高考数学复习 17-18版 第2章 热点探究课1 函数的图象与性质

高考数学复习 17-18版 第2章 热点探究课1 函数的图象与性质

热点探究课(一)　函数的图象与性质 ‎[命题解读]　函数是中学数学的核心概念，函数的图象与性质既是中学数学教学的重点，又是高考考查的重点与热点，题型以填空题为主，既重视三基，又注重思想方法的考查，备考时，要透彻理解函数，尤其是分段函数的概念，切实掌握函数的性质，并加强函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的应用意识．‎ 热点1　函数图象的应用 利用函数图象研究方程的解、不等式的解集等是高考的热点，多以填空题的形式出现，属中档题目，主要考查学生的数形结合意识以及用图象解答问题的能力．‎ ‎　已知f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)＝则不等式f(x－1)≤的解集为________. 【导学号：62172064】‎ ∪　[画出函数f(x)的图象，如图，‎ 当0≤x≤时，令f(x)＝cos πx≤，解得≤x≤；‎ 当x＞时，令f(x)＝2x－1≤，解得＜x≤，‎ 故有≤x≤.‎ 因为f(x)是偶函数，所以f(x)≤的解集为∪，故f(x－1)≤的解集为∪.]　‎ ‎[迁移探究1]　在本例条件下，若关于x的方程f(x)＝k有2个不同的实数解，求实数k的取值范围．‎ ‎[解]　由函数f(x)的图象(图略)可知，当k＝0或k>1时，方程f(x)＝k 有2个不同的实数解，即实数k的取值范围是k＝0或k>1.‎ ‎[迁移探究2]　在本例条件下，若函数y＝f(x)－k|x|恰有两个零点，求实数k的取值范围．‎ ‎[解]　函数y＝f(x)－k|x|恰有两个零点，即函数y＝f(x)的图象与y＝k|x|的图象恰有两个交点，借助函数图象(图略)可知k≥2或k＝0，即实数k的取值范围为k＝0或k≥2.‎ ‎[规律方法]　1.利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图象的左右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性．‎ ‎2．有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数图象的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值或范围．‎ ‎3．有关不等式的问题常常转化为两个函数图象的上、下关系来解．‎ ‎[对点训练1]　(2017·镇江期中)已知函数f(x)＝若0＜a＜b＜c，满足f(a)＝f(b)＝f(c)，则的范围是________．‎ ‎(1,2)　[如图所示，‎ ‎∵0＜a＜b＜c，且f(a)＝f(b)＝f(c)，‎ ‎∴－log2a＝log2b，即ab＝1，‎ 又由图可知＜f(c)＜1，‎ 故1＜＜2，‎ ‎∴＝∈(1,2)．]‎ 热点2　函数性质的综合应用 对函数性质的考查，以单调性、奇偶性和周期性为主，同时融合函数的零点问题，重在考查学生的等价转化能力及数形结合意识，难度中等．熟练掌握上述性质是解此类题的关键．‎ 角度1　单调性与奇偶性结合 ‎　(2016·天津高考改编)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)>f(－)，则a的取值范围是________．‎ 　[因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f(－x)＝f(x)，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减．由f(2|a－1|)＞f(－)，f(－)＝f()可得2|a－1|＜，即|a－1|＜，所以＜a＜.]‎ 角度2　奇偶性与周期性结合 ‎　(2017·南通二模)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈[0，＋∞)，满足f(x＋2)＝f(x)，若当x∈[0,2)时，f(x)＝|x2－x－1|，则函数y＝f(x)－1在区间[－2,4]上的零点个数为________．‎ ‎7　[由f(x＋2)＝f(x)可知，f(x)在[0，＋∞)上是周期为2的函数，又x∈[0,2)时，f(x)＝|x2－x－1|，‎ 且f(x)为偶函数，故f(x)在[－2,4]上的图象如图所示．由图可知y＝f(x)与y＝1有7个交点，故函数y＝f(x)－1在区间[－2,4]上有7个零点．]‎ 角度3　单调性、奇偶性与周期性结合 ‎　已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则f(－25)，f(11)，f(80)的大小关系为________．‎ f(－25)＜f(80)＜f(11)　[因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，‎ 所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．‎ 由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．‎ 因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，‎ 所以f(x)在区间[－2,2]上是增函数，‎ 所以f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．]　‎ ‎[规律方法]　函数性质综合应用问题的常见类型及解题方法 ‎(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．‎ ‎(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．‎ ‎(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．‎ 热点3　函数图象与性质的综合应用 函数的零点、方程的根和函数图象的交点横坐标之间的等价转化思想和数形结合思想是解答此类问题的关键所在．因此在处理此类问题时，务必要结合题设信息实现知识转化．以填空题压轴题据多，求解时务必细心．‎ ‎　(2015·江苏高考)已知函数f(x)＝|ln x|，g(x)＝则方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为______．‎ ‎4　[令h(x)＝f(x)＋g(x)，‎ 则h(x)＝ 当1＜x＜2时，‎ h′(x)＝－2x＋＝＜0，‎ 故当1＜x＜2时h(x)单调递减，在同一坐标系中画出y＝|h(x)|和y＝1的图象如图所示．‎ 由图象可知|f(x)＋g(x)|＝1的实根个数为4.]‎ ‎[规律方法]　解决分段函数与函数零点的综合问题的关键在于“对号入座”，即根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解零点，注意取值范围内的大前提，以及函数性质和数形结合在判断零点个数时的强大功能．‎ ‎[对点训练2]　已知函数f(x)＝若方程f(x)＝x＋a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是________. ‎ ‎【导学号：62172065】‎ ‎(－∞，1)　[函数f(x)＝的图象如图所示，当a<1时，函数y＝f(x)的图象与函数f ‎(x)＝x＋a的图象有两个交点，即方程f(x)＝x＋a有且只有两个不相等的实数根．]‎ 热点探究训练(一)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、填空题 ‎1．(2017·镇江期中)函数f(x)＝的定义域是________．‎ ‎(0，]　[由－lg x≥0得lg x≤，即00，‎ ‎∴f(－x)＝2－x－2，‎ 即f(x)＝2－x－2.‎ ‎∵f(x－1)≤6，‎ ‎∴当x－1≥0，即x≥1时，‎ ‎2x－1－2≤6，‎ 解得1≤x≤4；‎ 当x－1<0，即x<1时，21－x－2≤6，‎ 解得－2≤x<1.‎ 综上可知，f(x－1)≤6的解集为[－2,4]．]‎ ‎8．已知函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数与奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2 019)的值为________．‎ ‎0　[g(－x)＝f(－x－1)，由f(x)，g(x)分别是偶函数与奇函数，得g(x)＝－f(x＋1)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，即f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，则 f(2 019)＝f(505×4－1)＝f(－1)＝g(0)＝0.]‎ ‎9．已知函数y＝f(x＋2)的图象关于直线x＝－2对称，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝|log2x|，若a＝f(－3)，b＝f，c＝f(2)，则a，b，c的大小关系是________．‎ b＞a＞c　[由函数y＝f(x＋2)的图象关于直线x＝－2对称，得函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，即y＝f(x)是偶函数．当x∈(0,1)时，f(x)＝f＝|log2x|，且x∈[1，＋∞)时，f(x)＝log2x单调递增，又a＝f(－3)＝f(3)，b＝f＝f(4)，所以b＞a＞c.]‎ ‎10．(2017·南京一模)设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝2x＋，设g(x)＝若函数y＝g(x)－t有且只有一个零点，则实数t的取值范围是________．‎ 　[由f(x)为R上的奇函数可知，f(0)＝0，即1＋m＝0，m＝－1，‎ ‎∴f(x)＝2x－，‎ ‎∴g(x)＝ 又当x＞1时，g(x)为增函数，‎ ‎∴g(x)＞g(1)＝2－＝，‎ 当x≤1时，g(x)为减函数，‎ ‎∴g(x)≥g(1)＝－＝－.‎ 要使g(x)－t＝0有且只有一解，即函数y＝g(x)与y＝t的图象只有一个交点(图略)，故－≤t≤.]‎ 二、解答题 ‎11．(2017·镇江期中)已知函数f(x)＝log2log22x.‎ ‎(1)解不等式f(x)>0；‎ ‎(2)当x∈[1,4]时，求f(x)的值域．‎ ‎[解]　(1)函数f(x)＝log2·log22x＝(log2x－log24)(log22＋log2x)‎ ‎＝(log2x)2－log2x－2，x∈(0，＋∞)．‎ 令f(x)＝(log2x)2－log2x－2>0，‎ 则log2x>2或log2x<－1，故x>4或00，n>0，在(2)的条件下，求不等式f(f(x))＋f<0的解集．‎ ‎[解]　证明：(1)f(x)＝，∴f(1)＝＝－，‎ f(－1)＝＝，‎ ‎∵f(－1)≠－f(1)，∴f(x)不是奇函数．‎ ‎(2)由f(x)是奇函数得f(－x)＝－f(x)，‎ 即＝－对定义域内任意实数x都成立，化简整理得关于x的恒等式(2m－n)·22x＋(2mn－4)·2x＋(2m－n)＝0，‎ ‎∴即或 ‎(3)由题意得m＝1，n＝2，‎ ‎∴f(x)＝＝，易判断f(x)在R上递减，∵f(f(x))＋f<0，‎ ‎∴f(f(x))<－f＝f，‎ ‎∴f(x)>－，‎ ‎∴2x<3，∴x0)，则称y＝f(x)为k倍值函数．若f(x)＝ln x＋x是k倍值函数，则实数k的取值范围是________．‎ 　[由题意得ln x＋x＝kx有两个不同的解，k＝＋1，则k′＝＝0⇒x＝e，因此当0e时，k∈ ‎，从而要使ln x＋x＝kx有两个不同的解，需k∈.]‎ ‎3．函数f(x)＝m＋logax(a＞0且a≠1)的图象过点(8,2)和(1，－1)．‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)令g(x)＝‎2f(x)－f(x－1)，求g(x)的最小值及取得最小值时x的值．‎ ‎[解]　(1)由得 解得m＝－1，a＝2，‎ 故函数解析式为f(x)＝－1＋log2x.‎ ‎(2)g(x)＝‎2f(x)－f(x－1)‎ ‎＝2(－1＋log2x)－[－1＋log2(x－1)]‎ ‎＝log2－1(x＞1)．‎ ‎∵＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2＝4.‎ 当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立．‎ 而函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，‎ 则log2－1≥log24－1＝1，‎ 故当x＝2时，函数g(x)取得最小值1.‎ ‎4．已知函数f(x)＝x2－1，g(x)＝a|x－1|.‎ ‎(1)若当x∈R时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎(2)求函数h(x)＝|f(x)|＋g(x)在区间[0,2]上的最大值．‎ ‎[解]　(1)不等式f(x)≥g(x)对x∈R恒成立，即x2－1≥a|x－1|(*)对x∈R恒成立．‎ ‎①当x＝1时，(*)显然成立，此时a∈R；‎ ‎②当x≠1时，(*)可变形为a≤，‎ 令φ(x)＝＝ 因为当x>1时，φ(x)>2，当x<1时，φ(x)>－2，‎ 所以φ(x)>－2，故此时a≤－2.‎ 综合①②，得所求实数a的取值范围是(－∞，－2]．‎ ‎(2)h(x)＝ ‎①当－≤0，即a≥0时，‎ ‎(－x2－ax＋a＋1)max＝h(0)＝a＋1，‎ ‎(x2＋ax－a－1)max＝h(2)＝a＋3.‎ 此时，h(x)max＝a＋3.‎ ‎②当0<－≤1，‎ 即－2≤a<0时，(－x2－ax＋a＋1)max ‎＝h＝＋a＋1，(x2＋ax－a－1)max＝h(2)＝a＋3.此时h(x)max＝a＋3.‎ ‎③当1<－≤2，‎ 即－4≤a<－2时，(－x2－ax＋a＋1)max＝h(1)＝0，(x2＋ax－a－1)max＝max{h(1)，h(2)}＝max{0,3＋a}‎ ‎＝ 此时h(x)max＝ ‎④当－>2，‎ 即a<－4时，(－x2－ax＋a＋1)max＝h(1)＝0，‎ ‎(x2＋ax－a－1)max＝h(1)＝0.‎ 此时h(x)max＝0.‎ 综上：h(x)max＝