2018-2019学年河北省安平中学高二上学期期末考试数学（理）试题（实验班） Word版

2018-2019学年河北省安平中学高二上学期期末考试数学（理）试题（实验班） Word版

安平中学2018-2019学年上学期期末考试 高二实验部数学试题（理）‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题）‎ 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合A={x|2x2﹣5x﹣3≤0}，B={x∈Z|x≤2}，则A∩B中的元素个数为（　　）‎ A．2 B．‎3 ‎C．4 D．5‎ ‎2．设复数z=1+i，i是虚数单位，则+（）2=（　　）‎ A．1﹣3i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i ‎3．命题“∃x0∈（0，），cosx0＞sinx‎0”‎的否定是（　　）‎ A．∃x0∈（0，），cosx0≤sinx0 B．∀x∈（0，），cosx≤sinx C．∀x∈（0，），cosx＞sinx D．∃x0∉（0，），cosx0＞sinx0‎ ‎4．设各项均为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn,且a‎4a8=32,则S11的最小值为 A. B. C.22 D.44‎ ‎5．已知向量，满足•（﹣）=2，且||=1，||=2，则与的夹角为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．如图为教育部门对辖区内某学校的50名儿童的体重（kg）作为样本进行分析而得到的频率分布直方图，则这50名儿童的体重的平均数为（　　）‎ A．27.5 B．‎26.5 ‎C．25.6 D．25.7　‎ ‎7．已知sin（）=，则cos（2）=（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C． D．‎ ‎8．某高校的8名属“老乡”关系的同学准备拼车回家，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学恰有2名来自于同一年级的乘坐方式共有（　　）‎ A．18种 B．24种 C．36种 D．48种 ‎9．如图，B、D是以AC为直径的圆上的两点，其中，，则=（　　）‎ A．1 B．‎2 ‎C．t D．2t ‎10．已知实数x，y满足条件|x﹣1|+|y﹣1|≤2，则2x+y的最大值为（　　）‎ A．3 B．‎5 ‎C．7 D．9‎ ‎11.设函数在上可导, 则与的大小关系是(    )‎ A. B. C. D.不确定 ‎12．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（　　）‎ A． B．‎1 ‎C． D．2‎ ‎　第Ⅱ卷（非选择题）‎ 二．填空题（共4题每题5分满分20分）‎ ‎13．若（a+x）（1+x）4的展开式中，x的奇数次幂的系数和为32，则展开式中x3的系数为　　．‎ ‎14．已知正四面体ABCD的棱长为l，E是AB的中点，过E作其外接球的截面，则此截面面积的最小值为　　．‎ ‎15.若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数,则实数的取值范围是   ‎ ‎16．设函数y=的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（其中O为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是　　．‎ 三． 解答题：（解答题应写出必要的文字说明和演算步骤，17题10分，18-22每题12分)‎ ‎17．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）求△ABC的面积的最大值．‎ ‎18．设函数，数列{an}满足，n∈N*，且n≥2．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）对n∈N*，设，若恒成立，求实数t的取值范围．‎ ‎19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，BC=2，AD=CD=1，M是PB的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：AM∥平面PCD；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面ACM⊥平面PAB；‎ ‎（Ⅲ）若PC与平面ACM所成角为30°，求PA的长．‎ ‎20．已知函数f（x）=ex﹣xlnx，g（x）=ex﹣tx2+x，t∈R，其中e是自然对数的底数．‎ ‎（Ⅰ）求函数 f（x）在点（1，f（1））处切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若g（x）≥f（x）对任意x∈（0，+∞）恒成立，求t的取值范围．‎ ‎21．过离心率为的椭圆的右焦点F（1，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，设|FA|=λ|FB|，T（2，0）．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若1≤λ≤2，求△ABT中AB边上中线长的取值范围．‎ ‎22．已知函数f（x）=ex﹣3x+‎3a（e为自然对数的底数，a∈R）．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的单调区间与极值；‎ ‎（Ⅱ）求证：当，且x＞0时，．‎ ‎ ‎ 理答案 ‎1-12 BABBD CABAC BA ‎13.18‎ 14. 15. 16. ‎（0，]‎ ‎17.【解答】解：（1）△ABC中，∵a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，‎ ‎∴利用正弦定理可得（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，即 b2+c2﹣bc=4，即b2+c2﹣4=bc，‎ ‎∴cosA===，‎ ‎∴A=．‎ ‎（2）再由b2+c2﹣bc=4，利用基本不等式可得 4≥2bc﹣bc=bc，‎ ‎∴bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，‎ 此时，△ABC为等边三角形，它的面积为bcsinA=×2×2×=，‎ 故△ABC的面积的最大值为：．‎ ‎ ‎ ‎18.【解答】解：（1）依题意，an﹣an﹣1=（n≥2），‎ 又∵a1=1，‎ ‎∴数列{an}是首项为1、公差为的等差数列，‎ 故其通项公式an=1+（n﹣1）=；‎ ‎（2）由（1）可知an+1=，‎ ‎∴=（﹣），‎ ‎∴‎ ‎=（﹣+﹣+…+﹣）‎ ‎=，‎ 恒成立等价于≥，即t≤恒成立．‎ 令g（x）=（x＞0），则g′（x）=＞0，‎ ‎∴g（x）=（x＞0）为增函数，‎ ‎∴当n=1时取最小值，‎ 故实数t的取值范围是（﹣∞，]．‎ ‎19.‎ ‎【解答】证明：（I）取PC的中点N，连接MN，DN．‎ ‎∵M，N是PB，PC的中点，‎ ‎∴MNBC，又ADBC，‎ ‎∴MNAD，‎ ‎∴四边形ADNM是平行四边形，‎ ‎∴AM∥DN，又AM⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，‎ ‎∴AM∥平面PCD．‎ ‎（II）∵PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，‎ ‎∴PA⊥AC．‎ ‎∵AD=CD=1，AD⊥CD，AD∥BC，‎ ‎∴AC=，∠DCA=∠BCA=45°，‎ 又BC=2，∴AB==．‎ ‎∴AC2+AB2=BC2，∴AC⊥AB．‎ 又PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，PA∩AB=A，‎ ‎∴AC⊥平面PAB，又AC⊂平面ACM，‎ ‎∴平面ACM⊥平面PAB．‎ ‎（III）取BC的中点E，连接AE，则AE⊥AD．‎ 以A为原点，以AD，AE，AP为坐标轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，‎ 则A（0，0，0），C（1，1，0），设P（0，0，a），则M（﹣，，）（a＞0）．‎ ‎∴=（1，1，0），=（﹣，，），=（1，1，﹣a）．‎ 设平面ACM的法向量为=（x，y，z），则．‎ ‎∴．令x=1得=（1，﹣1，）．‎ ‎∴cos＜＞==．‎ ‎∵PC与平面ACM所成角为30°，‎ ‎∴=．解得a=．‎ ‎∴|PA|=．‎ ‎ ‎ ‎20.【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=ex﹣xlnx，得f′（x）=e﹣lnx﹣1，则f′（1）=e﹣1．‎ 而f（1）=e，∴所求切线方程为y﹣e=（e﹣1）（x﹣1），即y=（e﹣1）x+1；‎ ‎（Ⅱ）∵f（x）=ex﹣xlnx，g（x）=ex﹣tx2+x，t∈R，‎ ‎∴g（x）≥f（x）对任意x∈（0，+∞）恒成立．‎ ‎⇔ex﹣tx2+x﹣ex+xlnx≥0对任意x∈（0，+∞）恒成立．‎ 即t≤对任意x∈（0，+∞）恒成立．‎ 令F（x）=．‎ 则F′（x）=，‎ 设G（x）=，‎ 则G′（x）=对任意x∈（0，+∞）恒成立．‎ ‎∴G（x）=在（0，+∞）单调递增，且G（1）=0．‎ ‎∴x∈（0，1）时，G（x）＜0，x∈（1，+∞）时，G（x）＞0，‎ 即x∈（0，1）时，F′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，F′（x）＞0，‎ ‎∴F（x）在（0，1）上单调递减，F（x）在（1，+∞）上单调递增．‎ ‎∴F（x）≥F（1）=1．‎ ‎∴t≤1，即t的取值范围是（﹣∞，1]．‎ ‎21.【解答】解：（Ⅰ）∵，c=1，a2=b2+c2，‎ ‎∴=b，‎ ‎∴椭圆C的方程为：．‎ ‎（Ⅱ）当直线l的斜率为0时，显然不成立．因此可设直线l的方程为：my=x﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 直线l的方程与椭圆方程联立可得：（m2+2）y2+2my﹣1=0，‎ ‎∴，，‎ 由|FA|=λ|FB|，可得y1=﹣λy2，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴﹣2=，‎ ‎∵1≤λ≤2，∴∈，‎ ‎∴0≤，‎ 又AB边上的中线长为===，‎ ‎∵0≤，∴=t∈．‎ ‎∴f（t）=2t2﹣7t+4=2﹣∈．‎ ‎∴．‎ ‎∴△ABT中AB边上中线长的取值范围是 ‎22.【解答】（ I）解 由f（x）=ex﹣3x+‎3a，x∈R知f′（x）=ex﹣3，x∈R．…‎ 令f′（x）=0，得x=ln 3，…‎ 于是当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表．‎ x ‎（﹣∞，ln 3）‎ ln 3‎ ‎（ln 3，+∞）‎ f′（x）‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f（x）‎ ‎↓‎ ‎3（1﹣ln 3+a）‎ ‎↑‎ 故f（x）的单调递减区间是（﹣∞，ln 3]，‎ 单调递增区间是[ln3，+∞），…‎ f（x）在x=ln 3处取得极小值，极小值为f（ln 3）=eln3﹣3ln 3+‎3a=3（1﹣ln 3+a）．…‎ ‎（II）证明：待证不等式等价于…‎ 设，x∈R，‎ 于是g'（x）=ex﹣3x+‎3a，x∈R．‎ 由（ I）及知：g'（x）的最小值为g′（ln 3）=3（1﹣ln 3+a）＞0．…‎ 于是对任意x∈R，都有g'（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增．‎ 于是当时，对任意x∈（0，+∞），都有g（x）＞g（0）． …‎ 而g（0）=0，从而对任意x∈（0，+∞），g（x）＞0．‎ 即，故