高考专题复习空间向量与立体几何王业康

高考专题复习空间向量与立体几何王业康

高考复习专题 向量与立体几何 2011.4‎ 专题要点 ‎1．利用向量证明平行问题 ‎（1）直线与直线的平行：设是两条不重合的直线，它们的方向向量分别为，那么。根据实数与向量积的定义：。‎ ‎（2）平面与平面平行可以转化两个平面的法向量平行：设两个不重合的平面的法向量分别为，那么。‎ ‎（3）直线与平面平行可以转化为直线的方向向量与平面的法向量垂直：设直线在平面外，是的一个方向向量，是平面的一个法向量，那么。‎ 另外，平面表示以为方向向量的直线与向量平行或在平面内，因此也可以由共面向量定理证明线面平行问题。‎ ‎2．利用向量证明垂直问题 ‎（1）线线垂直：设分别为直线的一个方向向量，那么；‎ ‎（2）线面垂直：设直线的方向向量为，平面的法向量为，那么。‎ ‎3．利用向量求解角度问题 ‎（1）异面直线所成的角：利用异面直线的方向向量的夹角来求异面直线所成的角。向量的夹角范围是，而两异面直线所成角的范围是，应注意加以区分。‎ ‎（2）直线与平面的夹角：利用直线的方向向量与平面的法向量的夹角求直线与平面的夹角。有：，。‎ ‎（3）二面角：设分别是二面角的面的法向量， 则 ＜＞就是所求二面角的平面角或其补角的大小（利用具体图形判断）。‎ ‎4．利用向量求解距离问题 立体几何中涉及到距离的问题比较多，如两点的距离、点与线的距离、点与面的距离、线与面的距离、两异面直线的距离问题等。此部分若用向量来处理，则思路较为简单。‎ 点到平面的距离：设平面α的一个法向量为，点P是平面α外一点，且Po∈α，则点P到平面α的距离是d＝.‎ 例题选讲 例1：如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，‎ ‎, , ,为的中点，为的中点 ‎（1）证明：直线；‎ ‎（2）求异面直线AB与MD所成角的大小； ‎ ‎（3）求点B到平面OCD的距离。‎ 方法一（综合法）略 方法二(向量法)‎ 作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系 ‎,‎ ‎(1)‎ 设平面OCD的法向量为,则 即 取,解得 ‎，‎ ‎(2)设与所成的角为,‎ ‎ , 与所成角的大小为 ‎(3)设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,‎ ‎ 由 , 得.所以点B到平面OCD的距离为 例2：如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，,E，F分别是BC, PC的中点. （1）证明：AE⊥PD; （2）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E—AF—C的余弦值.‎ ‎（1）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形.‎ 因为 E为BC的中点，所以AE⊥BC.‎ ‎ 又 BC∥AD，因此AE⊥AD.‎ 因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE.‎ 而PA平面PAD，AD平面PAD 且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD，‎ 又PD平面PAD. 所以 AE⊥PD.‎ ‎（2）（理）解：设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH.‎ 由（1）知AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角.‎ 在Rt△EAH中，AE=，所以 当AH最短时，∠EHA最大， 即当AH⊥PD时，∠EHA最大.‎ 此时tan∠EHA= AH=.又AD=2，所以∠ADH=45°，PA=2.‎ 由（1）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以E、F分别为BC、PC的中点，‎ 所以A（0，0，0），B（，-1，0），C（C，1，0），‎ D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（），‎ 所以 设平面AEF的一法向量为 则因此 ‎ 因为 BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，所以 BD⊥平面AFC，故 为平面AFC的一法向量.‎ 又 =（-），所以 cos＜m, ＞=‎ 因为 二面角E-AF-C为锐角，所以所求二面角的余弦值为 例3：正四棱锥S－ABCD中，O为底面中心，E为SA的中点，AB＝1，直线AD到平面SBC的距离等于．‎ S A B C D O E M x y z ‎（1）求斜高SM的长；（2）求平面EBC与侧面SAD所成锐二面角的大小；‎ 解法一：（略）（1）‎ 解法二：（1）建立空间坐标系（如图）∵底面边长为1，∴，，，‎ ‎． 设，平面SBC的一个法向，‎ 则，．‎ ‎∴，．‎ ‎∴y＝2h，n＝（0，2h，1）．‎ 而＝（0，1，0），由题意，得 ．解得．∴斜高 ‎（2）n＝（0，2h，1）＝，由对称性，面SAD的一个法向量为n1＝ ‎ 设平面EBC的一个法向量n2=（x，y，1），由，，得 ‎ 解得∴． ‎ 设所求的锐二面角为α，则，∴． ‎ 例4：已知平面，平面，△为等边三角形，，为的中点. (1) 求证：平面；(2) 求和平面所成角的正弦值.‎ 设，建立如图所示的坐标系，则 ‎.‎ ‎∵为的中点，∴. ‎ ‎ (1) 证明 ， ‎ ‎∵，平面，∴平面. ‎ ‎ (2) 设平面的法向量为，由可得：‎ ‎ ，取. 又，设和平面所成 的角为，则 .∴直线和平面所成角的正弦值为. ‎ 巩固练习：‎ ‎1.正方体的棱上到异面直线AB，的距离相等的点的个数为 4 ‎ ‎2. a、b、c为三条不重合的直线，、、为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（6）.其中正确的命题是 （1）；（5）‎ ‎3.在北纬45°线上，有甲、乙两地，它们分别在东经50°和140°线上，设地球的半径为R，则甲、乙两地的球面距离为 （将地球视为圆球体）‎ ‎2 ‎ ‎2 ‎ 侧(左)视图 ‎ ‎2 ‎ ‎2 ‎ ‎2 ‎ 正(主)视图 ‎ 俯视图 ‎ ‎4.如图在直三棱柱中，，，，E、F分别为的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为 ‎ ‎5. （文）一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ‎ ‎（理）在三棱柱中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是 60‎ ‎6. （文）已知为球的半径，过的中点且垂直于的平面截球面得到圆，若圆的面积为，则球的表面积等于__________________.‎ ‎（理）直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于 ‎ ‎7.四面体的一条棱长为x，其他各棱长为1，则四面体体积的最大值为 ‎ ‎8.关于棱锥有下列命题：（1）底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥；（2）所有侧棱都相等的棱锥一定是正棱锥；（3）一个棱锥可以有两条侧棱和底面垂直；（4）一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直.其中正确的命题个数为（ B ） A.0 B‎.1 C.2 D.3‎ ‎9.等边圆柱（轴截面是正方形）、球、正方体的体积相等，它们表面积的大小关系是（ A ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于2、4，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：‎ ‎①弦AB、CD可能相交于点M ②弦AB、CD可能相交于点N　　③MN的最大值为5 ④MN的最小值为l，其中真命题的个数为　( ) C A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎11.下列三个命题中错误的个数是 （ ）C ‎①经过球上任意两点，可以作且只可以作球的一个大圆；‎ ‎②球的面积是它的大圆面积的四倍；‎ ‎③球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长.‎ A.0 B. ‎1 C. 2 D.3‎ ‎12.O是半径为l的球心，点A、B、C在球面上，OA、OB、OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC的中点，则点E、F在该球面上的球面距离是＿＿ ‎ ‎13.SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆的圆心，底面圆的半径为10，C是SB的中点，∠AOB=60°，AC与底面所成角为45°，求此圆锥的侧面积和体积.‎ 解：取OB的中点D，连接CD、AD，则AD=，，∴CD=，∴SO=，SA=20 ‎ A B C D E F x y z P ‎∴圆锥的侧面积为， 体积为 ‎14.四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，AD=PD，‎ E，F分别CD、PB的中点。（1）求证：EF平面PAB；‎ ‎（2）设AB=BC，求AC与平面AEF所成角的大小。‎ ‎ （Ⅰ）证明：建立空间直角坐标系，设AD=‎ PD=1，AB=（），则E(a,0,0),C(‎2a,0,0),A(0,1,0),B(‎2a,1,0),P(0,0,1), . 得，，。‎ 由，得，即，‎ ‎ 同理，又， 所以，EF平面PAB。‎ ‎（Ⅱ）解：由，得，即。得，，。 有，，。‎ ‎ 设平面AEF的法向量为，‎ 由，解得。‎ 于是。 设AC与面AEF所成的角为，与的夹角为。‎ ‎ 则。‎ 得。所以，AC与平面AEF所成角的大小为。‎ ‎15.如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD//BC//FE，ABAD， AF=AB=BC=FE=AD=a==‎ ‎（1）求该五面体的体积；（2）求异面直线BF与DE所成的角的大小；‎ ‎（理）（3）求二面角A-CD-E的余弦值.‎ 解：（1）‎ 方法一：（2）解：由题设知，BF//CE，所以∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角。设P为AD的中点，连结EP，PC。因为FEAP，所以FAEP，同理ABPC。又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD。而PC，AD都在平面ABCD内,故EP⊥PC，EP⊥AD。由AB⊥AD，可得PC⊥AD。设FA=a，则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=，故∠CED=60°。所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60° ‎ 理（3）‎ 由（2）可得，‎ 方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，点为坐标原点。设依题意得 ‎ ‎ ‎ ‎（2） ‎ 所以异面直线与所成的角的大小为.‎ 理（3） ‎ 又由题设，平面的一个法向量为 ‎ 高考复习专题 向量与立体几何 2011.4‎ 专题要点 ‎1．利用向量证明平行问题 ‎（1）直线与直线的平行：设是两条不重合的直线，它们的方向向量分别为，那么。根据实数与向量积的定义：。‎ ‎（2）平面与平面平行可以转化两个平面的法向量平行：设两个不重合的平面的法向量分别为，那么。‎ ‎（3）直线与平面平行可以转化为直线的方向向量与平面的法向量垂直：设直线在平面外，是的一个方向向量，是平面的一个法向量，那么。‎ 另外，平面表示以为方向向量的直线与向量平行或在平面内，因此也可以由共面向量定理证明线面平行问题。‎ ‎2．利用向量证明垂直问题 ‎（1）线线垂直：设分别为直线的一个方向向量，那么；‎ ‎（2）线面垂直：设直线的方向向量为，平面的法向量为，那么。‎ ‎3．利用向量求解角度问题 ‎（1）异面直线所成的角：利用异面直线的方向向量的夹角来求异面直线所成的角。向量的夹角范围是，而两异面直线所成角的范围是，应注意加以区分。‎ ‎（2）直线与平面的夹角：利用直线的方向向量与平面的法向量的夹角求直线与平面的夹角。有：，。‎ ‎（3）二面角：设分别是二面角的面的法向量， 则 ＜＞就是所求二面角的平面角或其补角的大小（利用具体图形判断）。‎ ‎4．利用向量求解距离问题 立体几何中涉及到距离的问题比较多，如两点的距离、点与线的距离、点与面的距离、线与面的距离、两异面直线的距离问题等。此部分若用向量来处理，则思路较为简单。‎ 点到平面的距离：设平面α的一个法向量为，点P是平面α外一点，且Po∈α，则点P到平面α的距离是d＝.‎ 例题选讲 例1：如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，‎ ‎, , ,为的中点，为的中点 ‎（1）证明：直线；‎ ‎（2）求异面直线AB与MD所成角的大小； （3）求点B到平面OCD的距离。‎ 例2：如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，‎ ‎,E，F分别是BC, PC的中点. （1）证明：AE⊥PD; ‎ ‎ （2）（理）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正 切值为，求二面角E—AF—C的余弦值.‎ S A B C D O E M x y z 例3：正四棱锥S－ABCD中，O为底面中心，E为SA的中点，AB＝1，直线AD到平面SBC的距离等于．‎ ‎（1）求斜高SM的长；（2）求平面EBC与侧面SAD所成锐二面角的大小；‎ 例4：已知平面，平面，△为等边三角形，，为的中点. (1) 求证：平面；(2) 求和平面所成角的正弦值.‎ 巩固练习：‎ ‎1.正方体的棱上到异面直线AB，的距离相等的点的个数为 ‎ ‎2. a、b、c为三条不重合的直线，、、为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（6）.其中正确的命题是 ‎ ‎3.在北纬45°线上，有甲、乙两地，它们分别在东经50°和140°线上，设地球的半径为R，则甲、乙两地的球面距离为 （将地球视为圆球体）‎ ‎2 ‎ ‎2 ‎ 侧(左)视图 ‎ ‎2 ‎ ‎2 ‎ ‎2 ‎ 正(主)视图 ‎ 俯视图 ‎ ‎4.如图在直三棱柱中，，，，E、F分别为的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为 ‎ ‎5. （文）一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ‎ ‎（理）在三棱柱中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是 ‎ ‎6. （文）已知为球的半径，过的中点且垂直于的平面截球面得到圆，若圆的面积为，则球的表面积等于__________________.‎ ‎（理）直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于 ‎ ‎7.四面体的一条棱长为x，其他各棱长为1，则四面体体积的最大值为 ‎ ‎8.关于棱锥有下列命题：（1）底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥；（2）所有侧棱都相等的棱锥一定是正棱锥；（3）一个棱锥可以有两条侧棱和底面垂直；（4）一个棱锥可以有两个侧面和底面垂直.其中正确的命题个数为（ ） A.0 B‎.1 C.2 D.3‎ ‎9.等边圆柱（轴截面是正方形）、球、正方体的体积相等，它们表面积的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于2、4，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：‎ ‎①弦AB、CD可能相交于点M ②弦AB、CD可能相交于点N　　③MN的最大值为5 ④MN的最小值为l，其中真命题的个数为　( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎11.下列三个命题中错误的个数是 （ ）‎ ‎①经过球上任意两点，可以作且只可以作球的一个大圆；‎ ‎②球的面积是它的大圆面积的四倍；‎ ‎③球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长.‎ A.0 B. ‎1 C. 2 D.3‎ ‎12.O是半径为l的球心，点A、B、C在球面上，OA、OB、OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC的中点，则点E、F在该球面上的球面距离是＿＿ ‎ ‎13.SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆的圆心，底面圆的半径为10，C是SB的中点，∠AOB=60°，AC与底面所成角为45°，求此圆锥的侧面积和体积.‎ A B C D E F x y z P ‎14.四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，AD=PD，‎ E，F分别CD、PB的中点。（1）求证：EF平面PAB；‎ ‎（2）设AB=BC，求AC与平面AEF所成角的大小。‎ ‎15.如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD//BC//FE，ABAD， AF=AB=BC=FE=AD=a==‎ ‎（1）求该五面体的体积；（2）求异面直线BF与DE所成的角的大小；‎ ‎（理）（3）求二面角A-CD-E的余弦值.‎