高考理科数学复习练习作业13
题组层级快练(十三)
1．函数f(x)＝x－的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．无数个
答案 C
解析 令f(x)＝0，解x－＝0，即x2－4＝0，且x≠0，则x＝±2.
2．(2017·郑州质检)函数f(x)＝lnx－的零点的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 C
解析 y＝与y＝lnx的图像有两个交点．
3．函数f(x)＝1－xlog2x的零点所在的区间是( )
A．(，) B．(，1)
C．(1，2) D．(2，3)
答案 C
解析 因为y＝与y＝log2x的图像只有一个交点，所以f(x)只有一个零点．又因为
f(1)＝1，f(2)＝－1，所以函数f(x)＝1－xlog2x的零点所在的区间是(1，2)．故选C.
4．函数f(x)＝的零点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 D
解析 依题意，在考虑x>0时可以画出y＝lnx与y＝x2－2x的图像，可知两个函数的图像有两个交点，当x≤0时，函数f(x)＝2x＋1与x轴只有一个交点，所以函数f(x)有3个零点．故选D.
5．若函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是( )
A．(1，3) B．(1，2)
C．(0，3) D．(0，2)
答案 C
解析 由条件可知f(1)f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，解之得0
0)的解的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 B
解析 (数形结合法)
∵a>0，∴a2＋1>1.而y＝|x2－2x|的图像如图，
∴y＝|x2－2x|的图像与y＝a2＋1的图像总有两个交点．
8．(2017·东城区期末)已知x0是函数f(x)＝2x＋的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则( )
A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0
答案 B
解析 设g(x)＝，由于函数g(x)＝＝－在(1，＋∞)上单调递增，函数h(x)＝2x在(1，＋∞)上单调递增，故函数f(x)＝h(x)＋g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在(1，＋∞)上只有唯一的零点x0，且在(1，x0)上f(x1)<0，在(x0，＋∞)上f(x2)>0，故选B.
9．(2017·湖北襄阳一中期中)已知a是函数f(x)＝2x－logx的零点．若00 D．f(x0)的符号不确定
答案 A
解析 因为函数f(x)＝2x－logx在(0，＋∞)上是增函数，a是函数f(x)＝2x－logx的零点，即f(a)＝0，所以当00，∴01，故选A.
11．若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋2)＝f(x)且x∈
[－1，1]时，f(x)＝1－x2，函数g(x)＝则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5，5]内的零点的个数为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
答案 B
解析 当x∈[－1，1]时，y＝f(x)的图像是一段开口向下的抛物线，y＝f(x)的最大值为1.∵f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是以2为周期的周期函数．f(x)和g(x)在[－5，5]内的图像如图所示，有8个交点，所以函数h(x)有8个零点．
12．函数y＝的图像与函数y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图像所有交点的横坐标之和等于( )
A．2 B．4
C．6 D．8
答案 D
解析 如图，两个函数图像都关于点(1，0)成中心对称，两个图像在[－2，4]上共8个公共点，每两个对应交点横坐标之和为2，故所有交点的横坐标之和为8.
13．(2017·沧州七校联考)给定方程()x＋sinx－1＝0，有下列四个命题：
p1：该方程没有小于0的实数解；
p2：该方程有有限个实数解；
p3：该方程在(－∞，0)内有且只有一个实数解；
p4：若x0是该方程的实数解，则x0>－1.
其中的真命题是( )
A．p1，p3 B．p2，p3
C．p1，p4 D．p3，p4
答案 D
解析 由()x＋sinx－1＝0，得sinx＝1－()x，令f(x)＝sinx，g(x)＝1－()x，在同一坐标系中画出两函数的图像如图，由图像知：p1错，p3，p4对，而由于g(x)＝1－()x递增，小于1，且以直线y＝1为渐近线，f(x)＝sinx在－1到1之间振荡，故在区间(0，＋∞)上，两者的图像有无穷多个交点，所以p2错，故选D.
14．若函数f(x)＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
答案 (0，1]
解析 当x>0时，由f(x)＝lnx＝0，得x＝1.因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x≤0时，函数f(x)＝2x－a有一个零点．令f(x)＝0，得a＝2x.因为0<2x≤20＝1，所以00，
∴f(x)在区间[－1，1]上有零点．
又f′(x)＝4＋2x－2x2＝－2(x－)2，当－1≤x≤1时，0≤f′(x)≤，
∴f(x)在[－1，1]上是单调递增函数．
∴f(x)在[－1，1]上有且只有一个零点．
17．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1仅有一个零点，求m的取值范围，并求出零点．
答案 m＝－2，零点是x＝0
解析 方法一：令2x＝t，则t>0，则g(t)＝t2＋mt＋1＝0仅有一正根或两个相等的正根，
而g(0)＝1>0，故
∴m＝－2.
方法二：令2x＝t，则t>0.
原函数的零点，即方程t2＋mt＋1＝0的根．
∴t2＋1＝－mt.∴－m＝＝t＋(t>0)．
有一个零点，即方程只有一根．
∵t＋≥2(当且仅当t＝即t＝1时取等号)，又y＝t＋在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增．
∴－m＝2即m＝－2时，只有一根．
注：方法一侧重二次函数，方法二侧重于分离参数．
1．(2017·郑州质检)[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知f(x)＝x－[x](x∈R)，g(x)＝log4(x－1)，则函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 B
解析 作出函数f(x)与g(x)的图像如图所示，发现有两个不同的交点，故选B.
2．函数f(x)＝x－()x的零点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 B
解析 因为y＝x在x∈[0，＋∞)上单调递增，y＝()x在x∈R上单调递减，所以f(x)＝x－()x在x∈[0，＋∞)上单调递增．又f(0)＝－1<0，f(1)＝>0，所以f(x)＝x－()x在定义域内有唯一零点，选B.
3．(2017·湖南株洲质检一)设数列{an}是等比数列，函数y＝x2－x－2的两个零点是a2，a3，则a1a4＝( )
A．2 B．1
C．－1 D．－2
答案 D
解析 因为函数y＝x2－x－2的两个零点是a2，a3，所以a2a3＝－2，由等比数列性质可知a1a4＝a2a3＝－2.故选D.
4．函数f(x)＝xcos2x在区间[0，2π]上的零点的个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
答案 D
解析 借助余弦函数的图像求解．f(x)＝xcos2x＝0⇒x＝0或cos2x＝0，又cos2x＝0在[0，2π]上有，，，，共4个根，故原函数有5个零点．
5．若函数f(x)＝xlnx－a有两个零点，则实数a的取值范围为( )
A．[0，) B．(0，)
C．(0，] D．(－，0)
答案 D
解析 令g(x)＝xlnx，h(x)＝a，则问题可转化成函数g(x)与h(x)的图像有两个交点．
g′(x)＝lnx＋1，令g′(x)<0，即lnx<－1，可解得00，即lnx>－1，可解得x>，所以，当0时，函数g(x)单调递增，由此可知当x＝时，g(x)min＝－.在同一坐标系中作出函数g(x)和h(x)的简图如图所示，据图可得－
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