湖北省华中师范大学新高考联盟2017届高三2月教学质量测评 数学理

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书书书 理科数学参考答案和评分标准!第"!!!!页!共# 页" 华大新高考联盟$%"& 届高三$ 月教学质量测评 理科数学参考答案和评分标准 一!选择题"每小题!分#共"#分$ 题号 " $ ' # ( ) & * + "% "" "$ 答案 , - . / / , / . . / - , 二!填空题"每小题!分#共$#分$ "'01$!"#01$$%"& !"(0"$ "'!")0$" # 三!解答题 "&0!"" 由题意有#!" 2$#" $ 3"#即#" 3"1" $ !" #4当"!$ 时##" 1" 3"1" $ !" 1" # 两式相减得!" 3"1" $ !" 1 " 1" $ !"( )1" #4!" 3" ' !" 1" !"!$"$ !' 分"!!!!!!!!!!! 当" 3" 时#!" 3"1" $ !" #4!" 3$ ' $ 故数列$!" %是以$ ' 为首项# " ' 为公比的等比数列#4!" 3$( )" ' " $ !) 分"!!!!!!!!!! !$"由!""可知# " !" !" 2" 3$& # 5+" 1" # 4 " !" !$ 2 " !$ !' 2& 2 " !" !" 2" 3$& # !" 2+2+$ 2& 2+" 1" " 3$& # 5+" 1" * # !* 分"!!!!!!!!! 要使'对于任意的""!# #不等式" !" !$ 2 " !$ !' 2& 2 " !" !" 2" ! ! !$ " 恒成立(# 则有$& # 5+" 1" * !!5+" # #即!$$& * " 1" +( )" $ !"% 分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 令%!"" 3$& * " 1" +( )" #则%!""在!# 上递增#4%!""!%!"" 3'$ 故实数!的取值范围为! 16#')$ !"$ 分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! "*$!""由样本空气质量78$0( 的数据的频率分布直方图可知#其频率分布如下表* 78$#( 值 +%#(%" +(%#"%%" +"%%#"(%" +"(%#$%%" +$%%#$(%) 频率 %0"$( %0"$( %0'&( %0$( %0"$( 由上表可知#如果该市维持现状不变#则该市下一年的某一天空气质量为一级天气的概率为%0$(# 因此在')% 天中约有')% 5%0$(3+% 天0 !# 分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !$"在样本中#按照分层抽样的方法抽取* 天的78$$( 值数据#则这* 个数据中一级,二级,三级, 四级天气的数据分别有$ 个,' 个,$ 个," 个$ 从这* 个数据中随机抽取( 个#则这四种天气都有有三种情况*一级天气的数据有$ 个#其余的均为" 个-二级天气的数据有$ 个#其余的均为" 个-三级天气的数据有$ 个#其余的均为" 个$共有的情况有* -$ $ -" ' -" $ -" " 2-" $ -$ ' -" $ -" " 2-" $ -" ' -$ $ -" " 3$# 种$ 理科数学参考答案和评分标准!第$!!!!页!共# 页" 而从* 个数据中随机抽取( 个#有-( * 3() 种情况$ 故所求概率为$# () 3' & $ * 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !'"如果该市维持现状不变#则该市的78$0( 值的均值约为 &!'" 3$(5%$"$( 2&(5%$"$( 2"$(5%$'&( 2"&(5%$$( 2$$(5%$"$( 3"'"$$($ 如果该市对环境进行治理#则该市的78$0( 值(的均值为&!(" 3""(# 因此该市治理后的78$0( 值的均值比治理前大约下降了")0$(0 "$ 分!!!!!!!!!!! "+0!""9)#*分别为#+##,中点#4)*%+,# 由底面-+,.为平行四边形可知#-.%+,#4)*%+,$ 又)*&平面#-.!4)*%平面#-.$ 9!3" $ # 4/为-+的中点#4)/%#-$ 又)/&平面#-.#4)/%平面#-.$ 由)*')/3)可知#平面)*0/%平面#-.$ !) 分"!!!!!!!!!!!!!!!!!! !$"方法一*连+.交0/于点1$ 9)*%+,#4+,%平面)*0/$ 又平面)*0/'平面-+,.30/# 40/%+,%-.$ 在(-+,.中#-+3$-.#).,+3)%2# 4-.*.+$ 又#.*平面-+,.#4#.*-.且#.'.+3.#4-.*平面#+.$ 40/*平面#+.#4))1+为二面角)10/1+的平面角$4))1+3)%2$ !* 分"!!!!! 9过)作)&*.+于&#则)&%#.#4)&*平面-+,.$ 设-.3#.3!#9)为#+的中点#4)&3! $ #.&3槡' $ !$ 在:;+)&1中#)&3! $ #))1+3)%2#41&3槡' ) !$ 4.13.&11&3槡' ' !#!4.1 .+3 槡' ' ! 槡'! 3" ' $!90/%-.#!4!3-/ -+3.1 .+3" ' $ !"$ 分"!!!! 方法二*在(-+,.中#-+3$-.#).,+3)%2#所以-.*.+$ 以.为原点#直线.-为3轴#直线.+为4轴#直线.# 为5轴 建立空间直角坐标系#且设-!$#%#%"#则+!%# 槡$ '#%"##!%# %#$"#)!%#槡'#""$ !) 分"!!!!!!!!!!!!!! 又,---/3!,---+#设/!3#4#5"#则!31$#4#5" 3!! 1$# 槡$ '#%"# 即/!$ 1$!# 槡$ '!#%"$ !& 分"!!!!!!!!!!!! 设平面)*0/的法向量为!3!3#4#5"$ 由!""可知)*%+,%-.#所以!. ,---.3!3#4#5".!$#%#%" 3$33%#即33%$ 由!. ,--)/3!3#4#5".!$ 1$!#槡'!$!1""# 1"" 33!$ 1$!" 24槡'!$!1"" 153%# 将33% 代入得5 槡3 '!$!1""4#取43"#则!3!%#"#槡'!$!1"""$ !+ 分"!!!!!!!!! 显然平面-+,.的法向量为"3!%#%#""$ 要使二面角)10/1+为)%2#则有 理科数学参考答案和评分标准!第'!!!!页!共# 页" <=>)%?3" $ 3 @".!@ @"@5@!@3@!%#%#"".!%#"#槡'!$!1""" @ " 5 " 2+槡'!$!1"")槡 $ 3 槡@'!$!1"" @ " 2'!$!1""槡 $ # 解得!3" ' 或!3$ ' !"" 分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 由图可知#要使二面角)10/1+为)%2#则/在线段-/6!/6为线段-+的中点"上#所以!A" $ # 所以!3" ' $ 故当实数!3" ' 时#二面角)10/1+为)%2$ !"$ 分"!!!!!!!!!!!!!!!!!! $%$!""设-!3" #4" "#+!3$ #4$ "#直线-+的方程为437328$将直线-+方 程437328代入方程3$ $ 24$ 3"#得!$7$ 2""3$ 2#7832$!8$ 1"" 3%$ 4!3")7$ 8$ 1#!$7$ 2"" 5$!8$ 1"" 3*!$7$ 2"18$ " B%# " 3" 23$ 31 #78 $7$ 2"#3" 3$ 3$!8$ 1"" $7$ 2" # !# 分"!!!!!!!!!!! 97-9 27+9 3%# 47-9 27+9 3 4" 3" 2" 2 4$ 3$ 2" 373" 28 3" 2" 273$ 28 3$ 2" 3!73" 28"!3$ 2"" 2!73$ 28"!3" 2"" !3" 2""!3$ 2"" 3%# !73" 28"!3$ 2"" 2!73$ 28"!3" 2"" 3$73" 3$ 2!728"!3" 23$ " 2$8 3$75$!8$ 1"" $7$ 2" 1!728" 5 #78 $7$ 2" 2$83%# 481$73%#4直线-+方程为437!32$"# 4直线:总经过定点)! 1$#%"$ !* 分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !$"由!""可知# ,--9-. ,--9+3!3" 2"#4" " .!3$ 2"#4$ " 3!3" 2"" !3$ 2"" 2!73" 28" !73$ 28" 3 !" 27$ "3" 3$ 2!782""!3" 23$ " 28$ 2"3!7$ 2"" 5$!8$ 1"" $7$ 2" 1!782"" 5 #78 $7$ 2" 28$ 2"3%$ 即'8$ 1#781"3%#473'8$ 1" #8 #代入"得8# 2$8$ 2"A% 恒成立$ 又; 3 @8@ 7$槡2" 3 8$ '8$ 1" #( )8 $槡 2" 3 ") + 2"% "( )8 $ 2 "( )8槡 # # 而+ 2"% "( )8 $ 2 "( )8 # B+#4; A# ' $ 故; 的取值范围为%#( )# ' $ !"$ 分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !注*本题如果没有考虑!B%#不扣分$" $"$!""由题意%6!3" 3<=>323$ $ 1<#设=!3" 3<=>323$ $ 1<#则=6!3" 31>CD 323# 令>!3" 31>CD 323#则>6!3" 31<=>32"!%# 所以>!3"在+%# 26"上单调递增#所以=6!3" 31>CD 323!=6!%" 3%# !' 分"!!!!!!! 所以=!3" 3<=>323$ $ 1<在+%# 26"上单调递增#即=!3" 3<=>323$ $ 1CD 3$3#且<=>323$ $ 13!" 13$ $ # 所以>CD 31<=>3$31 " 13$( )$ 因此#如果.3"+%# 26"不等式31 " 13$( )$ $E!31$ 恒成立# 则不等式>CD 31<=>3$E!31$#.3"+%# 26"也一定恒成立# !+ 分"!!!!!!!!!!! 要使不等式31 " 13$( )$ $E!31$#.3"+%# 26"恒成立# 即使不等式E!313$ $ 131"!% 对3"+%# 26"恒成立$ 构造函数)!3" 3E313$ $ 131"#则)6!3" 3E3131"#令CD 31<=>3$E!31$ 恒成立$ !"$ 分"!!!!!!!!! $$$!""将33"<=>##43">CD #代入直线:的极坐标方程得 槡$ $ 32槡$ $ 4 槡31# $#即3242*3%$ 故所求直线:的直角坐标方程为3242*3%$ !( 分"!!!!!!!!!!!!!!!!!! !$"点0!*;FD$ ##*;FD #"到直线:的距离为 ; 3@*;FD$ #2*;FD #2*@ 槡$ 槡3# $ ;FD #2( )" $ $ 2' # 槡3# $ ;FD #2( )" $ $ 槡2' $ $ 故当;FD #31" $ 时# 取得最小值槡' $# 显然@0/@的最小值为0点到直线:距离的最小值# 故@0/@最小值为槡' $$ !"% 分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! $'$!"" %!3" 3@32"@2@32<@!@32"131<@3@<1"@3$$ <1"3G$/<3' 或<31" !( 分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !$"3"+ 1"#")#%!3"$$32'/32"2@32<@$$32' /@32<@$32$/ 131$$32<$32$ / 1$31$$<$$ ! 1$31$" HFI$<$$ 又3"+ 1"#")#! 1$31$" HFI3%# <"+%#$) !"% 分"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!