【数学】2019届一轮复习北师大版混淆项的系数与二项式系数失误学案

【数学】2019届一轮复习北师大版混淆项的系数与二项式系数失误学案

‎ 专题九 计数原理 误区二：混淆项的系数与二项式系数失误 一、易错提醒 二项式定理是高中数学中的一个重要知识点,也是高考命题的热点,多以选择题、填空题的形式呈现,试题难度不大,多为容易题或中档题．不少同学在求解二项式定理问题时,常混淆的项的系数或二项式系数,本文对与此相关的几个问题进行对比分析,供同学们参考.‎ 二、典例精析 一、混淆特定项的系数与二项式系数 ‎(a＋b)n展开式中各项的二项式系数为：C( ＝0,1,2,…,n)．注意项的系数是指非字母因数所有部分,包含符号,二项式系数仅指C( ＝0,1,…,n)．‎ ‎【例1】的展开式中x2y3的系数是(　　)‎ A．－20　　　　　　　　　 B．－5‎ C．5 D．20‎ ‎【分析】先准确写出通项Tr＋1＝ Can－rbr,再把系数与字母分离出来(注意符号)‎ ‎【点评】已知展开式的某项,求特定项的系数．可由某项得出参数项,再由通项公式写出第r＋1项,由特定项得出r值,最后求出其参数．‎ ‎【小试牛刀】【广西南宁、梧州2017届高三毕业班摸底联考】在的展开式中,含的项的系数是（ ）‎ A．60 B．160 C.180 D．240‎ ‎【答案】D ‎【解析】二项式的通项公式为,‎ 令,则,所以含的项的系数是.故应选D 二、混淆系数最大值与二项式系数最大值 求二项式系数最大项：①如果n是偶数,则中间一项的二项式系数最大；②如果n是奇数,则中间两项(第项与第＋1项)的二项式系数相等并最大.(2)求展开式系数最大项：如求(a＋bx)n(a,b∈R)的展开式系数最大的项,一般是采用待定系数法,列出不等式组从而解出r,即得展开式系数最大的项.‎ ‎【例2】已知(＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992.‎ ‎(1)求的二项式系数最大的项；‎ ‎(2)求的展开式系数最大的项.‎ ‎【分析】先确定n的值,再求二项式系数最大的项与系数最大的项 ‎【解析】由题意知,22n－2n＝992,即(2n－32)(2n＋31)＝0,‎ ‎∴2n＝32(负值舍去),解得n＝5.‎ ‎(1)由二项式系数的性质知,的展开式中第6项的二项式系数最大,即C＝252.‎ ‎∴T6＝C(2x)5＝C25＝8064.‎ ‎【点评】注意题中是假设第r＋1项的系数最大,故求出r后,还要加1.‎ ‎【小试牛刀】的展开式中二项式系数最大的项是第 项,系数最大的项是第 项.‎ ‎【答案】6或7；7‎ ‎【解析】的展开式共有12项,二项式系数最大的项是正中间两项,即第6项与第7项；由于第6项的系数为负数,第7项的二项式系数与系数相等,故系数最大的项是第7 项.‎ 三、混淆系数之和与二项式系数之和 ‎1.(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n,即C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n.二项展开式中,偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,即C＋C＋C＋…＝C＋C ‎＋C＋…＝2n－1.‎ ‎2. 对形如(ax＋b)n,(ax2＋bx＋c)m(a,b,c∈R)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a,b∈R)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x＝y＝1即可.②若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝,偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.[ :学 ]‎ ‎【例3】若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9,且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39,则实数m的值为(　　)‎ A．1或－3 B．－1或3‎ C．1 D．－3‎ ‎【分析】分别令x＝0与x＝－2可得a0＋a1＋a2＋…＋a9与a0－a1＋a2－a3＋…－a9表达式,再根据题中条件,列出关于m的方程.‎ ‎【解析】令x＝0,得到a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2＋m)9,令x＝－2,得到a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝m9,所以有(2＋m)9m9＝39,即m2＋2m＝3,解得m＝1或－3.‎ ‎【点评】二项式定理给出的是一个恒等式,对于a,b的一切值都成立．因此,可将a,b设定为一些特殊的值．在使用赋值法时,令a,b等于多少时,应视具体情况而定,一般取“1、－1或0”,有时也取其他值．‎ ‎【小试牛刀】【贵州遵义市2017届高三第一次联考】若的展开式中各项系数的和2,则该展开式中的常数项为__________．‎ ‎【答案】40‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得,因此该展开式中的常数项为 三、迁移运用 ‎1．【四川省雅安市2018届高三下学期三诊】已知展开式的各个二项式系数的和为，则的展开式中的系数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵展开式的各个二项式系数的和为 ‎∴，则，即.‎ 设的通项公式为.‎ 令，则.∴的展开式中的系数为.故选A.‎ ‎2．【吉林省吉林市2018届高三第三次调研】若的展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎3．【新疆2018届高三第二次适应性模拟】若展开式中含项的系数为-80，则等于（ ）‎ A. 5 B. 6 C. 7 D. 8‎ ‎【答案】A ‎【解析】 由二项式的展开式为，‎ ‎ 令，即，‎ ‎ 经验证可得，故选A.‎ ‎4．【安徽省马鞍山市2018届高三第二次教学质量监测】二项式的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中的指数为整数的顶的个数为（ ）‎ A. 3 B. 5 C. 6 D. 7‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为展开式中只有第11项的二项式系数最大,所以n=20.二项式展开式的通项为 ‎，由题得为整数，所以故选D.‎ ‎5.【安徽省“皖南八校”2017届高三第二次联考】的展开式中的系数为（ ）‎ A．10 B．-30 C.-10 D．-20[ :学* * *X*X* ]‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得展开式中的系数为,选C.[ : xx ]‎ ‎6.【广东2017届高三上学期阶段测评】若,则的值为（ ）‎ A． B． C.253 D．126‎ ‎【答案】C ‎【解析】令,得,,∴.选C.[ : xx ]‎ ‎7.【河北唐山市2017届高三年级期末】在展开式中, 二项式系数的最大值为 ,含项的系数为,则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意,得,,所以,故选D．‎ ‎8. (2015·课标全国Ⅱ)(a＋x)(1＋x) 4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a＝____________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5,‎ 令x＝1,得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5,①‎ 令x＝－1,得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②‎ ‎①－②,得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5),‎ 即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1),所以8(a＋1)＝32,解得a＝3.‎ ‎9.设m为正整数,(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b,若13a＝7b,则m＝________.‎ ‎【答案】6‎ ‎10．【2016届贵州省贵阳市六中高三元月月考】已知,那么展开式中含项的系数为 ．‎ ‎【答案】135‎ ‎【解析】根据题意,,则中,由二项式定理的通项公式,可设含项的项是,可知,所以系数为．‎ ‎11【广东湛江市2017届高三上学期期中调研考试】若, 记,则的值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令,有,所以.‎ ‎12.【云南大理2017届高三第一次统测】的二次展开式中,所有项的二项式系数之和为256,则展开式中项的系数为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由二项式系数的性质可知,所以,展开式的通项公式,令得,所以展开式中项的系数为.‎ ‎13．【2016届山东省济南外国语学校高三上开学考试】已知的展开式中的系数与的展开式中的系数相等,则 ．学 ‎ ‎【答案】‎ ‎14．【2016届内蒙古赤峰二中高三上12月月考】已知关于x的二项式 展开式的二项式系数之和为32,常数项为80,则展开式的各项系数和为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】易知,所以二项式的通项公式为,则当r=3时,第四项为常数项,所以,解得．令二项式中x=1即得各项系数和．‎ ‎15.(1＋2x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x3与x4项的二项式系数相等,则系数最大项为________．‎ ‎【答案】672x5‎ ‎【解析】由于x3与x4项的二项式系数相等,则n＝7.∴T ＋1＝C(2x) ,‎ 由,得≤ ≤,∴ ＝5,∴系数最大项为C(2x)5＝672x5.‎