2020高中数学 第一章 三角函数 1

2020高中数学 第一章 三角函数 1

第2课时　公式五和公式六 学习目标：1.了解公式五和公式六的推导方法.2.能够准确记忆公式五和公式六．(重点、易混点)3.灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明．(难点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1．公式五 ‎(1)角－α与角α的终边关于直线y＝x对称，如图134所示．‎ 图134‎ ‎(2)公式：sin＝cos_α，‎ cos＝sin_α.‎ ‎2．公式六 ‎(1)公式五与公式六中角的联系＋α＝π－.‎ ‎(2)公式：sin＝cos_α，‎ cos＝－sin_α.‎ 思考：如何由公式四及公式五推导公式六？‎ ‎[提示]　sin＝sin ‎＝sin＝cos α，‎ cos＝cos＝－cos ‎＝－sin α.‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．思考辨析 ‎(1)公式五和公式六中的角α一定是锐角．(　　)‎ ‎(2)在△ABC中，sin＝cos.(　　)‎ 7‎ ‎(3)sin＝sin＝cos(－α)＝cos α.(　　)‎ ‎[解析]　(1)错误．公式五和公式六中的角α可以是任意角．‎ ‎(2)正确．因为＋＝，由公式五可知sin＝cos.‎ ‎(3)正确．‎ ‎[答案]　(1)×　(2)√　(3)√‎ ‎2．已知sin 19°55′＝m，则cos(－70°5′)＝________.‎ m　[cos(－70°5′)＝cos 70°5′＝cos(90°－19°55′)‎ ‎＝sin 19°55′＝m.]‎ ‎3．计算：sin211°＋sin279°＝________.‎ ‎1　[因为11°＋79°＝90°，‎ 所以sin 79°＝cos 11°，‎ 所以原式＝sin211°＋cos211°＝1.]‎ ‎4．化简sin＝________.‎ ‎－cos α　[sin ‎＝sin ‎＝－sin＝－cos α.]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 利用诱导公式化简求值 ‎　(1)已知cos 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是(　　) ‎ A．　　　　　 B． C．－ D．－ ‎(2)已知sin＝，则cos的值为________．‎ ‎[思路探究]　(1)→ ‎(2)→ ‎(1)B　(2)　[(1)sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)＝－sin 59°(－tan 31°)‎ 7‎ ‎＝－sin(90°－31°)·(－tan 31°)‎ ‎＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°‎ ‎＝＝.‎ ‎(2)cos＝cos ‎＝sin＝.]‎ 母题探究：1.将例1(2)的条件中的“－”改为“＋”，求cos的值．‎ ‎[解]　cos＝cos ‎＝－sin＝－.‎ ‎2．将例1(2)增加条件“α是第二象限角”，求sin的值．‎ ‎[解]　因为α是第二象限角，所以－α是第三象限角，‎ 又sin＝，所以－α是第二象限角，‎ 所以cos＝－，‎ 所以sin＝sin＝－sin＝－cos＝.‎ ‎[规律方法]　解决化简求值问题的策略：‎ (1)首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.‎ (2)可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化.‎ 提醒：常见的互余关系有：－α与＋α，＋α与－α等；,常见的互补关系有：＋θ与－θ，＋θ与－θ等.‎ 利用诱导公式证明恒等式 ‎　(1)求证：‎ ＝.‎ ‎(2)求证：＝－tan θ.‎ 7‎ ‎[证明]　(1)右边＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝ ‎＝＝左边，‎ 所以原等式成立．‎ ‎(2)左边＝ ‎＝＝－tan θ＝右边，‎ 所以原等式成立．‎ ‎[规律方法]　三角恒等式的证明的策略 (1)遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则.‎ (2)常用的方法：定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法，“‎1”‎的代换法.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1．求证：＝－1.‎ ‎[证明]　因为 ‎＝ 7‎ ‎＝＝＝－1‎ ‎＝右边，所以原等式成立.‎ 诱导公式的综合应用 ‎[探究问题]‎ ‎1．公式一～四和公式五～六的主要区别是什么？‎ 提示：公式一～四中函数名称不变，公式五～六中函数名称改变．‎ ‎2．如何用一个口诀描述应用诱导公式化简三角函数式的过程？‎ 提示：“奇变偶不变、符号看象限”．‎ ‎　已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求·tan2(π－α)的值. ‎ ‎ [思路探究]　→‎ →→ ‎[解]　方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2，因为－1≤sin α≤1，所以sin α＝－.‎ 又α是第三象限角，‎ 所以cos α＝－，tan α＝＝，‎ 所以·tan2(π－α)‎ ‎＝·tan2α ‎＝·tan2α ‎＝－tan2α＝－.‎ ‎[规律方法]　诱导公式综合应用要“三看”‎ 一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系.‎ 二看函数名称：一般是弦切互化.‎ 7‎ 三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2．已知sin·cos＝，且＜α＜，求sin α与cos α的值. ‎ ‎ [解]　sin＝－cos α，‎ cos＝cos ‎＝－sin α，‎ ‎∴sin α·cos α＝，‎ 即2sin α·cos α＝. ①‎ 又∵sin2α＋cos2α＝1， ②‎ ‎①＋②得(sin α＋cos α)2＝，‎ ‎②－①得(sin α－cos α)2＝.‎ 又∵α∈，∴sin α＞cos α＞0，‎ 即sin α＋cos α＞0，sin α－cos α＞0，‎ ‎∴sin α＋cos α＝， ③‎ sin α－cos α＝， ④‎ ‎③＋④得sin α＝，③－④得cos α＝.‎ ‎[当 堂 达 标·固 双 基]‎ ‎1．sin 95°＋cos 175°的值为(　　)‎ A．sin 5°　 B．cos 5°‎ C．0 D．2sin 5°‎ C　[sin 95°＝cos 5°，cos 175°＝－cos 5°，‎ 故sin 95°＋cos 175°＝0.]‎ ‎2．下列与sin θ的值相等的是(　　)‎ A．sin(π＋θ) B．sin 7‎ C．cos D．cos C　[sin(π＋θ)＝－sin θ；sin＝cos θ；‎ cos＝sin θ；cos＝－sin θ.]‎ ‎3．若sin<0，且cos>0，则θ是(　　)‎ A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三角限角 D．第四象限角 B　[由于sin＝cos θ<0，‎ cos＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.]‎ ‎4．已知cos α＝，且α为第四象限角，那么cos＝________. ‎ 　[因为cos α＝，且α为第四象限角，‎ 所以sin α＝－＝－，‎ 所以cos＝－sin α＝.]‎ ‎5．化简：－.‎ ‎[解]　原式＝－ ‎＝sin α－(－sin α)＝2sin α.‎ 7‎