高考数学复习 17-18版 第3章 第15课 基本不等式及其应用

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高考数学复习 17-18版 第3章 第15课 基本不等式及其应用

第15课 基本不等式及其应用 ‎[最新考纲]‎ 内容 要求 A B C 基本不等式及其应用 ‎√‎ ‎1.基本不等式≤ ‎(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0.‎ ‎(2)等号成立的条件:当且仅当a=b.‎ ‎2.几个重要的不等式 ‎(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R);‎ ‎(2)+≥2(a,b同号且不为零);‎ ‎(3)ab≤2(a,b∈R);‎ ‎(4)2≤(a,b∈R).‎ ‎3.算术平均数与几何平均数 设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为,几何平均数为,基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.‎ ‎4.利用基本不等式求最值问题 已知x>0,y>0,则 ‎(1)如果xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是2(简记:积定和最小).‎ ‎(2)如果x+y是定值q,那么当且仅当x=y时,xy有最大值是 ‎(简记:和定积最大).‎ ‎1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)函数y=x+的最小值是2.(  )‎ ‎(2)函数f(x)=cos x+,x∈的最小值等于4.(  )‎ ‎(3)x>0,y>0是+≥2的充要条件.(  )‎ ‎(4)若a>0,则a3+的最小值为2.(  )‎ ‎[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×‎ ‎2.若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是________.(填序号)‎ ‎①a2+b2>2ab;‎ ‎②a+b≥2;‎ ‎③+>;‎ ‎④+≥2.‎ ‎④ [∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,∴①错误;对于②,③,当a<0,b<0时,明显错误.‎ 对于④,∵ab>0,∴+≥2=2.]‎ ‎3.若a,b都是正数,则的最小值为________.‎ ‎9 [∵a,b都是正数,∴=5++≥5+2=9,当且仅当b=‎2a>0时取等号.]‎ ‎4.若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取最小值,则a等于________.‎ ‎3 [当x>2时,x-2>0,f(x)=(x-2)++2≥2 ‎+2=4,当且仅当x-2=(x>2),即x=3时取等号,即当f(x)取得最小值时,x=3,即a=3.]‎ ‎5.(教材改编)若把总长为‎20 m的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是__________m2.‎ ‎25 [设矩形的一边为x m,矩形场地的面积为y,‎ 则另一边为×(20-2x)=(10-x)m,‎ 则y=x(10-x)≤2=25,‎ 当且仅当x=10-x,即x=5时,ymax=25.]‎ 利用基本不等式求最值 角度1 配凑法求最值 ‎ (1)已知x<,则f(x)=4x-2+的最大值为________. ‎ ‎【导学号:62172084】‎ ‎(2)(2017·无锡模拟)若实数x,y满足x>y>0,且log2x+log2y=1,则的最小值为________.‎ ‎(1)1 (2)4 [(1)因为x<,所以5-4x>0,‎ 则f(x)=4x-2+=-+3≤-2+3=1.‎ 当且仅当5-4x=,即x=1时,等号成立.‎ 故f(x)=4x-2+的最大值为1.‎ ‎(2)由log2x+log2y=1得xy=2.‎ ‎∴==(x-y)+.‎ 又x>y,∴x-y>0.‎ ‎∴(x-y)+≥2=4,‎ 当且仅当x-y=,即x-y=2时等号成立.‎ 故的最小值为4.]‎ 角度2 常数代换或消元法求最值 ‎ (1)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是________.‎ ‎(2)设a+b=2,b>0,则+取最小值时,a的值为________.‎ ‎(1)5 (2)-2 [(1)法一:由x+3y=5xy可得+=1,‎ ‎∴3x+4y=(3x+4y) ‎=+++≥+=5.‎ ‎(当且仅当=,即x=1,y=时,等号成立),‎ ‎∴3x+4y的最小值是5.‎ 法二:由x+3y=5xy,得x=,‎ ‎∵x>0,y>0,∴y>.‎ ‎∴3x+4y=+4y ‎=+4y ‎=+·+4≥+2=5,‎ 当且仅当y=时等号成立,‎ ‎∴(3x+4y)min=5.‎ ‎(2)∵a+b=2,‎ ‎∴+=+ ‎=+ ‎=++ ‎≥+2=+1,‎ 当且仅当=时等号成立.‎ 又a+b=2,b>0,‎ ‎∴当b=-2a,a=-2时,+取得最小值.]‎ 角度3 不等式的综合应用 ‎ (1)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当取得最大值时,+-的最大值为________.‎ ‎(2)设f(x)=ln x,0p; ④p=r>q.‎ ‎(1)1 (2)② [==≤=1,当且仅当x=2y时等号成立,因此z=4y2-6y2+4y2=2y2,所以+-=-=-2+1≤1.‎ ‎(2)因为b>a>0,故>.又f(x)=ln x(x>0)为增函数,所以f>f(),即q>p.又r=(f(a)+f(b))=(ln a+ln b)=ln =p,∴p=r0,b>0,a+b=1,求证:‎ ‎(1)++≥8;‎ ‎(2)≥9. 【导学号:62172085】‎ ‎[证明] (1)++=2.‎ ‎∵a+b=1,a>0,b>0,‎ ‎∴+=+=2++≥2+2=4,‎ ‎∴++≥8(当且仅当a=b=时等号成立).‎ ‎(2)法一:∵a>0,b>0,a+b=1,‎ ‎∴1+=1+=2+,同理1+=2+,‎ ‎∴= ‎=5+2≥5+4=9,‎ ‎∴≥9(当且仅当a=b=时等号成立).‎ 法二:=1+++,‎ 由(1)知,++≥8,‎ 故=1+++≥9.‎ ‎[规律方法] 1.“‎1”‎的代换是解决问题的关键,代换变形后能使用基本不等式是代换的前提,不能盲目变形.‎ ‎2.利用基本不等式证明不等式,关键是所证不等式必须是有“和”式或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,达到放缩的效果,必要时,也需要运用“拆、拼、凑”的技巧,同时应注意多次运用基本不等式时等号能否取到.‎ ‎[变式训练1] 设a,b均为正实数,求证:++ab≥2.‎ ‎[证明] 由于a,b均为正实数,‎ 所以+≥2=,‎ 当且仅当=,即a=b时等号成立,‎ 又因为+ab≥2=2,‎ 当且仅当=ab时等号成立,‎ 所以++ab≥+ab≥2,‎ 当且仅当即a=b=时取等号.‎ 基本不等式的实际应用 ‎ 运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米,按交通法规限制50≤x≤100(单位:千米/时).假设汽油的价格是每升2元,而汽车每小时耗油升,司机的工资是每小时14元.‎ ‎(1)求这次行车总费用y关于x的表达式;‎ ‎(2)当x为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值.‎ ‎[解] (1)设所用时间为t=(h),‎ y=×2×+14×,x∈[50,100].‎ 所以这次行车总费用y关于x的表达式是 y=+x,x∈.‎ ‎(或y=+x,x∈).‎ ‎(2)y=+x≥26 ,‎ 当且仅当=x,‎ 即x=18,等号成立.‎ 故当x=18千米/时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为26元.‎ ‎[规律方法] 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.‎ ‎2.根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需利用基本不等式求得函数的最值.‎ ‎3.在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.‎ ‎[变式训练2] 某化工企业2016年年底投入100万元,购入一套污水处理设备.该设备每年的运转费用是0.5万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为2万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增加2万元.设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位:万元).‎ ‎(1)用x表示y;‎ ‎(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时,企业需重新更换新的污水处理设备.则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备.‎ ‎[解] (1)由题意得,‎ y=,‎ 即y=x++1.5(x∈N+).‎ ‎(2)由基本不等式得:‎ y=x++1.5≥2+1.5=21.5,‎ 当且仅当x=,即x=10时取等号.‎ 故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备.‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,因此可以用在一些不等式的证明中,还可以用于求代数式的最值或取值范围.如果条件等式中,同时含有两个变量的和与积的形式,就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化,然后通过解不等式进行求解.‎ ‎2.基本不等式的两个变形:‎ ‎(1)≥2≥ab(a,b∈R,当且仅当a=b时取等号).‎ ‎(2)≥≥≥(a>0,b>0,当且仅当a=b时取等号).‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1.使用基本不等式求最值,“一正”“二定”“三相等”‎ 三个条件缺一不可.‎ ‎2.“当且仅当a=b时等号成立”的含义是“a=b”是等号成立的充要条件,这一点至关重要,忽视它往往会导致解题错误.‎ ‎3.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.‎ 课时分层训练(十五)‎ A组 基础达标 ‎(建议用时:30分钟)‎ 一、填空题 ‎1.下列命题中正确的是________.(填序号)‎ ‎①y=x+的最小值是2;‎ ‎②y=2-3x-(x>0)的最大值是2-4;‎ ‎③y=sin2x+的最小值是4;‎ ‎④y=2-3x-(x<0)的最小值是2-4.‎ ‎② [①不正确,如取x=-1,则y=-2.‎ ‎②正确,因为y=2-3x-=2-≤2-2=2-4.‎ 当且仅当3x=,即x=时等号成立.‎ ‎③不正确,令sin2x=t,则0<t≤1,所以g(t)=t+,显然g(t)在(0,1]上单调递减,故g(t)min=g(1)=1+4=5.‎ ‎④不正确,∵x<0,∴-x>0,‎ ‎∴y=2-3x-=2+≥2+4.‎ 当且仅当-3x=-,即x=-时等号成立.]‎ ‎2.关于x的不等式x2-4ax+‎3a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),则x1+x2+ 的最小值是________.‎  [依题意可得x1+x2=‎4a,x1·x2=‎3a2,∴x1+x2+=‎4a+=‎4a+≥2=,故x1+x2+的最小值为.]‎ ‎3.已知a>0,b>0,若不等式--≤0恒成立,则m的最大值为________. 【导学号:62172086】‎ ‎16 [因为a>0,b>0,所以由--≤0恒成立得m≤(‎3a+b)=10++恒成立.因为+≥2=6,当且仅当a=b时等号成立,所以10++≥16,所以m≤16,即m的最大值为16.]‎ ‎4.(2017·盐城模拟)若x>0,y>0,且2x+y=2,则+的最小值是________.‎ + [由2x+y=2得x+=1.‎ ‎∴+==1+++ ‎=++≥+2=+.]‎ ‎5.要制作一个容积为‎4 m3‎ ,高为‎1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是________.‎ ‎160元 [由题意知,体积V=‎4 m3‎,高h=‎1 m,‎ 所以底面积S=4 m2,设底面矩形的一条边长是x m,则另一条边长是 m.又设总造价是y元,则 y=20×4+10×≥80+20=160.‎ 当且仅当2x=,即x=2时取得等号.]‎ ‎6.已知x,y∈(0,+∞),2x-3=y,若+(m>0)的最小值为3,则m的值为________.‎ ‎4 [由2x-3=y得x+y=3,则 +=(x+y)· ‎=≥(1+m+2),‎ ‎∴(1+m+2)=3,即(+1)2=9,解得m=4.]‎ ‎7.若实数a,b满足+=,则ab的最小值为________.‎ ‎2 [由+=知a>0,b>0,所以=+≥2,即ab≥2,‎ 当且仅当即a=,b=2时取“=”,所以ab的最小值为2.]‎ ‎8.已知正数x,y满足x2+2xy-3=0,则2x+y的最小值是__________. ‎ ‎【导学号:62172087】‎ ‎3 [由x2+2xy-3=0得y==-x,则2x+y=2x+-x=+≥2=3,当且仅当x=1时,等号成立,所以2x+y的最小值为3.]‎ ‎9.当a>0且a≠1时,函数f(x)=loga(x-1)+1的图象恒过点A,若点A在直线mx-y+n=0上,则‎4m+2n的最小值为________.‎ ‎2 [由题意可得:点A的坐标为(2,1),所以‎2m+n=1,所以‎4m+2n=‎22m+2n≥2=2=2.]‎ ‎10.(2017·苏州期末)已知ab=,a,b∈(0,1),则+的最小值为________. 【导学号:62172088】‎ ‎4+ [∵ab=,∴b=.‎ ‎∴+=+=+ ‎=+=++2‎ ‎=++2‎ ‎=+2‎ ‎=+2‎ ‎≥(3+2)+2=4+.‎ 当且仅当a=时,取“=”.]‎ 二、解答题 ‎11.(1)当x<时,求函数y=x+的最大值;‎ ‎(2)设00,‎ ‎∴+≥2=4,‎ 当且仅当=,即x=-时取等号.‎ 于是y≤-4+=-,故函数的最大值为-.‎ ‎(2)∵00,‎ ‎∴y==·≤·=,‎ 当且仅当x=2-x,即x=1时取等号,‎ ‎∴当x=1时,函数y=的最大值为.‎ ‎12.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求:‎ ‎(1)xy的最小值;‎ ‎(2)x+y的最小值.‎ ‎[解] (1)由2x+8y-xy=0,得+=1,‎ 又x>0,y>0,‎ 则1=+≥2 =,得xy≥64,‎ 当且仅当x=16,y=4时,等号成立.‎ 所以xy的最小值为64.‎ ‎(2)由2x+8y-xy=0,得+=1,‎ 则x+y=·(x+y)=10++ ‎≥10+2 =18.‎ 当且仅当x=12且y=6时等号成立,‎ 所以x+y的最小值为18.‎ B组 能力提升 ‎(建议用时:15分钟)‎ ‎1.(2016·扬州期末)已知a>b>1且2logab+3logba=7,则a+的最小值为________.‎ ‎3 [由2logab+3logba=7得logab=或logab=3(舍去),‎ ‎∴a=b2,‎ ‎∴a+=b2+=(b2-1)++1≥2+1=3.‎ 当且仅当b2-1=,即b=,a=2时等号成立.]‎ ‎2.(2015·山东高考)定义运算“⊗”:x⊗y=(x,y∈R,xy≠0).当x>0,y>0时,x⊗y+(2y)⊗x的最小值为________.‎  [因为xy=,所以(2y)x=.又x>0,y>0.故xy+(2y)x=+=≥=,当且仅当x=y时,等号成立.]‎ ‎3.经市场调查,某旅游城市在过去的一个月内(以30天计),第t天(1≤t≤30,t∈N+)的旅游人数f(t)(万人)近似地满足f(t)=4+,而人均消费g(t)(元)近似地满足g(t)=120-|t-20|.‎ ‎(1)求该城市的旅游日收益W(t)(万元)与时间t(1≤t≤30,t∈N+)的函数关系式;‎ ‎(2)求该城市旅游日收益的最小值.‎ ‎[解] (1)W(t)=f(t)g(t)=(120-|t-20|)‎ ‎= ‎(2)当t∈[1,20]时,401+4t+≥401+2=441(t=5时取最小值).‎ 当t∈(20,30]时,因为W(t)=559+-4t递减,‎ 所以t=30时,W(t)有最小值W(30)=443,‎ 所以t∈[1,30]时,W(t)的最小值为441万元.‎ ‎4.(2017·盐城模拟)已知美国苹果公司生产某款iPhone手机的年固定成本为40万美元,每生产1万只还需另投入16万美元.设苹果公司一年内共生产该款iPhone手机x万只并全部销售完,每万只的销售收入为R(x)万美元,且 R(x)= ‎(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式;‎ ‎(2)当年产量为多少万只时,苹果公司在该款iPhone手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.‎ ‎[解] (1)当040,W=xR(x)-(16x+40)=--16x+7 360.‎ 所以,W= ‎(2)①当040时,W=--16x+7 360,‎ 由于+16x≥2=1 600,‎ 当且仅当=16x,即x=50∈(40,+∞)时,W取最大值为5 760.‎ 综合①②知,当产量为32万只时,W取最大值为6 104美元.‎
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