2015年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（北京卷）

2015年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（北京卷）

绝密★启用前 ‎2015年普通高等学校招生全国考试（北京卷）‎ 文科数学 本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本市卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎（1）若集合A=｛x|□5＜x＜2｝，B=｛x|□3＜x＜3｝，则A□B= ‎ A. ｛x|3＜x＜2｝ B. ｛x|5＜x＜2｝ C. ｛x| 3＜x＜3｝ D. ｛x|5＜x＜3｝‎ ‎（2）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是 ‎ （A）（x-1）2+（y-1）2=1 （B）（x+1）2+（y+1）2=1‎ ‎ （C）（x+1）2+（y+1）2=2 （D）（x-1）2+（y-1）2=2‎ ‎（3）下列函数中为偶函数的是（）‎ ‎ （A）y=x²sinx （B）y=x²cosx （C）Y=|ln x| （D）y=2x ‎（4）某校老年，中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体情况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年人数为（）‎ ‎ （A）90 （B）100 （C）180 （D）300‎ 类别 人数 老年教师 ‎900‎ 中年教师 ‎1800‎ 青年教师 ‎1600‎ 合计 ‎4300‎ (5) 执行如果所示的程序框图，输出的k值为 ‎ ‎ ‎（A）3 （B）4 (C)5 (D)6‎ ‎（6）设a，b是非零向量，“a·b=|a||b|”是“a//b”的 （A） 充分而不必要条件 （B） 必要而不充分条件 ‎（C）充分必要条件 ‎（D）既不充分也不必要条件 ‎（7）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为 ‎(A)1 （B） （B） (D)2‎ ‎（8）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况。‎ 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 ‎（A）6升 ‎（B）8升 ‎（C）10升 ‎（D）12升 第二部分（非选择题共110分）‎ 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎（9）复数i（1+i）的实数为 ‎（10）2-3, ,log25三个数中最大数的是 ‎ ‎（11）在△ABC中，a=3,b=,A=，B= ‎ ‎（12）已知（2，0）是双曲线=1(b>0)的一个焦点，则b=.‎ ‎（13）如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P（x，y）为D中任意一点，则z=2x+3y的最大值为 ‎（14）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下，甲、乙、丙为该班三位学生。‎ 从这次考试成绩看，‎ ‎①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 ‎②在语文和数学两个科目中，两同学的成绩名次更靠前的科目是 三、解答题（共6题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）‎ ‎（15）（本小题13分）‎ 已知函数f（x）= ‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）求f（x）在区间上的最小值。‎ ‎（16）（本小题13分）‎ 已知等差数列{}满足+=10，-=2.‎ ‎（Ⅰ）求{}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设等比数列{}满足，；问：与数列{}的第几项相等？‎ ‎（17）（本小题13分）‎ 某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买。‎ 商品 顾客人数 甲 乙 丙 丁 ‎100‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎217‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎200‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎300‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎85‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎98‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎（Ⅰ）估计顾客同时购买乙和丙的概率 ‎（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率 ‎（Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？‎ ‎（18）（本小题14分）‎ 如图，在三棱锥E-ABC中，平面EAB ⊥平面ABC，三角形EAB为等边三角形，AC⊥ BC,且AC=BC=,O,M分别为AB,VA的中点。‎ （1） 求证:VB//平面MOC.‎ （2） 求证：平面MOC⊥平面 VAB （3） 求三棱锥V-ABC的体积。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（19）（本小题13分）‎ 设函数f（x）= ,k>0‎ ‎（I）求f（x）的单调区间和极值；‎ ‎（II）证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间（1，）上仅有一个零点。‎ ‎(20)(本小题14分)‎ 已知椭圆,过点且不过点的直线与椭圆交于两点，直线与直线.‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（II）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；‎ ‎（III）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由。‎ ‎2015年普通高等学校招生全国考试（北京卷）‎ 文科数学答案 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）‎ ‎（1）A （2）D （3）B （4）C ‎（5）B （6）A （7）C （8）B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎（9）—1 （10）log25‎ ‎（11） （12）‎ ‎（13）7 （14）乙 数学 三、解答题（共6小题，共80分）‎ ‎（15）（共13分）‎ ‎ 解：（I）因为 ‎ ‎ ‎ 所以的最小正周期为2.‎ ‎ （II）因为0，所以.‎ ‎ 当，即时，取得最小值.‎ ‎ 所以在区间上的最小值为.‎ ‎（16）（共13分）‎ 解：（I）设等差数列的公差为.‎ ‎ 因为，所以.‎ ‎ 又因为，所以，故.‎ ‎ 所以.‎ ‎ （II）设等比数列的公比为q.‎ ‎ 因为，，‎ ‎ 所以，.‎ ‎ 所以.‎ ‎ 由128=得.‎ ‎ 所以与数列的第63项相等.‎ ‎（17）（共13分）‎ ‎ 解：（I）从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，‎ ‎ 所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为.‎ ‎ （II）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，‎ ‎ 另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，‎ ‎ 所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为 ‎ .‎ ‎（III）与（I）同理，可得：‎ ‎ 顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为，‎ ‎ 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为，‎ ‎ ‎ ‎ 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为.‎ ‎ 所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大。‎ ‎（18）（共14分）‎ ‎ 解：（I）因为O,M分别为AB，ＶＡ的中点，‎ ‎　　　　　　所以ＯＭ//ＶＢ.‎ ‎ 又因为ＶＢ平面MOC，‎ ‎ 所以VB//平面MOC.‎ ‎ （II）因为ＡＣ＝ＢＣ，Ｏ为AB的中点，‎ ‎ 所以OCAB.‎ ‎ 又因为平面平面，且平面，‎ ‎　　　　　　所以平面．‎ ‎　　　　　　所以平面平面．‎ ‎　　　（III）在等腰直角三角形中，，‎ ‎　　　　　　所以，．‎ ‎　　　　　　所以等边三角形的面积．‎ ‎　　　　　　又因为平面，‎ ‎　　　　　　所以三棱锥的体积等于．‎ ‎　　　　　　又因为三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，‎ ‎　　　　　　所以三棱锥的体积为．‎ ‎（１９）（共１３分）‎ ‎　　　解：（Ｉ）由（k>0）得 ‎ .‎ ‎ 由=0解得 ‎ 与在区间（）上的情况如下：‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ 所以，的单调递减区间是，单调递增区间是；‎ 在处取得极小值.‎ ‎（II）由（I）知，在区间上的最小值.‎ ‎ 因为存在零点，所以，从而.‎ ‎ 当时，在区间上单调递减，且，‎ ‎ 所以是在区间上的唯一零点.‎ ‎ 当>e时，在区间上单调递减，且><‎ ‎ 所以在区间上仅有一个零点.‎ ‎ 综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点.‎ ‎（20）（共14分）‎ ‎ 解：（I）椭圆的标准方程为.‎ ‎ 所以.‎ ‎ 所以椭圆的离心率.‎ ‎ （II）因为过点且垂直于轴，所以可设，‎ ‎ 直线的方程.‎ ‎ 令，得.‎ ‎ 所以直线的斜率.‎ ‎ （III）直线与直线平行.证明如下：‎ ‎ 当直线的斜率不存在时，由（II）可知 ‎ 又因为直线的斜率，所以//.‎ ‎ 当直线的斜率存在时，设其方程为，‎ ‎ 设则直线的方程为 ‎ 令，得点.‎ ‎ 由得 ‎ 所以 ‎ 直线的斜率 ‎ 因为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ 所以，‎ ‎ 所以//.‎ ‎ 综上可知，直线与直线平行.‎