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文档介绍
【数学】2018届一轮复习北师大版二项分布、超几何分布及正态分布学案
第7讲 二项分布、超几何分布及正态分布 ) 1.事件的相互独立性 (1)定义:设A,B为两个事件,如果P(AB)=P(A)·P(B),则称事件A与事件B相互独立. (2)性质:①若事件A与B相互独立,则P(B|A)=P(B),P(A|B)=P(A),P(AB)=P(A)·P(B). ②如果事件A与B相互独立,那么A与,与B,与也都相互独立. 2.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验,Ai(i=1,2,…,n)表示第i次试验结果,则P(A1A2A3…An)=P(A1)P(A2)…P(An). (2)二项分布 在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率是p,此时称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p),并称p为成功概率,在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=Cpk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n). (3)二项分布的均值与方差 若随机变量X服从参数为n,p的二项分布,即X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p). 3.超几何分布 (1)定义:在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则P(X=k)=,k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*,即如果随机变量X的分布列具有下表形式 X 0 1 … m P … 则称随机变量X服从超几何分布. (2)均值 若X服从参数为N,M,n的超几何分布,则E(X)=. 4.正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方,与x轴不相交; (2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称; (3)曲线在x=μ处达到峰值; (4)曲线与x轴之间的面积为1; (5)当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿x轴平移; (6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散. 1.辨明两个易误点 (1)两事件互斥是指两事件不可能同时发生,两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响,两个事件相互独立不一定互斥. (2)运用公式P(AB)=P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件,只有当事件A、B相互独立时,公式才成立. 2.理解事件中常见词语的含义 (1)A,B中至少有一个发生的事件为A∪B; (2)A,B都发生的事件为AB; (3)A,B都不发生的事件为 ; (4)A,B恰有一个发生的事件为A∪B; (5)A,B至多一个发生的事件为A∪B∪ . 3.正态分布的三个常用数据 (1)P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682 7; (2)P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.954 5; (3)P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.997 3. 1.若事件E与F相互独立,且P(E)=P(F)=,则P(EF)的值等于( ) A.0 B. C. D. B 2.已知随机变量X服从正态分布N(0,σ2).若P(X>2)=0.023,则P(-2≤X≤2)=( ) A.0.477 B.0.628 C.0.954 D.0.977 C 因为μ=0,所以P(X>2)=P(X<-2)=0.023, 所以P(-2≤X≤2)=1-2×0.023=0.954. 3.(2015·高考全国卷Ⅰ)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( ) A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312 A 3次投篮投中2次的概率为P(X=2)=C×0.62×(1-0.6),投中3次的概率为P(X=3)=0.63,所以通过测试的概率为P(X=2)+P(X=3)=C×0.62×(1-0.6)+0.63=0.648.故选A. 4. 抛掷两枚骰子,当至少一枚5点或一枚6点出现时,就说这次试验成功,则在10次试验中成功次数的均值为________. 抛掷两枚骰子,当两枚骰子不出现5点和6点 时的概率为×=,所以至少有一次出现5点或6点的概率为1-=,用X表示10次试验中成功的次数,则X~B,E(X)=10×=. 5. 国庆节放假,甲去北京旅游的概率为,乙去北京旅游的概率为,假定二人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________. 记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件A,“乙去北京旅游”为事件B,又P( )=P()·P()===, 甲、乙二人至少有一人去北京旅游的对立事件为甲、乙二人都不去北京旅游,故所求概率为1-P( )=1-=. 相互独立事件的概率 (2016·高考山东卷节选)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一人猜对,则“星队”得1分;如果两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是,乙每轮猜对的概率是;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X). 【解】 由题意,随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性,得 P(X=0)=×××=, P(X=1)=2×(×××+×××) ==, P(X=2)=×××+×××+×××+×××=, P(X=3)=×××+×××==. P(X=4)=2×(×××+×××)==, P(X=6)=×××==. 可得随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 6 P 所以数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×+4×+6×=. 利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路 (1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和. (2)将彼此互斥简单事件中的简单事件,转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件. (3)代入概率的积、和公式求解. (2017·开封市第一次模拟)某生物产品,每一个生产周期成本为20万元,此产品的产量受气候影响、价格受市场影响均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表: 产量(吨) 30 50 概率 0.5 0.5 市场价格(万元/吨) 0.6 1 概率 0.4 0.6 (1)设X表示1个生产周期此产品的利润,求X的分布列; (2)连续3个生产周期,求这3个生产周期中至少有2个生产周期的利润不少于10万元的概率. (1)设A表示事件“产品产量为30吨”,B表示事件“产品市场价格为0.6万元/吨”,则P(A)=0.5,P(B)=0.4, 因为利润=产量×市场价格-成本, 所以X的所有值为 50×1-20=30,50×0.6-20=10, 30×1-20=10,30×0.6-20=-2, 则P(X=30)=P()P()=(1-0.5)×(1-0.4)=0.3, P(X=10)=P()P(B)+P(A)P()=(1-0.5)×0.4+0 .5×(1-0.4)=0.5, P(X=-2)=P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2, 则X的分布列为 X 30 10 -2 P 0.3 0.5 0.2 (2)设Ci表示事件“第i个生产周期的利润不少于10万元”(i=1,2,3),则C1,C2,C3相互独立, 由(1)知,P(Ci)=P(X=30)+P(X=10)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3), 连续3个生产周期的利润均不少于10万元的概率为P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.83=0.512, 连续3个生产周期中有2个生产周期的利润不少于10万元的概率为P(C12C3)+P(C1C2C3)+P(C1C23)=3×0.82×0.2=0.384, 所以连续3个生产周期中至少有2个生产周期的利润不少于10万元的概率为0.512+0.384=0.896. 独立重复试验与二项分布(高频考点) 独立重复试验与二项分布是高考命题的热点,多以解答题的形式呈现,试题难度稍大,多为中高档题目. 高考对独立重复试验与二项分布的考查主要有以下两个命题角度: (1)已知二项分布,求二项分布列及均值; (2)已知随机变量服从二项分布,求某种情况下的概率. (2017·沈阳质量监测)某学校举行联欢会,所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖.甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张.每个节目投票时,甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票, 每人投三类票中的任何一类票的概率都为,且三人投票相互没有影响.若投票结果中至少有两张“获奖”票,则决定该节目最终获一等奖;否则,该节目不能获一等奖. (1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率; (2)求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和X的分布列及数学期望. 【解】 (1)设“某节目的投票结果是最终获一等奖”这一事件为A,则事件A包括:该节目可以获两张“获奖”票,或者获三张“获奖”票. 因为甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票,每人投三类票中的任何一类票的概率都为,且三人投票相互没有影响, 所以P(A)=C+C=. (2)所含“获奖”和“待定”票票数之和X的可能取值为0,1,2,3. P(X=0)==;P(X=1)=C==; P(X=2)=C==;P(X=3)==. 因此X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以X的数学期望为EX=0×+1×+2×+3×=2. (1)独立重复试验满足的条件 独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验.在这种试验中,每一次试验只有两种结果,即某事件要么发生,要么不发生,并且任何一次试验中发生的概率都是一样的. (2)二项分布满足的条件 ①每次试验中,事件发生的概率是相同的. ②各次试验中的事件是相互独立的. ③每次试验只有两种结果:事件要么发生,要么不发生. ④随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数. 角度一 已知二项分布,求二项分布列及均值 1.小王在某社交网络的朋友圈中,向在线的甲、乙、丙随机发放红包,每次发放1个. (1)若小王发放5元的红包2个,求甲恰得1个的概率; (2)若小王发放3个红包,其中5元的2个,10元的1个.记乙所得红包的总钱数为X,求X的分布列和期望. (1)设“甲恰得1个红包”为事件A, 则P(A)=C××=. (2)X的所有可能取值为0,5,10,15,20. P(X=0)==, P(X=5)=C××=, P(X=10)=×+×=, P(X=15)=C××=, P(X=20)==. 所以X的分布列为 X 0 5 10 15 20 P E(X)=0×+5×+10×+15×+20×=. 角度二 已知随机变量服从二项分布,求某种情况 下的概率 2.设随机变量X~B(2,p),Y~B(4,p),若P(X≥1)=,则P(Y≥2)的值为( ) A. B. C. D. B 因为随机变量X~B(2,p),Y~B(4,p),又P(X≥1)=1-P(X=0)=1-(1-p)2=,解得p=,所以Y~B,则P(Y≥2)=1-P(Y=0)-P(Y=1)=. 超几何分布 (2017·云南省第一次统一检测)某市教育与环保部门联合组织该市中学参加市中学生环保知识团体竞赛,根据比赛规则,某中学选拔出8名同学组成参赛队,其中初中学部选出的3名同学有2名女生;高中学部选出的5名同学有3名女生,竞赛组委会将从这8名同学中随机选出4人参加比赛. (1)设“选出的4人中恰有2名女生,而且这2名女生来自同一个学部”为事件A,求事件A的概率P(A); (2)设X为选出的4人中女生的人数,求随机变量X的分布列和数学期望. 【解】 (1)由已知,得P(A)==. 所以事件A的概率为. (2)由题意知,X服从超几何分布, 随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4. 由已知得P(X=k)=(k=1,2,3,4). 所以随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P 随机变量X的数学期望E(X)=1×+2×+3×+4×=. 超几何分布的特点 (1)对于服从某些特殊分布的随机变量,其分布列可直接应用公式给出. (2)超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数,随机变量取值的概率实质上是古典概型. 一个袋中有大小相同的黑球和白球共10个.已知从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是. (1)求白球的个数; (2)从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为X,求随机变量X的分布列和数学期望. (1)记“从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球”为事件A,设袋中白球的个数为x, 则P(A)=1-=,得到x=5. 故白球有5个. (2)X服从超几何分布,其中N=10,M=5,n=3, P(X=k)=,k=0,1,2,3. 于是可得其分布列为 X 0 1 2 3 P 则E(X)=0×+1×+2×+3×=. 正态分布 (1)(2017·长春质检)已知随机变量X服从正态分布N(1,σ2),若P(X>2)=0.15,则P(0≤X≤1)=( ) A.0.85 B.0.70 C.0.35 D.0.15 (2)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( ) (附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)≈68.27%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)≈95.45%) A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74% 【解析】 (1)P(0≤X≤1)=P(1≤X≤2)=0.5-P(X>2)=0.35. (2)由正态分布的概率公式知P(-3<ξ<3)≈0.682 7,P(-6<ξ<6)≈0.954 5,故P(3<ξ<6)===0.135 9 =13.59%,故选B. 【答案】 (1)C (2)B 正态分布下的概率计算常见的两类问题 (1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的知识主要是正态曲线关于直线x=μ对称,及曲线与x轴之间的面积为1. (2)利用3σ原则求概率问题时,要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ,σ进行对比联系,确定它们属于(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)中的哪一个. 1.设随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),函数f(x)=x2+4x+ξ没有零点的概率是,则μ等于________. 根据题意,函数f(x)=x2+4x+ξ没有零点时,Δ=16-4ξ<0,即ξ>4,根据正态曲线的对称性,当函数f(x)=x2+4x+ξ没有零点的概率是时,μ=4. 4 2.(2017·福建省毕业班质量检测)若随机变量X~N(μ,σ2),且P(X>5)=P(X<-1)=0.2,则P(2查看更多