八上时 平方差公式

八上时 平方差公式

‎§15．3．1 平方差公式 ‎ 教学目标 ‎ （一）教学知识点 ‎ 1．经历探索平方差公式的过程．‎ ‎ 2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算．‎ ‎ （二）能力训练要求 ‎ 1．在探索平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力．‎ ‎ 2．培养学生观察、归纳、概括的能力．‎ ‎ （三）情感与价值观要求 在计算过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美．‎ ‎ 教学重点 ‎ 平方差公式的推导和应用．‎ ‎ 教学难点 ‎ 理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．‎ ‎ 教学方法 ‎ 探究与讲练相结合．‎ ‎ 通过计算发现规律，进一步探索公式的结构特征，在老师的讲解和学生的练习中让学生体会公式实质，学会灵活运用．‎ ‎ 教具准备 ‎ 投影片．‎ ‎ 教学过程 ‎ Ⅰ．提出问题，创设情境 ‎ [师]你能用简便方法计算下列各题吗？‎ ‎ （1）2001×1999 （2）998×1002‎ ‎ [生甲]直接乘比较复杂，我考虑把它化成整百，整千的运算，从而使运算简单，2001可以写成2000+1，1999可以写成2000-1，那么2001×1999可以看成是多项式的积，根据多项式乘法法则可以很快算出．‎ ‎ [生乙]那么998×1002=（1000-2）（1000+2）了．‎ ‎ [师]很好，请同学们自己动手运算一下．‎ ‎ [生]（1）2001×1999=（2000+1）（2000-1）‎ ‎ =20002-1×2000+1×2000+1×（-1）‎ ‎ =20002-1‎ ‎ =4000000-1‎ ‎ =3999999．‎ ‎ （2）998×1002=（1000-2）（1000+2）‎ ‎ =10002+1000×2+（-2）×1000+（-2）×2‎ ‎ =10002-22‎ ‎ =1000000-4‎ ‎ =1999996．‎ ‎ [师]2001×1999=20002-12‎ ‎ 998×1002=10002-22‎ ‎ 它们积的结果都是两个数的平方差，那么其他满足这个特点的运算是否也有这个规律呢？我们继续进行探索．‎ ‎ Ⅱ．导入新课 ‎ [师]出示投影片 ‎ 计算下列多项式的积．‎ ‎ （1）（x+1）（x-1）‎ ‎ （2）（m+2）（m-2）‎ ‎ （3）（2x+1）（2x-1）‎ ‎ （4）（x+5y）（x-5y）‎ ‎ 观察上述算式，你发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？再举两例验证你的发现．‎ ‎ （学生讨论，教师引导）‎ ‎ [生甲]上面四个算式中每个因式都是两项．‎ ‎ [生乙]我认为更重要的是它们都是两个数的和与差的积．例如算式（1）是x与1这两个数的和与差的积；算式（2）是m与2这两个数的和与差的积；算式（3）是2x与1这两个数的和与差的积；算式（4）是x与5y这两个数的和与差的积．‎ ‎ [师]这个发现很重要，请同学们动笔算一下，相信你还会有更大的发现．‎ ‎ [生]解：（1）（x+1）（x-1）‎ ‎ =x2+x-x-1=x2-12‎ ‎ （2）（m+2）（m-2）‎ ‎ =m2+‎2m‎-2m-2×2=m2-22‎ ‎ （3）（2x+1）（2x-1）‎ ‎ =（2x）2+2x-2x-1=（2x）2-12‎ ‎ （4）（x+5y）（x-5y）‎ ‎ =x2+5y·x-x·5y-（5y）2‎ ‎ =x2-（5y）2‎ ‎[生]从刚才的运算我发现：‎ 也就是说，两个数的和与差的积等于这两个数的平方差，这和我们前面的简便运算得出的是同一结果．‎ ‎ [师]能不能再举例验证你的发现？‎ ‎ [生]能．例如：‎ ‎51×49=（50+1）（50-1）=502+50-50-1=502-12．‎ ‎ 即（50+1）（50-1）=502-12．‎ ‎ （-a+b）（-a-b）=（-a）·（-a）+（-a）·（-b）+b·（-a）+b·（-b）‎ ‎=（-a）2-b2=a2-b2‎ ‎ 这同样可以验证：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．‎ ‎ [师]为什么会是这样的呢？‎ ‎ [生]因为利用多项式与多项式的乘法法则展开后，中间两项是同类项，且系数互为相反数，所以和为零，只剩下这两个数的平方差了．‎ ‎ [师]很好．请用一般形式表示上述规律，并对此规律进行证明．‎ ‎ [生]这个规律用符号表示为：‎ ‎ （a+b）（a-b）=a2-b2．其中a、b表示任意数，也可以表示任意的单项式、多项式．‎ ‎ 利用多项式与多项式的乘法法则可以做如下证明：‎ ‎ （a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2．‎ ‎ [师]同学们真不简单．老师为你们感到骄傲．能不能给我们发现的规律（a+b）（a-b）=a2-b2起一个名字呢？‎ ‎ [生]最终结果是两个数的平方差，叫它“平方差公式”怎样样？‎ ‎ [师]有道理．这就是我们探究得到的“平方差公式”，请同学们分别用文字语言和符号语言叙述这个公式．‎ ‎ （出示投影）‎ ‎ 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．‎ ‎ 即：（a+b）（a-b）=a2-b2‎ ‎ 平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，用它直接运算会很简便，但必须注意符合公式的结构特征才能应用．‎ ‎ 在应用中体会公式特征，感受平方差公式给运算带来的方便，从而灵活运用平方差公式进行计算 ‎ （出示投影片）‎ ‎ 例1：运用平方差公式计算：‎ ‎ （1）（3x+2）（3x-2）‎ ‎ （2）（b+‎2a）（‎2a-b）‎ ‎ （3）（-x+2y）（-x-2y）‎ ‎ 例2：计算：‎ ‎ （1）102×98‎ ‎ （2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）‎ ‎ [师生共析]运用平方差公式时要注意公式的结构特征，学会对号入座．‎ ‎ 在例1的（1）中可以把3x看作a，2看作b．‎ ‎ 即：（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22‎ ‎ （a+b）（a-b）=a2-b2‎ ‎ 同样的方法可以完成（2）、（3）．如果形式上不符合公式特征，可以做一些简单的转化工作，使它符合平方差公式的特征．比如（2）应先作如下转化：‎ ‎ （b+‎2a）（‎2a-b）=（‎2a+b）（‎2a-b）．‎ ‎ 如果转化后还不能符合公式特征，则应考虑多项式的乘法法则．‎ ‎ （作如上分析后，学生可以自己完成两个例题．也可以通过学生的板演进行评析达到巩固和深化的目的）‎ ‎ [例1]解：（1）（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22=9x2-4．‎ ‎ （2）（b+‎2a）（‎2a-b）=（‎2a+b）（‎2a-b）=（‎2a）2-b2=‎4a2-b2．‎ ‎ （3）（-x+2y）（-x-2y）=（-x）2-（2y）2=x2-4y2．‎ ‎ [例2]解：（1）102×98=（100+2）（100-2）‎ ‎ =1002-22=10000-4=9996．‎ ‎ （2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）‎ ‎ =y2-22-（y2+5y-y-5）‎ ‎ =y2-4-y2-4y+5‎ ‎ =-4y+1．‎ ‎ [师]我们能不能总结一下利用平方差公式应注意什么？‎ ‎ [生]我觉得应注意以下几点：‎ ‎ （1）公式中的字母a、b可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式即整式．‎ ‎ （2）要符合公式的结构特征才能运用平方差公式．‎ ‎ （3）有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式．‎ ‎ [生]运算的最后结果应该是最简才行．‎ ‎ [师]同学们总结得很好．下面请同学们完成一组闯关练习．优胜组选派一名代表做总结发言．‎ ‎ Ⅲ．随堂练习 ‎ 出示投影片：‎ ‎ 计算：‎ ‎ （1）（a+b）（-b+a）‎ ‎ （2）（-a-b）（a-b）‎ ‎ （3）（‎3a+2b）（‎3a-2b）‎ ‎ （4）（a5-b2）（a5+b2）‎ ‎ （5）（a+2b+‎2c）（a+2b‎-2c）‎ ‎ （6）（a-b）（a+b）（a2+b2）‎ ‎ Ⅳ．课时小结 ‎ 通过本节学习我们掌握了如下知识．‎ ‎ （1）平方差公式 ‎ 两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差．这个公式叫做乘法的平方差公式．即（a+b）（a-b）=a2-b2．‎ ‎ （2）公式的结构特征 ‎ ①公式的字母a、b可以表示数，也可以表示单项式、多项式；‎ ‎ ②要符合公式的结构特征才能运用平方差公式；‎ ‎ ‎ ‎ ③有些式子表面上不能应用公式，但通过适当变形实质上能应用公式．如：（x+y-z）（x-y-z）=[（x-z）+y][（x-z）-y]=（x-z）2-y2．‎ ‎ Ⅴ．课后作业 ‎ 1．课本P179练习1、2．‎ ‎ 2．课本P182～P183习题15．3─1题．‎ ‎ 《三级训练》‎ ‎ 板书设计 ‎ §15．3．1 平方差公式 ‎ 一、1．用简便方法计算 ‎ （1）2001×1999 （2）998×1002‎ ‎ 2．计算：‎ ‎ （1）（x+1）（x-1）‎ ‎ （2）（m+2）（m-2）‎ ‎ （3）（2x+1）（2x-1）‎ ‎ （4）（x+5y）（x-5y）‎ ‎ 二、探究、归纳规律──平方差公式；‎ ‎ 文字语言：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差 ‎ 符号语言：（a+b）（a-b）=a2-b2‎ ‎ 三、应用、升华：‎ ‎ 1．例1： 例2：‎ ‎ 2．闯关练习 ‎ 四、小结 ‎ ‎