【数学】2018届一轮复习北师大版三角恒等变换与解三角形教案
第 2 讲 三角恒等变换与解三角形
利用三角恒等变换化简、求值 自主练透 夯实双基
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；
(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；
(3)tan(α±β)＝
tan α ± tan β
1 ∓ tan αtan β.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcos α；
(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
(3)tan 2α＝
2tan α
1－tan2α.
[题组通关]
1．(2016·高考全国卷丙)若 tan θ＝－
1
3，则 cos 2θ＝( )
A．－
4
5 B．－
1
5
C.
1
5 D.
4
5
D [解析] 法一：(通性通法)由 tan θ＝－
1
3，得 sin θ＝－
10
10 ，cos θ＝
3 10
10 或 sin θ＝
10
10 ，cos θ＝－
3 10
10 ，所以 cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝
4
5，故选 D.
法二：(光速解法)cos 2θ＝
cos2θ－sin2θ
cos2θ＋sin2θ＝
1－tan2θ
1＋tan2θ＝
1－(－1
3 )2
1＋(－1
3 )2
＝4
5.
2．(2016·广州市综合测试(一))已知 f(x)＝sin(x＋π
6 )，若 sin α＝
3
5(π
2 < α < π)，则 f(α＋ π
12)
＝( )
A．－
7 2
10 B．－
2
10
C.
2
10 D.
7 2
10
B [解析] 因为 sin α＝
3
5(π
2 < α < π)，所以 cos α＝－
4
5，所以 f(α＋ π
12)＝sin(α＋ π
12＋π
6)＝
sin(α＋π
4 )＝
2
2 sin α＋
2
2 cos α＝－ 2
10.
3．(2016·河南省六市第一次联考)已知 cos (α－π
6 )＋sin α＝
4 3
5 ，则 sin (α＋7π
6 )的值是
________．
[解析] 由 cos(α－π
6 )＋sin α＝
4 3
5 ，可得
3
2 cos α＋
1
2sin α＋sin α＝
4 3
5 ，即
3
2sin α＋
3
2 cos
α＝
4 3
5 ，所以 3sin(α＋π
6 )＝4 3
5 ，sin(α＋π
6 )＝
4
5，所以 sin(α＋7π
6 )＝－sin(α＋π
6 )＝－
4
5.
[答案] －
4
5
三角函数恒等变换“四大策略”
(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等；
(2)项的分拆与角的配凑：如 sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β 等；
(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；
(4)弦、切互化：一般是切化弦.
利用正、余弦定理解三角形 高频考点 多维探明
1．正弦定理及其变形
在△ABC 中，
a
sin A＝
b
sin B＝
c
sin C＝2R(R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a＝
2Rsin A，sin A＝
a
2R，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C 等．
2．余弦定理及其变形
在△ABC 中，a2＝b2＋c2－2bccos A；
变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝
b2＋c2－a2
2bc .
3．三角形面积公式
S△ABC＝
1
2absin C＝
1
2bcsin A＝
1
2acsin B.
判断三角形的形状
(2016·贵阳市监测考试)在△ABC 中，内角 A、B、C 所对边分别是 a、b、c，若 sin2
B
2＝
c－a
2c ，则△ABC 的形状一定是________．
【解析】 由题意，得
1－cos B
2 ＝c－a
2c ，
即 cos B＝
a
c，又由余弦定理，得
a
c＝
a2＋c2－b2
2ac ，整理得 a2＋b2＝c2，所以△ABC 为直角
三角形．
【答案】 直角三角形
应用正、余弦定理进行边角计算
在△ABC 中，A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 c－b＝2bcos A.
(1)若 a＝2 6，b＝3，求 c；
(2)若 C＝π
2，求角 B.
【解】 (1)由 c－b＝2bcos A 及余弦定理 cos A＝
b2＋c2－a2
2bc ，
得 c－b＝2b·
b2＋c2－a2
2bc ＝
b2＋c2－a2
c ，即 a2＝b2＋bc，
所以(2 6)2＝32＋3c，解得 c＝5.
(2)因为 c－b＝2bcos A，
所以由正弦定理得 sin C－sin B＝2sin Bcos A，
又 C＝π
2，所以 1－sin B＝2sin Bcos A，
所以 1－sin B＝2sin Bcos(π
2－B )，
所以 1－sin B＝2sin2B，即(2sin B－1)(sin B＋1)＝0，
所以 sin B＝
1
2或 sin B＝－1(舍去)，
因为 0
0，所以 cos
B＝
4
5.
(1)由 cos B＝
4
5，得 sin B＝
3
5，
因为 sin A＝2
5，所以
a
b＝
sin A
sin B＝
2
3，又 a＋b＝10，
解得 a＝4.
(2)因为 b2＝a2＋c2－2accos B，b＝3 5，a＝5，
所以 45＝25＋c2－8c，
即 c2－8c－20＝0，
解得 c＝10 或 c＝－2(舍去)，
所以 S＝
1
2acsin B＝15.
正、余弦定理的实际应用 共研典例 类题通
法
(2015·高考湖北卷)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测
得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30°的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏
北 75°的方向上，仰角为 30°，则此山的高度 CD＝________m.
【解析】 由题意，在△ABC 中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故
∠ACB＝45°.
又 AB＝600 m，故由正弦定理得
600
sin 45°＝ BC
sin 30°，
解得 BC＝300 2 m.
在 Rt△BCD 中，CD＝BC·tan 30°
＝300 2×
3
3 ＝100 6(m)．
【答案】 100 6
应用三角知识解决实际问题的模型
[题组通关]
1．(2016·湖北七市(州)协作体联考)如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的 A，B
两点处进行测量，在点 A 处测得塔顶 C 在西偏北 20°的方向上，仰角为 60°；在点 B 处测
得塔顶 C 在东偏北 40°的方向上，仰角为 30°.若 A，B 两点相距 130 m，则塔的高度 CD＝
________m.
[解析] 分析题意可知，设 CD＝h，则 AD＝
h
3，BD＝ 3h，在△ADB 中，∠ADB＝180°－
20°－40°＝120°，所以由余弦定理得 AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos 120°，可得 130 2＝
3h2＋
h2
3 －2· 3h·
h
3·(－1
2 )，
解得 h＝10 39，故塔的高度为 10 39 m.
[答案] 10 39
2．如图所示，位于东海某岛的雷达观测站 A，发现其北偏东 45°与观测站 A 距离 20 2
海里的 B 处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站 A 北偏东 θ(45°
<θ<90°)的 C 处，且 sin θ＝
4
5.已知 A、C 两处的距离为 10 海里，则该货船的船速为________
海里/小时．
[解析] 因为 sin θ＝
4
5，45°<θ<90°，所以 cos θ＝
3
5，cos(θ－45°)＝
2
2 ×
3
5＋
2
2 ×
4
5＝
7 2
10 ，在△ABC 中，BC2＝800＋100－2×20 2×10×
7 2
10 ＝340，所以 BC＝2 85，该货船的
船速为 4 85海里/小时．
[答案] 4 85
课时作业
1．(2016·武汉市武昌区调研)已知 cos(π－α)＝
4
5，且 α 为第三象限角，则 tan 2α 的值等
于( )
A.
3
4 B．－
3
4
C.
24
7 D．－
24
7
C [解析] 因为 cos α＝－4
5，且 α 为第三象限角，所以 sin α＝－
3
5，tan α＝
3
4，tan 2α＝
2tan α
1－tan2α＝
3
2
1－ 9
16
＝
24
7 ，故选 C.
2．(2016·广州市五校联考)在△ABC 中，AB＝3，BC＝ 13，AC＝4，则边 AC 上的高为
( )
A.
3 2
2 B.
3 3
2
C.
3
2 D．3 3
B [解析] 由题意可得 cos A＝
AB2＋AC2－BC2
2AB·AC ＝
1
2，所以 sin A＝ 1－(1
2 )2
＝
3
2 ，所
以边 AC 上的高 h＝ABsin A＝
3 3
2 .
3. 已知 2sin 2α＝1＋cos 2α，则 tan 2α＝( )
A．－
4
3 B.
4
3
C．－
4
3或 0 D.4
3或 0
D [解析] 由 2sin 2α＝1＋cos 2α 得
4sin αcos α＝2cos2α，所以 cos α(2sin α－cos α)＝0，
所以 cos α＝0 或 tan α＝
1
2.
由 cos α＝0 知 α＝2kπ±π
2(k∈Z)，所以 tan 2α＝0；
由 tan α＝
1
2知 tan 2α＝
4
3.
4．(2016·东北四市联考(二))已知 sin(π
6－α )＝cos(π
6＋α )，则 cos 2α＝( )
A．1 B．－1
C.
1
2 D．0
D [解析] 因为 sin (π
6－α )＝cos(π
6＋α )，所以
1
2cos α－
3
2 sin α＝
3
2 cos α－
1
2sin α，即
(1
2－ 3
2 )sin α＝－ (1
2－ 3
2 )cos α，所以 tan α＝
sin α
cos α＝－1，所以 cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝
cos2α－sin2α
sin2α＋cos2α＝
1－tan2α
tan2α＋1＝0.
5．(2016·海口调研测试)如图，在△ABC 中，C＝ π
3，BC＝4，点 D 在边 AC 上，AD＝
DB，DE⊥AB，E 为垂足．若 DE＝2 2，则 cos A 等于( )
A.2 2
3 B.
2
4
C.
6
4 D.
6
3
C [解析] 依题意得，BD＝AD＝
DE
sin A＝
2 2
sin A，∠BDC＝∠ABD＋A＝2A.在△BCD
中 ，
BC
sin ∠BDC＝
BD
sin C，
4
sin 2A＝
2 2
sin A×
2
3＝
4 2
3sin A， 即
4
2sin Acos A＝
4 2
3sin A，由此解得 cos A＝
6
4 ，选 C.
6．(2016·石家庄市教学质量检测(二))设 α，β∈[0，π]，且满足 sin αcos β－cos αsin β＝
1，则 sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为( )
A．[－ 2，1] B．[－1， 2 ]
C．[－1，1] D．[1， 2 ]
C [解析] 因为 sin αcos β－cos αsin β＝1，即 sin(α－β)＝1，α，β∈[0，π]，所以 α－β＝
π
2，又{0 ≤ α ≤ π
0 ≤ β＝α－π
2 ≤ π，则π
2≤α≤π，所以 sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin(2α－α＋π
2)＋sin(α－
2α＋π)＝cos α＋sin α＝ 2sin(α＋π
4 )，因为π
2≤α≤π，所以
3π
4 ≤α＋π
4≤
5π
4 ，所以－1≤ 2sin
(α＋π
4 )≤1，即所求取值范围为[－1，1]，故选 C.
7．在△ABC 中，B＝ π
3，AB＝2，D 为 AB 中点，△BCD 的面积为
3 3
4 ，则 AC 等于
________．
[解析] 因为 S△BCD＝
1
2BD·BCsin B＝
1
2×1×BC·sin π
3＝
3 3
4 ，所以 BC＝3.由余弦定理
得 AC2＝4＋9－2×2×3cosπ
3＝7，所以 AC＝ 7.
[答案] 7
8．(2015·高考福建卷)若锐角△ABC 的面积为 10 3，且 AB＝5，AC＝8，则 BC 等于
________．
[解析] 由面积公式，得 S＝
1
2×AB×AC×sin A＝10 3，
所以 sin A＝
20 3
5 × 8＝
3
2 .因为 A∈(0，π
2)，所以 A＝π
3.
由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos A
＝25＋64－2×5×8×cosπ
3＝49，所以 BC＝7.
[答案] 7
9．某同学骑电动车以 24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶，在点 A 处测得电视塔 S
在电动车的北偏东 30°方向上，15 min 后到点 B 处，测得电视塔 S 在电动车的北偏东 75°
方向上，则点 B 与电视塔的距离是________．
[解析] 如图，由题意知 AB＝24×
15
60＝6，在△ABS 中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝
180°－75°＝105°，所以∠ASB＝45°，由正弦定理知
BS
sin 30°＝
AB
sin 45°，所以 BS＝
AB·sin 30°
sin 45° ＝3 2.
[答案] 3 2 km
10．(2016·山西省第二次四校联考)在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，
且 acos B－bcos A＝
1
2c，当 tan(A－B)取最大值时，角 B 的值为________．
[解析] 由 acos B－bcos A＝
1
2c 及正弦定理，得 sin Acos B－sin Bcos A＝
1
2sin C＝
1
2sin(A＋
B)＝1
2(sin Acos B＋cos Asin B)，整理得 sin Acos B＝3cos Asin B，即 tan A＝3tan B，易得 tan
A>0，tan B>0，所以 tan(A－B)＝
tan A－tan B
1＋tan Atan B＝
2tan B
1＋3tan2B＝
2
1
tan B＋3tan B
≤
2
2 3＝
3
3 ，
当且仅当
1
tan B＝3tan B，即 tan B＝
3
3 时，tan(A－B)取得最大值，所以 B＝π
6.
[答案] π
6
11．已知 α，β∈(0，π)，且 tan α＝2，cos β＝－
7 2
10 .
(1)求 cos 2α 的值；
(2)求 2α－β 的值．
[解] (1)因为 tan α＝2，所以
sin α
cos α＝2，即 sin α＝2cos α.
又 sin2α＋cos2α＝1，解得 sin2α＝
4
5，cos2α＝
1
5.
所以 cos 2α＝cos2α－sin2α＝－
3
5.
(2)因为 α∈(0，π)，且 tan α＝2，所以 α∈(0，π
2 ).
又 cos 2α＝－
3
5<0，故 2α∈(π
2，π )，sin 2α＝
4
5.
由 cos β＝－
7 2
10 ，β∈(0，π)，得 sin β＝
2
10，β∈(π
2，π ).
所以 sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β
＝
4
5×(－7 2
10 )－(－3
5 )×
2
10＝－
2
2 .
又 2α－β∈(－π
2，π
2)，所以 2α－β＝－π
4.
12．(2016·合肥市第二次质量检测)在△ABC 中，三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，
b，c，已知函数 f(x)＝sin(2x＋B)＋ 3cos(2x＋B)为偶函数，b＝f( π
12 ).
(1)求 b；
(2)若 a＝3，求△ABC 的面积 S.
[解] (1)f(x)＝sin(2x＋B)＋ 3cos(2x＋B)＝2sin(2x＋B＋π
3)，
由 f(x)为偶函数可知 B＋π
3＝π
2＋kπ，k∈Z，
所以 B＝π
6＋kπ，k∈Z.又 0
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