【数学】2019届一轮复习北师大版圆锥曲线的定义、方程与性质学案
第16练 圆锥曲线的定义、方程与性质
[明考情]
圆锥曲线是高考的热点,每年必考,小题中考查圆锥曲线的定义、方程、离心率等,题目难度中档偏难.
[知考向]
1.圆锥曲线的定义与标准方程.
2.圆锥曲线的几何性质.
3.圆锥曲线的综合.
考点一 圆锥曲线的定义与标准方程
方法技巧 (1)椭圆和双曲线上的点到两焦点距离可以相互转化,抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离.
(2)求圆锥曲线方程的常用方法:定义法、待定系数法.
1.(2017·马鞍山二模)已知A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C为一个焦点作过A,B的椭圆,则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是( )
A.y2-=1 B.x2-=1
C.y2-=1(y≤-1) D.x2-=1(y≥1)
答案 C
解析 由两点间距离公式,可得|AC|=13,|BC|=15,|AB|=14,因为A,B都在椭圆上,所以|AF|+|AC|=|BF|+|BC|,|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2<14,故F的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的下支.由c=7,a=1⇒b2=48,F的轨迹方程是y2-=1(y≤-1),故选C.
2.(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则C的方程为( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
答案 B
解析 由y=x可得=. ①
由椭圆+=1的焦点为(3,0),(-3,0),
可得a2+b2=9. ②
由①②可得a2=4,b2=5.
所以C的方程为-=1.
故选B.
3.(2017·梅州一检)设椭圆+=1(m>0,n>0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同,离心率为,则椭圆的方程为( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
答案 B
解析 因为抛物线的焦点为F(2,0),所以c=2.再由离心率为,得m=4,所以n2=42-22=12,
所以+=1.
4.(2016·天津)已知双曲线-=1(b>0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
答案 D
解析 由题意知双曲线的渐近线方程为y=±x,圆的方程为x2+y2=4,
联立
解得
或
即第一象限的交点为.
由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD为矩形,其相邻两边长为,,故=2b,得b2=12.
故双曲线的方程为-=1.故选D.
5.(2017·延边州模拟)已知抛物线y=x2,A,B是该抛物线上两点,且|AB|=24,则线段AB的中点P离x轴最近时点的纵坐标为________.
答案 8
解析 由题意得抛物线的标准方程x2=16y,焦点F(0,4),
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由|AB|≤|AF|+|BF|=(y1+4)+(y2+4)=y1+y2+8,
∴y1+y2≥16,则线段AB的中点P的纵坐标y=≥8,
∴线段AB的中点P离x轴最近时点的纵坐标为8.
考点二 圆锥曲线的几何性质
要点重组 在椭圆中:a2=b2+c2,离心率为e==;
在双曲线中:c2=a2+b2,离心率为e==.
方法技巧 求离心率的两种方法
(1)定义法:求出a,c,代入e=进行求解.
(2)方程法:只需根据一个条件得到关于a,b,c的各项式,然后两边同除以a或a2得到关于e的方程求e.
6.(2016·全国Ⅰ)已知方程-=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )
A.(-1,3) B.(-1,)C.(0,3) D.(0,)
答案 A
解析 ∵方程-=1表示双曲线,∴(m2+n)·(3m2-n)>0,解得-m2
b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为( )
A.B.C.D.
答案 A
解析 由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0),
半径为a.又直线bx-ay+2ab=0与圆相切,
∴圆心到直线的距离d==a,解得a=b,
∴=,∴e=====.
故选A.
9.(2017·全国Ⅰ)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为_____.
答案
解析 如图,由题意知点A(a,0),双曲线的一条渐近线l的方程为y=x,即bx-ay=0,
∴点A到l的距离d=.
又∠MAN=60°,|MA|=|NA|=b,
∴△MAN为等边三角形,
∴d=|MA|=b,即=b,∴a2=3b2,
∴e===.
10.设抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M为抛物线E上一点,|MF|的最小值为3,若点P为抛物线E上任意一点,A(4,1),则|PA|+|PF|的最小值为________.
答案 7
解析 由题意,|MF|的最小值为3,得=3,
∴p=6,∴抛物线E:y2=12x,
抛物线y2=12x的焦点F的坐标是(3,0).
设点P在准线上的射影为D,
则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|,
∴要求|PA|+|PF|取得最小值,即求|PA|+|PD|取得最小值,当D,P,A三点共线时|PA|+|PD|最小,为4-(-3)=7.
考点三 圆锥曲线的综合
方法技巧 圆锥曲线范围,最值问题的常用方法
(1)定义性质转化法:利用圆锥曲线的定义性质进行转化,根据平面几何中的结论确定最值或范围.
(2)目标函数法:建立所求的目标函数,将所求最值转化为函数最值解决.
(3)条件不等式法:找出与变量相关的所有限制条件,然后再通过解决不等式(组)求变量的范围.
11.已知方程-=1表示椭圆,则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,-1)
B.(-2,+∞)
C.∪(-1,+∞)
D.∪
答案 D
解析 由-=1转化成标准方程+=1,
假设焦点在x轴上,则2+m>-(m+1)>0,
解得-<m<-1;
假设焦点在y轴上,则-(m+1)>2+m>0,
解得-2<m<-.
综上可知,m的取值范围为∪.
12.(2016·四川)设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为( )
A.B.C.D.1
答案 C
解析 如图,由题意可知F,设P点坐标为,显然,当y0<0时,kOM<0;当y0>0时,kOM>0.要求kOM的最大值,不妨设y0>0,则=+=+=+(-)=+=,kOM==≤=,当且仅当y=2p2时等号成立.故选C.
13.(2017·广州一模)已知F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,椭圆C上存在点P使∠F1PF2为钝角,则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A.B.C.D.
答案 A
解析 设P(x0,y0),则|x0|<a,又F1(-c,0),F2(c,0),∠F1PF2为钝角,∴·<0有解,
即(-c-x0,-y0)·(c-x0,-y0)=(-c-x0)(c-x0)+y<0,
即c2>x+y有解,等价于c2>(x+y)min.
又y=b2-x,
∴x+y=b2+x∈[b2,a2),
即(x+y)min=b2.
故c2>b2,即c2>a2-c2,
∴>,即e>,
又0<e<1,∴<e<1.
14.过抛物线y=ax2 (a>0)的焦点F作一条直线交抛物线于A,B两点,若线段AF,BF的长分别为m,n,则等于( )
A.B.C.2aD.
答案 B
解析 显然直线AB的斜率存在,故设直线方程为y=kx+,与y=ax2联立,消去y得ax2-kx-=0,设A(x1,ax),B(x2,ax),则x1+x2=,x1x2=-,x+x=+,m=ax+,
n=ax+,∴mn=·,m+n=,∴=.故选B.
15.(2017·山东)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为________.
答案 y=±x
解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),
由得a2y2-2pb2y+a2b2=0,
∴y1+y2=.
又∵|AF|+|BF|=4|OF|,
∴y1++y2+=4×,即y1+y2=p,
∴=p,即=,∴=,
∴双曲线的渐近线方程为y=±x.
16.在直线y=-2上任取一点Q,过Q作抛物线x2=4y的切线,切点分别为A,B,则直线AB恒过定点________.
答案 (0,2)
解析 设Q(t,-2),A(x1,y1),B(x2,y2),抛物线方程变为y=x2,则y′=x,则在点A处的切线方程为y-y1=x1(x-x1),化简,得y=x1x-y1,同理,在点B处的切线方程为y=x2x-y2.又点Q(t,-2)的坐标满足这两个方程,代入,得-2=x1t-y1,-2=x2t-y2,则说明A(x1,y1),B(x2,y2)都满足方程-2=xt-y,即直线AB的方程为y-2=tx,因此直线AB恒过定点(0,2).
1.若点O和点F(-2,0)分别为双曲线-y2=1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则·的取值范围为( )
A.[3-2,+∞) B.[3+2,+∞)
C. D.
答案 B
解析 由题意,得22=a2+1,即a=,设P(x,y),x≥,=(x+2,y),则·=(x+2)x+y2=x2+2x+-1=2-,因为x≥,所以·的取值范围为[3+2,+∞).
2.已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为____________________.
答案 x2-=1(x≤-1)
解析 如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.
根据两圆外切的条件,
得|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|,
因为|MA|=|MB|,
所以|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|,
即|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2<6,
所以点M到两定点C1,C2的距离的差是常数.
又根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小),
其中a=1,c=3,则b2=8.
故点M的轨迹方程为x2-=1(x≤-1).
3.若椭圆的对称轴是坐标轴,且短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到同侧顶点的距离为,则椭圆的方程为________________.
答案 +=1或+=1
解析 由题意,得所以
所以b2=a2-c2=9.
所以当椭圆焦点在x轴上时,椭圆的方程为+=1;当椭圆焦点在y轴上时,椭圆的方程为
+=1.
故椭圆的方程为+=1或+=1.
4.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点P(异于长轴的端点),使=,则该椭圆的离心率的取值范围为______.
答案 (-1,1)
解析 由已知,得e==,由正弦定理,得
=,所以e===-1.
由椭圆的几何性质,知a-c<|PF2|,即e>,
即e>,即e2+2e-1>0,结合0<e<1,可解得e∈(-1,1).
解题秘籍 (1)椭圆的焦点位置不明确时,要分焦点在x轴上或y轴上进行讨论.
(2)平面内到两个定点的距离之差为定值的点的轨迹不是双曲线,要注意定值的限制条件和“绝对值”.
(3)范围问题要注意圆锥曲线上点的坐标的范围和几何意义,不要忽略离心率本身的限制条件.
1.已知椭圆+=1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),则m等于( )
A.2B.3C.4D.9
答案 B
解析 由题意知25-m2=16,解得m2=9,又m>0,
所以m=3.
2.(2017·和平区模拟)已知椭圆+=1(a>)的焦点为F1,F2,且离心率e=,若点P在椭圆上,|PF1|=4,则|PF2|的值为( )
A.2B.6C.8D.14
答案 A
解析 椭圆+=1(a>),椭圆的焦点在x轴上,
b=,c=,
则离心率e==,即=,
解得a2=9,a=3,
∴椭圆的长轴长为2a=6,
由椭圆的定义可知,|PF1|+|PF2|=6,即|PF2|=2.
3.(2017·福建质检)已知直线l过点A(-1,0)且与⊙B:x2+y2-2x=0相切于点D,以坐标轴为对称轴的双曲线E过点D,一条渐近线平行于l,则E的方程为( )
A.-=1B.-x2=1C.-=1D.-=1
答案 D
解析 可设直线方程为y=k(x+1),
⊙B:x2+y2-2x=0的圆心为(1,0),半径为1,由相切可得圆心到直线的距离d==1⇒k=±,
所以直线方程为y=±(x+1),联立圆的方程,解得x=,y=±⇒D,故渐近线方程为y=±x,设双曲线方程为y2-x2=m代入点D,可得双曲线方程为-=1.
4.(2017·佛山二模)已知双曲线Γ:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线为l,圆C:(x-a)2+y2=8与l交于A,B两点,若△ABC是等腰直角三角形,且=5(其中O为坐标原点),则双曲线Γ的离心率为( )
A.B.C.D.
答案 D
解析 双曲线的渐近线方程为y=x,圆(x-a)2+y2=8的圆心为(a,0),半径r=2,由于∠ACB=,由勾股定理得|AB|==4,故|OA|=|AB|=1.在△OAC,△OBC中,由余弦定理得cos∠BOC==,解得a2=13.由圆心到直线y=x的距离为2,得=2,结合c2=a2+b2,解得c=,故离心率为==.
5.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P,Q两点,若线段PQ
中点的横坐标为3,|PQ|=10,则抛物线的方程是( )
A.y2=4xB.y2=2xC.y2=8xD.y2=6x
答案 C
解析 设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,P(x1,y1),Q(x2,y2),
由抛物线的定义可知,|PQ|=|PF|+|QF|=x1++x2+=(x1+x2)+p,
线段PQ中点的横坐标为3,
又|PQ|=10,
∴10=6+p,可得p=4,
∴抛物线的方程为y2=8x.
6.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2,),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上,则双曲线的方程为( )
A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1
答案 D
解析 双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,又渐近线过点(2,),
所以=,即2b=a, ①
抛物线y2=4x的准线方程为x=-,
由已知,得=,
即a2+b2=7, ②
联立①②,解得a2=4,b2=3,
所以双曲线的方程为-=1.
7.(2016·全国Ⅱ)已知F1,F2是双曲线E:-=1的左、右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=,则E的离心率为( )
A.B.C.D.2
答案 A
解析 如图,因为MF1与x轴垂直,所以|MF1|=.
又sin∠MF2F1=,
所以=,
即|MF2|=3|MF1|.由双曲线的定义得2a=|MF2|-|MF1|=2|MF1|=,所以b2=a2,所以c2=b2+a2=2a2,所以离心率e==.
8.(2016·全国Ⅲ)已知O为坐标原点,F是椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为( )
A.B.C.D.
答案 A
解析 设M(-c,m),则E,OE的中点为D,则D,又B,D,M三点共线,所以=,a=3c,e=.
9.设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.3
答案 B
解析 不妨设P为双曲线右支上一点,|PF1|=r1,|PF2|=r2.根据双曲线的定义,得r1-r2=2a,
又r1+r2=3b,故r1=,r2=.
又r1·r2=ab,所以·=ab,解得=(负值舍去),故e====
eq f(5,3),故选B.
10.已知A(1,2),B(-1,2),动点P满足⊥.若双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线与动点P的轨迹没有公共点,则双曲线离心率的取值范围是________.
答案 (1,2)
解析 设P(x,y),由题设条件,
得动点P的轨迹为(x-1)(x+1)+(y-2)(y-2)=0,
即x2+(y-2)2=1,它是以(0,2)为圆心,1为半径的圆.
又双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,即bx±ay=0,
由题意,可得>1,即>1,
所以e=<2,
又e>1,故1
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