高考理科数学复习练习作业61
题组层级快练(六十一)
1．若椭圆＋＝1过点(－2，)，则其焦距为( )
A．2 B．2
C．4 D．4
答案 D
解析 ∵椭圆过(－2，)，则有＋＝1，b2＝4，c2＝16－4＝12，c＝2，2c＝4.故选D.
2．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点分别为F1，F2，b＝4，离心率为.过F1的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为( )
A．10 B．12
C．16 D．20
答案 D
解析 如图，由椭圆的定义知△ABF2的周长为4a，又
e＝＝，即c＝a，∴a2－c2＝a2＝b2＝16.∴a＝5，△ABF2的周长为20.
3．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆C：x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋y2＝1 D.＋＝1
答案 A
解析 圆C的方程可化为(x－1)2＋y2＝16.
知其半径r＝4，∴长轴长2a＝4，∴a＝2.
又e＝＝，∴c＝1，b2＝a2－c2＝4－1＝3.∴椭圆的标准方程为＋＝1.
4．已知曲线C上的动点M(x，y)，向量a＝(x＋2，y)和b＝(x－2，y)满足|a|＋|b|＝6，则曲线C的离心率是( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 因为|a|＋|b|＝6表示动点M(x，y)到两点(－2，0)和(2，0)距离的和为6，所以曲线C是椭圆且长轴长2a＝6，即a＝3.又c＝2，∴e＝.
5．已知椭圆＋＝1的离心率e＝，则m的值为( )
A．3 B．3或
C. D.或
答案 B
解析 若焦点在x轴上，则有∴m＝3.
若焦点在y轴上，则有∴m＝.
6．已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2，0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
答案 B
解析 点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|.又AM是圆的半径，∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|.由椭圆的定义知，P的轨迹是椭圆．
7．(2017·河北邯郸一模)已知P是椭圆＋＝1(0
b>0)，因为椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10，所以根据椭圆的定义可得2a＝10⇒a＝5，则c＝＝4，e＝＝，故选B.
10．设F1，F2为椭圆的两个焦点，以F2为圆心作圆，已知圆F2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于点M，若直线MF1恰与圆F2相切，则该椭圆的离心率为( )
A.－1 B．2－
C. D.
答案 A
解析 由题意知∠F1MF2＝，|MF2|＝c，|F1M|＝2a－c，则c2＋(2a－c)2＝4c2，e2＋2e－2＝0，解得e＝－1.
11．(2017北京丰台期末)若F(c，0)为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点，椭圆C与直线＋＝1交于A，B两点，线段AB的中点在直线x＝c上，则椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 因为直线＋＝1在x，y轴上的截距分别为a，b，所以A(a，0)，B(0，b)．又线段AB的中点在直线x＝c上，所以c＝，即e＝＝.
12．(2017·浙江金丽衢十二校联考)已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点．若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A．[，1) B．[，]
C．[，1) D．(0，]
答案 C
解析 设P(x，y)，则|PF2|＝a－ex，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则|PF2|＝|F1F2|，∴a－ex＝2c，∴x＝＝.∵－a≤x≤a，∴≤a，∴≥，∴≤e<1.故椭圆C的离心率的取值范围是[，1)．
13．(2017·上海市十三校联考)若椭圆的方程为＋＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a＝________．
答案 4或8
解析 ①当焦点在x轴上时，10－a－(a－2)＝22，解得a＝4.②当焦点在y轴上时，a－2－(10－a)＝22，解得a＝8.
14．(2015·课标全国Ⅰ)一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．
答案 (x－)2＋y2＝
解析 设圆心为(a，0)(a>0)，则半径为4－a，则(4－a)2＝a2＋22，解得a＝，故圆的方程为(
x－)2＋y2＝.
15．(2016·课标全国Ⅲ)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为________．
答案
解析 设E(0，m)，则直线AE的方程为－＋＝1，由题意可知M(－c，m－)，(0，)和B(a，0)三点共线，则＝，化简得a＝3c，则C的离心率e＝＝.
16.如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的方程．
答案 (1) (2)＋＝1
解析 (1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形．
所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.所以a＝c，e＝＝.
(2)由题知A(0，b)，F2(1，0)，设B(x，y)，由＝2，解得x＝，y＝－.
代入＋＝1，得＋＝1.即＋＝1，解得a2＝3.所以椭圆方程为＋＝1.
17．(2014·新课标全国Ⅱ)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；
(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.
答案 (1) (2)a＝7，b＝2
解析 (1)根据c＝及题设知M，＝，2b2＝3ac.
将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝，＝－2(舍去)．故C的离心率为.
(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点．故＝4，即b2＝4a.①
由|MN|＝5|F1N|，得|DF1|＝2|F1N|.
设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则即
代入C的方程，得＋＝1.②
将①及c＝代入②得＋＝1.
解得a＝7，b2＝4a＝28.
故a＝7，b＝2.
1．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为，则该椭圆方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 D
解析 ∵2a＝12，＝，∴a＝6，c＝2，b2＝32.∴椭圆的方程为＋＝1.
2．(2014·大纲全国)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为( )
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 A
解析 利用椭圆的定义及性质列式求解．
由e＝，得＝①.又△AF1B的周长为4，由椭圆定义，得4a＝4，得a＝，代入①得c＝1，∴b2＝a2－c2＝2，故C的方程为＋＝1.
3．若椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为( )
A．－21 B．21
C．－或21 D.或21
答案 C
解析 若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝.由＝，即＝，得k＝－；
若a2＝4＋k，b2＝9，则c＝.由＝，即＝，解得k＝21.
4．若椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的两倍．则m的值为( )
A. B.
C．2 D．4
答案 A
解析 将原方程变形为x2＋＝1.
由题意知a2＝，b2＝1，∴a＝，b＝1.∴＝2，∴m＝.
5．(2016·北京海淀期末练习)已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2，若点P是椭圆C上的动点，则·的最大值为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 由椭圆方程知c＝＝1，所以F1(－1，0)，F2(1，0)．因为椭圆C上点A满足AF2⊥F1F2，则可设A(1，y0)，代入椭圆方程可得y02＝，所以y0＝±.
设P(x1，y1)，则＝(x1＋1，y1)，＝(0，y0)，
所以·＝y1y0.
因为点P是椭圆C上的动点，所以－≤y1≤，·的最大值为.故B正确．
6．如图，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，其中左焦点为F(－2，0)，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，则椭圆C的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 B
解析 设椭圆的焦距为2c，右焦点为F1，连接PF1，如图所示．
由F(－2，0)，得c＝2.由|OP|＝|OF|＝|OF1|，知PF1⊥PF.
在Rt△PFF1中，由勾股定理，得|PF1|＝＝＝8.
由椭圆定义，得|PF1|＋|PF|＝2a＝4＋8＝12，从而a＝6，得a2＝36，于是b2＝a2－c2＝36－(2)2＝16，所以椭圆C的方程为＋＝1.
7．(2017·贵州兴义第八中学第四次月考)设斜率为的直线l与椭圆＋＝1(a>b>0)交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 由题意知，直线l与椭圆＋＝1(a>b>0)两个交点的横坐标是－c，c，所以两个交点分别为(－c，－c)，(c，c)，代入椭圆得＋＝1，两边同乘2a2b2，则c2(2b2＋a2)＝2a2b2.
因为b2＝a2－c2，所以c2(3a2－2c2)＝2a4－2a2c2，所以＝2或.又因为0b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( )
A. B．2－
C.－2 D.－
答案 D
解析 设|F1F2|＝2c，|AF1|＝m，若△ABF1是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|＝|AF1|＝m，|BF1|＝m.由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a，即有4a＝2m＋m，即m＝(4－2)a，则|AF2|＝2a－m＝(2－2)a，在Rt△AF1F2中，|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2，即4c2＝4(2－)2a2＋4(－1)2a2，即有c2＝(9－6)a2，即c＝(－a，即e＝＝－，故选D.
9．(2013·辽宁)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，则C的离心率e＝________．
答案
解析 如图所示．
根据余弦定理|AF|2＝|BF|2＋|AB|2－2|AB|·|BF|cos∠ABF，即|BF|2－16|BF|＋64＝0，得|BF|＝8.
又|OF|2＝|BF|2＋|OB|2－2|OB|·|BF|cos∠ABF，得|OF|＝5.
根据椭圆的对称性|AF|＋|BF|＝2a＝14，得a＝7.
又|OF|＝c＝5，故离心率e＝.
10．(2017·山西协作体)若椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点与短轴的两个顶点组成一个面积为1的正方形，则椭圆C的内接正方形的面积为________．
答案
解析 由已知得，a＝1，b＝c＝，所以椭圆C的方程为x2＋＝1，设A(x0，y0)是椭圆C的内接正方形位于第一象限内的顶点，则x0＝y0，所以1＝x02＋2y02＝3x02，解得x02＝，所以椭圆C的内接正方形的面积S＝(2x0)2＝4x02＝.
11．已知P是椭圆＋＝1上的一点，求点P到点M(m，0)(m>0)的距离的最小值．
答案 ①0
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