浙江省2021届高考数学一轮复习第五章三角函数解三角形第6节三角函数的图象与性质含解析
第6节 三角函数的图象与性质
考试要求 1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性；2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性.
知 识 梳 理
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).
(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
{x
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
[2kπ－π，2kπ]
递减区间
[2kπ，2kπ＋π]
无
对称中心
(kπ，0)
对称轴方程
x＝kπ＋
x＝kπ
无
[常用结论与易错提醒]
1.要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω＞0时情况，避免出现增减区间的混淆.
2.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期.而正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期.
3.三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式.
诊 断 自 测
1.判断下列说法的正误.
(1)由sin＝sin 知，是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期.( )
(2)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴.( )
(3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数.( )
(4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.( )
(5)y＝sin|x|是偶函数.( )
解析 (1)函数y＝sin x的周期是2kπ(k∈Z).
(2)余弦函数y＝cos x的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条.
(3)正切函数y＝tan x在每一个区间(k∈Z)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.
(4)当k>0时，ymax＝k＋1；当k<0时，ymax＝－k＋1.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
2.关于周期函数，下列说法错误的是( )
A.函数f(x)＝sin 不是周期函数
B.函数f(x)＝sin 不是周期函数
C.函数f(x)＝sin|x|不是周期函数
D.函数f(x)＝|sin x|＋|cos x|的最小正周期为π
解析 f(x)＝|sin x|＋|cos x|的最小正周期为.
答案 D
3.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则( )
A.f(x)的最小正周期为π，最大值为3
B.f(x)的最小正周期为π，最大值为4
C.f(x)的最小正周期为2π，最大值为3
D.f(x)的最小正周期为2π，最大值为4
解析 易知f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝3＋1＝cos 2x＋，则f(x)的最小正周期为π，当x＝kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，最大值为4.故选B.
答案 B
4.若函数f(x)＝sin(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝( )
A. B.
C. D.
解析 由已知f(x)＝sin是偶函数，可得＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝3kπ＋(k∈Z)，又φ∈[0，2π]，所以φ＝.
答案 C
5.(必修4P47B2改编)函数y＝－tan的单调递减区间为________.
解析 因为y＝tan x的单调递增区间为(k∈Z)，
所以由－＋kπ＜2x－＜＋kπ(k∈Z)，
得＋＜x＜＋(k∈Z)，
所以y＝－tan的单调递减区间为(k∈Z).
答案 (k∈Z)
6.设函数f(x)＝2sin(ω>0，x∈R)，最小正周期T＝π，则实数ω＝________，函数f(x)的图象的对称中心为________.
解析 由T＝＝π，∴ω＝2，f(x)＝2sin，令2sin＝0，得2x＋＝kπ(k∈Z)，∴x＝－(k∈Z)，对称中心为(k∈Z).
答案 2 (k∈Z)
考点一 三角函数的定义域及三角不等式
【例1】 (1)函数f(x)＝－2tan的定义域是( )
A. B.
C. D.
(2)不等式＋2cos x≥0的解集是________.
(3)函数f(x)＝＋log2(2sin x－1)的定义域是________.
解析 (1)由正切函数的定义域得2x＋≠kπ＋(k∈Z)，
即x≠＋(k∈Z)，故选D.
(2)由＋2cos x≥0，得cos x≥－，
由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cos x≥－的解集为
，
故原不等式的解集为.
(3)由题意得
由①得－8≤x≤8，由②得sin x>，由正弦曲线得＋2kπ
0)在区间上是增函数，则ω的取值范围是________.
解析 (1)由已知可得函数为y＝－sin，欲求函数的单调减区间，只需求y＝sin的单调增区间.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
故所求函数的单调递减区间为(k∈Z).
(2)法一 由2kπ－≤ωx≤2kπ＋，k∈Z，
得f(x)的增区间是(k∈Z).
因为f(x)在上是增函数，
所以⊆.
所以－≥－且≤，所以ω∈.
法二 因为x∈，ω>0.
所以ωx∈，
又f(x)在区间上是增函数，
所以⊆，
则又ω>0，
得0<ω≤.
法三 因为f(x)在区间上是增函数，故原点到－，的距离不超过，即得T≥，即≥，又ω>0，得0<ω≤.
答案 (1)(k∈Z) (2)
规律方法 (1)求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.(2)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.
角度3 三角函数的对称轴或对称中心
【例3－3】 (1)已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值是________.
(2)函数f(x)＝2cos－1的对称轴为________，最小值为________.
解析 (1)由函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，得sin＝±1，因为－<φ<，所以<＋φ<，则＋φ＝，φ＝－.
(2)由x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝kπ－(k∈Z)，即函数
f(x)的对称轴为x＝kπ－(k∈Z)；因为2cos∈[－2，2]，所以2cos－1∈[－3，1]，所以函数f(x)的最小值为－3.
答案 (1)－ (2)x＝kπ－(k∈Z) －3
规律方法 (1)对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可.
(2)对于可化为f(x)＝Acos(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可.
【训练3】 (1)(角度1)(一题多解)已知函数f(x)＝cos2x－sin2，则f＝________，该函数的最小正周期为________.
(2)(角度2)已知ω>0，函数f(x)＝cos在上单调递增，则ω的取值范围是( )
A. B.
C. D.
(3)(角度3)函数y＝sin(2x＋φ)图象的一个对称中心为，则φ的值是________.
解析 (1)法一 f(x)＝－＝cos，则f＝cos ＝0，函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
法二 注意三角恒等变换中“正弦的平方差公式”sin(α－β)sin(α＋β)＝sin2α－sin2β，则f(x)＝sin2－sin2＝sinsin ＝cos，则f＝cos ＝0，函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)函数y＝cos x的单调递增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，
则(k∈Z)，
解得4k－≤ω≤2k－，k∈Z，
又由4k－－≤0，k∈Z且2k－>0，k∈Z，
得k＝1，所以ω∈.
(3)因为函数y＝sin(2x＋φ)图象的一个对称中心为，所以sin＝0，又因为－<φ<，则－<＋φ<，即＋φ＝0，
解得φ＝－.
答案 (1)0 π (2)D (3)－
基础巩固题组
一、选择题
1.(2019·全国Ⅱ卷)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝( )
A.2 B.
C.1 D.
解析 由题意及函数y＝sin ωx的图象和性质可知，
T＝－，∴T＝π，∴＝π，∴ω＝2.故选A.
答案 A
2.函数f(x)＝tan的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析 当kπ－＜2x－＜kπ＋(k∈Z)时，函数y＝tan单调递增，解得－＜x＜＋(k∈Z)，所以函数y＝tan的单调递增区间是(k∈Z)，故选B.
答案 B
3.函数y＝cos2x－2sin x的最大值与最小值分别为( )
A.3，－1 B.3，－2
C.2，－1 D.2，－2
解析 y＝cos2x－2sin x＝1－sin2x－2sin x
＝－sin2x－2sin x＋1，
令t＝sin x，则t∈[－1，1]，y＝－t2－2t＋1＝－(t＋1)2＋2，
所以ymax＝2，ymin＝－2.
答案 D
4.设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是( )
A.f(x)的一个周期为－2π
B.y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
C.f(x＋π)的一个零点为x＝
D.f(x)在单调递减
解析 函数f(x)＝cos的图象可由y＝cos x的图象向左平移个单位得到，如图可知，f(x)在上先递减后递增，D选项错误.
答案 D
5.(2020·嘉、丽、衢模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在区间上单调，则ω的最大值是( )
A.12 B.11
C.10 D.9
解析 由x＝－为函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的零点，x＝为函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象的对称轴得－ω＋φ＝k1π，ω＋φ＝k2π＋(k1，k2∈Z)，则ω＝2(k2－k1)＋1(k1，k2∈Z)①，又因为函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在上单调，所以·≥－，即ω≤12②，结合①②得ω的最大值为11，故选B.
答案 B
6.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，且任意x∈R，有f(x)≤f成立，则f(x)图象的一个对称中心坐标是( )
A. B.
C. D.
解析 由f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝.因为f(x)≤f恒成立，所以
f(x)max＝f，即×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，由|φ|<，得φ＝，故f(x)＝sin.
令x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝2kπ－(k∈Z)，故f(x)图象的对称中心为(k∈Z)，当k＝0时，f(x)图象的对称中心为，故选A.
答案 A
二、填空题
7.若函数f(x)＝cos(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________；f(x)取最大值时，x的取值集合为________.
解析 因为f(x)为奇函数，所以φ－＝＋kπ，k∈Z，φ＝＋kπ，k∈Z.又因为0<φ<π，故φ＝.由f(x)＝cos＝cos＝－sin 2x(x∈R)，∴当2x＝2kπ－，k∈Z，即x＝kπ－，k∈Z时，f(x)得最大值1.
答案
8.函数y＝sin x＋cos x的单调递增区间是________.
解析 ∵y＝sin x＋cos x＝sin，
由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z).
∴函数的单调递增区间为(k∈Z)，
又x∈，∴单调递增区间为.
答案
9.若x＝是函数f＝sin 2x＋acos 2x的一条对称轴，则函数f的最小正周期是________；函数f的最大值是________.
解析 ∵f(x)＝sin 2x＋acos 2x＝sin(2x＋θ)(tan θ＝a)，又x＝是函数的一条对称轴，
∴2×＋θ＝＋kπ，k∈Z，即θ＝＋kπ，k∈Z.
则f(x)＝sin，k∈Z.
T＝＝π；
由a＝tan θ＝tan＝tan＝，
得＝＝.
∴函数f(x)的最大值是.
答案 π
10.(一题多解)若函数y＝sin ωx在区间[0，2π]上单调递增，则实数ω的取值范围是________.
解析 法一 由题意得ω>0，ωx∈[0，2ωπ]⊆，所以0<2ωπ≤⇒0<ω≤.
法二 由题意得ω>0，∵y＝sin ωx在[0，2π]上单调递增，说明该函数至少T的图象在[0，2π]上，则其周期至少为8π，即≥8π，即ω≤，故0<ω≤.
答案
三、解答题
11.(2019·浙江卷)设函数f(x)＝sin x，x∈R.
(1)已知θ∈[0，2π)，函数f(x＋θ)是偶函数，求θ的值；
(2)求函数y＝＋的值域.
解 (1)因为f(x＋θ)＝sin(x＋θ)是偶函数，
所以对任意实数x都有sin(x＋θ)＝sin(－x＋θ)，
即sin xcos θ＋cos xsin θ＝－sin xcos θ＋cos xsin θ，
故2sin xcos θ＝0，所以cos θ＝0.
又θ∈[0，2π)，因此θ＝或θ＝.
(2)y＝＋
＝sin2＋sin2
＝＋
＝1－
＝1－cos.
因此所求函数的值域是.
12.设函数f(x)＝sin－2cos2＋1.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)(一题多解)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，求当x∈时，y＝g(x)的最大值.
解 (1)f(x)＝sin cos －cos sin －cos
＝sin －cos ＝sin，
故f(x)的最小正周期为T＝＝8.
(2)法一 在y＝g(x)的图象上任取一点(x，g(x))，
它关于x＝1的对称点(2－x，g(x)).
由题设条件，知点(2－x，g(x))在y＝f(x)的图象上，
从而g(x)＝f(2－x)＝sin
＝sin＝cos.
当0≤x≤时，≤＋≤，
因此y＝g(x)在区间上的最大值为
g(x)max＝cos ＝.
法二 区间关于x＝1的对称区间为，
且y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，
故y＝g(x)在上的最大值为
y＝f(x)在上的最大值.
由(1)知f(x)＝sin，
当≤x≤2时，－≤－≤.
因此y＝g(x)在上的最大值为
g(x)max＝sin ＝.
能力提升题组
13.已知函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间上的最小值是－2，则ω的最小值为( )
A. B.
C.2 D.3
解析 ∵ω>0，－≤x≤，∴－≤ωx≤.
由已知条件知－≤－，∴ω≥.
答案 B
14.设x1，x2，x3，x4∈，则( )
A.在这四个数中至少存在两个数x，y，满足sin(x－y)>
B.在这四个数中至少存在两个数x，y，满足cos(x－y)≥
C.在这四个数中至多存在两个数x，y，满足tan(x－y)<
D.在这四个数中至多存在两个数x，y，满足sin(x－y)≥
解析 将区间平均分为三个区间，则每个区间的长度为.因为x1，x2，x3，x4∈，所以在x1，x2，x3，x4中至少有两个数在同一区间内，设这两个数为x，y，则|x－y|≤，所以cos(x－y)≥，故选B.
答案 B
15.函数f(x)＝asin ωx＋bcos ωx(a≠0，b≠0，ω≠0)，则f(x)( )
A.是非奇非偶函数 B.奇偶性与a，b有关
C.奇偶性与ω有关 D.奇偶性与a，b无关
解析 f(x)＝asin ωx＋bcos ωx＝sin(ωx＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝，要使函数f(x)＝sin(ωx＋φ)为奇函数，则f(0)＝sin φ＝0，因为a≠0，b≠0，所以≠0，又因为sin φ＝≠0，所以f(0)＝sin φ≠0，所以函数f(x)不是奇函数.若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)为偶函数，则f(0)＝sin φ＝±，则sin φ＝±1，cos φ＝0，因为a≠0，所以cos φ＝≠0，所以f(0)＝sin φ≠±，所以函数f(x)不是偶函数，故选A.
答案 A
16.函数f(x)＝2cos2 x＋cos－1，则函数的最小正周期为________，在内的一条对称轴方程是________.
解析 f(x)＝1＋cos 2x＋cos 2x－sin 2x－1＝cos 2x－sin 2x＝cos ，∴T＝＝π.令2x＋＝kπ，k∈Z，
∴x＝－＋，k∈Z.
∵x∈，∴x＝π.
答案 π x＝
17.已知函数f(x)＝2cos x(sin x－cos x)＋，x∈R.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若函数g(x)＝f(x＋α)为偶函数，求|α|的最小值.
解 (1)f(x)＝2cos x(sin x－cos x)＋
＝2sin xcos x－(2cos2x－1)
＝sin 2x－cos 2x
＝2sin，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)由题意得g(x)＝f(x＋α)＝2sin，
因为函数g(x)为偶函数，
所以2α－＝kπ＋，k∈Z，α＝＋，k∈Z，
当k＝－1时，|α|的最小值为.
18.已知函数f(x)＝a＋b.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调增区间；
(2)若x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5，8]，求a，b的值.
解 f(x)＝a(1＋cos x＋sin x)＋b＝asin＋a＋b.
(1)当a＝－1时，f(x)＝－sin＋b－1，
由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的单调增区间为(k∈Z).
(2)∵0≤x≤π，∴≤x＋≤，
∴－≤sin≤1，依题意知a≠0.
①当a>0时，
∴a＝3－3，b＝5.
②当a<0时，
∴a＝3－3，b＝8.
综上所述，a＝3－3，b＝5或a＝3－3，b＝8.
