2015年湖北省高考数学试卷（文科）

2015年湖北省高考数学试卷（文科）

‎2015年湖北省高考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．（3分）i为虚数单位，i607=（　　）‎ A．﹣i B．i C．1 D．﹣1‎ ‎2．（3分）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（　　）‎ A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石 ‎3．（3分）命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（　　）‎ A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1‎ C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣1‎ ‎4．（3分）已知变量x和y满足关系y=﹣0.1x+1，变量y与z正相关，下列结论中正确的是（　　）‎ A．x与y负相关，x与z负相关 B．x与y正相关，x与z正相关 C．x与y正相关，x与z负相关 D．x与y负相关，x与z正相关 ‎5．（3分）l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则（　　）‎ A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件 C．p是q的充分必要条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 ‎6．（3分）函数f（x）=+lg的定义域为（　　）‎ A．（2，3） B．（2，4] C．（2，3）∪（3，4] D．（﹣1，3）∪（3，6]‎ ‎7．（3分）设x∈R，定义符号函数sgnx=，则（　　）‎ A．|x|=x|sgnx| B．|x|=xsgn|x| C．|x|=|x|sgnx D．|x|=xsgnx ‎8．（3分）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x+y≤”的概率，P2为事件“xy≤”的概率，则（　　）‎ A．p1＜p2＜ B． C．p2＜ D．‎ ‎9．（3分）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（　　）‎ A．对任意的a，b，e1＞e2‎ B．当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2‎ C．对任意的a，b，e1＜e2‎ D．当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2‎ ‎10．（3分）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（　　）‎ A．77 B．49 C．45 D．30‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎11．（3分）已知向量⊥，||=3，则•=　　．‎ ‎12．（3分）设变量x，y满足约束条件，则3x+y的最大值为　　．‎ ‎13．（3分）f（x）=2sin xsin（x+）﹣x2的零点个数为　　．‎ ‎14．（3分）某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．‎ ‎（1）直方图中的a=　　．‎ ‎（2）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为　　．‎ ‎15．（3分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=　　m．‎ ‎16．（3分）如图，已知圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|=2．‎ ‎（1）圆C的标准方程为　　．‎ ‎（2）圆C在点B处切线在x轴上的截距为　　．‎ ‎17．（3分）a为实数，函数f（x）=|x2﹣ax|在区间[0，1]上的最大值记为g（a）．当a=　　时，g（a）的值最小．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎18．（12分）某同学将“五点法”画函数f（x）=Asin（wx+φ）（w＞0，|φ|＜‎ ‎）在某一个时期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：‎ wx+φ ‎0‎ π ‎2π x Asin（wx+φ）‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎﹣5‎ ‎0‎ ‎（1）请将上述数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；‎ ‎（2）将y=f（x）图象上所有点向左平移个单位长度，得到y=g（x）图象，求y=g（x）的图象离原点O最近的对称中心．‎ ‎19．（12分）设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．‎ ‎（1）求数列{an}，{bn}的通项公式 ‎（2）当d＞1时，记cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎20．（13分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE．‎ ‎（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC．试判断四面体EBCD是否为鳖臑．若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；‎ ‎（Ⅱ）记阳马P﹣ABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求的值．‎ ‎21．（14分）设函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，f（x）+g（x）=ex，其中e为自然对数的底数．‎ ‎（1）求f（x），g（x）的解析式，并证明：当x＞0时，f（x）＞0，g（x）＞1；‎ ‎（2）设a≤0，b≥1，证明：当x＞0时，ag（x）+（1﹣a）＜＜bg（x）+（1﹣b）．‎ ‎22．（14分）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．‎ ‎　‎ ‎2015年湖北省高考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．（3分）（2015•湖北）i为虚数单位，i607=（　　）‎ A．﹣i B．i C．1 D．﹣1‎ ‎【分析】直接利用虚数单位i的运算性质得答案．‎ ‎【解答】解：i607=i606•i=（i2）303•i=（﹣1）303•i=﹣i．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2015•湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（　　）‎ A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石 ‎【分析】根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1534×≈169石，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2015•湖北）命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（　　）‎ A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1‎ C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣1‎ ‎【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．‎ ‎【解答】解：命题的否定是：∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1，‎ 故选：C ‎　‎ ‎4．（3分）（2015•湖北）已知变量x和y满足关系y=﹣0.1x+1，变量y与z正相关，下列结论中正确的是（　　）‎ A．x与y负相关，x与z负相关 B．x与y正相关，x与z正相关 C．x与y正相关，x与z负相关 D．x与y负相关，x与z正相关 ‎【分析】由题意，根据一次项系数的符号判断相关性，由y与z正相关，设y=kz，k＞0，得到x与z的相关性．‎ ‎【解答】解：因为变量x和y满足关系y=﹣0.1x+1，一次项系数为﹣0.1＜0，所以x与y负相关；‎ 变量y与z正相关，设，y=kz，（k＞0），所以kz=﹣0.1x+1，得到z=，一次项系数小于0，所以z与x负相关；‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2015•湖北）l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则（　　）‎ A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件 C．p是q的充分必要条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 ‎【分析】根据充分条件和必要条件的定义结婚空间直线的位置关系，进行判断即可．‎ ‎【解答】解：若l1，l2是异面直线，则l1，l2不相交，即充分性成立，‎ 若l1，l2不相交，则l1，l2可能是平行或异面直线，即必要性不成立，‎ 故p是q的充分条件，但不是q的必要条件，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2015•湖北）函数f（x）=+lg的定义域为（　　）‎ A．（2，3） B．（2，4] C．（2，3）∪（3，4] D．（﹣1，3）∪（3，6]‎ ‎【分析】根据函数成立的条件进行求解即可．‎ ‎【解答】解：要使函数有意义，则，‎ 即，‎ ‎＞0等价为①即，即x＞3，‎ ‎②，即，此时2＜x＜3，‎ 即2＜x＜3或x＞3，‎ ‎∵﹣4≤x≤4，‎ ‎∴解得3＜x≤4且2＜x＜3，‎ 即函数的定义域为（2，3）∪（3，4]，‎ 故选：C ‎　‎ ‎7．（3分）（2015•湖北）设x∈R，定义符号函数sgnx=，则（　　）‎ A．|x|=x|sgnx| B．|x|=xsgn|x| C．|x|=|x|sgnx D．|x|=xsgnx ‎【分析】去掉绝对值符号，逐个比较即可．‎ ‎【解答】解：对于选项A，右边=x|sgnx|=，而左边=|x|=，显然不正确；‎ 对于选项B，右边=xsgn|x|=，而左边=|x|=，显然不正确；‎ 对于选项C，右边=|x|sgnx=，而左边=|x|=，显然不正确；‎ 对于选项D，右边=xsgnx=，而左边=|x|=，显然正确；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2015•湖北）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x+y≤”的概率，P2为事件“xy≤”的概率，则（　　）‎ A．p1＜p2＜ B． C．p2＜ D．‎ ‎【分析】分别求出事件“x+y≤”和事件“xy≤”对应的区域，然后求出面积，利用几何概型公式求出概率，比较大小．‎ ‎【解答】解：由题意，事件“x+y≤”表示的区域如图阴影三角形，‎ p1=；‎ 满足事件“xy≤”的区域如图阴影部分 所以p2===＞；‎ 所以；‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）（2015•湖北）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（　　）‎ A．对任意的a，b，e1＞e2‎ B．当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2‎ C．对任意的a，b，e1＜e2‎ D．当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2‎ ‎【分析】分别求出双曲线的离心率，再平方作差，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意，双曲线C1：c2=a2+b2，e1=；‎ 双曲线C2：c′2=（a+m）2+（b+m）2，e2=，‎ ‎∴=﹣=，‎ ‎∴当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2015•湖北）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（　　）‎ A．77 B．49 C．45 D．30‎ ‎【分析】由题意可得，A={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），B={‎ ‎（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）}，根据定义可求 ‎【解答】解：解法一：‎ ‎∵A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），‎ B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）}‎ ‎∵A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，‎ ‎∴A⊕B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2），（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），‎ ‎（﹣2，3），（﹣2，﹣3），（0，﹣3），（2，﹣3），（﹣1，3），（﹣1，﹣3），（1，3），（2，3），（0，3），（3，﹣1），（3，0）（3，1），（3，2），（3，﹣2）（﹣3，2）（﹣3，1），（1，﹣3），（﹣3，﹣1），（﹣3，0），（﹣3，﹣2）}共45个元素；‎ 解法二：‎ 因为集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，所以集合A中有5个元素，即图中圆中的整点，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，中有5×5=25个元素，即图中正方形ABCD中的整点，A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}的元素可看作正方形A1B1C1D1中的整点（除去四个顶点），即7×7﹣4=45个．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎11．（3分）（2015•湖北）已知向量⊥，||=3，则•=　9　．‎ ‎【分析】由已知结合平面向量是数量积运算求得答案．‎ ‎【解答】解：由⊥，得•=0，即•（）=0，‎ ‎∵||=3，‎ ‎∴．‎ 故答案为：9．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）（2015•湖北）设变量x，y满足约束条件，则3x+y的最大值为　10　．‎ ‎【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．‎ ‎【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图，‎ 由z=3x+y，得y=﹣3x+z，‎ 平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点C时，直线y=﹣3x+z的截距最大，‎ 此时z最大．‎ 由得．即C（3，1），‎ 此时z的最大值为z=3×3+1=10，‎ 故答案为：10．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）（2015•湖北）f（x）=2sin xsin（x+）﹣x2的零点个数为　2　．‎ ‎【分析】将函数进行化简，由f（x）=0，转化为两个函数的交点个数进行求解即可．‎ ‎【解答】解：f（x）=2sinxcosx﹣x2=sin2x﹣x2，‎ 由f（x）=0得sin2x=x2，‎ 作出函数y=sin2x和y=x2的图象如图：‎ 由图象可知，两个函数的图象有2个不同的交点，‎ 即函数f（x）的零点个数为2个，‎ 故答案为：2‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2015•湖北）某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．‎ ‎（1）直方图中的a=　3　．‎ ‎（2）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为　6000　．‎ ‎【分析】（1）频率分布直方图中每一个矩形的面积表示频率，先算出频率，在根据频率和为1，算出a的值；‎ ‎（2）先求出消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的频率，再求频数．‎ ‎【解答】解：（1）由题意，根据直方图的性质得（1.5+2.5+a+2.0+0.8+0.2）×0.1=1，解得a=3‎ ‎（2）由直方图得（3+2.0+0.8+0.2）×0.1×10000=6000‎ 故答案为：（1）3 （2）6000‎ ‎　‎ ‎15．（3分）（2015•湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=　100　m．‎ ‎【分析】设此山高h（m），在△BCD中，利用仰角的正切表示出BC，进而在△ABC中利用正弦定理求得h．‎ ‎【解答】解：设此山高h（m），则BC=h，‎ 在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600．‎ 根据正弦定理得=，‎ 解得h=100（m）‎ 故答案为：100．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）（2015•湖北）如图，已知圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|=2．‎ ‎（1）圆C的标准方程为　（x﹣1）2+（y﹣）2=2　．‎ ‎（2）圆C在点B处切线在x轴上的截距为　﹣1﹣　．‎ ‎【分析】（1）确定圆心与半径，即可求出圆C的标准方程；‎ ‎（2）求出圆C在点B处切线方程，令y=0可得圆C在点B处切线在x轴上的截距．‎ ‎【解答】解：（1）由题意，圆的半径为=，圆心坐标为（1，），‎ ‎∴圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=2；‎ ‎（2）由（1）知，B（0，1+），‎ ‎∴圆C在点B处切线方程为（0﹣1）（x﹣1）+（1+﹣）（y﹣）=2，‎ 令y=0可得x=﹣1﹣．‎ 故答案为：（x﹣1）2+（y﹣）2=2；﹣1﹣．‎ ‎　‎ ‎17．（3分）（2015•湖北）a为实数，函数f（x）=|x2﹣ax|在区间[0，1]上的最大值记为g（a）．当a=　2﹣2　时，g（a）的值最小．‎ ‎【分析】通过分a≤0、0＜a≤2﹣2、a＞2﹣2三种情况去函数f（x）表达式中绝对值符号，利用函数的单调性即得结论．‎ ‎【解答】解：对函数f（x）=|x2﹣ax|=|（x﹣）2﹣|分下面几种情况讨论：‎ ‎①当a≤0时，f（x）=x2﹣ax在区间[0，1]上单调递增，‎ ‎∴f（x）max=g（1）=1﹣a；‎ ‎②当0＜a≤2﹣2时，==，f（1）=1﹣a，‎ ‎∵﹣（1﹣a）=﹣2＜0，‎ ‎∴f（x）max=g（1）=1﹣a；‎ ‎③当2﹣2＜a≤1时，f（x）max=g（a）=；‎ 综上所述，g（a）=，‎ ‎∴g（a）在（﹣∞，]上单调递减，在[，+∞）上单调递增，‎ ‎∴g（a）min=g（）；‎ ‎④当1＜a＜2时，g（a）=f（）=；‎ ‎⑤当a≥2时，g（a）=f（1）=a﹣1；‎ 综上，当a=时，g（a）min=3﹣2，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎18．（12分）（2015•湖北）某同学将“五点法”画函数f（x）=Asin（wx+φ）（w＞0，|φ|＜）在某一个时期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：‎ wx+φ ‎0‎ π ‎2π x Asin（wx+φ）‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎﹣5‎ ‎0‎ ‎（1）请将上述数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；‎ ‎（2）将y=f（x）图象上所有点向左平移个单位长度，得到y=g（x）图象，求y=g（x）的图象离原点O最近的对称中心．‎ ‎【分析】（1）由五点作图法即可将数据补充完整，写出函数的解析式；‎ ‎（2）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x），解得其对称中心即可得解．‎ ‎【解答】解：（1）数据补充完整如下表：‎ wx+φ ‎0‎ π ‎2π x Asin（wx+φ）‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎﹣5‎ ‎0‎ 函数f（x）的解析式为：f（x）=5sin（2x﹣）．‎ ‎（2）将y=f（x）图象上所有点向左平移个单位长度，得到y=g（x）=5sin[2（x+）﹣]=5sin（2x+）．‎ 由2x+=kπ，k∈Z，可解得：x=﹣，k∈Z，‎ 当k=0时，可得：x=﹣．‎ 从而可得离原点O最近的对称中心为：（﹣，0）．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2015•湖北）设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．‎ ‎（1）求数列{an}，{bn}的通项公式 ‎（2）当d＞1时，记cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎【分析】（1）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；‎ ‎（2）当d＞1时，由（1）知cn=，写出Tn、Tn的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）设a1=a，由题意可得，‎ 解得，或，‎ 当时，an=2n﹣1，bn=2n﹣1；‎ 当时，an=（2n+79），bn=9•；‎ ‎（2）当d＞1时，由（1）知an=2n﹣1，bn=2n﹣1，‎ ‎∴cn==，‎ ‎∴Tn=1+3•+5•+7•+9•+…+（2n﹣1）•，‎ ‎∴Tn=1•+3•+5•+7•+…+（2n﹣3）•+（2n﹣1）•，‎ ‎∴Tn=2+++++…+﹣（2n﹣1）•=3﹣，‎ ‎∴Tn=6﹣．‎ ‎　‎ ‎20．（13分）（2015•湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE．‎ ‎（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC．试判断四面体EBCD是否为鳖臑．若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；‎ ‎（Ⅱ）记阳马P﹣ABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求的值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）证明BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即可得出结论；‎ ‎（Ⅱ）由已知，PD是阳马P﹣ABCD的高，所以V1==．由（Ⅰ）知，DE是鳖臑D﹣BCE的高，BC⊥CE，所以V2==．即可求的值．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，‎ 因为ABCD为正方形，所以BC⊥CD，‎ 因为PD∩CD=D，‎ 所以BC⊥平面PCD，‎ 因为DE⊂平面PCD，‎ 所以BC⊥DE，‎ 因为PD=CD，点E是PC的中点，‎ 所以DE⊥PC，‎ 因为PC∩BC=C，‎ 所以DE⊥平面PBC，‎ 由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，‎ 即四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB；‎ ‎（Ⅱ）由已知，PD是阳马P﹣ABCD的高，所以V1==．‎ 由（Ⅰ）知，DE是鳖臑D﹣BCE的高，BC⊥CE，‎ 所以V2==．‎ 因为PD=CD，点E是PC的中点，‎ 所以DE=CE=CD，‎ 所以===4‎ ‎　‎ ‎21．（14分）（2015•湖北）设函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，f（x）+g（x）=ex，其中e为自然对数的底数．‎ ‎（1）求f（x），g（x）的解析式，并证明：当x＞0时，f（x）＞0，g（x）＞1；‎ ‎（2）设a≤0，b≥1，证明：当x＞0时，ag（x）+（1﹣a）＜＜bg（x）+（1﹣b）．‎ ‎【分析】（1）运用奇、偶函数的定义，由函数方程的思想可得f（x）、g（x）的解析式，再由指数函数的单调性和基本不等式，即可证得f（x）＞0，g（x）＞1；‎ ‎（2）当x＞0时，＞ag（x）+1﹣a⇔f（x）＞axg（x）+（1﹣a）x，＜bg（x）+1﹣b⇔f（x）＜bxg（x）+（1﹣b）x，设函数h（x）=f（x）﹣cxg（x）﹣（1﹣c）x，通过导数判断单调性，即可得证．‎ ‎【解答】解：（1）f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，‎ 即有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），‎ f（x）+g（x）=ex，f（﹣x）+g（﹣x）=e﹣x，‎ 即为﹣f（x）+g（x）=e﹣x，‎ 解得f（x）=（ex﹣e﹣x），g（x）=（ex+e﹣x），‎ 则当x＞0时，ex＞1，0＜e﹣x＜1，f（x）＞0；‎ g（x）=（ex+e﹣x）＞×2=1，‎ 则有当x＞0时，f（x）＞0，g（x）＞1；‎ ‎（2）证明：f′（x）=（ex+e﹣x）=g（x），‎ g′（x）=（ex﹣e﹣x）=f（x），‎ 当x＞0时，＞ag（x）+1﹣a⇔f（x）＞axg（x）+（1﹣a）x，‎ ‎＜bg（x）+1﹣b⇔f（x）＜bxg（x）+（1﹣b）x，‎ 设函数h（x）=f（x）﹣cxg（x）﹣（1﹣c）x，‎ h′（x）=f′（x）﹣c（g（x）+xg′（x））﹣（1﹣c）‎ ‎=g（x）﹣cg（x）﹣cxf（x）﹣（1﹣c）=（1﹣c）（g（x）﹣1）﹣cxf（x），‎ ‎①若c≤0则h′（x）＞0，故h（x）在（0，+∞）递增，h（x）＞h（0）=0，（x＞0），‎ 即有f（x）＞cxg（x）+（1﹣c）x，故＞ag（x）+1﹣a成立；‎ ‎②若c≥1则h′（x）＜0，故h（x）在（0，+∞）递减，h（x）《h（0）=0，（x＞0），‎ 即有f（x）＜cxg（x）+（1﹣c）x，故＜bg（x）+1﹣b成立．‎ 综上可得，当x＞0时，a g（x）+（1﹣a）＜＜b g（x）+（1﹣b）．‎ ‎　‎ ‎22．（14分）（2015•湖北）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．‎ ‎【分析】（1）根据条件求出a，b即可求椭圆C的方程；‎ ‎（2）联立直线方程和椭圆方程，求出原点到直线的距离，结合三角形的面积公式进行求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）设D（t，0），|t|≤2，‎ N（x0，y0），M（x，y），由题意得=2，‎ 且||=||=1，‎ ‎∴（t﹣x，﹣y）=2（x0﹣t，y0），且，‎ 即，且t（t﹣2x0）=0，‎ 由于当点D不动时，点N也不动，∴t不恒等于0，‎ 于是t=2x0，故x0=，y0=﹣，‎ 代入x02+y02=1，得方程为．‎ ‎（2）①当直线l的斜率k不存在时，直线l为：x=4或x=﹣4，都有S△OPQ=‎ ‎，‎ ‎②直线l的斜率k存在时，直线l为：y=kx+m，（k），‎ 由消去y，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0，‎ ‎∵直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，‎ ‎∴△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣16）=0，即m2=16k2+4，①，‎ 由，可得P（，），同理得Q（，），‎ 原点O到直线PQ的距离d=和|PQ|=•|xP﹣xQ|，‎ 可得S△OPQ=|PQ|d=|m||xP﹣xQ|=|m|||=||②，‎ 将①代入②得S△OPQ=||=8||，‎ 当k2＞时，S△OPQ=8（）=8（1+）＞8，‎ 当0≤k2＜时，S△OPQ=8||=﹣8（）=8（﹣1+），‎ ‎∵0≤k2＜时，∴0＜1﹣4k2≤1，≥2，‎ ‎∴S△OPQ=8（﹣1+）≥8，当且仅当k=0时取等号，‎ ‎∴当k=0时，S△OPQ的最小值为8，‎ 综上可知当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，三角形OPQ的面积存在最小值为8．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：sxs123；刘长柏；maths；changq；cst；吕静；依依；w3239003；双曲线（排名不分先后）‎ ‎2017年2月3日