2016年上海市高考数学试卷（理科）

2016年上海市高考数学试卷（理科）

‎2016年上海市高考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.‎ ‎1．（4分）设x∈R，则不等式|x﹣3|＜1的解集为　　．‎ ‎2．（4分）设z=，其中i为虚数单位，则Imz=　　．‎ ‎3．（4分）已知平行直线l1：2x+y﹣1=0，l2：2x+y+1=0，则l1，l2的距离　　．‎ ‎4．（4分）某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是　　（米）．‎ ‎5．（4分）已知点（3，9）在函数f（x）=1+ax的图象上，则f（x）的反函数f﹣1（x）=　　．‎ ‎6．（4分）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD的边长为3，BD1与底面所成角的大小为arctan，则该正四棱柱的高等于　　．‎ ‎7．（4分）方程3sinx=1+cos2x在区间[0，2π]上的解为　　．‎ ‎8．（4分）在（﹣）n的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于　　．‎ ‎9．（4分）已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于　　．‎ ‎10．（4分）设a＞0，b＞0，若关于x，y的方程组无解，则a+b的取值范围为　　．‎ ‎11．（4分）无穷数列{an}由k个不同的数组成，Sn为{an}的前n项和，若对任意n∈N*，Sn∈{2，3}，则k的最大值为　　．‎ ‎12．（4分）在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y=上一个动点，则•的取值范围是　　．‎ ‎13．（4分）设a，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x﹣‎ ‎）=asin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为　　．‎ ‎14．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形A1A2…A8的中心，A1（1，0）任取不同的两点Ai，Aj，点P满足++=，则点P落在第一象限的概率是　　．‎ ‎　‎ 二、选择题（5×4=20分）‎ ‎15．（5分）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（　　）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 ‎16．（5分）下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是（　　）‎ A．ρ=6+5cosθ B．ρ=6+5sinθ C．ρ=6﹣5cosθ D．ρ=6﹣5sinθ ‎17．（5分）已知无穷等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，且=S，下列条件中，使得2Sn＜S（n∈N*）恒成立的是（　　）‎ A．a1＞0，0.6＜q＜0.7 B．a1＜0，﹣0.7＜q＜﹣0.6‎ C．a1＞0，0.7＜q＜0.8 D．a1＜0，﹣0.8＜q＜﹣0.7‎ ‎18．（5分）设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：①f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均为增函数，则f（x）、g（x）、h（x）中至少有一个增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+‎ h（x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（　　）‎ A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 ‎　‎ 三、解答题（74分）‎ ‎19．（12分）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，长为π，长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．‎ ‎（1）求三棱锥C﹣O1A1B1的体积；‎ ‎（2）求异面直线B1C与AA1所成的角的大小．‎ ‎20．（14分）有一块正方形EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F点或河边运走．于是，菜地分别为两个区域S1和S2，其中S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1，0），如图 ‎（1）求菜地内的分界线C的方程；‎ ‎（2）菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍，由此得到S1面积的经验值为．设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边，另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于S1面积的“经验值”．‎ ‎21．（14分）双曲线x2﹣=1（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F2且与双曲线交于A，B两点．‎ ‎（1）直线l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；‎ ‎（2）设b=，若l的斜率存在，且（+）•=0，求l的斜率．‎ ‎22．（16分）已知a∈R，函数f（x）=log2（+a）．‎ ‎（1）当a=5时，解不等式f（x）＞0；‎ ‎（2）若关于x的方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围．‎ ‎（3）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．‎ ‎23．（18分）若无穷数列{an}满足：只要ap=aq（p，q∈N*），必有ap+1=aq+1，则称{an}具有性质P．‎ ‎（1）若{an}具有性质P，且a1=1，a2=2，a4=3，a5=2，a6+a7+a8=21，求a3；‎ ‎（2）若无穷数列{bn}是等差数列，无穷数列{cn}是公比为正数的等比数列，b1=c5=1；b5=c1=81，an=bn+cn，判断{an}是否具有性质P，并说明理由；‎ ‎（3）设{bn}是无穷数列，已知an+1=bn+sinan（n∈N*），求证：“对任意a1，{an}都具有性质P”的充要条件为“{bn}是常数列”．‎ ‎　‎ ‎2016年上海市高考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.‎ ‎1．（4分）（2016•上海）设x∈R，则不等式|x﹣3|＜1的解集为　（2，4）　．‎ ‎【分析】由含绝对值的性质得﹣1＜x﹣3＜1，由此能求出不等式|x﹣3|＜1的解集．‎ ‎【解答】解：∵x∈R，不等式|x﹣3|＜1，‎ ‎∴﹣1＜x﹣3＜1，‎ 解得2＜x＜4．‎ ‎∴不等式|x﹣3|＜1的解集为（2，4）．‎ 故答案为：（2，4）．‎ ‎　‎ ‎2．（4分）（2016•上海）设z=，其中i为虚数单位，则Imz=　﹣3　．‎ ‎【分析】利用复数代数形式的乘除运算法则，先求出复数z的最简形式，由此能求出Imz．‎ ‎【解答】解：∵Z====2﹣3i，‎ ‎∴Imz=﹣3．‎ 故答案为：﹣3．‎ ‎　‎ ‎3．（4分）（2016•上海）已知平行直线l1：2x+y﹣1=0，l2：2x+y+1=0，则l1，l2的距离　　．‎ ‎【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可．‎ ‎【解答】解：平行直线l1：2x+y﹣1=0，l2：2x+y+1=0，则l1，l2的距离：=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎4．（4分）（2016•上海）某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是　1.76　（米）．‎ ‎【分析】先把这组数据按从小到大排列，求出位于中间的两个数值的平均数，得到这组数据的中位数．‎ ‎【解答】解：∵6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，‎ 从小到大排列为：1.69，1.72，1.75，1.77，1.78，1.80，‎ 位于中间的两个数值为1.75，1.77，‎ ‎∴这组数据的中位数是：=1.76（米）．‎ 故答案为：1.76．‎ ‎　‎ ‎5．（4分）（2016•上海）已知点（3，9）在函数f（x）=1+ax的图象上，则f（x）的反函数f﹣1（x）=　log2（x﹣1）（x＞1）　．‎ ‎【分析】由于点（3，9）在函数f（x）=1+ax的图象上，可得9=1+a3，解得a=2．可得f（x）=1+2x，由1+2x=y，解得x=log2（y﹣1），（y＞1）．把x与y互换即可得出f（x）的反函数f﹣1（x）．‎ ‎【解答】解：∵点（3，9）在函数f（x）=1+ax的图象上，∴9=1+a3，解得a=2．‎ ‎∴f（x）=1+2x，由1+2x=y，解得x=log2（y﹣1），（y＞1）．‎ 把x与y互换可得：f（x）的反函数f﹣1（x）=log2（x﹣1）．‎ 故答案为：log2（x﹣1），（x＞1）．‎ ‎　‎ ‎6．（4分）（2016•上海）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD的边长为3，BD1与底面所成角的大小为arctan，则该正四棱柱的高等于　2　．‎ ‎【分析】根据正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱D1D⊥底面ABCD，判断∠D1BD为直线BD1与底面ABCD所成的角，即可求出正四棱柱的高．‎ ‎【解答】解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱D1D⊥底面ABCD，‎ ‎∴∠D1BD为直线BD1与底面ABCD所成的角，‎ ‎∴tan∠D1BD=，‎ ‎∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD的边长为3，‎ ‎∴BD=3，‎ ‎∴正四棱柱的高=3×=2，‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎7．（4分）（2016•上海）方程3sinx=1+cos2x在区间[0，2π]上的解为　或　．‎ ‎【分析】利用二倍角公式化简方程为正弦函数的形式，然后求解即可．‎ ‎【解答】解：方程3sinx=1+cos2x，可得3sinx=2﹣2sin2x，‎ 即2sin2x+3sinx﹣2=0．可得sinx=﹣2，（舍去）sinx=，x∈[0，2π]‎ 解得x=或．‎ 故答案为：或．‎ ‎　‎ ‎8．（4分）（2016•上海）在（﹣）n的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于　112　．‎ ‎【分析】根据展开式中所有二项式系数的和等于2n=256，求得 n=8．在展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．‎ ‎【解答】解：∵在（﹣）n的二项式中，所有的二项式系数之和为256，‎ ‎∴2n=256，解得n=8，‎ ‎∴（﹣）8中，Tr+1==，‎ ‎∴当=0，即r=2时，常数项为T3=（﹣2）2=112．‎ 故答案为：112．‎ ‎　‎ ‎9．（4分）（2016•上海）已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于　　．‎ ‎【分析】可设△ABC的三边分别为a=3，b=5，c=7，运用余弦定理可得cosC，由同角的平方关系可得sinC，再由正弦定理可得该三角形的外接圆半径为，代入计算即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：可设△ABC的三边分别为a=3，b=5，c=7，‎ 由余弦定理可得，cosC===﹣，‎ 可得sinC===，‎ 可得该三角形的外接圆半径为==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎10．（4分）（2016•上海）设a＞0，b＞0，若关于x，y的方程组无解，则a+b的取值范围为　（2，+∞）　．‎ ‎【分析】根据方程组无解，得到两直线平行，建立a，b的方程关系，利用转化法，利用基本不等式的性质进行求解即可．‎ ‎【解答】解：∵关于x，y的方程组无解，‎ ‎∴直线ax+y=1与x+by=1平行，‎ ‎∵a＞0，b＞0，‎ ‎∴≠，‎ 即a≠1，b≠1，且ab=1，则b=，‎ 由基本不等式有：‎ a+b=a+≥2=2，当且仅当a=1时取等，而a的范围为a＞0且a≠1，不满足取等条件，‎ ‎∴a+b＞2，‎ 故答案为：（2，+∞）．‎ ‎　‎ ‎11．（4分）（2016•上海）无穷数列{an}由k个不同的数组成，Sn为{an}的前n项和，若对任意n∈N*，Sn∈{2，3}，则k的最大值为　4　．‎ ‎【分析】对任意n∈N*，Sn∈{2，3}，列举出n=1，2，3，4的情况，归纳可得n＞4后都为0或1或﹣1，则k的最大个数为4．‎ ‎【解答】解：对任意n∈N*，Sn∈{2，3}，可得 当n=1时，a1=S1=2或3；‎ 若n=2，由S2∈{2，3}，可得数列的前两项为2，0；或2，1；或3，0；或3，﹣1；‎ 若n=3，由S3∈{2，3}，可得数列的前三项为2，0，0；或2，0，1；‎ 或2，1，0；或2，1，﹣1；或3，0，0；或3，0，﹣1；或3，1，0；或3，1，﹣1；‎ 若n=4，由S3∈{2，3}，可得数列的前四项为2，0，0，0；或2，0，0，1；‎ 或2，0，1，0；或2，0，1，﹣1；或2，1，0，0；或2，1，0，﹣1；‎ 或2，1，﹣1，0；或2，1，﹣1，1；或3，0，0，0；或3，0，0，﹣1；‎ 或3，0，﹣1，0；或3，0，﹣1，1；或3，﹣1，0，0；或3，﹣1，0，1；‎ 或3，﹣1，1，0；或3，﹣1，1，﹣1；‎ ‎…‎ 即有n＞4后一项都为0或1或﹣1，则k的最大个数为4，‎ 不同的四个数均为2，0，1，﹣1，或3，0，1，﹣1．‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）（2016•上海）在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y=上一个动点，则•的取值范围是　[0，1+]　．‎ ‎【分析】设P（cosα，sinα），α∈[0，π]，则=（1，1），=（cosα，sinα+1），由此能求出•的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，﹣1），‎ P是曲线y=上一个动点，‎ ‎∴设P（cosα，sinα），α∈[0，π]，‎ ‎∴=（1，1），=（cosα，sinα+1），‎ ‎=cosα+sinα+1=，‎ ‎∴•的取值范围是[0，1+]．‎ 故答案为：[0，1+]．‎ ‎　‎ ‎13．（4分）（2016•上海）设a，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为　4　．‎ ‎【分析】根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同．‎ ‎【解答】解：∵对于任意实数x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），‎ ‎∴必有|a|=2，‎ 若a=2，则方程等价为sin（3x﹣）=sin（bx+c），‎ 则函数的周期相同，若b=3，此时C=，‎ 若b=﹣3，则C=，‎ 若a=﹣2，则方程等价为sin（3x﹣）=﹣sin（bx+c）=sin（﹣bx﹣c），‎ 若b=﹣3，则C=，若b=3，则C=，‎ 综上满足条件的有序实数组（a，b，c）为（2，3，），（2，﹣3，），（﹣2，﹣3，），（﹣2，3，），‎ 共有4组，‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）（2016•上海）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形A1A2…A8的中心，A1（1，0）任取不同的两点Ai，Aj，点P满足++=，则点P落在第一象限的概率是　　．‎ ‎【分析】利用组合数公式求出从正八边形A1A2…A8的八个顶点中任取两个的事件总数，满足++=，且点P落在第一象限，则需向量+的终点落在第三象限，列出事件数，再利用古典概型概率计算公式求得答案．‎ ‎【解答】解：从正八边形A1A2…A8的八个顶点中任取两个，基本事件总数为．‎ 满足++=，且点P落在第一象限，对应的Ai，Aj，为：‎ ‎（A4，A7），（A5，A8），（A5，A6），（A6，A7），（A5，A7）共5种取法．‎ ‎∴点P落在第一象限的概率是，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 二、选择题（5×4=20分）‎ ‎15．（5分）（2016•上海）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（　　）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 ‎【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【解答】解：由a2＞1得a＞1或a＜﹣1，‎ 即“a＞1”是“a2＞1”的充分不必要条件，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）（2016•上海）下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是（　　）‎ A．ρ=6+5cosθ B．ρ=6+5sinθ C．ρ=6﹣5cosθ D．ρ=6﹣5sinθ ‎【分析】由图形可知：时，ρ取得最大值，即可判断出结论．‎ ‎【解答】解：由图形可知：时，ρ取得最大值，‎ 只有D满足上述条件．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎17．（5分）（2016•上海）已知无穷等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，且=S，下列条件中，使得2Sn＜S（n∈N*）恒成立的是（　　）‎ A．a1＞0，0.6＜q＜0.7 B．a1＜0，﹣0.7＜q＜﹣0.6‎ C．a1＞0，0.7＜q＜0.8 D．a1＜0，﹣0.8＜q＜﹣0.7‎ ‎【分析】由已知推导出，由此利用排除法能求出结果．‎ ‎【解答】解：∵，S==，﹣1＜q＜1，‎ ‎2Sn＜S，‎ ‎∴，‎ 若a1＞0，则，故A与C不可能成立；‎ 若a1＜0，则qn，故B成立，D不成立．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎18．（5分）（2016•上海）设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：①f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均为增函数，则f（x）、g（x）、h（x）中至少有一个增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（　　）‎ A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 ‎【分析】①不成立．可举反例：f（x）=．g（x）=，h（x）=．‎ ‎②由题意可得：f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T），h（x）+g（x）=h（x+T）+g（x+T），可得：g（x）=g（x+T），h（x）=h（x+T），f（x）=f（x+T），即可判断出真假．‎ ‎【解答】解：①不成立．可举反例：f（x）=．g（x）=‎ ‎，h（x）=．‎ ‎②∵f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T），h（x）+g（x）=h（x+T）+g（x+T），‎ 前两式作差可得：g（x）﹣h（x）=g（x+T）﹣h（x+T），结合第三式可得：g（x）=g（x+T），h（x）=h（x+T），同理可得：f（x）=f（x+T），因此②正确．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 三、解答题（74分）‎ ‎19．（12分）（2016•上海）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，长为π，长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．‎ ‎（1）求三棱锥C﹣O1A1B1的体积；‎ ‎（2）求异面直线B1C与AA1所成的角的大小．‎ ‎【分析】（1）连结O1B1，推导出△O1A1B1为正三角形，从而=，由此能求出三棱锥C﹣O1A1B1的体积．‎ ‎（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，则BB1∥AA1，∠BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角），由此能求出直线B1C与AA1所成角大小．‎ ‎【解答】解：（1）连结O1B1，则∠O1A1B1=∠A1O1B1=，‎ ‎∴△O1A1B1为正三角形，‎ ‎∴=，‎ ‎==．‎ ‎（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，则BB1∥AA1，‎ ‎∴∠BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角），‎ BB1=AA1=1，‎ 连结BC、BO、OC，‎ ‎∠AOB=∠A1O1B1=，，∴∠BOC=，‎ ‎∴△BOC为正三角形，‎ ‎∴BC=BO=1，∴tan∠BB1C=1，‎ ‎∴直线B1C与AA1所成角大小为45°．‎ ‎　‎ ‎20．（14分）（2016•上海）有一块正方形EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F点或河边运走．于是，菜地分别为两个区域S1和S2，其中S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1，0），如图 ‎（1）求菜地内的分界线C的方程；‎ ‎（2）菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍，由此得到S1面积的经验值为．设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边，另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于S1面积的“经验值”．‎ ‎【分析】（1）设分界线上任意一点为（x，y），根据条件建立方程关系进行求解即可．‎ ‎（2）设M（x0，y0），则y0=1，分别求出对应矩形面积，五边形FOMGH的面积，进行比较即可．‎ ‎【解答】解：（1）设分界线上任意一点为（x，y），由题意得|x+1|=，得y=2，（0≤x≤1），‎ ‎（2）设M（x0，y0），则y0=1，‎ ‎∴x0==，‎ ‎∴设所表述的矩形面积为S3，则S3=2×（+1）=2×=，‎ 设五边形EMOGH的面积为S4，则S4=S3﹣S△OMP+S△MGN=﹣××1+=，‎ S1﹣S3==，S4﹣S1=﹣=＜，‎ ‎∴五边形EMOGH的面积更接近S1的面积．‎ ‎　‎ ‎21．（14分）（2016•上海）双曲线x2﹣=1（b＞0）的左、右焦点分别为F1‎ ‎，F2，直线l过F2且与双曲线交于A，B两点．‎ ‎（1）直线l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；‎ ‎（2）设b=，若l的斜率存在，且（+）•=0，求l的斜率．‎ ‎【分析】（1）利用直线的倾斜角，求出AB，利用三角形是正三角形，求解b，即可得到双曲线方程．‎ ‎（2）求出左焦点的坐标，设出直线方程，推出A、B坐标，利用向量的数量积为0，即可求值直线的斜率．‎ ‎【解答】解：（1）双曲线x2﹣=1（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，a=1，c2=1+b2，‎ 直线l过F2且与双曲线交于A，B两点，‎ 直线l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，‎ 可得：A（c，b2），可得：，‎ ‎3b4=4（a2+b2），‎ 即3b4﹣4b2﹣4=0，‎ b＞0，解得b2=2．‎ 所求双曲线方程为：x2﹣=1，‎ 其渐近线方程为y=±x．‎ ‎（2）b=，双曲线x2﹣=1，可得F1（﹣2，0），F2（2，0）．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），直线的斜率为：k=，‎ 直线l的方程为：y=k（x﹣2），‎ 由题意可得：，消去y可得：（3﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣3=0，‎ ‎△=36（1+k2）＞0，‎ 可得x1+x2=，‎ 则y1+y2=k（x1+x2﹣4）=k（﹣4）=．‎ ‎=（x1+2，y1），‎ ‎=（x2+2，y2），‎ ‎（+）•=0可得：（x1+x2+4，y1+y2）•（x1﹣x2，y1﹣y2）=0，‎ 可得x1+x2+4+（y1+y2）k=0，‎ 得+4+•k=0‎ 可得：k2=，‎ 解得k=±．‎ l的斜率为：±．‎ ‎　‎ ‎22．（16分）（2016•上海）已知a∈R，函数f（x）=log2（+a）．‎ ‎（1）当a=5时，解不等式f（x）＞0；‎ ‎（2）若关于x的方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围．‎ ‎（3）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．‎ ‎【分析】（1）当a=5时，解导数不等式即可．‎ ‎（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论a的取值范围进行求解即可．‎ ‎（3）根据条件得到f（t）﹣f（t+1）≤1，恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）当a=5时，f（x）=log2（+5），‎ 由f（x）＞0；得log2（+5）＞0，‎ 即+5＞1，则＞﹣4，则+4=＞0，即x＞0或x＜﹣，‎ 即不等式的解集为{x|x＞0或x＜﹣}．‎ ‎（2）由f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0得log2（+a）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0．‎ 即log2（+a）=log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，‎ 即+a=（a﹣4）x+2a﹣5＞0，①‎ 则（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1=0，‎ 即（x+1）[（a﹣4）x﹣1]=0，②，‎ 当a=4时，方程②的解为x=﹣1，代入①，成立 当a=3时，方程②的解为x=﹣1，代入①，成立 当a≠4且a≠3时，方程②的解为x=﹣1或x=，‎ 若x=﹣1是方程①的解，则+a=a﹣1＞0，即a＞1，‎ 若x=是方程①的解，则+a=2a﹣4＞0，即a＞2，‎ 则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a≤2．‎ 综上，若方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，则a的取值范围是1＜a≤2，或a=3或a=4．‎ ‎（3）函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，‎ 由题意得f（t）﹣f（t+1）≤1，‎ 即log2（+a）﹣log2（+a）≤1，‎ 即+a≤2（+a），即a≥﹣=‎ 设1﹣t=r，则0≤r≤，‎ ‎==，‎ 当r=0时，=0，‎ 当0＜r≤时，=，‎ ‎∵y=r+在（0，）上递减，‎ ‎∴r+≥=，‎ ‎∴==，‎ ‎∴实数a的取值范围是a≥．‎ ‎　‎ ‎23．（18分）（2016•上海）若无穷数列{an}满足：只要ap=aq（p，q∈N*），必有ap+1=aq+1，则称{an}具有性质P．‎ ‎（1）若{an}具有性质P，且a1=1，a2=2，a4=3，a5=2，a6+a7+a8=21，求a3；‎ ‎（2）若无穷数列{bn}是等差数列，无穷数列{cn}是公比为正数的等比数列，b1=c5=1；b5=c1=81，an=bn+cn，判断{an}是否具有性质P，并说明理由；‎ ‎（3）设{bn}是无穷数列，已知an+1=bn+sinan（n∈N*），求证：“对任意a1，{an}都具有性质P”的充要条件为“{bn}是常数列”．‎ ‎【分析】（1）利用已知条件通过a2=a5=2，推出a3=a6，a4=a7，转化求解a3即可．‎ ‎（2）设无穷数列{bn}的公差为：d，无穷数列{cn}的公比为q，则q＞0，利用条件求出，d与q，求出bn，cn得到an的表达式，推出a2≠a6，说明{an}不具有性质P．‎ ‎（3）充分性：若{bn}是常数列，设bn=C，通过an+1=C+sinan，证明ap+1=aq+1，得到{an}具有性质P．‎ 必要性：若对于任意a1，{an}具有性质P，得到a2=b1+sina1，设函数f（x）=x﹣b1，g（x）=sinx，说明bn+1=bn，即可说明{bn}是常数列．‎ ‎【解答】解：（1）∵a2=a5=2，∴a3=a6，‎ a4=a7=3，∴a5=a8=2，a6=21﹣a7﹣a8=16，∴a3=16．‎ ‎（2）设无穷数列{bn}的公差为：d，无穷数列{cn}的公比为q，则q＞0，‎ b5﹣b1=4d=80，‎ ‎∴d=20，∴bn=20n﹣19，=q4=，∴q=，∴cn=‎ ‎∴an=bn+cn=20n﹣19+．‎ ‎∵a1=a5=82，‎ 而a2=21+27=48，a6=101=．a1=a5，但是a2≠a6，{an}不具有性质P．‎ ‎（3）充分性：若{bn}是常数列，‎ 设bn=C，则an+1=C+sinan，‎ 若存在p，q使得ap=aq，则ap+1=C+sinap=C+sinaq=aq+1，‎ 故{an}具有性质P．‎ 必要性：若对于任意a1，{an}具有性质P，‎ 则a2=b1+sina1，‎ 设函数f（x）=x﹣b1，g（x）=sinx，‎ 由f（x），g（x）图象可得，对于任意的b1，二者图象必有一个交点，‎ ‎∴一定能找到一个a1，使得a1﹣b1=sina1，‎ ‎∴a2=b1+sina1=a1，∴an=an+1，‎ 故bn+1=an+2﹣sinan+1=an+1﹣sinan=bn，‎ ‎∴{bn}是常数列．‎ ‎　‎