高考理科数学复习练习作业88
题组层级快练(八十八)
1．若a，b，c∈R，且满足|a－c|
c； ②b＋c>a；
③a＋c>b; ④|a|＋|b|>|c|.
其中错误的个数( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 A
解析 ⇒∴①，②都正确，③不正确．
又|a－c|＝|c－a|≥|c|－|a|，∴|c|－|a||c|.④正确．
2．已知a，b∈R，ab>0，则下列不等式中不正确的是( )
A．|a＋b|≥a－b B．2≤|a＋b|
C．|a＋b|<|a|＋|b| D．|＋|≥2
答案 C
解析 当ab>0时，|a＋b|＝|a|＋|b|.
3．若2－m与|m|－3异号，则m的取值范围是( )
A．m>3 B．－33
答案 D
解析 方法一：2－m与|m|－3异号，所以(2－m)·(|m|－3)<0，所以(m－2)(|m|－3)>0.
所以或
解得m>3或0≤m<2或－3k恒成立，则实数k的取值范围是( )
A．k<1 B．k≥1
C．k>1 D．k≤1
答案 A
解析 由题意得k<(|x＋2|＋|x＋1|)min，而|x＋2|＋|x＋1|≥|x＋2－(x＋1)|＝1，所以k<1，故选A.
5．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，－1]∪[4，＋∞) B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)
C．[1，2] D．(－∞，1]∪[2，＋∞)
答案 A
解析 ∵|x＋3|－|x－1|≤|(x＋3)－(x－1)|＝4，
∴a2－3a≥4恒成立．∴a∈(－∞，－1]∪[4，＋∞)．
6．(2017·广州综合测试一)若不等式|x－a|<1的解集为{x|1－1时，f(x)＝f(x)min＝f(a)＝－a＋1＋2a＝5，解得a＝4.
9．(2017·江西九江一模)已知函数f(x)＝|x－3|－|x－a|.
(1)当a＝2时，解不等式f(x)≤－；
(2)若存在实数x，使得不等式f(x)≥a成立，求实数a的取值范围．
答案 (1){x|x≥} (2)(－∞，]
解析 (1)当a＝2时，f(x)＝|x－3|－|x－2|＝f(x)≤－等价于或或解得≤x<3，或x≥3，
所以原不等式的解集为{x|x≥}．
(2)由不等式的性质可知f(x)＝|x－3|－|x－a|≤|(x－3)－(x－a)|＝|a－3|.所以若存在实数x，使得f(x)≥a成立，则|a－3|≥a，解得a≤，故实数a的取值范围是(－∞，]．
10．(2017·辽宁大连双基考试)设函数f(x)＝|x－1|＋|x－3|.
(1)求不等式f(x)>2的解集；
(2)若不等式f(x)≤a(x＋)的解集非空，求实数a的取值范围．
答案 (1)(－∞，)∪(3，＋∞)
(2)(－∞，－)∪[，＋∞)
解析 (1)原不等式等价于或或
解得不等式的解集为(－∞，)∪(3，＋∞)．
(2)f(x)＝|x－1|＋|x－3|＝
f(x)图像如图所示，其中A(1，1)，B(3，2)，直线y＝a(x＋)绕点(－，0)旋转，
由图可得不等式f(x)≤a(x＋)的解集非空时，a的取值范围为(－∞，－)∪[，＋∞)．
11．(2017·河南郑州质量预测)设函数f(x)＝|x－4|＋|x－a|(a<4)．
(1)若f(x)的最小值为3，求a的值；
(2)求不等式f(x)≥3－x的解集．
答案 (1)1 (2)R
解析 (1)因为|x－4|＋|x－a|≥|(x－4)－(x－a)|＝|a－4|，
又a<4，所以当且仅当a≤x≤4时等号成立．
故|a－4|＝3，所以a＝1为所求．
(2)不等式f(x)≥3－x即不等式|x－4|＋|x－a|≥3－x(a<4)，
①当x4时，原不等式可化为x－4＋x－a≥3－x，
即x≥，由于a<4时，4>.所以，当x>4时，原不等式成立．
综合①②③可知：不等式f(x)≥3－x的解集为R.
12．(2017·湖北七市联考)设函数f(x)＝|x－a|，a∈R.
(1)若a＝1，解不等式f(x)≥(x＋1)；
(2)记函数g(x)＝f(x)－|x－2|的值域为A，若A⊆[－1，3]，求a的取值范围．
答案 (1)(－∞，]∪[3，＋∞) (2)[1，3]
解析 (1)由于a＝1，故f(x)＝
当x<1时，由f(x)≥(x＋1)，得1－x≥(x＋1)，解得x≤；
当x≥1时，f(x)≥(x＋1)，得x－1≥(x＋1)，解得x≥3.
综上，不等式f(x)≥(x＋1)的解集为(－∞，]∪[3，＋∞)．
(2)当a<2时，g(x)＝g(x)的值域A＝[a－2，2－a]，
由A⊆[－1，3]，得解得a≥1，又a<2，故1≤a<2；
当a≥2时，g(x)＝g(x)的值域A＝[2－a，a－2]，
由A⊆[－1，3]，得解得a≤3，又a≥2，故2≤a≤3.
综上，a的取值范围为[1，3]．
13．(2015·新课标全国Ⅱ)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：
(1)若ab>cd，则＋>＋；
(2)＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件．
答案 略
解析 (1)因为(＋)2＝a＋b＋2，(＋)2＝c＋d＋2，
由题设a＋b＝c＋d，ab>cd得(＋)2>(＋)2.
因此＋>＋.
(2)①若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.
因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.
由(1)得＋>＋.
②若＋>＋，则(＋)2>(＋)2，即
a＋b＋2>c＋d＋2.
因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.
因此|a－b|<|c－d|.
综上，＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件．
设f(x)＝|x－1|＋|x＋1|.
(1)求f(x)≤x＋2的解集；
(2)若不等式f(x)≥对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．
解析 (1)由f(x)≤x＋2，得
或或
解得0≤x≤2，所以f(x)≤x＋2的解集为{x|0≤x≤2}．
(2)＝≤＝3，当且仅当(1＋)(2－)≤0时，等号成立，由不等式f(x)≥对任意实数a≠0恒成立得|x－1|＋|x＋1|≥3，则或或解得x≤－或x≥.
