2017 年芜湖市高中毕业班教学质量检测高考模拟 数学(文科)

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2017 年芜湖市高中毕业班教学质量检测高考模拟 数学(文科)

2017 年芜湖市高中毕业班教学质量检测高考模拟 数学(文科) 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设复数 z 满足  1 1 3i z i   (i 为虚数单位),则 z 在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知全集    2, 2 0 , 1,0,1,2U Z A x Z x x B        ,则  UC A B  ( ) A. 1,2 B. 1,0 C. 0,1 D. 1,2 3.若 1 sin cos 0     ,则( ) A.sin 0  B. os 0 c C. tan 0  D. cos2 0  4.已知点  2, 3 在双曲线   2 2 1 04 x y aa    的一条浙近线上,则 a ( ) A. 3 B.3 C. 2 D. 2 3 5.“ 2 1a  ”是“函数   2lg 1f x ax      为奇函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分 也不必要条件 6.执行所级的程序框输送,则输出 A 的值是( ) A. 1 55 B. 1 58 C. 1 61 D. 1 64 7.边长为 4 的正三角形 ABC 中,点 D 在边 AB 上, 1 2AD DB  , M 是 BC 的中点,则 AM CD   ( ) A.16 B.12 3 C. 8 3 D. 8 8.等比数列 na 共有 12 n 项,其中 1 1a  ,偶数项和为170 ,奇数项和为341,则 n ( ) A.3 B.4 4 C. 7 D.9 9.函数   2 cosf x x x  在 ,2 2      的图象大致是( ) A. B. C. D. 10.抛物线 2 4x y 的焦点为 F ,过 F 作斜率为 3 3 的直线l 与抛物线在 y 轴右侧的部分相交 于点 A ,过 A 作抛物线准线的垂线,垂足为 H ,则 AHF 的面积是( ) A. 4 B. 3 3 C. 4 3 D.8 11.将函数    sin 0f x x   的图象向左平移 4   个单位得到函数  g x 的图象,若函数  g x 的图象关于直线 x  对称且在区间  ,  内单调递增,则 的值为( ) A. 3 2  B. 4  C. 2  D. 3 2  12.若函数    1 , 2 1, xx e x af x x x a        有最大值,则实数 a 的取值范围是( ) A. 2 1 1 ,2 2e       B. 2 1 ,2e     C. 2   D. 2 1 12, 2 2e       第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.以下茎叶图记录了某学习小组六名同学在一次数学测试中的成绩(单位:分),已知该组 数据的中位数为85 ,则 x 的值为 . 14.如图,网格纸上的小正方形边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体外 接球的体积为 . 15.已知点  ,P x y 在不等式组 2 0 3 3 0 x y a x y        ( a 为常数)表示的平面区域上运动,若 4 3z x  的最大值为8 ,则 a . 16.在 ABC 中,角 CBA 、、 所对的边分别为 cba 、、 ,且  cos 3 cosb C a c B  . D 为 AC 边的中点,且 1BD ,则 ABD 面积的最大值为 . 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.设等差数列 na 的前 n 项和为 nS ,若 9 3 581,a 14S a   . (1)求数列 na 的通项公式; (2)设 1 1 n n n b a a   ,若 nb 的前 n 项和为 nT ,证明: 1 2nT  . 18.2017 年 3 月 14 日,“ ofo 共享单车”终于来到芜湖,ofo 共享单车又被亲切称作“小黄车” 是全球第一个无桩共享单车平台,开创了首个“单车共享”模式.相关部门准备对该项目进 行考核,考核的硬性指标是:市民对该项目的满意指数不低于 8.0 ,否则该项目需进行整改, 该部门为了了解市民对该项目的满意程度,随机访问了使用共享单车的100 名市民,并根据 这100 名市民对该项目满意程度的评分(满分100分),绘制了如下频率分布直方图: (I)为了了解部分市民对“共享单车”评分较低的原因,该部门从评分低于 60 分的市民中 随机抽取 2 人进行座谈,求这 2 人评分恰好都在 50,60 的概率; (II)根据你所学的统计知识,判断该项目能否通过考核,并说明理由. (注:满意指数= 100 意程度的平均得分满 ) 19.如图所示,在直角梯形 ABCD 中, , , 2 2AD BC AD DC BC AD DC   ,四边形 ABEF 是正方形,且平面 ABEF  平面 ABCD , M 为 AF 的中点, (I)求证: BMAC  ; (2)求异面直线CE 与 BM 所成角的余弦值. 20.已知椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b     的离心率为 2 2 , M 为C 上除长轴顶点外的一动点, 以 M 为圆心, 2 2 为半径作圆,过原点O 作圆 M 的两条切线, BA, 为切点,当 M 为短 轴顶点时 2AOB   . (I)求椭圆的方程; (II)设椭圆的右焦点为 F ,过点 F 作 MF 的垂线交直线 2x a 于 N 点,判断直线 MN 与椭圆的位置关系. 21.已知函数     2 1 ln 2 xf x ax x   . (I)若 2a ,求曲线  y f x 在点   1, 1f 处的切线l 的方程; (II)设函数    'g x f x 有两个极值点 1 2,x x ,其中  1 0,x e ,求    1 2g x g x 的最小值. 请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,直线l 的参数方程为 2 2 x m t y t     (t 为参数).以坐标原点为极 点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 2 2 4 1 sin    ,且直线l 经 过曲线C 的左焦点 F . (I)求直线l 的普通方程; (II)设曲线C 的内接矩形的周长为 L ,求 L 的最大值. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数    2 2 5f x x a x a R      . (I)试比较  1f  与  f a 的大小; (II)当 1a   时,若函数  f x 的图象和 x 轴围成一个三角形,则实数 a 的取值范围. 试卷答案 一、选择题 1-5: DCCBB 6-10:CDBBC 11、12:CA 二、填空题 13.8 14.8 6 15. 2 16. 2 4 三、解答题 17.解:(I)  na 等差数列, 由 9 59 81S a  ,得 5 9a  . 又由 3 5 14a a  ,得 3 5a  . 由上可得等差数列 na 的公差 2d .  3 3 2 1na a n d n      . (II)由       1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1n n n b a a n n n n            . 得 1 1 1 1 1 1 1 1 11 12 3 3 5 2 1 2 1 2 2 1 2nT n n n                      . 18.解:(I)依题意得:评分在 40,50 、 50,60 的频率分别为 02.0 和 03.0 , 所以评分在 40,50 、 50,60 的市民分别有 2 个和3 个,记为 1 2 1 2 3, , , ,A A B B B 从评分低于 60 分的市民中随机抽取 2 人,所有可能的结果共有10种, 它们是                   1 2 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 1 2 1 3 2 3, , , , , , , , , , , , , , , , , , ,A A A B A B A B A B A B A B B B B B B B . 其中 2 人评分都在 50,60 的有三种,即     1 2 1 3 2 3, , , , ,B B B B B B . 故所求的概率为 3 10 . (II)由样本的频率分布直方图可得满意程度的平均得分为 5.8026.0953.08524.07515.06503.05502.045  。 可估计市民的满意指数为 80.5 0.805 0.8100   , 所以该项目能通过验收. 19.解:(I)证明:因为四边形 ABEF 为正方形,所以 ABBE  . 因为平面 ABCD  平面 ABEF ,平面 ABCD  平面 ABABEF  , BE 平面 ABEF . 所以 BE  平面 ABCD .因为 AC 平面 ABCD ,所以 BE AC . 设 1AD ,则 2AC AB  , AC AB  且 AB BE B  , AC  平面 ABEF ,又 BM 平面 ABEF . AC BM  . (II)取 BC 的中点记为Q , BE 的中点记为 N ,连接 DQQNMN ,, , 易得 ,CE QN AB MN  . 在直角梯形 ABCD 中,由 DCADBC 22  可得 DQ AB , 所以四边形 DMNQ 为平行四边形,可得 DM QN . 故 DM CE , DMB 即为异面直线CE 与 BM 所成的角(或其补角) 设 aBC 2 ,则 aDCAD  , 可得 6 10, 5 ,2 2DM a BD a BM a   .   2 210 6 52 2 15cos 1510 62 2 2 a a a DMB a a                   . 得异面直线CE 与 BM 所成角的余弦值为 15 15 . 20.解:(I)由题意, )( OMBOMA  为等腰直角三角形,因为圆 M 的半径为 2 2 ,所以 1b , 又因为 2 2 c a  ,所以 2a  ,此时椭圆的方程为 2 2 12 x y  ; (II)(i) MF 垂直于 x 轴,则  2 21, , 2,0 ,2 2MNM N k        , 此时直线 MN 的方程为  2 22y x   ,代入椭圆方程得: 2 2 1 0x    , 所以直线 MN 与椭圆相切; (ii) MF 不垂直于 x 轴,设  0 0,M x y ,则 0 0 0 0 1,1MF NF y xk kx y   , 直线 NF 的方程  0 0 1 1xy xy   ,令 2x ,解得 0 0 1 xy y  ,即得 0 0 12, xN y       .   0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 1 2 2MN x yy x yk x x y       ,由  0 0,M x y 在椭圆上,得 2 2 0 0 1 2 xy   , 代入     2 0 02 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 21 2 2 2MN xx x y xk x y x y y             . 得直线 MN 方程为  0 0 0 02 xy y x xy     , 与椭圆方程联立得:  0 0 0 2 20 0 0 2 2 22 0 0 02 2 21 2 2 02 12 xy y x xy x xx xy y yx y                    , 化简得: 2 0 0 0 1 0xxy y       ,所以此时直线 MN 与椭圆相切, 综合(i)(ii),直线 MN 与椭圆相切. 21.解:(I)当 2a 时,      1 1' 2ln 2, ' 1 2, 1 2f x x x f fx       , 得切线l 的方程为  1 2 12y x   即 4 2 3 0x y   . (II)   1lng x a x x ax     ,定义域为  0, .   2 2 2 1 1' 1 a x axg x x x x      ,令  ' 0g x  得 2 1 0x ax   ,其两根为 1 2,x x , 且 1 2 1 2, 1x x a x x    .所以, 2 1 1 1 1 1,x a xx x         .      1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1ln lng x g x g x g x a x x ax x x x                    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 2 ln 2 2 lnx a x x x xx x x                        ,    1 12 2 ln , 0,h x x x x x ex x               . 则       1 2 minming x g x h x  ,      2 2 1 1 ln' x x xh x x   , 当  0,1x 时,恒有    ' 0, 1,h x x e  时,恒有  ' 0h x  , 总之当  1,x e 时,  h x 在  0,x e 上单调递减,所以    min 4h x h e e    ,     1 2 min 4g x g x e     . 22.解(I)因为曲线C 的极坐标方向为 2 2 4 1 sin    ,即 2 2 2sin 4    , 将 2 2 2 , sinx y y     代入上述并化简得 2 2 14 2 x y  , 所以曲线C 的直角坐标方程为 2 2 14 2 x y  ,于是  2 2 2 2, 2,0c a b F    , 直线l 的普通方程为 x y m  ,将  2,0F  代入直线方程得 2m   , 所以直线的普通方程为 2 0x y   . (II)设椭圆C 的内接矩形在第一象限的顶点为  2cos , 2 sin 0 2        , 所 以 椭 圆 C 的 内 接 矩 形 的 周 长 为    2 4cos 2 2 sin 4 6 sinL        ,( 其 中 tan 2  ) 此时椭圆C 的内接矩形的周长取得最大值 4 6 . 23.解:(I)因为      1 2 2 5 1 5 1 0f a f a a a           ,于是    1f a f  . 当且仅当 1a   时时等号成立; (II)① 1a   时,   3 1 5f x x   满足题意, ③当 1a   时,   3 3, , 2 2 5 3, 1 , 3 7, 1, x a x a f x x a x x a x a x a x                    由(I)可知    1f a f  ,此时函数  f x 的图象和 x 轴围成一个三角形等价于     2 3 0 1 4 0 f a a f a         ,解得 3 ,42a     , 综上知 a 的取值范围是  3 ,4 12a      .
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