【数学】2019届一轮复习北师大版(文科数学)第四章第4讲 简单的三角恒等变换学案

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【数学】2019届一轮复习北师大版(文科数学)第四章第4讲 简单的三角恒等变换学案

第 4 讲 简单的三角恒等变换 1.公式的常见变形 (1)1+cos α=2cos2α 2; 1-cos α=2sin2α 2. (2)1+sin α=(sinα 2+cosα 2)2 ; 1-sin α=(sinα 2-cosα 2)2 . (3)tanα 2= sin α 1+cos α=1-cos α sin α . 2.辅助角公式 asin x+bcos x= a2+b2sin(x+φ)(φ 为辅助角),其中 sin φ= b a2+b2,cos φ= a a2+b2. 判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)y=3sin x+4cos x 的最大值是 7.(  ) (2)设 α∈(π,2π),则 1-cos(π+α) 2 =sinα 2.(  ) (3)在非直角三角形中有:tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C. (  ) (4)设5π 2 <θ<3π,且|cos θ|=1 5,那么 sin θ 2的值为 15 5 .(  ) (5)公式 asin x+bcos x= a2+b2sin(x+φ)中 φ 的取值与 a,b 的值无关.(  ) 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× 已知 cos α=1 3,α∈(π,2π),则 cos α 2等于(  ) A. 6 3          B.- 6 3 C. 3 3 D.- 3 3 解析:选 B.由 cos α=1 3,得 2cos2α 2-1=1 3,即 cos2α 2=2 3. 又因为 α∈(π,2π),所以α 2∈(π 2,π ), 所以 cosα 2<0,故 cosα 2=- 6 3 . 计算: 1-cos210° cos 80° 1-cos 20° =(  ) A. 2 2     B.1 2    C. 3 2     D.- 2 2 解析:选 A. 1-cos210° cos 80° 1-cos 20° = sin210° sin 10° 1-(1-2sin210°) = sin210° 2sin210° = 2 2 . 3sin 15°+cos 15°=________. 解析: 3sin 15°+cos 15° =2( 3 2 sin 15°+1 2cos 15°) =2(sin 15°cos 30°+cos 15°sin 30°) =2sin(15°+30°)= 2. 答案: 2 已知 3π<θ<7π 2 ,且 sin θ=-3 5,则 tan θ 2的值等于________. 解析:因为 sin θ=-3 5,且 3π<θ<7 2π,所以 cos θ=-4 5, 所以 tan θ 2= sinθ 2 cos θ 2 = 2sin2θ 2 2sin θ 2cosθ 2 =1-cos θ sin θ = 1-(-4 5 ) -3 5 =-3. 答案:-3 三角函数式的化简 [典例引领] (1)已知 0<θ<π, 则 (1+sin θ+cos θ)(sin θ 2-cos θ 2) 2+2cos θ =________. (2)化简: 2cos4x-2cos2x+1 2 2tan(π 4-x )sin2(π 4+x ) =________. 【解析】 (1)原式= (2sin θ 2cos θ 2+2cos2θ 2)(sin θ 2-cos θ 2) 4cos2θ 2 = cos θ 2(sin2 θ 2-cos2θ 2) |cos θ 2| = -cos θ 2·cos θ |cos θ 2| . 因为 0<θ<π,所以 0<θ 2<π 2,所以 cos θ 2>0. 所以原式=-cos θ. (2)原式= -2sin2xcos2x+1 2 2sin(π 4-x )cos2(π 4-x ) cos(π 4-x ) = 1 2(1-sin22x) 2sin(π 4-x )cos(π 4-x ) = 1 2cos22x sin(π 2-2x) =1 2cos 2x. 【答案】 (1)-cos θ (2)1 2cos 2x (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则 (2)三角函数式化简的方法 弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂. 在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律,根号中含有三角函 数式时,一般需要升次.  [通关练习] 1.化简:(sin 2α+cos 2α-1)(sin 2α-cos 2α+1) sin 4α =________. 解析:(sin 2α+cos 2α-1)(sin 2α-cos 2α+1) sin 4α = sin22α-(cos 2α-1)2 2sin 2α·cos 2α = sin22α-cos22α+2cos 2α-1 2sin 2α·cos 2α = -2cos22α+2cos 2α 2sin 2α·cos 2α =1-cos 2α sin 2α = 2sin2α 2sin αcos α = sin α cos α=tan α. 答案:tan α 2.化简:( 1 tan α 2 -tan α 2)·(1+tan α·tan α 2)=________. 解析:原式=(cos α 2 sin α 2 - sin α 2 cos α 2)·(1+sin α cos α· sin α 2 cos α 2) = cos2α 2-sin2α 2 sin α 2cos α 2 · cos αcos α 2+sin αsin α 2 cos αcos α 2 =2cos α sin α · cos α 2 cos αcos α 2 = 2 sin α. 答案: 2 sin α 三角函数式的求值(高频考点) 研究三角函数式的求值,解题的关键都是找出条件中的角与结论中的角的联系,依据函 数名称的变换特点,选择合适的公式求解.主要命题角度有: (1)给值求值; (2)给角求值; (3)给值求角. [典例引领] 角度一 给值求值 若 α 、 β 是 锐 角 , 且 sin α - sin β = -1 2, cos α - cos β =1 2, 则 tan(α - β) = ________. 【解析】 因为 sin α-sin β=-1 2,cos α-cos β=1 2, 两式平方相加得:2-2cos αcos β-2sin αsin β=1 2, 即 2-2cos(α-β)=1 2, 所以 cos(α-β)=3 4, 因为 α、β 是锐角, 且 sin α-sin β=-1 2<0, 所以 0<α<β<π 2. 所以-π 2<α-β<0. 所以 sin(α-β)=- 1-cos2(α-β)=- 7 4 . 所以 tan(α-β)= sin(α-β) cos(α-β)=- 7 3 . 【答案】 - 7 3 角度二 给角求值 sin 50°(1+ 3tan 10°)=________. 【解析】 sin 50°(1+ 3tan 10°)=sin 50°(1+tan 60°·tan 10°) =sin 50°· cos 60°cos 10°+sin 60°sin 10° cos 60°cos 10° =sin 50°· cos(60°-10°) cos 60°cos 10° =2sin 50°cos 50° cos 10° = sin 100° cos 10° = cos 10° cos 10°=1. 【答案】 1 角度三 给值求角 (1)设 α,β 为钝角,且 sin α= 5 5 ,cos β=-3 10 10 ,则 α+β 的值为(  ) A.3π 4          B.5π 4 C.7π 4 D.5π 4 或7π 4 (2)已知 α,β∈(0,π),且 tan(α-β)=1 2,tan β=-1 7,则 2α-β 的值为________. 【解析】 (1)因为 α,β 为钝角,sin α= 5 5 ,cos β=-3 10 10 , 所以 cos α=-2 5 5 ,sin β= 10 10 , 所以 cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β= 2 2 >0. 又 α+β∈(π,2π), 所以 α+β=7π 4 . (2)因为 tan α=tan[(α-β)+β]= tan(α-β)+tan β 1-tan(α-β)tan β= 1 2-1 7 1+1 2 × 1 7 =1 3>0, 所以 0<α<π 2, 又因为 tan 2α= 2tan α 1-tan2α= 2 × 1 3 1-(1 3 )2 =3 4>0,所以 0<2α<π 2, 所以 tan(2α-β)= tan 2α-tan β 1+tan 2αtan β= 3 4+1 7 1-3 4 × 1 7 =1. 因为 tan β=-1 7<0,所以π 2<β<π,-π<2α-β<0, 所以 2α-β=-3π 4 . 【答案】 (1)C (2)-3π 4 三角函数求值的三种情况 (1)“给角求值”:一般给出的角都是非特殊角,从表面上来看是很难的,但仔细观察 非特殊角与特殊角总有一定关系,解题时,要利用观察得到的关系,结合公式转化为特殊角 并且消除非特殊角的三角函数而得解. (2)“给值求值”:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题 关键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系. (3)“给值求角”:实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数值,再求角的范围, 确定角.  [通关练习] 1.若1+sin αcos α-cos2α cos 2α =2,则 tan(π 4-2α)=(  ) A.- 7 17 B. 7 17 C. 5 12 D.- 5 12 解析:选 A.因为1+sin αcos α-cos2α cos 2α =2,所以 sin2α+sin αcos α cos2α-sin2α =2, 即 sin α cos α-sin α= tan α 1-tan α=2,所以 tan α=2 3,所以 tan 2α=2tan α 1-tan2α= 2 × 2 3 1-(f(2,3))2 =12 5 , 所以 tan(π 4-2α)= tan π 4-tan 2α 1+tan π 4tan 2α = 1-12 5 1+12 5 =- 7 17,故选 A. 2.已知 sin α= 5 5 ,sin(α-β)=- 10 10 ,α,β 均为锐角,则角 β 等于________. 解析:因为 α,β 均为锐角,所以-π 2<α-β<π 2. 又 sin(α-β)=- 10 10 ,所以 cos(α-β)=3 10 10 . 又 sin α= 5 5 ,所以 cos α=2 5 5 , 所以 sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β) = 5 5 ×3 10 10 -2 5 5 ×(- 10 10 )= 2 2 . 所以 β=π 4. 答案:π 4 三角恒等变换的应用 [典例引领] (2017·高考浙江卷)已知函数 f(x)=sin2x-cos2x-2 3sin xcos x(x∈R). (1)求 f (2π 3 )的值; (2)求 f(x)的最小正周期及单调递增区间. 【解】 (1)由 sin 2π 3 = 3 2 ,cos 2π 3 =-1 2, f(2π 3 )=( 3 2 )2 -(-1 2 )2 -2 3× 3 2 ×(-1 2 ), 得 f(2π 3 )=2. (2)由 cos 2x=cos2x-sin2x 与 sin 2x=2sin xcos x 得 f(x)=-cos 2x- 3sin 2x=-2sin(2x+π 6). 所以 f(x)的最小正周期是 π. 由正弦函数的性质得π 2+2kπ≤2x+π 6≤3π 2 +2kπ,k∈Z,解得π 6+kπ≤x≤2π 3 +kπ,k∈Z, 所以,f(x)的单调递增区间是[π 6+kπ, 2π 3 +kπ](k∈Z). 三角恒等变换的应用策略 (1)进行三角恒等变换要抓住:变角、变函数名称、变结构,尤其是角之间的关系;注 意公式的逆用和变形使用. (2)把形如 y=asin x+bcos x 化为 y= a2+b2sin(x+φ),可进一步研究函数的周期、单调 性、最值与对称性.  [通关练习] 已知函数 f(x)=sin2 x-sin2(x-π 6 ),x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)在区间[-π 3,π 4]上的最大值和最小值. 解:(1)由已知,有 f(x)=1-cos 2x 2 - 1-cos(2x-π 3) 2 =1 2(1 2cos 2x+ 3 2 sin 2x)-1 2cos 2x = 3 4 sin 2x-1 4cos 2x=1 2sin(2x-π 6). 所以 f(x)的最小正周期 T=2π 2 =π. (2)因为 f(x)在区间[-π 3,-π 6]上是减函数,在区间[-π 6,π 4]上是增函数.且 f(-π 3 )=- 1 4,f(-π 6 )=-1 2,f(π 4 )= 3 4 ,所以 f(x)在区间[-π 3,π 4]上的最大值为 3 4 ,最小值为-1 2. 三角恒等变换主要有四变 (1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其方法通常是“配凑”. (2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有切化弦、正弦与 余弦互化等. (3)变幂:通过“升幂与降幂”,把三角函数式的各项变成同次,目的是有利于应用公 式. (4)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其 方法通常有:常值代换、逆用或变用公式、通分与约分、分解与组合、配方与平方等. 应用 asin x+bcos x= a2+b2sin(x+φ)的两个步骤 第一步:提因式 a2+b2.即 asin x+bcos x= a2+b2·( a a2+b2sin x+ b a2+b2·cos x). 第二步:寻角度 φ.使得 cos φ= a a2+b2,sin φ= b a2+b2同时成立.即 asin x+bcos x= a2+b2(sin xcos φ+cos xsin φ)= a2+b2sin(x+φ). [注意] 根据具体情况,有时取 sin φ= a a2+b2与 cos φ= b a2+b2同时成立,asin x+bcos x= a2+b2cos(x-φ).    1.已知 cos(π 4-x )=3 5,则 sin 2x=(  ) A.18 25          B. 7 25 C.- 7 25 D.-16 25 解析:选 C.因为 cos(π 4-x )=cosπ 4cos x+sinπ 4sin x= 2 2 (cos x+sin x)=3 5, 所以 sin x+cos x=3 2 5 ,所以 1+2sin xcos x=18 25, 即 sin 2x=18 25-1=- 7 25. 2.已知 sin(π 6-α )=cos(π 6+α ),则 cos 2α=(  ) A.1 B.-1 C.1 2 D.0 解析:选 D.因为 sin(π 6-α )=cos(π 6+α ), 所以 1 2cos α- 3 2 sin α= 3 2 cos α-1 2sin α, 即 (1 2- 3 2 )sin α=-(1 2- 3 2 )cos α, 所以 tan α= sin α cos α=-1, 所以 cos 2α=cos2α-sin2α= cos2α-sin2α sin2α+cos2α=1-tan2α tan2α+1=0. 3.已知 sin 2α=3 5(π 2<2α<π),tan(α-β)=1 2,则 tan(α+β)等于(  ) A.-2 B.-1 C.- 2 11 D. 2 11 解析:选 A.由题意,可得 cos 2α=-4 5, 则 tan 2α=-3 4,tan(α+β)=tan[2α-(α-β)]= tan 2α-tan(α-β) 1+tan 2αtan(α-β)=-2. 4.2cos 10°-sin 20° sin 70° 的值是(  ) A.1 2 B. 3 2 C. 3 D. 2 解析:选 C.原式=2cos(30°-20°)-sin 20° sin 70° =2(cos 30°cos 20°+sin 30°sin 20°)-sin 20° sin 70° = 3cos 20° cos 20° = 3. 5.在斜三角形 ABC 中,sin A=- 2cos Bcos C,且 tan B·tan C=1- 2,则角 A 的值 为(  ) A.π 4 B.π 3 C.π 2 D.3π 4 解析:选 A.由题意知,sin A=- 2cos Bcos C=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C, 在等式- 2cos Bcos C=sin Bcos C+cos Bsin C 两边同除以 cos Bcos C 得 tan B+tan C =- 2, 又 tan(B+C)= tan B+tan C 1-tan Btan C=-1=-tan A, 即 tan A=1,所以 A=π 4 . 6.已知 cos(α+β)=1 6,cos(α-β)=1 3,则 tan αtan β 的值为________. 解析:因为 cos(α+β)=1 6, 所以 cos αcos β-sin αsin β=1 6.① 因为 cos(α-β)=1 3, 所以 cos αcos β+sin αsin β=1 3.② ①+②得 cos αcos β=1 4. ②-①得 sin αsin β= 1 12. 所以 tan αtan β= sin αsin β cos αcos β =1 3. 答案:1 3 7.若 tan α=3,则 sin (2α+π 4)的值为________. 解析:因为 sin 2α=2sin αcos α=2sin αcos α sin2α+cos2α = 2tan α tan2α+1=3 5,cos 2α=cos2α-sin2α= cos2α-sin2α cos2α+sin2α=1-tan2α 1+tan2α=-4 5, 所以 sin(2α+π 4)= 2 2 sin 2α+ 2 2 cos 2α= 2 2 ×[3 5+(-4 5 )]=- 2 10. 答案:- 2 10 8.已知方程 x2+3ax+3a+1=0(a>1)的两根分别为 tan α,tan β,且 α,β∈(-π 2,π 2), 则 α+β=________. 解析:由已知得 tan α+tan β=-3a, tan αtan β=3a+1,所以 tan(α+β)=1. 又因为 α,β∈(-π 2,π 2),tan α+tan β=-3a<0, tan αtan β=3a+1>0, 所以 tan α<0,tan β<0, 所以 α,β∈(-π 2,0), 所以 α+β∈(-π,0), 所以 α+β=-3π 4 . 答案:-3π 4 9.已知 tan α=-1 3,cos β= 5 5 ,α∈(π 2,π ),β∈(0,π 2 ),求 tan(α+β)的值,并求出 α+ β 的值. 解:由 cos β= 5 5 ,β∈(0,π 2 ), 得 sin β=2 5 5 ,tan β=2. 所以 tan(α+β)= tan α+tan β 1-tan αtan β= -1 3+2 1+2 3 =1. 因为 α∈(π 2,π ),β∈(0,π 2 ), 所以π 2<α+β<3π 2 ,所以 α+β=5π 4 . 10.已知函数 f(x)=Acos(x 4+π 6),x∈R,且 f(π 3 )= 2. (1)求 A 的值; (2)设 α,β∈[0,π 2 ],f(4α+4π 3 )=-30 17,f(4β-2π 3 )=8 5,求 cos(α+β)的值. 解:(1)因为 f(π 3 )=Acos( π 12+π 6)=Acosπ 4= 2 2 A= 2,所以 A=2. (2)由 f(4α+4π 3 )=2cos(α+π 3+π 6)=2cos(α+π 2 )=-2sin α=-30 17, 得 sin α=15 17,又 α∈[0,π 2 ],所以 cos α= 8 17. 由 f(4β-2π 3 )=2cos(β-π 6+π 6)=2cos β=8 5, 得 cos β=4 5,又 β∈[0,π 2 ],所以 sin β=3 5, 所以 cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β= 8 17×4 5-15 17×3 5=-13 85. 1.cosπ 9·cos2π 9 ·cos(-23π 9 )=(  ) A.-1 8 B.- 1 16 C. 1 16 D.1 8 解析:选 A.cosπ 9·cos2π 9 ·cos(-23π 9 )=cos 20°·cos 40°·cos 100° =-cos 20°·cos 40°·cos 80°=- sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80° sin 20° =- 1 2sin 40°·cos 40°·cos 80° sin 20° =- 1 4sin 80°·cos 80° sin 20° =- 1 8sin 160° sin 20° =- 1 8sin 20° sin 20° =-1 8. 2.设 α∈(0,π 2 ),β∈(0,π 2 ),且 tan α=1+sin β cos β ,则(  ) A.3α-β=π 2 B.2α-β=π 2 C.3α+β=π 2 D.2α+β=π 2 解析:选 B.因为 tan α=1+sin β cos β ,所以 sin α cos α=1+sin β cos β ,即 sin αcos β=cos α+ cos αsin β,所以 sin αcos β-cos αsin β=cos α,即 sin(α-β)=sin(π 2-α ),又 α,β 均为锐角, 且 y=sin x 在(-π 2,π 2)上单调递增,所以 α-β=π 2-α,即 2α-β=π 2,故选 B. 3.已知 cos(x-π 6 )=- 3 3 ,则 cos x+cos(x-π 3 )=(  ) A.-2 3 3 B.±2 3 3 C.-1 D.±1 解析:选 C.因为 cos(x-π 6 )=- 3 3 , 所以 cos x+cos(x-π 3 )=cos x+cos xcosπ 3+sin xsinπ 3 =3 2cos x+ 3 2 sin x= 3( 3 2 cos x+1 2sin x) = 3cos(x-π 6 )= 3×(- 3 3 )=-1. 4.已知 α、β 均为锐角,且 tan β= cos α-sin α cos α+sin α,则 tan(α+β)=________. 解析:因为 tan β= cos α-sin α cos α+sin α, 所以 tan β=1-tan α 1+tan α=tan(π 4-α ). 又 α、β 均为锐角,所以 β=π 4-α,即 α+β=π 4, 所以 tan(α+β)=tan π 4=1. 答案:1 5.已知 0<α<π 2<β<π,cos(β-π 4 )=1 3,sin(α+β)=4 5. (1)求 sin 2β 的值; (2)求 cos (α+π 4 )的值. 解:(1)法一:因为 cos(β-π 4 )=cosπ 4cos β+sinπ 4sin β= 2 2 cos β+ 2 2 sin β=1 3, 所以 cos β+sin β= 2 3 , 所以 1+sin 2β=2 9,所以 sin 2β=-7 9. 法二:sin 2β=cos(π 2-2β)=2cos2(β-π 4 )-1=-7 9. (2)因为 0<α<π 2<β<π, 所以π 4<β-π 4<3 4π,π 2<α+β<3π 2 . 所以 sin(β-π 4 )>0,cos(α+β)<0, 因为 cos(β-π 4 )=1 3,sin(α+β)=4 5, 所以 sin(β-π 4 )=2 2 3 ,cos(α+β)=-3 5. 所以 cos(α+π 4 )=cos[(α+β)-(β-π 4 )] =cos(α+β)cos(β-π 4 )+sin(α+β)sin(β-π 4 ) =-3 5×1 3+4 5×2 2 3 =8 2-3 15 . 6.已知角 α 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经过点 P(-3, 3). (1)求 sin 2α-tan α 的值; (2)若函数 f(x)=cos(x-α)cos α-sin(x-α)sin α,求函数 g(x)= 3f(π 2-2x)-2f2(x)在区间 [0, 2π 3 ]上的值域. 解:(1)因为角 α 的终边经过点 P(-3, 3), 所以 sin α=1 2,cos α=- 3 2 ,tan α=- 3 3 . 所以 sin 2α-tan α=2sin αcos α-tan α=- 3 2 + 3 3 =- 3 6 . (2)因为 f(x)=cos(x-α)cos α-sin(x-α)sin α=cos x,x∈R, 所以 g(x)= 3cos(π 2-2x)-2cos2x = 3sin 2x-1-cos 2x=2sin(2x-π 6)-1, 因为 0≤x≤2π 3 , 所以-π 6≤2x-π 6≤7π 6 .所以-1 2≤sin(2x-π 6)≤1, 所以-2≤2sin(2x-π 6)-1≤1, 故函数 g(x)= 3f(π 2-2x)-2f2(x)在区间[0, 2π 3 ]上的值域是[-2,1].
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