湖南省永州市2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题 Word版含解析

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www.ks5u.com 永州市2019年下期高二期末质量监测试卷 数学 注意事项：‎ ‎1.本试卷分第Ⅰ巷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.‎ ‎2.全卷满分150分，时量120分钟.‎ ‎3.答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试题相应的位置.‎ ‎4.全部答案在答题卡上完成，在本试题卷上作答无效，考试结来后，只交答题卡.‎ 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分，每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂到相应的答题栏内）‎ ‎1.已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件利用共轭复数的定义求得的值，即可得到的值.‎ ‎【详解】因为与互为共轭复数，‎ 则，所以，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关共轭复数的概念，属于基础题目.‎ ‎2.已知命题R，，则 A. R, B. R,‎ C. R, D. R,‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：因为全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，所以,只需将原命题中的条件全称改特称，并对结论进行否定，故答案为．‎ 考点：全称命题与特称命题的否定．‎ - 21 -‎ ‎3.已知向量，且，则的值是（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量垂直，它们的数量积为0，，得到关于的等量关系式，求得结果.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 即，解得，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量垂直的条件，向量数量积坐标公式，属于基础题目.‎ ‎4.已知函数，且，则的值为（ ）‎ A. 2019 B. 2015 C. 2 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先对函数求导，之后利用得到所满足的等量关系式，求解即可得结果.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 由，得，‎ 求得，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关利用导数求参数值的问题，涉及到的知识点有求导公式，属于基础题目.‎ ‎5.设双曲线的焦点在轴上，其渐近线为，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. 2 D. ‎ - 21 -‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的简单性质和渐近线方程即可求出结果.‎ ‎【详解】因为双曲线的焦点在轴上，其渐近线为，‎ 所以，即，，‎ 所以该双曲线的离心率为，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关双曲线的简单性质的问题，涉及到的知识点有双曲线的渐近线方程，双曲线的离心率，属于简单题目.‎ ‎6.一质点做直线运动，经过秒后的位移为，则速度为零的时刻是（ ）‎ A. 1秒末 B. 4秒末 C. 1秒与4秒末 D. 0秒与4秒末 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出位移的导数即质点运动的瞬时速度，令导数为0，求出的值即得到速度为0的时刻.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 令，解得或，‎ 所以速度为零的时刻是1秒末或4秒末，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关导数在物理中的应用，要明确位移的导数为速度，属于基础题目.‎ ‎7.已知抛物线的焦点为，则的值为（ ）‎ A. B. 1 C. D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ - 21 -‎ ‎【分析】‎ 利用抛物线的焦点坐标求解即可.‎ ‎【详解】由可得，‎ 抛物线的焦点为，‎ 所以，所以，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关抛物线的问题，涉及到的知识点有根据抛物线的焦点坐标求参数，在解题的过程中，注意首先将抛物线的方程化为标准形式，属于基础题目.‎ ‎8.如图所示，在长方体中，为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连接,交于点,,代入整理即可 ‎【详解】由题,连接,交于点,‎ 则 - 21 -‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查向量的线性运算,考查空间向量,属于基础题 ‎9.若函数有大于零的极值点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎，令，得，根据函数有大于零的极值点，可得，即可得出结果.‎ ‎【详解】，令，得，‎ 因为函数有大于零的极值点，‎ 所以，‎ 所以实数的取值范围是，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关导数的应用的问题，涉及到的知识点有根据极值点的符号判断参数的取值范围，属于简单题目.‎ ‎10.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在如图所示的阳马中，侧棱底面，且，点是的中点，则与所成角的余弦值（ ）‎ - 21 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先取中点，连接，能够得到与所成角，设出边长，利用勾股定理求得，在直角三角形中，求得，得到结果.‎ ‎【详解】取中点，连接，‎ 因为为中点，所以，‎ 所以是与所成角，‎ 设，‎ 则，‎ - 21 -‎ 所以，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关异面直线所成角的余弦值的问题，涉及到的知识点有异面直线所成角的概念，在三角形中求角的余弦值，属于简单题目.‎ ‎11.已知点是椭圆上的动点，、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若是的角平分线上的一点，且，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 延长与交于点，由条件判断为等腰三角形，为的中位线，故，再根据的值域，求得的最值，从而得到结果.‎ ‎【详解】如图，‎ 延长与交于点，则是的角平分线，‎ 由可得与垂直，‎ 可得为等腰三角形，故为的中点，‎ 由于为的中点，‎ - 21 -‎ 则为的中位线，故，‎ 由于，所以，‎ 所以，‎ 问题转化为求的最值，‎ 而的最小值为，的最大值为，即的值域为，‎ 故当或时，取得最大值为 ‎，‎ 当时，在轴上，此时与重合，‎ 取得最小值为0，又由题意，最值取不到，‎ 所以的取值范围是，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】该题考查的是与椭圆相关的问题，涉及到的知识点有椭圆的定义，椭圆的性质，角分线的性质，属于较难题目.‎ ‎12.定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把给出的等式变形得到，由此联想构造辅助函数，由其导函数的符号得到其在上为增函数，则，整理后即可得到答案.‎ - 21 -‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 由，得，‎ 即，‎ 令，‎ 则，‎ 所以函数在上为增函数，‎ 则，即，所以，即，‎ ‎，即，所以，即，‎ ‎，即，所以，即，‎ ‎，即，所以，即，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关通过构造新函数，根据题意利用导数的符号判断函数的单调性，利用单调性比较函数值的大小，属于较难题目.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分，把答案填入相应的答题栏内）‎ ‎13.已知复数，其中是虚数单位，若复数在复平面内对应的点在直线上，则的值等于_______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ - 21 -‎ ‎【分析】‎ 复数，复数在复平面内对应的点在直线上，所以点的坐标满足直线的方程，有，从而求得，得到结果.‎ ‎【详解】复数，‎ 复数在复平面内对应的点在直线上，‎ 所以，所以，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数在复平面内对应的点，点在直线上的条件，属于基础题目.‎ ‎14.与双曲线有公共焦点，且长轴长为8的椭圆方程为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据题中所给的双曲线的方程写出其焦点坐标，从而确定椭圆的焦点所在轴并且得到，再根据椭圆的长轴长，得到，利用椭圆中的关系，求得，进而得到椭圆的方程.‎ ‎【详解】因为椭圆与双曲线有相同的焦点，‎ 所以，‎ 因为长轴长为8，所以，‎ 所以，‎ 所以椭圆的方程为，‎ 故答案为：.‎ - 21 -‎ ‎【点睛】该题考查的是有关椭圆标准方程的求解问题，涉及到的知识点有双曲线的焦点坐标，椭圆中的关系，属于基础题目.‎ ‎15.已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先通过解不等式求得，进而求得对应的结果，之后将是的充分不必要条件，转化为两集合端点值间的关系，列出关于的不等式组求解.‎ ‎【详解】由解得，‎ 所以，‎ 因为是的充分不必要条件，‎ 所以Ü，‎ 所以有，求得，‎ 所以实数的取值范围是，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】该题考查的是充分必要条件的判定及其应用，考查数学转化思想方法，属于基础题目.‎ ‎16.已知抛物线，直线过焦点且与抛物线交于、（点在轴的上方，点在轴的下方，）点在轴上且在右侧，若，且的面积为，则的值为__________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据题意，得到为等边三角形，得到直线的倾斜角为，设出直线的方程，与抛物线的方程联立，消元得到，解方程求得交点的横坐标，求得 - 21 -‎ ‎，，结合正三角形的特征，求得三角形的高，利用三角形的面积公式求得结果.‎ ‎【详解】根据题意，，所以为等边三角形，‎ 所以直线的倾斜角为，‎ 设直线的方程为，‎ 与联立可得，‎ 解得，所以，‎ ‎，‎ 所以，‎ 解得，‎ 故答案为：3.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关抛物线的问题，涉及到的知识点有抛物线的定义、标准方程和几何性质的综合应用，考查数学运算、逻辑推理等核心素养，属于中档题目.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共计70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17.已知，‎ ‎（1）若为真命题，求的取值范围；‎ ‎（2）若为假命题，为真命题，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ - 21 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据已知条件是真命题，则只需函数的最小值大于等于0，据此可求得的取值范围；‎ ‎（2）先求出简单命题为真命题时对应的参数的取值范围，最后借助于两个命题的真假，得到对应的条件，最后求得结果.‎ ‎【详解】（1）∵‎ 恒成立，‎ 所以的取值范围是；‎ ‎（2）∵为真命题，‎ 或 又为假命题，由（1）可得 综上，的范围为.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关简易逻辑的问题，涉及到的知识点有根据命题为真时确定参数的取值范围，根据两个命题的真假求参数的范围，属于简单题目.‎ ‎18.已知抛物线上的点到焦点的距离为2.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求过点且与只有一个公共点的直线方程.‎ ‎【答案】（1）.（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）可得抛物线的准线为，由点到焦点的距离转化为其到准线的距离，列出等式求得的值，将点的坐标代入抛物线方程求得的值，得到结果；‎ ‎（2）当斜率存在时，写出直线方程，与抛物线方程联立，令判别式等于零求得结果，当斜率不存在时，写出方程，得到最后结果.‎ ‎【详解】（1）由抛物线的定义得，，解得，‎ 所以抛物线的方程为，代入点，可解得.‎ - 21 -‎ ‎（2）当斜率存在时，设过点的直线方程为，‎ 联立，消元得，‎ 得，所以直线方程为 当斜率不存在时，‎ 所以过点且与只有一个公共点的直线方程为或 ‎【点睛】该题主要考查抛物线的几何性质与直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题目.‎ ‎19.已知函数.‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）若有3个零点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）在上单调递增；在上单调递减；在上单调递减（2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）求导数，在定义域内解不等式、可求得函数的单调区间；‎ ‎（2）由（1）可知的单调性，求得的极值，由题意可得极值、端点处函数值的符号，解不等式即可.‎ ‎【详解】（1），‎ 令，得或 可知，时，；时，；‎ 时，；‎ 故，在上单调递增；在上单调递减；在上单调递减 ‎（2）令，有 设，，‎ - 21 -‎ 由（1）得在上单调递增；在 上单调递减；在上单调递减 ‎，，‎ 结合的图像可知，与有3个交点，故 所以的范围为.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性，将函数零点的个数转化为极值的符号，最后确定参数的取值范围，属于简单题目.‎ ‎20.如图，在正方形中，分别是的中点，将正方形沿着线段折起，使得，设为的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用线面垂直判定定理，证得⊥平面，从而得到，再利用等边三角形的特征，得到，之后利用线面垂直的判定定理证得平面；‎ ‎（2）利用两两垂直，建立空间直角坐标系，设，写出相应点的坐标，求得两个平面的法向量，之后求出两个法向量所成角的余弦值，进而得到二面角的余弦值.‎ ‎【详解】（1）∵分别为正方形的边的中点，‎ ‎∴‎ 又平面，平面，，∴⊥平面，‎ ‎∵平面，∴，‎ ‎∵，，∴是等边三角形，‎ - 21 -‎ ‎∵为的中点.， ∴.‎ 又，面面，，∴平面.‎ ‎（2）设中点为，连结，则两两垂直，不妨设.‎ 以为原点，以为坐标轴建立空间直角坐标系如图：‎ 则，，.，.‎ ‎∴，，‎ 设平面的法向量为，‎ 则，令，得 而为平面的一个法向量 ‎∴‎ 二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面垂直的判定，二面角的余弦值的求解，属于中档题目.‎ ‎21.点与定点的距离和它到直线距离的比是常数.‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）记点的轨迹为，过的直线与曲线交于点，与抛物线交于点，设，记与面积分别是，求的取值范围.‎ - 21 -‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）根据题意可得，化简即可求出；‎ ‎（2）当直线的斜率存在时，将直线方程分别与椭圆和抛物线的方程联立，将两个三角形的面积比转化为弦长比，化为关于的关系式，求最值求值域即可，之后将直线的斜率不存在的情况求出，最后得到答案.‎ 详解】（1）依题意有，‎ 化简得：，故的方程为.‎ ‎（2）依题意，‎ ‎①当不垂直于轴时，设的方程是，‎ 联立，得，‎ 设， ，则，‎ ‎；‎ 联立得：，‎ 设，，‎ 则，，‎ ‎，‎ - 21 -‎ 则，‎ ‎②当垂直于轴时，易知，，‎ 此时 综上，的取值范围是.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有动点轨迹方程的求解，直线被椭圆截得的弦长，直线被抛物线截得的弦长，属于较难题目.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）求函数在处的切线方程；‎ ‎（2）若方程在区间上有实根，求的值；‎ ‎（3）若不等式对任意正实数恒成立，求正整数的取值集合.‎ ‎【答案】（1）（2）或（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）令，方程有实根等价于有零点，利用导数判断函数的单调性，然后根据零点存在性定理可判断在和上分别存在一个零点，从而可得结果；‎ ‎（3）当时，不等式成立恒成立，当时，不等式化为，可得，当时，不等式可化为，可得，结合（2）结合三种情况，从而可得结果.‎ - 21 -‎ ‎【详解】（1）‎ ‎ 又因为，所以切线方程为 ‎（2）记，方程有实根等价于有零点，‎ 因为，当时，；当时，，‎ 可知为极小值，又因为 所以，在上存在一个零点，此时 又因为，‎ 所以，在上存在一个零点，此时 综上，或 ‎（3）不等式对任意正实数恒成立，‎ ‎ 即，恒成立，‎ 当时，上式显然成立，此时 当时，上式化为，令，‎ 则，由（2）可知，函数在上单减，且存在一个零点，此时，即，‎ 当时，；时，，‎ 所以有极大值即最大值，于是 当时，不等式化为，同理可得 综上可知，，又因为，‎ 所以正整数的取值集合为.‎ ‎【点睛】该题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性和不等式恒成立问题，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在 - 21 -‎ 处的导数，即在点处的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得方程.‎ - 21 -‎ ‎ ‎ - 21 -‎