2020高中数学函数的单调性

2020高中数学函数的单调性

第1课时　函数的单调性 学习目标：1.理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性．(重点、难点)2.会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性．(难点)3.会求一些具体函数的单调区间．(重点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1．增函数与减函数的定义 条件 一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时 都有f(x1)＜f(x2)‎ 都有f(x1)＞f(x2)‎ 结论 那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图示 思考1：增(减)函数定义中的x1，x2有什么特征？‎ ‎[提示]　定义中的x1，x2有以下3个特征 ‎(1)任意性，即“任意取x1，x‎2”‎中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；‎ ‎(2)有大小，通常规定x1f(1)．(　　)‎ ‎(3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)√　(3)×‎ - 6 -‎ ‎2．函数y＝f(x)的图象如图131所示，其增区间是(　　)‎ 图131‎ A．[－4,4]‎ B．[－4，－3]∪[1,4]‎ C．[－3,1]‎ D．[－3,4]‎ C　[由图可知，函数y＝f(x)的单调递增区间为[－3,1]，选C.]‎ ‎3．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是减函数的是(　　)‎ ‎【导学号：37102125】‎ A．y＝－　　　　　　 B．y＝x C．y＝x2 D．y＝1－x D　[函数y＝1－x在区间(0，＋∞)上是减函数，其余函数在(0，＋∞)上均为增函数，故选D.]‎ ‎4．函数f(x)＝x2－2x＋3的单调减区间是________．‎ ‎(－∞，1)　[因为f(x)＝x2－2x＋3是图象开口向上的二次函数，其对称轴为x＝1，所以函数f(x)的单调减区间是(－∞，1)．]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 求函数的单调区间 ‎　求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．‎ ‎(1)f(x)＝－；(2)f(x)＝ ‎(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3. ‎ ‎【导学号：37102126】‎ ‎[解]　(1)函数f(x)＝－的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数．‎ ‎(2)当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．‎ ‎(3)因为f(x)＝－x2＋2|x|＋3＝ 根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，‎ 函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，(－1,0)，[0,1)，[1，＋∞)．‎ f(x - 6 -‎ ‎)在(－∞，－1]，[0,1)上是增函数，在(－1,0)，[1，＋∞)上是减函数．‎ ‎[规律方法]　‎ ‎1．求函数单调区间的方法 ‎(1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解；‎ ‎(2)利用函数的图象，如本例(3)．‎ ‎2．若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开，如本例(3)．‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1．(1)根据如图132说出函数在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数；‎ 图132‎ ‎(2)写出y＝|x2－2x－3|的单调区间．‎ ‎[解]　(1)函数在[－1,0]，[2,4]上是减函数，在[0,2]，[4,5]上是增函数．‎ ‎(2)先画出 f(x)＝的图象，如图．‎ 所以y＝|x2－2x－3|的单调减区间为(－∞，－1]，[1,3]；单调增区间为[－1,1]，[3，＋∞)．‎ 函数单调性的判定与证明 ‎　证明函数f(x)＝x＋在(0,1)上是减函数. ‎ ‎【导学号：37102127】‎ 思路探究：―→‎ - 6 -‎ ‎[证明]　设x1，x2是区间(0,1)上的任意两个实数，且x10，即f(x1)>f(x2)，‎ ‎∴f(x)＝x＋在(0,1)上是减函数．‎ ‎[规律方法]　‎ 利用定义证明函数单调性的步骤 (1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1x2>1，‎ 则f(x1)－f(x2)＝－＝，‎ 因为x1>x2>1，‎ 所以x2－x1<0，x1－1>0，x2－1>0，‎ 所以f(x1)f(b)，则a，b满足什么关系．如果函数f(x)是减函数呢？‎ 提示：若函数f(x)是其定义域上的增函数，那么当f(a)>f(b)时，a>b；若函数f(x - 6 -‎ ‎)是其定义域上的减函数，那么当f(a)>f(b)时，ag(5x＋6)”，求实数x的取值范围．‎ ‎[解]　∵g(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且g(2x－3)>g(5x＋6)，‎ ‎∴2x－3>5x＋6，即x<－3.‎ 所以实数x的取值范围为(－∞，－3)．‎ ‎[规律方法]　函数单调性的应用 (1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.‎ (2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.‎ ‎[当 堂 达 标·固 双 基]‎ ‎1．如图133是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是(　　)‎ - 6 -‎ 图133‎ A．函数在区间[－5，－3]上单调递增 B．函数在区间[1,4]上单调递增 C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减 D．函数在区间[－5,5]上没有单调性 C　[由图可知，f(x)在区间[－3,1]，[4,5]上单调递减，单调区间不可以用并集“∪”连接，故选C.]‎ ‎2．函数f(x)在R上是减函数，则有(　　) ‎ ‎【导学号：37102129】‎ A．f(3)f(5) D．f(3)≥f(5)‎ C　[∵3<5，且f(x)在R上是减函数，∴f(3)>f(5)．]‎ ‎3．如果函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b的取值范围为(　　)‎ A．b＝3 B．b≥3‎ C．b≤3 D．b≠3‎ C　[函数f(x)＝x2－2bx＋2的图象是开口向上，且以直线x＝b为对称轴的抛物线，‎ 若函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b≤3，故选C.]‎ ‎4．已知函数f(x)＝(k≠0)在区间(0，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是________. ‎ ‎【导学号：37102130】‎ ‎(－∞，0)　[结合反比例函数的单调性可知k<0.]‎ ‎5．证明：函数y＝在(－1，＋∞)上是增函数．‎ ‎[证明]　设x1>x2>－1，则 y1－y2＝－＝.‎ ‎∵x1>x2>－1，∴x1－x2>0，x1＋1>0，x2＋1>0，‎ ‎∴>0，即y1－y2>0，y1>y2，‎ ‎∴y＝在(－1，＋∞)上是增函数．‎ - 6 -‎