【数学】2019届一轮复习北师大版函数与方程学案
第11讲 函数与方程
考纲要求
考情分析
命题趋势
结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数.
2017·全国卷Ⅱ，12
2017·江苏卷，14
2016·山东卷，15
2016·浙江卷，2
函数的零点及其应用问题是热点，经常考查函数零点存在的区间、零点个数的判断和利用函数的零点个数求参数的范围等内容，难度不大．
分值：5～8分
1．函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f(x)，我们把使__f(x)＝0__成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)三个等价关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与__x轴__有交点⇔函数y＝f(x)有__零点__.
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有__f(a)·f(b)<0__，那么函数y＝f(x)在区间__(a，b)__内有零点，即存在c∈(a，b)，使得__f(c)＝0__，这个__c__也就是f(x)＝0的根．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
与x轴的交点
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
无交点
零点个数
__两个__
__一个__
零个
3．二分法
(1)二分法的定义
对于在区间[a，b]上连续不断且__f(a)·f(b)<0__的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)
的零点所在的区间__一分为二__，使区间的两个端点逐步逼近__零点__，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
(2)用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
第一步，确定区间[a，b]，验证__f(a)·f(b)<0__，给定精确度ε.
第二步，求区间(a，b)的中点x1.
第三步，计算f(x1)：
①若__f(x1)＝0__，则x1就是函数的零点；
②若__f(a)·f(x1)<0__，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))；
③若__f(x1)·f(b)<0__，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))．
第四步，判断是否达到精确度ε，即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)．否则重复第二、第三、第四步．
4．有关函数零点的结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．
(1)函数f(x)＝x2－1的零点是(－1,0)和(1,0)．( × )
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则一定有f(a)·f(b)<0.( × )
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点． ( √ )
(4)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．( √ )
解析 (1)错误．函数f(x)＝x2－1的零点为－1和1，而并非其与x轴的交点(－1,0)与(1,0)．
(2)错误．函数f(x)＝x2－x在(－1,2)上有两个零点，但f(－1)·f(2)>0.
(3)正确．当b2－4ac<0时，二次函数图象与x轴无交点，从而二次函数没有零点．
(4)正确．由已知条件，数形结合得f(x)与x轴在区间[a，b]上有且仅有一个交点，故正确．
2．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是( C )
A．0,2 B．0，
C．0，－ D．2，－
解析 ∵2a＋b＝0，∴g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)．
∴零点为0和－.
3．函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是( B )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 函数f(x)＝2x＋x3－2显然是一个单调递增且是连续的函数，同时f(0)·f(1)＝(－1)×1＝－1<0.由函数零点存在性定理可知，函数在(0,1)内必存在唯一一个零点．故选B．
4．根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为( C )
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x＋2
1
2
3
4
5
A．(－1,0) B．(0,1)
C．(1,2) D．(2,3)
解析 设函数f(x)＝ex－x－2，从表中可以看出f(1)·f(2)<0，因此方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为(1,2)．
5．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈__(2,3)__(填区间)．
解析 由f(2)·f(3)<0，可知x0∈(2,3)．
一 函数零点所在区间的判断
判断函数零点所在区间的方法
(1)当能直接求出零点时，就直接求出进行判断．
(2)当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断．
(3)当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断．
【例1】 (1)函数f(x)＝1－xlog2x的零点所在区间是( C )
A． B．
C．(1,2) D．(2,3)
(2)若a
0，f＝1－log2＝1＋＝>0，f(1)＝1－0>0，f(2)＝1－2log22＝－1<0，由f(1)·f(2)<0知C项正确．
(2)易知f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)·(c－b)．又a0，f(b)<0，f(c)>0，又该函数是二次函数，且开口向上，可知两根分别在(a，b)和(b，c)内．
二 函数零点个数的判断
函数零点个数的判断方法
(1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．
(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
【例2】 (1)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且x∈[0,1]时，f(x)＝x，则方程f(x)＝log3|x|的零点个数是( C )
A．2 B．3
C．4 D．多于4
(2)(2018·江苏镇江月考)方程ex·ln x＝1(其中e为自然对数的底数)解的个数为__1__.
解析 (1)由f(x＋2)＝f(x)，知函数f(x)是周期为2的周期函数，且是偶函数，在同一坐标系中画出y＝log3|x|和y＝f(x)，x∈[－3,3]的图象，如图所示，由图可知零点个数为4.
(2)把方程化为ln x＝x，分别画出函数y＝ln x和y＝x的图象(图略)，两个函数图象只有一个交点，所以方程只有一解．
三 函数零点的应用
函数零点应用问题的常见类型及解题策略
(1)已知函数零点求参数．根据函数零点或方程的根求解参数应分三步：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；③解不等式，即得参数的取值范围．
(2)已知函数零点个数求参数．解答此类问题常利用数形结合法．
(3)借助函数零点比较大小．要比较f(a)与f(b)的大小，通常先比较f(a)，f(b)与0的大小．
【例3】 (1)若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是( B )
A． B．(－∞，－1)∪
C． D．(－∞，－1)
(2)已知函数f(x)＝则函数F(x)＝f(x)－a2＋a＋1(a∈R)总有零点时，a的取值范围是( A )
A．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．[－1,2)
C．[－1,0]∪(1,2] D．[0,1]
解析 (1)要使函数在(－1,1)上存在一个零点，则有f(－1)·f(1)<0，即(－5a＋1)(a＋1)<0，所以(5a－1)(a＋1)>0，解得a>或a<－1.故选B．
(2)由F(x)＝0，得f(x)＝a2－a－1，因为函数f(x)的值域为(－1，＋∞)，故a2－a－1>－1，解得a<0或a>1.故选A．
1．函数f(x)＝ln(x＋1)－的一个零点所在的区间是( B )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析 因为f(1)＝ln 2－2<0，f(2)＝ln 3－1>0，所以f(x)在(1,2)上必存在零点．故选B．
2．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为( B )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 在同一坐标系中作出y＝x与y＝|log0.5x|的图象(图略)，由图可得零点的个数为2.
3．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log3x＋x，h(x)＝x－的零点依次为a，b，c，则( A )
A．a0，且a≠1)的图象有两个公共点，则实数a的取值范围是____.
解析 当a>1时，作出函数y＝|ax－1|的图象如图(1)，此时y＝2a>2，只有一个交点，不成立．当00 B．b>－2，且c<0
C．b<－2，且c＝0 D．b≥－2，且c＝0
解析 令f(x)＝t，则方程为t2＋bt＋c＝0.
设t1，t2为它的两个根，则f(x)＝t1和f(x)＝t2共有5个不同实根，y＝f(x)的图象如图所示，则t1>2，t2＝0，∴c＝0.
由t2＋bt＝t(t＋b)＝0，得t1＝－b>2，∴b<－2.故选C．
答案 C
【跟踪训练1】 (2016·山东卷)已知函数f(x)＝ 其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是__(3，＋∞)__.
解析 f(x)的图象如图所示．
若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，只需4m－m23或m<0，又m>0，所以m>3.
课时达标 第11讲
[解密考纲]本考点考查函数与方程的关系、函数的零点．在近几年的高考卷中选择题、填空题、解答题都出现过．选择题、填空题通常排在中间位置，解答题往往与其他知识综合考查，题目难度中等．
一、选择题
1．函数f(x)＝x3＋2x－1的零点所在的大致区间是( A )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析 f(0)＝－1<0，f(1)＝2>0，则f(0)·f(1)＝－2<0，且函数f(x)＝x3＋2x－1的图象是连续曲线，所以f(x)在区间(0,1)内有零点．
2．用二分法找函数f(x)＝2x＋3x－7在区间[0,4]上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为( B )
A．(0,1) B．(0,2)
C．(2,3) D．(2,4)
解析 因为f(0)＝20＋0－7＝－6<0，f(4)＝24＋12－7>0，又已知f(2)＝22＋6－7>0，所以f(0)·f(2)<0，所以零点在区间(0,2)内．故选B．
3．f(x)＝2sin πx－x＋1的零点个数为( B )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析 令f(x)＝2sin πx－x＋1＝0，则2sin πx＝x－1，令h(x)＝2sin πx，g(x)＝x－1，则f(x)＝2sin πx－x＋1的零点个数问题转化为两个函数h(x)与g(x)图象的交点个数问题．h(x)＝2sin πx的最小正周期为T＝＝2，在同一坐标系中，画出两个函数的图象，如图所示，两个函数图象的交点一共有5个，所以f(x)＝2sin πx－x＋1的零点个数为5.
4．已知方程|x2－a|－x＋2＝0有两个不等的实数根，则实数a的取值范围为( B )
A．(0,4) B．(4，＋∞)
C．(0,2) D．(2，＋∞)
解析 依题意，知方程|x2－a|＝x－2有两个不等的实数根，即函数y1＝|x2－a|的图象与函数y2＝x－2的图象有两个不同的交点．如图，则>2，即a>4.故选B．
5．已知函数f(x)＝e|x|＋|x|，若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是( B )
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(－1,0) D．(－∞，－1)
解析 因为f(－x)＝e|－x|＋|－x|＝e|x|＋|x|＝f(x)，故f(x)是偶函数．当x≥0时，f(x)＝ex＋x是增函数，故f(x)≥f(0)＝1，由偶函数图象关于y轴对称，知f(x)在(－∞，0)上是减函数，所以f(x)的值域为[1，＋∞)，作出函数y＝f(x)与y＝k的图象，如图所示，由图可知，实数k的取值范围是(1，＋∞)．故选B．
6．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝( C )
A．－ B．
C． D．1
解析 由f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)，得f(2－x)＝(2－x)2－2(2－x)＋a[e2－x－1＋e－(2－x)＋1]＝x2－4x＋4－4＋2x＋a(e1－x＋ex－1)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)，所以f(2－x)＝f(x)，即x＝1为f(x)图象的对称轴．
由题意，f(x)有唯一零点，所以f(x)的零点只能为x＝1，即f(1)＝12－2×1＋a(e1－1＋e－1＋1)＝0，解得a＝.故选C．
二、填空题
7．若二次函数f(x)＝x2－2ax＋4在(1，＋∞)内有两个零点，则实数a的取值范围为____.
解析 依据二次函数的图象有即
解得20时，f(x)＝2 019x＋log2 019x，则在R上，函数f(x)零点的个数为__3__.
解析 函数f(x)为R上的奇函数，因此f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝2 019x＋log2 019x在区间内存在一个零点，又f(x)为增函数，因此在(0，＋∞)内有且仅有一个零点．根据对称性可知函数在(－∞，0)内有且仅有一解，从而函数f(x)在R上的零点的个数为3.
9．已知函数f(x)＝有3个不同的零点，则实数a的取值范围是____.
解析 依题意，要使函数f(x)有三个不同的零点，则当x≤0时，方程2x－a＝0，即2x＝a必有一个根，此时00时，方程x2－3ax＋a＝0有两个不等的实根，即方程x2－3ax＋a＝0有两个不等的正实根，
于是有解得a>，
因此，满足题意的实数a需满足即0，∴f(2)<0.
又∵f(2)＝22＋(m－1)×2＋1，∴m<－.
②若f(x)＝0在区间[0,2]上有两解，
则∴
∴∴－≤m≤－1.
由①②可知实数m的取值范围是(－∞，－1]．
方法二 由x2＋(m－1)x＋1＝0得x＝0不是方程的根，
∴x≠0.当x∈(0,2]时，－(m－1)x＝x2＋1,1－m＝x＋.
∵x∈(0,2]时，x＋≥2，∴1－m≥2，即m≤－1，
故实数m的取值范围为(－∞，－1]．
11．设函数f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)．
(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的零点；
(2)若对任意b∈R，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围．
解析 (1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－2x－3，令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1.所以函数f(x)的零点为3或－1.
(2)依题意，f(x)＝ax2＋bx＋b－1＝0有两个不同实根，
所以b2－4a(b－1)>0恒成立，
即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立，
所以有(－4a)2－4×(4a)<0⇒a2－a<0，解得0
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