‎【解答】解:由程序框图知:算法的功能是求T=1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+3+…+i)的值,‎ 当输入n=3时,跳出循环的i值为4,‎ ‎∴输出T=1+3+6++10=20.‎ 故答案为:20.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)(2014•辽宁)已知x,y满足约束条件,则目标函数z=3x+4y的最大值为 18 .‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求出最优解的坐标,代入目标函数得答案.‎ ‎【解答】解:由约束条件作出可行域如图,‎ 联立,解得,‎ ‎∴C(2,3).‎ 化目标函数z=3x+4y为直线方程的斜截式,得:.‎ 由图可知,当直线过点C时,直线在y轴上的截距最大,即z最大.‎ ‎∴zmax=3×2+4×3=18.‎ 故答案为:18.‎ ‎ ‎ ‎15.(5分)(2014•辽宁)已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合,若M关于C的焦点的对称点分别为A、B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|= 12 .‎ ‎【分析】画出图形,利用中点坐标以及椭圆的定义,即可求出|AN|+|BN|的值.‎ ‎【解答】解:如图:MN的中点为Q,易得,,‎ ‎∵Q在椭圆C上,∴|QF1|+|QF2|=2a=6,‎ ‎∴|AN|+|BN|=12.‎ 故答案为:12.‎ ‎ ‎ ‎16.(5分)(2014•辽宁)对于c>0,当非零实数a,b满足4a2﹣2ab+b2﹣c=0且使|2a+b|最大时,++的最小值为 ﹣1 .‎ ‎【分析】首先把:4a2﹣2ab+b2﹣c=0,转化为=,再由柯西不等式得到|2a+b|2,分别用b表示a,c,在代入到++得到关于b的二次函数,求出最小值即可.‎ ‎【解答】解:∵4a2﹣2ab+b2﹣c=0,‎ ‎∴=‎ 由柯西不等式得,‎ ‎[][]≥[2(a﹣)+×2]2=|2a+b|2‎ 故当|2a+b|最大时,有 ‎∴,c=b2‎ ‎∴++==‎ 当b=﹣2时,取得最小值为﹣1.‎ 故答案为:﹣1‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎17.(12分)(2014•辽宁)在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a,b,c,且a>c,已知•=2,cosB=,b=3,求:‎ ‎(Ⅰ)a和c的值;‎ ‎(Ⅱ)cos(B﹣C)的值.‎ ‎【分析】(Ⅰ)利用平面向量的数量积运算法则化简•=2,将cosB的值代入求出ac=6,再利用余弦定理列出关系式,将b,cosB以及ac的值代入得到a2+c2=13,联立即可求出ac的值;‎ ‎(Ⅱ)由cosB的值,利用同角三角函数间基本关系求出sinB的值,由c,b,sinB,利用正弦定理求出sinC的值,进而求出cosC的值,原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后,将各自的值代入计算即可求出值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)∵•=2,cosB=,‎ ‎∴c•acosB=2,即ac=6①,‎ ‎∵b=3,‎ ‎∴由余弦定理得:b2=a2+c2﹣2accosB,即9=a2+c2﹣4,‎ ‎∴a2+c2=13②,‎ 联立①②得:a=3,c=2;‎ ‎(Ⅱ)在△ABC中,sinB===,‎ 由正弦定理=得:sinC=sinB=×=,‎ ‎∵a=b>c,∴C为锐角,‎ ‎∴cosC===,‎ 则cos(B﹣C)=cosBcosC+sinBsinC=×+×=.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)(2014•辽宁)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如表所示:‎ 喜欢甜品 不喜欢甜品 合计 南方学生 ‎60‎ ‎20‎ ‎80‎ 北方学生 ‎10‎ ‎10‎ ‎20‎ 合计 ‎70‎ ‎30‎ ‎100‎ ‎(Ⅰ)根据表中数据,问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”;‎ ‎(Ⅱ)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生,其中2名喜欢甜品,现在从这5名学生中随机抽取3人,求至多有1人喜欢甜品的概率.‎ 附:X2=‎ P(x2>k)‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎【分析】(Ⅰ)根据表中数据,利用公式,即可得出结论;‎ ‎(Ⅱ)利用古典概型概率公式,即可求解.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由题意,X2=≈4.762>3.841,‎ ‎∴有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”;‎ ‎(Ⅱ)从这5名学生中随机抽取3人,共有=10种情况,有2名喜欢甜品,有=3种情况,‎ ‎∴至多有1人喜欢甜品的概率.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)(2014•辽宁)如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2.∠ABC=∠DBC=120°,E、F、G分别为AC、DC、AD的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:EF⊥平面BCG;‎ ‎(Ⅱ)求三棱锥D﹣BCG的体积.‎ 附:锥体的体积公式V=Sh,其中S为底面面积,h为高.‎ ‎【分析】(Ⅰ)先证明AD⊥平面BGC,利用EF∥AD,可得EF⊥平面BCG;‎ ‎(Ⅱ)在平面ABC内,作AO⊥CB,交CB的延长线于O,G到平面BCD的距离h是AO长度的一半,利用VD﹣BCG=VG﹣BCD=,即可求三棱锥D﹣BCG的体积.‎ ‎【解答】(Ⅰ)证明:∵AB=BC=BD=2.∠ABC=∠DBC=120°,‎ ‎∴△ABC≌△DBC,‎ ‎∴AC=DC,‎ ‎∵G为AD的中点,‎ ‎∴CG⊥AD.‎ 同理BG⊥AD,‎ ‎∵CG∩BG=G,‎ ‎∴AD⊥平面BGC,‎ ‎∵EF∥AD,‎ ‎∴EF⊥平面BCG;‎ ‎(Ⅱ)解:在平面ABC内,作AO⊥CB,交CB的延长线于O,‎ ‎∵△ABC和△BCD所在平面互相垂直,‎ ‎∴AO⊥平面BCD,‎ ‎∵G为AD的中点,‎ ‎∴G到平面BCD的距离h是AO长度的一半.‎ 在△AOB中,AO=ABsin60°=,‎ ‎∴VD﹣BCG=VG﹣BCD==×=.‎ ‎ ‎ ‎20.(12分)(2014•辽宁)圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图).‎ ‎(Ⅰ)求点P的坐标;‎ ‎(Ⅱ)焦点在x轴上的椭圆C过点P,且与直线l:y=x+交于A、B两点,若△PAB的面积为2,求C的标准方程.‎ ‎【分析】(Ⅰ)设切点P的坐标为(x0,y0),求得圆的切线方程,根据切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成的三角形的面积S=.再利用基本不等式求得S取得最小值,求得点P的坐标.‎ ‎(Ⅱ)设椭圆的标准方程为 +=1,a>b>0,则 +=1.把直线方程和椭圆的方程联立方程组,转化为关于x的一元二次方程,利用韦达定理、弦长公式求出弦长AB以及点P到直线的距离d,再由△PAB的面积为S=•AB•d=2,求出a2、b2的值,从而得到所求椭圆的方程.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)设切点P的坐标为(x0,y0),且x0>0,y0>0.‎ 则切线的斜率为﹣,故切线方程为 y﹣y0=﹣(x﹣x0),即x0x+y0y=4.‎ 此时,切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成的三角形的面积S=••=.‎ 再根据 +=4≥2x0•y0,可得当且仅当x0=y0=时,‎ x0•y0取得最大值为2,即S取得最小值为=4,‎ 故此时,点P的坐标为(,).‎ ‎(Ⅱ)设椭圆的标准方程为 +=1,a>b>0,∵椭圆C过点P,∴+=1.‎ 由 求得b2x2+4x+6﹣2b2=0,‎ ‎∴x1+x2=﹣,x1•x2=.‎ 由 y1=x1+,y2=x2+,可得AB=|x2﹣x1|=•=•‎ ‎=.‎ 由于点P(,)到直线l:y=x+的距离d=,‎ ‎△PAB的面积为S=•AB•d=2,可得 b4﹣9b2+18=0,解得 b2=3,或 b2=6,‎ 当b2=6 时,由+=1求得a2=3,不满足题意;‎ 当b2=3时,由+=1求得a2=6,满足题意,故所求的椭圆的标准方程为 ‎ ‎+=1.‎ ‎ ‎ ‎21.(12分)(2014•辽宁)已知函数f(x)=π(x﹣cosx)﹣2sinx﹣2,g(x)=(x﹣π)+﹣1.‎ 证明:‎ ‎(Ⅰ)存在唯一x0∈(0,),使f(x0)=0;‎ ‎(Ⅱ)存在唯一x1∈(,π),使g(x1)=0,且对(Ⅰ)中的x0,有x0+x1>π.‎ ‎【分析】(Ⅰ)导数法可判f(x)在(0,)上为增函数,又可判函数有零点,故必唯一;(Ⅱ)化简可得g(x)=(π﹣x)+﹣1,换元法,令t=π﹣x,记u(t)=g(π﹣t)=﹣﹣t+1,t∈[0,],由导数法可得函数的零点,可得不等式.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)当x∈(0,)时,f′(x)=π+πsinx﹣2cosx>0,‎ ‎∴f(x)在(0,)上为增函数,‎ 又f(0)=﹣π﹣2<0,f()=﹣4>0,‎ ‎∴存在唯一x0∈(0,),使f(x0)=0;‎ ‎(Ⅱ)当x∈[,π]时,‎ 化简可得g(x)=(x﹣π)+﹣1‎ ‎=(π﹣x)+﹣1,‎ 令t=π﹣x,记u(t)=g(π﹣t)=﹣﹣t+1,t∈[0,],‎ 求导数可得u′(t)=,‎ 由(Ⅰ)得,当t∈(0,x0)时,u′(t)<0,当t∈(x0,)时,u′(t)>0,‎ ‎∴函数u(t)在(x0,)上为增函数,‎ 由u()=0知,当t∈[x0,)时,u(t)<0,‎ ‎∴函数u(t)在[x0,)上无零点;‎ 函数u(t)在(0,x0)上为减函数,‎ 由u(0)=1及u(x0)<0知存在唯一t0∈(0,x0),使u(t0)=0,‎ 于是存在唯一t0∈(0,),使u(t0)=0,‎ 设x1=π﹣t0∈(,π),则g(x1)=g(π﹣t0)=u(t0)=0,‎ ‎∴存在唯一x1∈(,π),使g(x1)=0,‎ ‎∵x1=π﹣t0,t0<x0,‎ ‎∴x0+x1>π ‎ ‎ 四、选考题,请考生在22-24三题中任选一题作答,多做则按所做的第一题给分选修4-1:几何证明选讲 ‎22.(10分)(2014•辽宁)如图,EP交圆于E,C两点,PD切圆于D,G为CE上一点且PG=PD,连接DG并延长交圆于点A,作弦AB垂直EP,垂足为F.‎ ‎(Ⅰ)求证:AB为圆的直径;‎ ‎(Ⅱ)若AC=BD,求证:AB=ED.‎ ‎【分析】(Ⅰ)证明AB为圆的直径,只需证明∠BDA=90°;‎ ‎(Ⅱ)证明Rt△BDA≌Rt△ACB,再证明∠DCE为直角,即可证明AB=ED.‎ ‎【解答】证明:(Ⅰ)∵PG=PD,∴∠PDG=∠PGD,‎ ‎∵PD为切线,∴∠PDA=∠DBA,‎ ‎∵∠PGD=∠EGA,‎ ‎∴∠DBA=∠EGA,‎ ‎∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD,‎ ‎∴∠BDA=∠PFA,‎ ‎∵AF⊥EP,‎ ‎∴∠PFA=90°.‎ ‎∴∠BDA=90°,‎ ‎∴AB为圆的直径;‎ ‎(Ⅱ)连接BC,DC,则 ‎∵AB为圆的直径,‎ ‎∴∠BDA=∠ACB=90°,‎ 在Rt△BDA与Rt△ACB中,AB=BA,AC=BD,‎ ‎∴Rt△BDA≌Rt△ACB,‎ ‎∴∠DAB=∠CBA,‎ ‎∵∠DCB=∠DAB,‎ ‎∴∠DCB=∠CBA,‎ ‎∴DC∥AB,‎ ‎∵AB⊥EP,‎ ‎∴DC⊥EP,‎ ‎∴∠DCE为直角,‎ ‎∴ED为圆的直径,‎ ‎∵AB为圆的直径,‎ ‎∴AB=ED.‎ ‎ ‎ 选修4-4:坐标系与参数方程 ‎23.(2014•辽宁)将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.‎ ‎(Ⅰ)写出C的参数方程;‎ ‎(Ⅱ)设直线l:2x+y﹣2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.‎ ‎【分析】(Ⅰ)在曲线C上任意取一点(x,y),再根据点(x,)在圆x2+y2=1上,求出C的方程,化为参数方程.‎ ‎(Ⅱ)解方程组求得P1、P2的坐标,可得线段P1P2的中点坐标.再根据与l垂直的直线的斜率为,用点斜式求得所求的直线的方程,再根据x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)在曲线C上任意取一点(x,y),由题意可得点(x,)在圆x2+y2=1上,‎ ‎∴x2+=1,即曲线C的方程为 x2+=1,化为参数方程为 (0≤θ<2π,θ为参数).‎ ‎(Ⅱ)由,可得 ,,不妨设P1(1,0)、P2(0,2),‎ 则线段P1P2的中点坐标为(,1),‎ 再根据与l垂直的直线的斜率为,故所求的直线的方程为y﹣1=(x﹣),即x﹣2y+=0.‎ 再根据x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα﹣2ρsinα+=0,‎ 即 ρ=.‎ ‎ ‎ 选修4-5:不等式选讲 ‎24.(2014•辽宁)设函数f(x)=2|x﹣1|+x﹣1,g(x)=16x2﹣8x+1.记f(x)≤1的解集为M,g(x)≤4的解集为N.‎ ‎(Ⅰ)求M;‎ ‎(Ⅱ)当x∈M∩N时,证明:x2f(x)+x[f(x)]2≤.‎ ‎【分析】(Ⅰ)由所给的不等式可得①,或 ②,分别求得①、②的解集,再取并集,即得所求.‎ ‎(Ⅱ)由g(x)≤4,求得N,可得M∩N=[0,].当x∈M∩N时,f(x)=1﹣x,不等式的左边化为﹣,显然它小于或等于 ,要证的不等式得证.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由f(x)=2|x﹣1|+x﹣1≤1 可得①,或 ②.‎ 解①求得1≤x≤,解②求得 0≤x<1.‎ 综上,原不等式的解集为[0,].‎ ‎(Ⅱ)证明:‎ 由g(x)=16x2﹣8x+1≤4,求得﹣≤x≤,‎ ‎∴N=[﹣,],‎ ‎∴M∩N=[0,].‎ ‎∵当x∈M∩N时,f(x)=1﹣x,‎ ‎∴x2f(x)+x[f(x)]2 =xf(x)[x+f(x)]=﹣≤,‎ 故要证的不等式成立.‎ ‎ ‎ 参与本试卷答题和审题的老师有:清风慕竹;sxs123;双曲线;maths;刘长柏;lincy;wyz123;qiss;whgcn;sllwyn;caoqz(排名不分先后)‎ ‎2017年2月3日
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