高考数学专题复习：专题3数列 第1讲

高考数学专题复习：专题3数列 第1讲

专题三　第一讲 一、选择题 ‎1．(文)(2014·东北三省三校联考)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a4＋a6 ＝12，则S7的值是(　　)‎ A．21　　 B．‎24　‎　 　‎ C．28　　 D．7‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　∵a2＋a4＋a6＝‎3a4＝12，∴a4＝4，‎ ‎∴‎2a4＝a1＋a7＝8，∴S7＝＝＝28.‎ ‎(理)(2013·新课标Ⅰ理，7)设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝(　　)‎ A．3　　　 B．‎4　‎　　　‎ C．5　　　 D．6‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　Sm－Sm－1＝am＝2，Sm＋1－Sm＝am＋1＝3，‎ ‎∴d＝am＋1－am＝3－2＝1，‎ Sm＝a‎1m＋·1＝0，①‎ am＝a1＋(m－1)·1＝2，‎ ‎∴a1＝3－m.②‎ ‎②代入①得‎3m－m2＋－＝0，‎ ‎∴m＝0(舍去)或m＝5，故选C.‎ ‎2．(文)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若S1＝1，＝4，则的值为(　　)‎ A.　　　 B.　　　‎ C.　　 D．4‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　由等差数列的性质可知S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，由＝4得＝3，则S6－S4＝5S2，‎ 所以S4＝4S2，S6＝9S2，＝.‎ ‎(理)(2014·全国大纲文，8)设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6＝(　　)‎ A．31 B．32‎ C．63 D．64‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　解法1：由条件知：an>0，且 ‎∴∴q＝2.‎ ‎∴a1＝1，∴S6＝＝63.‎ 解法2：由题意知，S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，即(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，即122＝3(S6－15)，∴S6＝63.‎ ‎3．(文)设Sn为等比数列{an}的前n项和，且‎4a3－a6＝0，则＝(　　)‎ A．－5 B．－3‎ C．3 D．5‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　∵‎4a3－a6＝0，∴‎4a1q2＝a1q5，∵a1≠0，q≠0，‎ ‎∴q3＝4，∴＝＝＝1＋q3＝5.‎ ‎(理)(2013·新课标Ⅱ理，3)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋‎10a1，a5＝9，则a1＝(　　)‎ A. B．－ C. D．－ ‎[答案]　C ‎[解析]　∵S3＝a2＋‎10a1，∴a1＋a2＋a3＝a2＋‎10a1，a3＝‎9a1＝a1q2，∴q2＝9，‎ 又∵a5＝9，∴9＝a3·q2＝‎9a3，∴a3＝1，‎ 又a3＝‎9a1，故a1＝.‎ ‎4．(2014·新乡、许昌、平顶山调研)设{an}是等比数列，Sn是{an}的前n项和，对任意正整数n，有an＋2an＋1＋an＋2＝0，又a1＝2，则S101的值为(　　)‎ A．2 B．200‎ C．－2 D．0‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　设公比为q，∵an＋2an＋1＋an＋2＝0，∴a1＋‎2a2＋a3＝0，∴a1＋‎2a1q＋a1q2＝0，∴q2＋2q＋1＝0，∴q＝－1，又∵a1＝2，‎ ‎∴S101＝＝＝2.‎ ‎5．(2014·哈三中二模)等比数列{an}，满足a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝3，a＋a＋a＋a＋a＝15，则a1－a2＋a3－a4＋a5的值是(　　)‎ A．3 B. C．－ D．5‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　由条件知，∴＝5，‎ ‎∴a1－a2＋a3－a4＋a5＝＝＝5.‎ ‎6．(2013·镇江模拟)已知公差不等于0的等差数列{an}的前n项和为Sn，如果S3＝－21，a7是a1与a5的等比中项，那么在数列{nan}中，数值最小的项是(　　)‎ A．第4项 B．第3项 C．第2项 D．第1项 ‎[答案]　B ‎[解析]　设等差数列{an}的公差为d，则由S3＝a1＋a2＋a3＝‎3a2＝－21，得a2＝－7，又由a7是a1与a5的等比中项，得a＝a1·a5，即(a2＋5d)2＝(a2－d)(a2＋3d)，将a2＝－7代入，结合d≠0，解得d＝2，则nan＝n[a2＋(n－2)d]＝2n2－11n，对称轴方程n＝2，又n∈N*，结合二次函数的图象知，当n＝3时，nan取最小值，即在数列{nan}中数值最小的项是第3项．‎ 二、填空题 ‎7．(2013·广东六校联考)设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则log2013x1＋log2013x2＋…＋log2013x2012的值为________．‎ ‎[答案]　－1‎ ‎[解析]　因为y′＝(n＋1)xn，所以在点(1,1)处的切线的斜率k＝n＋1，‎ 所以＝n＋1，所以xn＝，‎ 所以log2013x1＋log2013x2＋…＋log2013x2012‎ ‎＝log2013(x1·x2·…·x2012)‎ ‎＝log2013(··…·)‎ ‎＝log2013＝－1.‎ ‎8．(2014·中原名校二次联考)若{bn}为等差数列，b2＝4，b4＝8.数列{an}满足a1＝1，bn＝an＋1－an(n∈N*)，则a8＝________.‎ ‎[答案]　57‎ ‎[解析]　∵bn＝an＋1－an，∴a8＝(a8－a7)＋(a7－a6)＋…＋(a2－a1)＋a1＝b7＋b6＋…＋b1＋a1.‎ 由{bn}为等差数列，b2＝4，b4＝8知bn＝2n ‎∴数列{bn}的前n项和为Sn＝n(n＋1)．‎ ‎∴a8＝S7＋a1＝7×(7＋1)＋1＝57.‎ ‎9．(2014·辽宁省协作校联考)若数列{an}与{bn}满足bn＋1an＋bnan＋1＝(－1)n＋1，bn＝，n∈N＋，且a1＝2，设数列{an}的前n项和为Sn，则S63＝________.‎ ‎[答案]　560‎ ‎[解析]　∵bn＝＝，又a1＝2，∴a2＝－1，a3＝4，a4＝－2，a5＝6，a6＝－3，…，‎ ‎∴S63＝a1＋a2＋a3＋…a63＝(a1＋a3＋a5＋…＋a63)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a62)＝(2＋4＋6＋…＋64)－(1＋2＋3＋…＋31)＝1056－496＝560.‎ 三、解答题 ‎10．(2014·豫东、豫北十所名校联考)已知Sn为数列{an}的前n项和，且a2＋S2＝31，an＋1＝3an－2n(n∈N*)‎ ‎(1)求证：{an－2n}为等比数列；‎ ‎(2)求数列{an}的前n项和Sn.‎ ‎[解析]　(1)由an＋1＝3an－2n可得 an＋1－2n＋1＝3an－2n－2n＋1＝3an－3·2n＝3(an－2n)，‎ 又a2＝‎3a1－2，则S2＝a1＋a2＝‎4a1－2，‎ 得a2＋S2＝‎7a1－4＝31，得a1＝5，∴a1－21＝3≠0，‎ ＝3，故{an－2n}为等比数列．‎ ‎(2)由(1)可知an－2n＝3n－1(a1－2)＝3n，故an＝2n＋3n，‎ ‎∴Sn＝＋＝2n＋1＋－.‎ 一、选择题 ‎11．(文)(2013·山西四校联考)已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,‎2a2成等差数列，则＝(　　)‎ A．1＋ B．1－ C．3＋2 D．3－2 ‎[答案]　C ‎[解析]　由条件知a3＝a1＋‎2a2，‎ ‎∴a1q2＝a1＋‎2a1q，‎ ‎∵a1≠0，∴q2－2q－1＝0，‎ ‎∵q>0，∴q＝1＋，‎ ‎∴＝q2＝3＋2.‎ ‎(理)在等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝3，a18＋a19＋a20＝87，则此数列前20项的和等于(　　)‎ A．290 B．300‎ C．580 D．600‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　由a1＋a2＋a3＝3，a18＋a19＋a20＝87得，‎ a1＋a20＝30，‎ ‎∴S20＝＝300.‎ ‎12．(文)已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝1，an＋1－an＝＝2，n∈N＋，则数列{ban}的前10项的和为(　　)‎ A.(49－1) B.(410－1)‎ C.(49－1) D.(410－1)‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　由a1＝1，an＋1－an＝2得，an＝2n－1，‎ 由＝2，b1＝1得bn＝2n－1，‎ ‎∴ban＝2an－1＝22(n－1)＝4n－1，‎ ‎∴数列{ban}前10项和为＝(410－1)．‎ ‎(理)若数列{an}为等比数列，且a1＝1，q＝2，则Tn＝＋＋…＋等于(　　)‎ A．1－ B.(1－)‎ C．1－ D.(1－)‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　因为an＝1×2n－1＝2n－1，所以an·an＋1＝2n－1·2n＝2×4n－1，‎ 所以＝×()n－1，所以{}也是等比数列，‎ 所以Tn＝＋＋…＋＝×＝(1－)，故选B.‎ ‎13．给出数列，，，，，，…，，，…，，…，在这个数列中，第50个值等于1的项的序号是(　　)‎ A．4900 B．4901‎ C．5000 D．5001‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　根据条件找规律，第1个1是分子、分母的和为2，第2个1是分子、分母的和为4，第3个1是分子、分母的和为6，…，第50个1是分子、分母的和为100，而分子、分母的和为2的有1项，分子、分母的和为3的有2项，分子、分母的和为4的有3项，…，分子、分母的和为99的有98项，分子、分母的和为100的项依次是：，，，…，，，…，，第50个1是其中第50项，在数列中的序号为1＋2＋3＋…＋98＋50＝＋50＝4901.‎ ‎[点评]　本题考查归纳能力，由已知项找到规律，“‎1”‎所在项的特点以及项数与分子、分母的和之间的关系，再利用等差数列求和公式即可．‎ ‎14．(2014·唐山市一模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，则(　　)‎ A．4n－1 B．4n－1‎ C．2n－1 D．2n－1‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　设公比为q，则a1(1＋q2)＝，a2(1＋q2)＝，∴q＝，∴a1＋a1＝，∴a1＝2.‎ ‎∴an＝a1qn－1＝2×()n－1，Sn＝＝4[1－()n]，∴＝＝2(2n－1－)‎ ‎＝2n－1.‎ ‎[点评]　用一般解法解出a1、q，计算量大，若注意到等比数列的性质及求，可简明解答如下：‎ ‎∵a2＋a4＝q(a1＋a3)，∴q＝，‎ ‎∴＝＝＝＝2n－1.‎ 二、填空题 ‎15．(2014·新乡、许昌、平顶山调研)如图所示，将正整数排成三角形数阵，每排的数称为一个群，从上到下顺次为第一群，第二群，…，第n群，…，第n群恰好n个数，则第n群中n个数的和是________．‎ ‎[答案]　3·2n－2n－3‎ ‎[解析]　由图规律知，第n行第1个数为2n－1，第2个数为3·2n－2，第3个数为5·2n－3……设这n个数的和为S 则S＝2n－1＋3·2n－2＋5×2n－3＋…＋(2n－3)·2＋(2n－1)·20　①‎ ‎2Sn＝2n＋3·2n－1＋5·2n－2＋…＋(2n－3)·22＋(2n－1)·21　②‎ ‎②－①得Sn＝2n＋2·2n－1＋2·2n－2＋…＋2·22＋2·2－(2n－1)‎ ‎＝2n＋2n＋2n－1＋…＋23＋22－(2n－1)‎ ‎＝2n＋－(2n－1)‎ ‎＝2n＋2n＋1－4－2n＋1‎ ‎＝3·2n－2n－3.‎ ‎16．在数列{an}中，若a－a＝p(n≥2，n∈N*)(p为常数)，则称{an}为“等方差数列”．下列是对“等方差数列”的判断：‎ ‎①若数列{an}是等方差数列，则数列{a}是等差数列；‎ ‎②数列{(－1)n}是等方差数列；‎ ‎③若数列{an}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列必为常数列；‎ ‎④若数列{an}是等方差数列，则数列{akn}(k为常数，k∈N*)也是等方差数列．‎ 其中正确命题的序号为________．‎ ‎[答案]　①②③④‎ ‎[解析]　由等方差数列的定义、等差数列、常数列的定义知①②③④均正确．‎ 三、解答题 ‎17．(文)(2013·浙江理，18)在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1,‎2a2＋2,‎5a3成等比数列．‎ ‎(1)求d，an；‎ ‎(2)若d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.‎ ‎[解析]　(1)由题意得a1·‎5a3＝(‎2a2＋2)2，a1＝10，‎ 即d2－3d－4＝0.故d＝－1或d＝4.‎ 所以an＝－n＋11，n∈N*或an＝4n＋6，n∈N*.‎ ‎(2)设数列{an}的前n项和为Sn.因为d<0，‎ 由(1)得d＝－1，an＝－n＋11.则 当n≤11时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝－n2＋n.‎ 当n≥12时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－Sn＋2S11＝n2－n＋110.‎ 综上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|‎ ‎＝ ‎(理)(2013·天津十二区县联考)已知函数f(x)＝，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f()，n∈N*.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)令bn＝(n≥2)，b1＝3，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，若Sn<对一切n∈N*成立，求最小的正整数m.‎ ‎[解析]　(1)∵an＋1＝f()＝＝an＋，‎ ‎∴{an}是以为公差，首项a1＝1的等差数列，‎ ‎∴an＝n＋.‎ ‎(2)当n≥2时，‎ bn＝＝ ‎＝(－)，‎ 当n＝1时，上式同样成立．‎ ‎∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn ‎＝(1－＋－＋…＋－)‎ ‎＝(1－)，‎ ‎∵Sn<，即(1－)<对一切n∈N*成立，‎ 又(1－)随n递增，且(1－)<，‎ ‎∴≤，∴m≥2013，∴m最小＝2013.‎ ‎18．(文)(2014·吉林市质检)已知数列{an}满足首项为a1＝2，an＋1＝2an，(n∈N*)．设bn＝3log2an－2(n∈N*)，数列{cn}满足cn＝anbn.‎ ‎(1)求证：数列{bn}成等差数列；‎ ‎(2)求数列{cn}的前n项和Sn.‎ ‎[解析]　(1)由已知可得，an＝a1qn－1＝2n，‎ bn＝3log22n－2‎ ‎∴bn＝3n－2，∵bn＋1－bn＝3，‎ ‎∴{bn}为等差数列，其中b1＝1，d＝3.‎ ‎(2)cn＝anbn＝(3n－2)·2n Sn＝1·2＋4·22＋7·23＋…＋(3n－2)·2n①‎ ‎2Sn＝1·22＋4·23＋7·24＋……＋(3n－5)·2n＋(3n－2)·2n＋1②‎ ‎①－②得 ‎－Sn＝2＋3[22＋23＋24＋……＋2n]－(3n－2)·2n＋1‎ ‎＝2＋3·－(3n－2)·2n＋1‎ ‎＝－10＋(5－3n)·2n＋1‎ ‎∴Sn＝10－(5－3n)·2n＋1.‎ ‎(理)已知等差数列{an}的公差为2，其前n项和Sn＝pn2＋2n(n∈N*)．‎ ‎(1)求p的值及an；‎ ‎(2)若bn＝，记数列{bn}的前n项和为Tn，求使Tn>成立的最小正整数n的值．‎ ‎[解析]　本题主要考查等差数列的概念及有关计算，数列求和的方法，简单分式不等式的解法，化归转化思想及运算求解能力等．‎ ‎(1)解法1：∵{an}是等差数列，‎ ‎∴Sn＝na1＋d＝na1＋×2‎ ‎＝n2＋(a1－1)n.‎ 又由已知Sn＝pn2＋2n，‎ ‎∴p＝1，a1－1＝2，∴a1＝3，‎ ‎∴an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1，∴p＝1，an＝2n＋1.‎ 解法2：由已知a1＝S1＝p＋2，S2＝4p＋4，‎ 即a1＋a2＝4p＋4，∴a2＝3p＋2.‎ 又等差数列的公差为2，∴a2－a1＝2，‎ ‎∴2p＝2，∴p＝1，∴a1＝p＋2＝3，‎ ‎∴an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1，∴p＝1，an＝2n＋1.‎ 解法3：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn2＋2n－[p(n－1)2＋2(n－1)]＝2pn－p＋2，‎ ‎∴a2＝3p＋2，由已知a2－a1＝2，∴2p＝2，∴p＝1，‎ ‎∴a1＝p＋2＝3，∴an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1，‎ ‎∴p＝1，an＝2n＋1.‎ ‎(2)由(1)知bn＝＝－，‎ ‎∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ‎＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝.‎ 又∵Tn>，∴>，∴20n>18n＋9，‎ 即n>，又n∈N*.‎ ‎∴使Tn＝成立的最小正整数n的值为5.‎