2016年上海市高考数学试卷(理科)

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文档介绍

2016年上海市高考数学试卷(理科)

‎2016年上海市高考数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、填空题(本大题共有14题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.‎ ‎1.(4分)设x∈R,则不等式|x﹣3|<1的解集为  .‎ ‎2.(4分)设z=,其中i为虚数单位,则Imz=  .‎ ‎3.(4分)已知平行直线l1:2x+y﹣1=0,l2:2x+y+1=0,则l1,l2的距离  .‎ ‎4.(4分)某次体检,6位同学的身高(单位:米)分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77,则这组数据的中位数是  (米).‎ ‎5.(4分)已知点(3,9)在函数f(x)=1+ax的图象上,则f(x)的反函数f﹣1(x)=  .‎ ‎6.(4分)在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD的边长为3,BD1与底面所成角的大小为arctan,则该正四棱柱的高等于  .‎ ‎7.(4分)方程3sinx=1+cos2x在区间[0,2π]上的解为  .‎ ‎8.(4分)在(﹣)n的二项式中,所有的二项式系数之和为256,则常数项等于  .‎ ‎9.(4分)已知△ABC的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于  .‎ ‎10.(4分)设a>0,b>0,若关于x,y的方程组无解,则a+b的取值范围为  .‎ ‎11.(4分)无穷数列{an}由k个不同的数组成,Sn为{an}的前n项和,若对任意n∈N*,Sn∈{2,3},则k的最大值为  .‎ ‎12.(4分)在平面直角坐标系中,已知A(1,0),B(0,﹣1),P是曲线y=上一个动点,则•的取值范围是  .‎ ‎13.(4分)设a,b∈R,c∈[0,2π),若对于任意实数x都有2sin(3x﹣‎ ‎)=asin(bx+c),则满足条件的有序实数组(a,b,c)的组数为  .‎ ‎14.(4分)如图,在平面直角坐标系xOy中,O为正八边形A1A2…A8的中心,A1(1,0)任取不同的两点Ai,Aj,点P满足++=,则点P落在第一象限的概率是  .‎ ‎ ‎ 二、选择题(5×4=20分)‎ ‎15.(5分)设a∈R,则“a>1”是“a2>1”的(  )‎ A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 ‎16.(5分)下列极坐标方程中,对应的曲线为如图所示的是(  )‎ A.ρ=6+5cosθ B.ρ=6+5sinθ C.ρ=6﹣5cosθ D.ρ=6﹣5sinθ ‎17.(5分)已知无穷等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,且=S,下列条件中,使得2Sn<S(n∈N*)恒成立的是(  )‎ A.a1>0,0.6<q<0.7 B.a1<0,﹣0.7<q<﹣0.6‎ C.a1>0,0.7<q<0.8 D.a1<0,﹣0.8<q<﹣0.7‎ ‎18.(5分)设f(x)、g(x)、h(x)是定义域为R的三个函数,对于命题:①f(x)+g(x)、f(x)+h(x)、g(x)+h(x)均为增函数,则f(x)、g(x)、h(x)中至少有一个增函数;②若f(x)+g(x)、f(x)+h(x)、g(x)+‎ h(x)均是以T为周期的函数,则f(x)、g(x)、h(x)均是以T为周期的函数,下列判断正确的是(  )‎ A.①和②均为真命题 B.①和②均为假命题 C.①为真命题,②为假命题 D.①为假命题,②为真命题 ‎ ‎ 三、解答题(74分)‎ ‎19.(12分)将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱,如图,长为π,长为,其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.‎ ‎(1)求三棱锥C﹣O1A1B1的体积;‎ ‎(2)求异面直线B1C与AA1所成的角的大小.‎ ‎20.(14分)有一块正方形EFGH,EH所在直线是一条小河,收获的蔬菜可送到F点或河边运走.于是,菜地分别为两个区域S1和S2,其中S1中的蔬菜运到河边较近,S2中的蔬菜运到F点较近,而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等,现建立平面直角坐标系,其中原点O为EF的中点,点F的坐标为(1,0),如图 ‎(1)求菜地内的分界线C的方程;‎ ‎(2)菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍,由此得到S1面积的经验值为.设M是C上纵坐标为1的点,请计算以EH为一边,另一边过点M的矩形的面积,及五边形EOMGH的面积,并判断哪一个更接近于S1面积的“经验值”.‎ ‎21.(14分)双曲线x2﹣=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线l过F2且与双曲线交于A,B两点.‎ ‎(1)直线l的倾斜角为,△F1AB是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;‎ ‎(2)设b=,若l的斜率存在,且(+)•=0,求l的斜率.‎ ‎22.(16分)已知a∈R,函数f(x)=log2(+a).‎ ‎(1)当a=5时,解不等式f(x)>0;‎ ‎(2)若关于x的方程f(x)﹣log2[(a﹣4)x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素,求a的取值范围.‎ ‎(3)设a>0,若对任意t∈[,1],函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过1,求a的取值范围.‎ ‎23.(18分)若无穷数列{an}满足:只要ap=aq(p,q∈N*),必有ap+1=aq+1,则称{an}具有性质P.‎ ‎(1)若{an}具有性质P,且a1=1,a2=2,a4=3,a5=2,a6+a7+a8=21,求a3;‎ ‎(2)若无穷数列{bn}是等差数列,无穷数列{cn}是公比为正数的等比数列,b1=c5=1;b5=c1=81,an=bn+cn,判断{an}是否具有性质P,并说明理由;‎ ‎(3)设{bn}是无穷数列,已知an+1=bn+sinan(n∈N*),求证:“对任意a1,{an}都具有性质P”的充要条件为“{bn}是常数列”.‎ ‎ ‎ ‎2016年上海市高考数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、填空题(本大题共有14题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.‎ ‎1.(4分)(2016•上海)设x∈R,则不等式|x﹣3|<1的解集为 (2,4) .‎ ‎【分析】由含绝对值的性质得﹣1<x﹣3<1,由此能求出不等式|x﹣3|<1的解集.‎ ‎【解答】解:∵x∈R,不等式|x﹣3|<1,‎ ‎∴﹣1<x﹣3<1,‎ 解得2<x<4.‎ ‎∴不等式|x﹣3|<1的解集为(2,4).‎ 故答案为:(2,4).‎ ‎ ‎ ‎2.(4分)(2016•上海)设z=,其中i为虚数单位,则Imz= ﹣3 .‎ ‎【分析】利用复数代数形式的乘除运算法则,先求出复数z的最简形式,由此能求出Imz.‎ ‎【解答】解:∵Z====2﹣3i,‎ ‎∴Imz=﹣3.‎ 故答案为:﹣3.‎ ‎ ‎ ‎3.(4分)(2016•上海)已知平行直线l1:2x+y﹣1=0,l2:2x+y+1=0,则l1,l2的距离  .‎ ‎【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可.‎ ‎【解答】解:平行直线l1:2x+y﹣1=0,l2:2x+y+1=0,则l1,l2的距离:=.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎4.(4分)(2016•上海)某次体检,6位同学的身高(单位:米)分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77,则这组数据的中位数是 1.76 (米).‎ ‎【分析】先把这组数据按从小到大排列,求出位于中间的两个数值的平均数,得到这组数据的中位数.‎ ‎【解答】解:∵6位同学的身高(单位:米)分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77,‎ 从小到大排列为:1.69,1.72,1.75,1.77,1.78,1.80,‎ 位于中间的两个数值为1.75,1.77,‎ ‎∴这组数据的中位数是:=1.76(米).‎ 故答案为:1.76.‎ ‎ ‎ ‎5.(4分)(2016•上海)已知点(3,9)在函数f(x)=1+ax的图象上,则f(x)的反函数f﹣1(x)= log2(x﹣1)(x>1) .‎ ‎【分析】由于点(3,9)在函数f(x)=1+ax的图象上,可得9=1+a3,解得a=2.可得f(x)=1+2x,由1+2x=y,解得x=log2(y﹣1),(y>1).把x与y互换即可得出f(x)的反函数f﹣1(x).‎ ‎【解答】解:∵点(3,9)在函数f(x)=1+ax的图象上,∴9=1+a3,解得a=2.‎ ‎∴f(x)=1+2x,由1+2x=y,解得x=log2(y﹣1),(y>1).‎ 把x与y互换可得:f(x)的反函数f﹣1(x)=log2(x﹣1).‎ 故答案为:log2(x﹣1),(x>1).‎ ‎ ‎ ‎6.(4分)(2016•上海)在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD的边长为3,BD1与底面所成角的大小为arctan,则该正四棱柱的高等于 2 .‎ ‎【分析】根据正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱D1D⊥底面ABCD,判断∠D1BD为直线BD1与底面ABCD所成的角,即可求出正四棱柱的高.‎ ‎【解答】解:∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱D1D⊥底面ABCD,‎ ‎∴∠D1BD为直线BD1与底面ABCD所成的角,‎ ‎∴tan∠D1BD=,‎ ‎∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD的边长为3,‎ ‎∴BD=3,‎ ‎∴正四棱柱的高=3×=2,‎ 故答案为:2.‎ ‎ ‎ ‎7.(4分)(2016•上海)方程3sinx=1+cos2x在区间[0,2π]上的解为 或 .‎ ‎【分析】利用二倍角公式化简方程为正弦函数的形式,然后求解即可.‎ ‎【解答】解:方程3sinx=1+cos2x,可得3sinx=2﹣2sin2x,‎ 即2sin2x+3sinx﹣2=0.可得sinx=﹣2,(舍去)sinx=,x∈[0,2π]‎ 解得x=或.‎ 故答案为:或.‎ ‎ ‎ ‎8.(4分)(2016•上海)在(﹣)n的二项式中,所有的二项式系数之和为256,则常数项等于 112 .‎ ‎【分析】根据展开式中所有二项式系数的和等于2n=256,求得 n=8.在展开式的通项公式中,令x的幂指数等于0,求得r的值,即可求得展开式中的常数项.‎ ‎【解答】解:∵在(﹣)n的二项式中,所有的二项式系数之和为256,‎ ‎∴2n=256,解得n=8,‎ ‎∴(﹣)8中,Tr+1==,‎ ‎∴当=0,即r=2时,常数项为T3=(﹣2)2=112.‎ 故答案为:112.‎ ‎ ‎ ‎9.(4分)(2016•上海)已知△ABC的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于  .‎ ‎【分析】可设△ABC的三边分别为a=3,b=5,c=7,运用余弦定理可得cosC,由同角的平方关系可得sinC,再由正弦定理可得该三角形的外接圆半径为,代入计算即可得到所求值.‎ ‎【解答】解:可设△ABC的三边分别为a=3,b=5,c=7,‎ 由余弦定理可得,cosC===﹣,‎ 可得sinC===,‎ 可得该三角形的外接圆半径为==.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎10.(4分)(2016•上海)设a>0,b>0,若关于x,y的方程组无解,则a+b的取值范围为 (2,+∞) .‎ ‎【分析】根据方程组无解,得到两直线平行,建立a,b的方程关系,利用转化法,利用基本不等式的性质进行求解即可.‎ ‎【解答】解:∵关于x,y的方程组无解,‎ ‎∴直线ax+y=1与x+by=1平行,‎ ‎∵a>0,b>0,‎ ‎∴≠,‎ 即a≠1,b≠1,且ab=1,则b=,‎ 由基本不等式有:‎ a+b=a+≥2=2,当且仅当a=1时取等,而a的范围为a>0且a≠1,不满足取等条件,‎ ‎∴a+b>2,‎ 故答案为:(2,+∞).‎ ‎ ‎ ‎11.(4分)(2016•上海)无穷数列{an}由k个不同的数组成,Sn为{an}的前n项和,若对任意n∈N*,Sn∈{2,3},则k的最大值为 4 .‎ ‎【分析】对任意n∈N*,Sn∈{2,3},列举出n=1,2,3,4的情况,归纳可得n>4后都为0或1或﹣1,则k的最大个数为4.‎ ‎【解答】解:对任意n∈N*,Sn∈{2,3},可得 当n=1时,a1=S1=2或3;‎ 若n=2,由S2∈{2,3},可得数列的前两项为2,0;或2,1;或3,0;或3,﹣1;‎ 若n=3,由S3∈{2,3},可得数列的前三项为2,0,0;或2,0,1;‎ 或2,1,0;或2,1,﹣1;或3,0,0;或3,0,﹣1;或3,1,0;或3,1,﹣1;‎ 若n=4,由S3∈{2,3},可得数列的前四项为2,0,0,0;或2,0,0,1;‎ 或2,0,1,0;或2,0,1,﹣1;或2,1,0,0;或2,1,0,﹣1;‎ 或2,1,﹣1,0;或2,1,﹣1,1;或3,0,0,0;或3,0,0,﹣1;‎ 或3,0,﹣1,0;或3,0,﹣1,1;或3,﹣1,0,0;或3,﹣1,0,1;‎ 或3,﹣1,1,0;或3,﹣1,1,﹣1;‎ ‎…‎ 即有n>4后一项都为0或1或﹣1,则k的最大个数为4,‎ 不同的四个数均为2,0,1,﹣1,或3,0,1,﹣1.‎ 故答案为:4.‎ ‎ ‎ ‎12.(4分)(2016•上海)在平面直角坐标系中,已知A(1,0),B(0,﹣1),P是曲线y=上一个动点,则•的取值范围是 [0,1+] .‎ ‎【分析】设P(cosα,sinα),α∈[0,π],则=(1,1),=(cosα,sinα+1),由此能求出•的取值范围.‎ ‎【解答】解:∵在平面直角坐标系中,A(1,0),B(0,﹣1),‎ P是曲线y=上一个动点,‎ ‎∴设P(cosα,sinα),α∈[0,π],‎ ‎∴=(1,1),=(cosα,sinα+1),‎ ‎=cosα+sinα+1=,‎ ‎∴•的取值范围是[0,1+].‎ 故答案为:[0,1+].‎ ‎ ‎ ‎13.(4分)(2016•上海)设a,b∈R,c∈[0,2π),若对于任意实数x都有2sin(3x﹣)=asin(bx+c),则满足条件的有序实数组(a,b,c)的组数为 4 .‎ ‎【分析】根据三角函数恒成立,则对应的图象完全相同.‎ ‎【解答】解:∵对于任意实数x都有2sin(3x﹣)=asin(bx+c),‎ ‎∴必有|a|=2,‎ 若a=2,则方程等价为sin(3x﹣)=sin(bx+c),‎ 则函数的周期相同,若b=3,此时C=,‎ 若b=﹣3,则C=,‎ 若a=﹣2,则方程等价为sin(3x﹣)=﹣sin(bx+c)=sin(﹣bx﹣c),‎ 若b=﹣3,则C=,若b=3,则C=,‎ 综上满足条件的有序实数组(a,b,c)为(2,3,),(2,﹣3,),(﹣2,﹣3,),(﹣2,3,),‎ 共有4组,‎ 故答案为:4.‎ ‎ ‎ ‎14.(4分)(2016•上海)如图,在平面直角坐标系xOy中,O为正八边形A1A2…A8的中心,A1(1,0)任取不同的两点Ai,Aj,点P满足++=,则点P落在第一象限的概率是  .‎ ‎【分析】利用组合数公式求出从正八边形A1A2…A8的八个顶点中任取两个的事件总数,满足++=,且点P落在第一象限,则需向量+的终点落在第三象限,列出事件数,再利用古典概型概率计算公式求得答案.‎ ‎【解答】解:从正八边形A1A2…A8的八个顶点中任取两个,基本事件总数为.‎ 满足++=,且点P落在第一象限,对应的Ai,Aj,为:‎ ‎(A4,A7),(A5,A8),(A5,A6),(A6,A7),(A5,A7)共5种取法.‎ ‎∴点P落在第一象限的概率是,‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ 二、选择题(5×4=20分)‎ ‎15.(5分)(2016•上海)设a∈R,则“a>1”是“a2>1”的(  )‎ A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 ‎【分析】根据不等式的关系,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.‎ ‎【解答】解:由a2>1得a>1或a<﹣1,‎ 即“a>1”是“a2>1”的充分不必要条件,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎16.(5分)(2016•上海)下列极坐标方程中,对应的曲线为如图所示的是(  )‎ A.ρ=6+5cosθ B.ρ=6+5sinθ C.ρ=6﹣5cosθ D.ρ=6﹣5sinθ ‎【分析】由图形可知:时,ρ取得最大值,即可判断出结论.‎ ‎【解答】解:由图形可知:时,ρ取得最大值,‎ 只有D满足上述条件.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎17.(5分)(2016•上海)已知无穷等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,且=S,下列条件中,使得2Sn<S(n∈N*)恒成立的是(  )‎ A.a1>0,0.6<q<0.7 B.a1<0,﹣0.7<q<﹣0.6‎ C.a1>0,0.7<q<0.8 D.a1<0,﹣0.8<q<﹣0.7‎ ‎【分析】由已知推导出,由此利用排除法能求出结果.‎ ‎【解答】解:∵,S==,﹣1<q<1,‎ ‎2Sn<S,‎ ‎∴,‎ 若a1>0,则,故A与C不可能成立;‎ 若a1<0,则qn,故B成立,D不成立.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎18.(5分)(2016•上海)设f(x)、g(x)、h(x)是定义域为R的三个函数,对于命题:①f(x)+g(x)、f(x)+h(x)、g(x)+h(x)均为增函数,则f(x)、g(x)、h(x)中至少有一个增函数;②若f(x)+g(x)、f(x)+h(x)、g(x)+h(x)均是以T为周期的函数,则f(x)、g(x)、h(x)均是以T为周期的函数,下列判断正确的是(  )‎ A.①和②均为真命题 B.①和②均为假命题 C.①为真命题,②为假命题 D.①为假命题,②为真命题 ‎【分析】①不成立.可举反例:f(x)=.g(x)=,h(x)=.‎ ‎②由题意可得:f(x)+g(x)=f(x+T)+g(x+T),f(x)+h(x)=f(x+T)+h(x+T),h(x)+g(x)=h(x+T)+g(x+T),可得:g(x)=g(x+T),h(x)=h(x+T),f(x)=f(x+T),即可判断出真假.‎ ‎【解答】解:①不成立.可举反例:f(x)=.g(x)=‎ ‎,h(x)=.‎ ‎②∵f(x)+g(x)=f(x+T)+g(x+T),f(x)+h(x)=f(x+T)+h(x+T),h(x)+g(x)=h(x+T)+g(x+T),‎ 前两式作差可得:g(x)﹣h(x)=g(x+T)﹣h(x+T),结合第三式可得:g(x)=g(x+T),h(x)=h(x+T),同理可得:f(x)=f(x+T),因此②正确.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ 三、解答题(74分)‎ ‎19.(12分)(2016•上海)将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱,如图,长为π,长为,其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.‎ ‎(1)求三棱锥C﹣O1A1B1的体积;‎ ‎(2)求异面直线B1C与AA1所成的角的大小.‎ ‎【分析】(1)连结O1B1,推导出△O1A1B1为正三角形,从而=,由此能求出三棱锥C﹣O1A1B1的体积.‎ ‎(2)设点B1在下底面圆周的射影为B,连结BB1,则BB1∥AA1,∠BB1C为直线B1C与AA1所成角(或补角),由此能求出直线B1C与AA1所成角大小.‎ ‎【解答】解:(1)连结O1B1,则∠O1A1B1=∠A1O1B1=,‎ ‎∴△O1A1B1为正三角形,‎ ‎∴=,‎ ‎==.‎ ‎(2)设点B1在下底面圆周的射影为B,连结BB1,则BB1∥AA1,‎ ‎∴∠BB1C为直线B1C与AA1所成角(或补角),‎ BB1=AA1=1,‎ 连结BC、BO、OC,‎ ‎∠AOB=∠A1O1B1=,,∴∠BOC=,‎ ‎∴△BOC为正三角形,‎ ‎∴BC=BO=1,∴tan∠BB1C=1,‎ ‎∴直线B1C与AA1所成角大小为45°.‎ ‎ ‎ ‎20.(14分)(2016•上海)有一块正方形EFGH,EH所在直线是一条小河,收获的蔬菜可送到F点或河边运走.于是,菜地分别为两个区域S1和S2,其中S1中的蔬菜运到河边较近,S2中的蔬菜运到F点较近,而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等,现建立平面直角坐标系,其中原点O为EF的中点,点F的坐标为(1,0),如图 ‎(1)求菜地内的分界线C的方程;‎ ‎(2)菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍,由此得到S1面积的经验值为.设M是C上纵坐标为1的点,请计算以EH为一边,另一边过点M的矩形的面积,及五边形EOMGH的面积,并判断哪一个更接近于S1面积的“经验值”.‎ ‎【分析】(1)设分界线上任意一点为(x,y),根据条件建立方程关系进行求解即可.‎ ‎(2)设M(x0,y0),则y0=1,分别求出对应矩形面积,五边形FOMGH的面积,进行比较即可.‎ ‎【解答】解:(1)设分界线上任意一点为(x,y),由题意得|x+1|=,得y=2,(0≤x≤1),‎ ‎(2)设M(x0,y0),则y0=1,‎ ‎∴x0==,‎ ‎∴设所表述的矩形面积为S3,则S3=2×(+1)=2×=,‎ 设五边形EMOGH的面积为S4,则S4=S3﹣S△OMP+S△MGN=﹣××1+=,‎ S1﹣S3==,S4﹣S1=﹣=<,‎ ‎∴五边形EMOGH的面积更接近S1的面积.‎ ‎ ‎ ‎21.(14分)(2016•上海)双曲线x2﹣=1(b>0)的左、右焦点分别为F1‎ ‎,F2,直线l过F2且与双曲线交于A,B两点.‎ ‎(1)直线l的倾斜角为,△F1AB是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;‎ ‎(2)设b=,若l的斜率存在,且(+)•=0,求l的斜率.‎ ‎【分析】(1)利用直线的倾斜角,求出AB,利用三角形是正三角形,求解b,即可得到双曲线方程.‎ ‎(2)求出左焦点的坐标,设出直线方程,推出A、B坐标,利用向量的数量积为0,即可求值直线的斜率.‎ ‎【解答】解:(1)双曲线x2﹣=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,a=1,c2=1+b2,‎ 直线l过F2且与双曲线交于A,B两点,‎ 直线l的倾斜角为,△F1AB是等边三角形,‎ 可得:A(c,b2),可得:,‎ ‎3b4=4(a2+b2),‎ 即3b4﹣4b2﹣4=0,‎ b>0,解得b2=2.‎ 所求双曲线方程为:x2﹣=1,‎ 其渐近线方程为y=±x.‎ ‎(2)b=,双曲线x2﹣=1,可得F1(﹣2,0),F2(2,0).‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),直线的斜率为:k=,‎ 直线l的方程为:y=k(x﹣2),‎ 由题意可得:,消去y可得:(3﹣k2)x2+4k2x﹣4k2﹣3=0,‎ ‎△=36(1+k2)>0,‎ 可得x1+x2=,‎ 则y1+y2=k(x1+x2﹣4)=k(﹣4)=.‎ ‎=(x1+2,y1),‎ ‎=(x2+2,y2),‎ ‎(+)•=0可得:(x1+x2+4,y1+y2)•(x1﹣x2,y1﹣y2)=0,‎ 可得x1+x2+4+(y1+y2)k=0,‎ 得+4+•k=0‎ 可得:k2=,‎ 解得k=±.‎ l的斜率为:±.‎ ‎ ‎ ‎22.(16分)(2016•上海)已知a∈R,函数f(x)=log2(+a).‎ ‎(1)当a=5时,解不等式f(x)>0;‎ ‎(2)若关于x的方程f(x)﹣log2[(a﹣4)x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素,求a的取值范围.‎ ‎(3)设a>0,若对任意t∈[,1],函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过1,求a的取值范围.‎ ‎【分析】(1)当a=5时,解导数不等式即可.‎ ‎(2)根据对数的运算法则进行化简,转化为一元二次方程,讨论a的取值范围进行求解即可.‎ ‎(3)根据条件得到f(t)﹣f(t+1)≤1,恒成立,利用换元法进行转化,结合对勾函数的单调性进行求解即可.‎ ‎【解答】解:(1)当a=5时,f(x)=log2(+5),‎ 由f(x)>0;得log2(+5)>0,‎ 即+5>1,则>﹣4,则+4=>0,即x>0或x<﹣,‎ 即不等式的解集为{x|x>0或x<﹣}.‎ ‎(2)由f(x)﹣log2[(a﹣4)x+2a﹣5]=0得log2(+a)﹣log2[(a﹣4)x+2a﹣5]=0.‎ 即log2(+a)=log2[(a﹣4)x+2a﹣5],‎ 即+a=(a﹣4)x+2a﹣5>0,①‎ 则(a﹣4)x2+(a﹣5)x﹣1=0,‎ 即(x+1)[(a﹣4)x﹣1]=0,②,‎ 当a=4时,方程②的解为x=﹣1,代入①,成立 当a=3时,方程②的解为x=﹣1,代入①,成立 当a≠4且a≠3时,方程②的解为x=﹣1或x=,‎ 若x=﹣1是方程①的解,则+a=a﹣1>0,即a>1,‎ 若x=是方程①的解,则+a=2a﹣4>0,即a>2,‎ 则要使方程①有且仅有一个解,则1<a≤2.‎ 综上,若方程f(x)﹣log2[(a﹣4)x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素,则a的取值范围是1<a≤2,或a=3或a=4.‎ ‎(3)函数f(x)在区间[t,t+1]上单调递减,‎ 由题意得f(t)﹣f(t+1)≤1,‎ 即log2(+a)﹣log2(+a)≤1,‎ 即+a≤2(+a),即a≥﹣=‎ 设1﹣t=r,则0≤r≤,‎ ‎==,‎ 当r=0时,=0,‎ 当0<r≤时,=,‎ ‎∵y=r+在(0,)上递减,‎ ‎∴r+≥=,‎ ‎∴==,‎ ‎∴实数a的取值范围是a≥.‎ ‎ ‎ ‎23.(18分)(2016•上海)若无穷数列{an}满足:只要ap=aq(p,q∈N*),必有ap+1=aq+1,则称{an}具有性质P.‎ ‎(1)若{an}具有性质P,且a1=1,a2=2,a4=3,a5=2,a6+a7+a8=21,求a3;‎ ‎(2)若无穷数列{bn}是等差数列,无穷数列{cn}是公比为正数的等比数列,b1=c5=1;b5=c1=81,an=bn+cn,判断{an}是否具有性质P,并说明理由;‎ ‎(3)设{bn}是无穷数列,已知an+1=bn+sinan(n∈N*),求证:“对任意a1,{an}都具有性质P”的充要条件为“{bn}是常数列”.‎ ‎【分析】(1)利用已知条件通过a2=a5=2,推出a3=a6,a4=a7,转化求解a3即可.‎ ‎(2)设无穷数列{bn}的公差为:d,无穷数列{cn}的公比为q,则q>0,利用条件求出,d与q,求出bn,cn得到an的表达式,推出a2≠a6,说明{an}不具有性质P.‎ ‎(3)充分性:若{bn}是常数列,设bn=C,通过an+1=C+sinan,证明ap+1=aq+1,得到{an}具有性质P.‎ 必要性:若对于任意a1,{an}具有性质P,得到a2=b1+sina1,设函数f(x)=x﹣b1,g(x)=sinx,说明bn+1=bn,即可说明{bn}是常数列.‎ ‎【解答】解:(1)∵a2=a5=2,∴a3=a6,‎ a4=a7=3,∴a5=a8=2,a6=21﹣a7﹣a8=16,∴a3=16.‎ ‎(2)设无穷数列{bn}的公差为:d,无穷数列{cn}的公比为q,则q>0,‎ b5﹣b1=4d=80,‎ ‎∴d=20,∴bn=20n﹣19,=q4=,∴q=,∴cn=‎ ‎∴an=bn+cn=20n﹣19+.‎ ‎∵a1=a5=82,‎ 而a2=21+27=48,a6=101=.a1=a5,但是a2≠a6,{an}不具有性质P.‎ ‎(3)充分性:若{bn}是常数列,‎ 设bn=C,则an+1=C+sinan,‎ 若存在p,q使得ap=aq,则ap+1=C+sinap=C+sinaq=aq+1,‎ 故{an}具有性质P.‎ 必要性:若对于任意a1,{an}具有性质P,‎ 则a2=b1+sina1,‎ 设函数f(x)=x﹣b1,g(x)=sinx,‎ 由f(x),g(x)图象可得,对于任意的b1,二者图象必有一个交点,‎ ‎∴一定能找到一个a1,使得a1﹣b1=sina1,‎ ‎∴a2=b1+sina1=a1,∴an=an+1,‎ 故bn+1=an+2﹣sinan+1=an+1﹣sinan=bn,‎ ‎∴{bn}是常数列.‎ ‎ ‎
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