【数学】2019届一轮复习北师大版 概率与统计 学案

【数学】2019届一轮复习北师大版 概率与统计 学案

第27练　概率与统计 ‎[明考情]‎ 概率与统计是高考必考题，统计图表与随机变量的分布列是高考命题的热点，难度中档，多在18题或19题的位置.‎ ‎[知考向]‎ ‎1.随机事件与古典概型.‎ ‎2.随机变量及其分布.‎ ‎3.概率与统计的综合问题.‎ 考点一　随机事件与古典概型 要点重组　(1)互斥事件与对立事件：对立事件是互斥事件的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件.‎ ‎(2)古典概型的特点 ‎①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性.‎ ‎②每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性.‎ 方法技巧　利用古典概型求事件概率的两种方法 ‎(1)列出基本事件的总数和所求事件包含的基本事件的个数，然后用公式求解.‎ ‎(2)当直接求解有困难时，可考虑求其对立事件的概率.‎ ‎1.黄种人群中各种血型的人所占的百分比如下表所示：‎ 血型 A B AB O 该血型的人所占百分比 ‎28 ‎ ‎29 ‎ ‎8 ‎ ‎35 ‎ 已知同种血型的人可以互相输血，O型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血.小明是B型血，若小明因病需要输血，问：‎ ‎(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？‎ ‎(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？‎ 解　(1)对任一人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A′，B′，C′，D′，它们是互斥的.‎ 由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.‎ 因为B，O型血可以输给B型血的人，故“可以输给B型血的人”为事件B′∪D′.‎ 根据互斥事件的加法公式，得P(B′∪D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.‎ ‎(2)由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“任找一个人，其血不能输给小明”为事件A′∪C′，且P(A′∪C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.‎ ‎2.某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖，一等奖，二等奖的事件分别为A，B，C.求：‎ ‎(1)P(A)，P(B)，P(C)；‎ ‎(2)1张奖券的中奖概率；‎ ‎(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.‎ 解　(1)P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝.‎ 故事件A，B，C的概率分别为，，.‎ ‎(2)因为事件A，B，C两两互斥，所以所求概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝.‎ ‎(3)P()＝1－P(A∪B)＝1－＝.‎ 即1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.‎ ‎3.某市为了解社区群众体育活动的开展情况，拟采用分层抽样的方法从A，B，C三个行政区抽出6个社区进行调查，已知A，B，C三个行政区中分别有12，18，6个社区.‎ ‎(1)求从A，B，C三个行政区中分别抽取的社区个数；‎ ‎(2)若从抽得的6个社区中随机地抽取2个进行调查结果的对比，求抽取的2个社区中至少有1个来自A行政区的概率.‎ 解　(1)社区总数为12＋18＋6＝36，样本容量与总体的个数之比为＝.‎ 所以从A，B，C三个行政区中应分别抽取的社区个数为2，3，1.‎ ‎(2)设A1，A2为在A行政区中抽到的2个社区，B1，B2，B3为在B行政区中抽到的3个社区，C为在C行政区中抽到的1个社区，在这6个社区中随机抽取2个，全部可能的结果有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C)，(B2，B3)，(B2，C)，(B3，C)，共15种.‎ 设“抽取的2个社区至少有1个来自A行政区”为事件X，则事件X所包含的所有可能的结果有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C)，共9种.‎ 所以抽取的2个社区中至少有1个来自A行政区的概率P(X)＝＝.‎ ‎4.为振兴旅游业，某省面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡)，向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡).某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到该省名胜旅游，其中是省外游客，其余是省内游客.在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡.‎ ‎(1)在该团中随机采访2名游客，求恰有1人持银卡的概率；‎ ‎(2)在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率.‎ 解　(1)由题意得省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡.‎ 设事件A为“采访该团2人，恰有1人持银卡”，‎ 则P(A)＝＝.‎ 所以采访该团2人，恰有1人持银卡的概率是.‎ ‎(2)设事件B为“采访该团2人中，持金卡人数与持银卡人数相等”，‎ 事件B1为“采访该团2人中，0人持金卡，0人持银卡”，‎ 事件B2为“采访该团2人中，1人持金卡，1人持银卡”.‎ P(B)＝P(B1)＋P(B2)＝＋＝＋＝.‎ 所以采访该团2人中，持金卡人数与持银卡人数相等的概率是.‎ 考点二　随机变量及其分布 方法技巧　求解离散型随机变量的分布列问题，先要明确离散型随机变量的所有可能取值及其对应事件，然后确定分布列的类型，求出相应事件的概率，即可列出分布列，再求其期望与方差即可.若所求事件比较复杂，可以根据事件的性质将其分为互斥事件之和或转化为对立事件求解即可.‎ ‎5.(2017·山东)在心理 研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.‎ ‎(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；‎ ‎(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与期望E(X).‎ 解　(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，‎ 则P(M)＝＝.‎ ‎(2)由题意知，X可取的值为0，1，2，3，4，则 P(X＝0)＝＝，‎ P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝，‎ P(X＝3)＝＝，‎ P(X＝4)＝＝.‎ 因此X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4)＝0＋1×＋2×＋3×＋4×＝2.‎ ‎6.(2017·天津)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，.‎ ‎(1)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和期望；‎ ‎(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.‎ 解　(1)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，‎ P(X＝0)＝××＝，‎ P(X＝1)＝××＋××＋××＝，‎ P(X＝2)＝××＋××＋××＝，‎ P(X＝3)＝××＝.‎ 所以随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ ‎(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数， 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为 P(Y＋ ＝1)＝P(Y＝0， ＝1)＋P(Y＝1， ＝0)‎ ‎＝P(Y＝0)P( ＝1)＋P(Y＝1)P( ＝0)＝×＋×＝.‎ 所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为.‎ ‎7.(2017·甘肃兰州一诊)随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已经成为人们越来越关心的话题，为了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性 习小组在某社区随机抽取了50人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：‎ 年龄 ‎[20，25)‎ ‎[25，30)‎ ‎[30，35)‎ ‎[35，40)‎ ‎[40，45)‎ 人数 ‎4‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎5‎ ‎3‎ 年龄 ‎[45，50)‎ ‎[50，55)‎ ‎[55，60)‎ ‎[60，65)‎ ‎[65，70)‎ 人数 ‎6‎ ‎7‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎4‎ 经调查年龄在[25，30)，[55，60)的被调查者中赞成“延迟退休”的人数分别是3和2，现从这两组的被调查者中各随机选取2人，进行跟踪调查.‎ ‎(1)求年龄在[25，30)的被调查者中选取的2人都赞成“延迟退休”的概率；‎ ‎(2)若选中的4人中，不赞成“延迟退休”的人数为X，求随机变量X的分布列和期望.‎ 解　(1)设“年龄在[25，30)的被调查者中选取的2人都赞成延迟退休”为事件A，‎ 所以P(A)＝＝.‎ ‎(2)X的可能取值为0，1，2，3，‎ 所以P(X＝0)＝＝，‎ P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝，‎ P(X＝3)＝＝.‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ ‎8.某高中全国数 联赛培训共开设有初等代数、平面几何、初等数论和微积分初步四门课程，要求初等数论、平面几何都要合格，且初等代数和微积分初步至少有一门合格，则能取得参加数 竞赛复赛的资格.现有甲、乙、丙三位同 报名参加数 竞赛培训，每一位同 对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同(见下表)，且每一门课程是否合格相互独立.‎ 课程 初等代数 平面几何 初等数论 微积分初步 合格的概率 ‎(1)求甲同 取得参加数 竞赛复赛的资格的概率；‎ ‎(2)记ξ表示三位同 中取得参加数 竞赛复赛资格的人数，求ξ的分布列及期望E(ξ).‎ 解　(1)分别记甲对初等代数、平面几何、初等数论、微积分初步这四门课程考试合格为事件A，B，C，D，且事件A，B，C，D相互独立，“甲能取得参加数 竞赛复赛的资格”的概率为 P(ABCD)＋P(ABC)＋P(BCD)‎ ‎＝×××＋×××＋×××＝.‎ ‎(2)由题设知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，‎ ξ～B，‎ ‎∴P(ξ＝0)＝C3＝，‎ P(ξ＝1)＝C12＝，‎ P(ξ＝2)＝C21＝，‎ P(ξ＝3)＝C3＝.‎ ‎∴ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎∵ξ～B，‎ ‎∴E(ξ)＝3×＝.‎ 考点三　概率与统计的综合问题 方法技巧　对于将统计图表和随机变量相结合的综合问题，首先要明确随机变量的意义，然后判断随机变量分布的类型，求出分布列.‎ ‎9.(2016·全国Ⅰ)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到下面柱状图：‎ 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.‎ ‎(1)求X的分布列；‎ ‎(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；‎ ‎(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？‎ 解　(1)由柱状图并以频率代替概率可知，1台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而 P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04，‎ P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16，‎ P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24，‎ P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24，‎ P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.20，‎ P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08，‎ P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.‎ 所以X的分布列为 X ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ P ‎0.04‎ ‎0.16‎ ‎0.24‎ ‎0.24‎ ‎0.20‎ ‎0.08‎ ‎0.04‎ ‎(2)由(1)知，P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19.‎ ‎(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元).‎ 当n＝19时，E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4040(元).‎ 当n＝20时，E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4080(元).‎ 可知当n＝19时所需费用的期望值小于当n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19.‎ ‎10.(2017·张家口期末)在某校组织的“共筑中国梦”竞赛活动中，甲、乙两班各有6名选手参赛，在第一轮笔试环节中，评委将他们的笔试成绩作为样本数据，绘制成如图所示的茎叶图，为了增加结果的神秘感，主持人故意没有给出甲、乙两班最后一位选手的成绩，只是告知大家，如果某位选手的成绩高于90分(不含90分)，则直接“晋级”.‎ ‎(1)求乙班总分超过甲班的概率；‎ ‎(2)主持人最后宣布：甲班第六位选手的得分是90分，乙班第六位选手的得分是97分.‎ ‎①请你从平均分和方差的角度来分析两个班的选手的情况；‎ ‎②主持人从甲、乙两班所有选手成绩中分别随机抽取2个，记抽取到“晋级”选手的总人数为ξ，求ξ的分布列及期望.‎ 解　(1)甲班前5位选手的总分为88＋89＋90＋91＋92＝450.‎ 乙班前5位选手的总分为82＋84＋91＋92＋94＝443.‎ 若乙班总分超过甲班，则甲、乙两班第六位选手的成绩可分别为(90，98)，(90，99)，(91，99)三种，‎ 所以乙班总分超过甲班的概率为P＝＝.‎ ‎(2)①甲班平均分为甲＝＝90，‎ 乙班平均分为乙＝＝90，‎ s＝×(22＋12＋12＋22)＝，‎ s＝×(82＋62＋12＋22＋42＋72)＝.‎ 两班的平均分相同，但甲班选手的方差小于乙班，所以甲班选手间的实力相当，相差不大，乙班选手间实力悬殊，差距较大.‎ ‎②ξ的可能取值为0，1，2，3，4，‎ P(ξ＝0)＝＝，‎ P(ξ＝1)＝＝，‎ P(ξ＝2)＝＝，‎ P(ξ＝3)＝＝，‎ P(ξ＝4)＝＝.‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2.‎ ‎11.(2017·全国Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧 箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个 箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：‎ ‎(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg，估计A的概率；‎ ‎(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99 的把握认为箱产量与养殖方法有关：‎ 箱产量<50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法 ‎(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01).‎ 附：‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ K2＝.‎ 解　(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”.‎ 由题意知，P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C).‎ 旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，‎ 故P(B)的概率估计值为0.62.‎ 新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66，‎ 故P(C)的概率估计值为0.66.‎ 因此，事件A的概率估计值为0.62×0.66＝0.4092.‎ ‎(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表如下：‎ 箱产量<50kg 箱产量≥50kg 总计 旧养殖法 ‎62‎ ‎38‎ ‎100‎ 新养殖法 ‎34‎ ‎66‎ ‎100‎ 总计 ‎96‎ ‎104‎ ‎200‎ K2＝≈15.705.‎ 由于15.705>6.635，故有99 的把握认为箱产量与养殖方法有关.‎ ‎(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.34<0.5，‎ 箱产量低于55kg的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044＋0.068)×5＝0.68>0.5，‎ 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为50＋≈52.35(kg).‎ ‎12.(2017·广西南宁适应性测试)某中 是走读中 ，为了让 生更有效率地利用下午放 后的时间， 校在本 期第一次月考后设立了多间自习室，以便让 生在自习室自主 习、完成 ，同时每天派老师轮流值班.在本 期第二次月考后，高一某班数 老师统计了两次考试该班数 成绩优良人数和非优良人数，得到如下2×2列联表：‎ 非优良 优良 总计 未设立自习室 ‎25‎ ‎15‎ ‎40‎ 设立自习室 ‎10‎ ‎30‎ ‎40‎ 总计 ‎35‎ ‎45‎ ‎80‎ ‎(1)能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为设立自习室对提高 生成绩有效；‎ ‎(2)设从该班第一次月考的所有 生的数 成绩中任取2个，取到优良成绩的个数为X；从该班第二次月考的所有 生的数 成绩中任取2个，取到优良成绩的个数为Y，求X与Y的期望并比较大小，请解释所得结论的实际意义.‎ 下面的临界值表供参考：‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎(参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d)‎ 解　(1)根据2×2列联表，可求得K2的观测值k＝≈11.429＞7.879.‎ ‎∴能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为设立自习室对提高 生成绩有效.‎ ‎(2)X的取值为0，1，2，‎ 则P(X＝0)＝＝，‎ P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝，‎ ‎∴X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝＝.‎ Y的取值为0，1，2，则 P(Y＝0)＝＝，‎ P(Y＝1)＝＝，‎ P(Y＝2)＝＝，‎ ‎∴Y的分布列为 Y ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎∴E(Y)＝0×＋1×＋2×＝＝.‎ ‎∵E(X)＜E(Y)，‎ ‎∴设立自习室对提高 生数 成绩有一定的效果.‎ 例　(12分)我国 家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医 奖.以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法.目前，国内青蒿人工种植发展迅速.调查表明，人工种植的青蒿的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为x，y， ，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标ω＝x＋y＋ 的值评定人工种植的青蒿的长势等级：若ω≥4，则长势为一级；若2≤ω≤3，则长势为二级；若0≤ω≤1，则长势为三级.为了解目前人工种植的青蒿的长势情况，研究人员随机抽取了10块青蒿人工种植地，得到如下结果：‎ 种植地编号 A1‎ A2‎ A3‎ A4‎ A5‎ ‎(x，y， )‎ ‎(0，1，0)‎ ‎(1，2，1)‎ ‎(2，1，1)‎ ‎(2，2，2)‎ ‎(0，1，1)‎ 种植地编号 A6‎ A7‎ A8‎ A9‎ A10‎ ‎(x，y， )‎ ‎(1，1，2)‎ ‎(2，1，2)‎ ‎(2，0，1)‎ ‎(2，2，1)‎ ‎(0，2，1)‎ ‎(1)在这10块青蒿人工种植地中任取两地，求这两地的空气湿度的指标 相同的概率；‎ ‎(2)从长势等级是一级的人工种植地中任取一块，其综合指标为m，从长势等级不是一级的人工种植地中任取一块，其综合指标为n，记随机变量X＝m－n，求X的分布列及其期望.‎ 审题路线图 ‎(1)―→―→‎ ―→ ‎(2)―→―→―→ 规范解答·评分标准 解　(1)由表可知，空气湿度指标为0的有A1，‎ 空气湿度指标为1的有A2，A3，A5，A8，A9，A10，‎ 空气湿度指标为2的有A4，A6，A7.‎ 所以空气湿度的指标 相同的概率 P＝＝＝.……………………………………………………………………5分 ‎(2)计算10块青蒿人工种植地的综合指标，可得下表：‎ 编号 A1‎ A2‎ A3‎ A4‎ A5‎ A6‎ A7‎ A8‎ A9‎ A10‎ 综合指标 ‎1‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎3‎ 其中长势等级是一级的(ω≥4)有A2，A3，A4，A6，A7，A9，共6个，长势等级不是一级的(ω<4)有A1，A5，A8，A10，共4个.‎ 随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，5.‎ P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝，‎ P(X＝3)＝＝，‎ P(X＝4)＝＝，‎ P(X＝5)＝＝，……………………………………………………………………10分 所以X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎……………………………………………………………………………………………11分 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.………………………………12分 构建答题模板 ‎[第一步]　定元：根据已知条件确定离散型随机变量的取值.‎ ‎[第二步]　定性：明确每个随机变量取值所对应的事件.‎ ‎[第三步]　定型：确定事件的概率模型和计算公式.‎ ‎[第四步]　计算：计算随机变量取每一个值的概率.‎ ‎[第五步]　列表：列出分布列.‎ ‎[第六步]　求解：根据公式求期望.‎ ‎1.根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80 mg/100‎ ‎ mL(不含80)之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80 mg/100mL(含80)以上时，属于醉酒驾车，某交警支队用酒精测试仪对这60名驾车者血液中酒精浓度进行检测后所得结果画出的频率分布直方图如下.‎ ‎(1)求这60名驾车者中属于醉酒驾车的人数(图中每组包括左端点，不包括右端点)；‎ ‎(2)求这60名驾车者血液中酒精浓度的平均值；‎ ‎(3)将频率分布直方图中的七组从左到右依次命名为第一组，第二组，…，第七组，在第五组和第七组的所有人中抽出两人，记他们的血液酒精浓度分别为x，y(mg/100 mL)，则事件|x－y|≤10的概率是多少？‎ 解　(1)依题意知，醉酒驾车者，即血液酒精浓度为80mg/100 mL(含80)以上者，共有0.05×60＝3(名).‎ ‎(2)由题图知，60名驾车者血液中酒精浓度的平均值为25×0.25＋35×0.15＋45×0.2＋55×0.15＋65×0.1＋75×0.1＋85×0.05＝47(mg/100mL).‎ ‎(3)第五组和第七组分别有60×0.10＝6(名)，60×0.05＝3(名).‎ 事件|x－y|≤10，即选的两人只能在同一组中，‎ 则P(|x－y|≤10)＝＝＝.‎ ‎2.(2016·山东)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：‎ ‎(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；‎ ‎(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和期望E(X).‎ 解　(1)记事件A：“甲第一轮猜对”，‎ 记事件B：“乙第一轮猜对”，‎ 记事件C：“甲第 猜对”，记事件D：“乙第 猜对”，‎ 记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”.‎ 由题意可知，E＝ABCD＋BCD＋ACD＋ABD＋ABC.‎ 由事件的独立性与互斥性可知，‎ P(E)＝P(ABCD)＋P(BCD)＋P(ACD)＋P(ABD)＋P(ABC)‎ ‎＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋P()P(B)P(C)P(D)＋P(A)P()P(C)P(D)＋P(A)P(B)P()P(D)＋P(A)·P(B)P(C)P()＝×××＋2×＝.‎ 所以“星队”至少猜对3个成语的概率为.‎ ‎(2)由题意，随机变量X可能的取值为0，1，2，3，4，6.由事件的独立性与互斥性，得 P(X＝0)＝×××＝，‎ P(X＝1)＝2×＝＝，‎ P(X＝2)＝×××＋×××＋×××＋×××＝，‎ P(X＝3)＝×××＋×××＝＝，‎ P(X＝4)＝2×＝＝.‎ P(X＝6)＝×××＝＝.‎ 所以随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎6‎ P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋6×＝.‎ ‎3.(2017·北京)为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“＋”表示未服药者.‎ ‎(1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；‎ ‎(2)从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和期望E(ξ)；‎ ‎(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需写出结论)‎ 解　(1)由题图可知，在服药的50名患者中，指标y 的值小于60的有15人，所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y的值小于60的概率为＝0.3.‎ ‎(2)由题图可知，A，B，C，D四人中，指标x的值大于1.7的有2人：A和C.‎ 所以ξ的所有可能取值为0，1，2.‎ P(ξ＝0)＝＝，‎ P(ξ＝1)＝＝，‎ P(ξ＝2)＝＝，‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 故ξ的期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1.‎ ‎(3)在这100名患者中，服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差.‎ ‎4.某市举行了一场运动会选拔赛，其中甲、乙两名运动员为争取最后一个参赛名额进行的7轮比赛的得分如茎叶图所示.‎ ‎(1)若从甲运动员的每轮比赛的得分中任选3个不低于80且不高于90的得分，求甲的3个得分与其比赛的平均得分的差的绝对值都不超过2的概率；‎ ‎(2)若分别从甲、乙两名运动员的每轮比赛不低于80且不高于90的得分中任选1个，求甲、乙两名运动员得分之差的绝对值ξ的分布列与期望.‎ 解　(1)由茎叶图可知，甲运动员7轮比赛的得分情况为78，81，84，85，84，85，91.‎ 所以甲比赛的平均得分1＝＝84.‎ 显然甲运动员每轮比赛得分中不低于80且不高于90的得分共有5个，分别为81，84，85，84，85.‎ 其中81分与平均得分的差的绝对值大于2，‎ 所以所求概率P＝＝.‎ ‎(2)设甲、乙两名运动员的得分分别为x，y，则得分之差的绝对值为ξ＝|x－y|.‎ 显然，由茎叶图可知，ξ的可能取值为0，1，2，3，5，6.‎ P(ξ＝0)＝＝，‎ P(ξ＝1)＝＝，‎ P(ξ＝2)＝＝，‎ P(ξ＝3)＝＝，‎ P(ξ＝5)＝＝，‎ P(ξ＝6)＝＝.‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ P E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋5×＋6×＝.‎ ‎5.(2017·广东海州一检)中石化集团获得了某地深海油田区块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了部分口井，取得了地质资料，进入全面勘探时期后，集团控 络点来布置井位进行全面勘探.由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用，勘探初期数据资料如下表：‎ 井号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 坐标(x，y)(km)‎ ‎(2，30)‎ ‎(4，40)‎ ‎(5，60)‎ ‎(6，50)‎ ‎(8，70)‎ ‎(1，y)‎ 钻探深度(km)‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ 出油量(L)‎ ‎40‎ ‎70‎ ‎110‎ ‎90‎ ‎160‎ ‎205‎ ‎(1)1～6号旧井位置线性分布，借助前5组数据求得线性回归方程为＝6.5x＋，求，并估计y的预报值；‎ ‎(2)现准备勘探新井7(1，25)，并通过1，3，5，7号井计算出的1，1的值(1，1精确到0.01)相比于(1)中，的值之差不超过10 ，则使用位置接近的已用旧井6(1，y)，否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？‎ ‎(参考公式和计算结果：‎ ＝，＝－，x＝94，x2i－1y2i－1＝945)‎ ‎(3)设出油量与勘探深度的比值k不低于20的勘探井称为优质井，那么在原有6口井中任意勘探4口井，求勘探优质井数X的分布列与期望.‎ 解　(1)因为＝5，＝50.‎ 回归直线必过样本点中心(，)，‎ 则＝－＝50－6.5×5＝17.5，‎ 故线性回归方程为＝6.5x＋17.5.‎ 当x＝1时，＝6.5＋17.5＝24，则y的预报值为24.‎ ‎(2)因为＝4，＝46.25，‎ x＝94，x2i－1y2i－1＝945，‎ 所以1＝＝≈6.83.‎ 1＝－1＝46.25－6.83×4＝18.93，‎ 即1＝6.83，1＝18.93，＝6.5，＝17.5.‎ ≈5 ，≈8 ，均不超过10 ，‎ 因此可使用位置最接近的已有旧井6(1，24).‎ ‎(3)由题意知，1，3，5，6这4口井是优质井，2，4这两口井是非优质井，‎ 所以勘探优质井数X的可能取值为2，3，4，‎ P(X＝2)＝＝，‎ P(X＝3)＝＝，‎ P(X＝4)＝＝.‎ 所以X的分布列为 X ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 所以E(X)＝2×＋3×＋4×＝.‎