福建省三明市第一中学2019届高三下学期开学考试 数学(文)试题(PDF版)

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福建省三明市第一中学2019届高三下学期开学考试 数学(文)试题(PDF版)

高三数学(文科)试卷 第 1 页(共 5 页) 三明一中 2018-2019 学年下学期返校考 高三文科数学试卷 (总分 150 分,时间:120 分钟) 一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目 要求) 1.设集合 { | 2 2 4}A x x    , { | 1}B x x,则 AB( ) A.{ | 1 1}xx   B.{ | 2 1}xx   C.{ | 1 1}xx   D.{ | 2 1}xx   2.(2 2 )(1 2 )ii   ( ) A. 42i B. 2i C. 42i D. 2i 3.八卦是中国道家文化的深奥概念,是一套用三组阴阳组成的哲学符号.八卦表示事物自 身变化的阴阳系统,用“ ”代表阳,用“——”代表阴,用这两种符号,按照大自 然的阴阳变化平行组合,组成八种不同的形式(如图所示).从图中的八卦中随机选取一卦, 则此卦中恰有两个“——”的概率为( ) A. 1 2 B. 1 4 C. 3 8 D. 1 8 4.设等比数列{}na 的前 n 项和为 nS ,且 214Sa ,则公比 q ( ) A. 1 2 B. 1 3 C. 2 D.3 5.双曲线 22 22: 1( 0, 0)xyC a bab    的左焦点为( 3,0) ,且C 的离心率为 3 2 ,则C 的方程为( ) A. 22 145 yx B. 22 154 yx C. 22 145 xy D. 22 154 xy 6.某公司在十周年庆典中有一个抽奖活动,主持人将公司 450 名员工随机编号为 001,002,003,..., 450,采用系统抽样的方法从中抽取 50 名幸运员工.已知抽取的幸运员工中有一个编号为 025,那么以下编 号中不是幸运员工编号的是( ) A.007 B.106 C.356 D. 448 高三数学(文科)试卷 第 2 页(共 5 页) 7.函数 | 2 2 |() 22 x xfx   的图像大致为( ) A. B. C. D. 8.设 nS 为等差数列{}na 的前 n 项和,若 2 4 3 52S S S S   , 1 9a  ,则公差 d ( ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 9.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( ) A.80 12 B.80 13.5 C.59 13.5 D.59 12 10.已知曲线 2xy e x ax   在区间(0,1) 内存在垂直于 y 轴的切线,则 a 的取值范围为( ) A.(0, 1)e B.(1, 1)e C. (0, 2)e D.(1, 2)e 11.若函数 ( ) sin 2 3cos2f x x x 在[0, ]t 上的值域为[ 3,2] ,则t 的取值范围为( ) A. 5[ , ]36  B. 55[ , ]12 6  C.[ , ]3   D. 5[ , ]12   12.椭圆 22 22: 1( 0)xyC a bab    上一点 (2,1)A 到两焦点的距离之和为 42.若以 (0, 1)M  为圆心的圆 经过点 A ,则圆 M 与C 的四个交点围成的四边形的面积为( ) A. 20 8 17 9  B. 20 4 17 9  C. 24 4 17 9  D. 24 8 17 9  第 II 卷(非选择题,共 90 分) 二.填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把答案写在答题卡上..........): 13.已知向量 a ,b 的夹角为 ,且 2a  , 3b  , 3ab ,则  . 14.设 x 、 y 满足约束条件 2 0, 2 0, 2 0, xy xy x      则 2z x y的最大值为 . 15.设 2log 3 a , 2log 15 b ,则 2log 75  (结果用 a ,b 表示). 16.正三棱锥 P ABC 的每个顶点都在半径为 2 的球O 的球面上, 3AB  ,则三棱锥 的体积 高三数学(文科)试卷 第 3 页(共 5 页) 为 . 三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,其中 22 题为 10 分,其余为 12 分): 17.(本小题 12 分)已知数列 }{ na 的前 n 项和 nS 满足 ,且 11 a . (1)求数列的通项公式 na ; (2)记 1 1 n nn b aa   , nT 为 }{ nb 的前 项和,求使 2 nT n 成立的 n 的最小值. 18.(本小题 12 分)为了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度,某 部门从年龄在 15 岁到 65 岁的人群中随机调查了 100 人,将这 100 人 的年龄数据分成 5 组: 15,25 , 25,35 , 35,45 , 45,55 , 55,65 , 整理得到如图所示的频率分布直方图. 在这 100 人中不支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下: 年龄 不支持“延迟退 休”的人数 15 5 15 23 17 (1)由频率分布直方图,估计这 100 人年龄的平均数; (2)由频率分布直方图,若在年龄 , , 的三组内用分层抽样的方法抽取 12 人做 问卷调查,求年龄在 组内抽取的人数; (3)根据以上统计数据填写下面的 22 列联表,据此表,能否在犯错误的概率不超过 5%的前提下,认为 以 45 岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的不支持态度存在差异? 45 岁以下 45 岁以上 总计 不支持 支持 总计 )2(11 NnnSS nn   , 高三数学(文科)试卷 第 4 页(共 5 页) 附:        2 2 n ad bcK a b c d a c b d      ,其中 n a b c d    . 参考数据:  2 0P K k 0.100 0.050 0.010 0.001 0k 2.706 3.841 6.635 10.828 19.(本小题 12 分)四棱锥 ABCDP  中, PA 平面 ABCD ,底面 为直 角梯形, BCAD // , ABAD  , BCAD 2 ,M 为 PA 上一点,且 PAPM 3 1 , (1)证明: PC 平面 MBD ; (2)若 3PA AD,四棱锥 的体积为 9 4 ,求直线 AB 与平面 MBD 所 成角的正弦值. 20.(本小题 12 分)已知抛物线  2: 2 0E x py p上一点 M 的纵坐标为6 ,且点 到焦点 F 的距离7 . (1)求抛物线 E 的方程; (2)设 1l , 2l 为过焦点 F 且互相垂直的两条直线,直线 1l 与抛物线 E 相交于 ,AB两点,直线 2l 与抛物线 E 相交于点 ,CD两点,若直线 1l 的斜率为 ( 0)kk ,且 8OAB OCDSS,试求 k 的值. 21.(本小题 12 分)已知函数   2 1 x x axfx e  ,其中 aR . (1)讨论函数  fx的单调性; (2)若实数 0x 为函数 的极小值点,且  0 3 4fx e ,求实数 a 的取值范围. 请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 中,曲线 1C 的参数方程为 2cos sin x y      ( 为参数),以坐标原点为极点, x 轴的正半xOy 高三数学(文科)试卷 第 5 页(共 5 页) 轴为极轴建立极坐标系,曲线 2C 的极坐标方程为 3sin( )62  . (1)求曲线 1C , 2C 的直角坐标方程; (2)判断曲线 , 是否相交,若相交,请求出交点间的距离;若不相交,请说明理由. 23.(本小题 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 ( ) | 2 | | |f x x a x a    . (1)当 1a  时,求不等式 ( ) 4 | 2|f x x   的解集; (2)设 0a  , 0b  ,且 ()fx的最小值为t .若 33tb,求 1 a ab 的最小值. 高三数学(文)试卷答案 第 1 页(共 4 页) 三明一中 2018-2019 学年度下学期高三返校考(文科数学)答案 一、选择题:5×12=60 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A A C D C C B A B D B D 二、填空题:4×5=20 13、 6  14、8 15、 2ba 16、 33 4 或 93 4 三、解答题:(第 22 题 10 分,第 17~21 题每题 12 分,共 70 分) 17.(1)由已知有 11  nn SS , 数列 }{ nS 为等差数列,且 111  aS , nSn  ,即 2nS n  , 当 2n 时, 12)1( 22 1   nnnSSa nnn ,又 11 a 也满足上式, 12  nan ;… 6 分 (2)由(1)知, )12 1 12 1(2 1 )12)(12( 1  nnnnbn 12)12 11(2 1)12 1 12 1 5 1 3 1 3 11(2 1  n n nnnTn , 由 nTn 2 有 242  nn ,有 6)2( 2 n ,所以 5n , n 的最小值为 5.…………12 分 18.解(1)估计这 100 人年龄的平均数为 20 0.2 30 0.1 40 0.2 50 0.3 60 0.3 42x            …………2 分. (2)由频率分布直方图可知,年龄在 25,35 , 35,45 , 45,55 内的频率分别为 0.1,0.2,0.3, 所以在这三组内抽取的人数之比为 1:2:3,所在年龄在 组内抽取的人数为 212 46 (人). …………6 分 (3)由频率分布直方图可知,得年龄在 , , 这三组内的频率和为 0.5,所以 45 岁以下共有 50 人,45 岁以上共有 50 人.列联表如下: 45 岁以下 45 岁以上 总计 不支持 35 45 80 支持 15 5 20 总计 50 50 100 所以  2100 35 5 45 15 25 6.25 3.84150 50 80 20 4k         , 高三数学(文)试卷答案 第 2 页(共 4 页) 所以在犯错误的概率不超过 5%的前提下,认为以 45 岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的不 支持态度存在差异„„„„„12 分 19、解:(1)证明:连结 AC 交 BD 于 N 点,连结 MN,则 BNC ∽ AND 又 BCAD 2 , NCAN 2 PAPM 3 1 , PCMN // , MBDPCMBDMN 平面,平面  , MBDPC 平面// „„„„„„„„5' (2) 解:不妨设 AB a ,因为 PA=AD=3,四棱锥 ABCDP 的体积为 9 4 ,所以 1 1 3 9[ ( 3) ] 33 2 2 4a      , 解得 1a  ;„„„„„„ '8 设点 A 到平面 MBD的距离为 h ,利用体积桥, A MBD M ABDVV三棱锥 三棱锥 , 在 MBD 中, 5, 10, 13MB BD MD   ,利用余弦定理可求得 2cos 10MBD,所以 72sin 10MBD,所以 三角形 MBD 的面积 7 2S  ,„„„„„„ '10 代入 中得: 1 7 1 3 23 2 3 2h     ,解得 6 7h  ,„„„„„„ '11 又因为 1AB  ,所以直线 AB 与平面 MBD 所成角的正弦值为 6 7 . „„„„„„ '12 20、解:(1)由抛物线的定义知,点 M 到抛物线的准线 E 的距离为 7,又抛物线 的准线方程为 2 py  , 所以672 p,解得 2p  .故抛物线 的方程为 2 4xy . (2)由题意可知 1l 的方程为  10y kx k   ,设  11,A x y ,  22,B x y , 由 2 1 4 y kx xy    消去 y ,整理得 2 4 4 0x kx   ,则 124x x k , 12 4xx  ,  216 1 0k    ,    2 2 2 2 2 121 1 1 16 1 4 11AB k x x k k k k          .又点O 到直线 AB 的距离 2 1 1 d k   ,则  22 2 1 1 14 1 2 122 1OABS AB d k k k          . 因为 12ll ,同理可得 2 21 2 121OCD kS kk     ,由 8OAB OCDSS,得 高三数学(文)试卷答案 第 3 页(共 4 页) 2 2 212 1 8kk k    ,解得 2 1k  ,即 1k  或 1k  .„„„„„„„„„12 分 21、解: (1) 函数  fx的定义域为 ,  ,           2 2 2 212 1 1 1xx x x x x a e e x ax x a x a x x afx e e e                . 由   0fx  ,得 1x  ,或 1xa . ①当 0a  时,    21 0x xfx e  ,所以函数 在区间 上单调递增; ②当 0a  时,11a,由   0fx  ,解得 1xa或 1x  , 所以函数 在区间   ,1 , 1,a   上单调递增;由   0fx  ,解得11ax   , 所以函数 在区间 1 ,1a 上单调递减. ③当 0a  时,11a ,由 ,解得 1x  或 1xa , 所以函数 在区间   ,1 , 1 ,a   上单调递增;由 ,解得11xa   , 所以函数 在区间 1,1 a 上单调递减. 综上所述,当 时,函数 在区间 上单调递增; 当 时,函数 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减; 当 时,函数 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减. (2)由(1)知,①当 时,函数 在区间 上单调递增,可知函数无极小值. ②当 时,由函数 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减,可知 0 1x  ,所以    0 3 241 af x f ee      ,即 3 24a ee   ,解得 2 4 2a e,又 ,所以 a 的取值 范围为 0, . ③当 时,函数 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减,可知 0 1xa ,所以    0 13 241 a af x f a ee       ,即 13 24 a a ee   ,整理得  2 420aae e   . 令函数      2 420ah a a e ae    ,    1 ah a a e  , 高三数学(文)试卷答案 第 4 页(共 4 页) 因为 0a  ,所以   0ha  ,所以函数  ha在区间 ,0 上单调递增. 又因为  20h ,所以 20a   .综上所述,实数 a 的取值范围   2,0 0,  .„„„„12 分 22、解:(1)将 2cos sin x y      ,消去参数,得曲线 1C 的直角坐标方程为 2 2 14 x y, 将 3sin( )62  展开整理,得 cos 3 sin 3   , 因为 cosx  , siny  , 所以曲线 2C 的直角坐标方程为 3 3 0xy   . (2)由(1)知曲线 2C 是过定点 ( 3,0)的直线,因为点( 3,0) 在曲线 1C 的内部,所以曲线 1C 与曲线 2C 相交.将 33xy代入 2 2 14 x y并整理,得 27 6 1 0yy   , 设曲线 1C , 2C 的两交点为 11( , )A x y , 22( , )B x y ,则 12 6 7yy   , 12 1 7yy   , 故曲线 , 两交点间的距离 2| | 1 ( 3)AB  2 1 2 1 2 16( ) 4 7y y y y     . 10 分 23、解:(1)当 1a  时, ( ) | 2| | 1|f x x x    ,原不等式可化为 2| 2| | 1| 4xx    ,① 当 2x  时,不等式①可化为 2 4 1 4xx     ,解得 7 3x  ,此时 7 3x  ; 当 21x   时,不等式①可化为 2 4 1 4xx    ,解得 1x  ,此时 11x   ; 当 1x  时,不等式①可化为 2 4 1 4xx    ,解得 1 3x  ,此时 1x  , 综上,原不等式的解集为 7( , ] [ 1, )3    . (2)由题意得, ( ) | 2 | | |f x x a x a     | ( 2 ) ( ) | 3x a x a a    , 因为 ()fx的最小值为t ,所以 3ta ,由3 3 3ab,得 1ab, 所以 1 2 1 2( ) ( )aba b a b     223 3 2 3 2 2b a b a a b a b        , 当且仅当 2ba ab ,即 21a , 22b  时, 12 ab 的最小值为3 2 2 .„„„„„„„„„10 分
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