高考数学圆锥曲线压轴专项练习集一

高考数学圆锥曲线压轴专项练习集一

‎2018年高考数学圆锥曲线压轴专项练习集（一）‎ ‎ 1.设分别是直线和上的两个动点，并且，动点满足，记动点的轨迹为。‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）若点的坐标为，是曲线上的两个动点，并且，求实数的取值范围；‎ ‎（3）是曲线上的任意两点，并且直线不与轴垂直，线段的中垂线交轴于点，求的取值范围。‎ ‎2.如图，已知椭圆：的离心率为，、为椭圆的左右顶点，焦点到短轴端点的距离为2，、为椭圆上异于、的两点，且直线的斜率等于直线斜率的2倍．‎ ‎（Ⅰ）求证：直线与直线的斜率乘积为定值；‎ ‎（Ⅱ）求三角形的面积的最大值．‎ ‎3.已知椭圆E：（a>b>0）的离心率e＝，左、右焦点分别为F1、F2，点P（2,），点F2在线段PF1的中垂线上．‎ ‎ （1）求椭圆E的方程；‎ ‎ （2）设l1，l2是过点G（，0）且互相垂直的两条直线，l1交E于A，‎ ‎ B两点，l2交E于C，D两点，求l1的斜率k的取值范围；‎ ‎ （3）在（2）的条件下，设AB，CD的中点分别为M，N，试问直线MN是否恒过定点?‎ 若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由。‎ ‎4.已知圆E：x2+（y﹣）2=经过椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点F1，F2，且与椭圆C在第一象限的交点为A，且F1，E，A三点共线，直线l交椭圆C于M，N两点，且=λ（λ≠0）‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）当三角形AMN的面积取得最大值时，求直线l的方程．‎ ‎5.已知：一动圆过且与圆A:相切。‎ ‎（1）证明动圆圆心P的轨迹是双曲线，并求其方程；‎ ‎（2）过点B作直线交双曲线右支于、两点，是否存在的值，使得 成为以为直角的等腰三角形，若存在则求出的值，若不存在则说明理由。‎ ‎6.已知椭圆C的离心率为，F1，F2分别为椭圆的左右焦点，P为椭圆上任意一点，△PF1F2的周长为4+2，直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C相交于A，B两点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线l与圆x2+y2=1相切，过椭圆C的右焦点F2作垂直于x轴的直线，与椭圆相交于M，N两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合）．求四边形MANB面积的最大值及取得最大值时直线l的方程；‎ ‎（Ⅲ）若|AB|=2，试判断直线l与圆x2+y2=1的位置关系．‎ ‎7.如图已知椭圆的离心率为，直线过椭圆C的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线上的射影依次为D，K，E。‎ ‎ （1）求椭圆C的方程；‎ ‎ （2）试探索当变化时，直线AE是否经过一定点N？若是求出N的坐标并给予证明；否则说明理由。‎ ‎ （3）设梯形ABED的面积为的面积为，求最小值。‎ ‎8.已知椭圆E：的左焦点为F，左准线与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点.‎ ‎（1）求圆C的方程；‎ ‎（2）若直线FG与直线交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；‎ ‎（3）在平面上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎9.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点．‎ ‎（I）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）直线x=2与椭圆交于P，Q两点，P点位于第一象限，A，B是椭圆上位于直线x=2两侧的动点．‎ ‎（i）若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；‎ ‎（ii）当点A，B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．‎ ‎10.如图，直线与抛物线（常数）相交于不同的两点、，且（为定值），线段的中点为，与直线平行的切线的切点为（不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点为切点）．‎ ‎（1）用、表示出点、点的坐标，并证明垂直于轴；‎ ‎（2）求的面积，证明的面积与、无关，只与有关；‎ ‎（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连、，再作与、平行的切线，切点分别为、，小张马上写出了、的面积，由此小张求出了直线与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由．‎ 试卷答案 ‎1.‎ ‎（1）设：ks5u ‎，ks5u 又，，即所求曲线方程为 ‎ ‎（2）设：，则由可得 故 ‎ 在曲线上，消去，‎ 得，又解得 又且 ‎ ‎（3）设直线为，则 得：‎ 解得：①且 则直线为由在直线上②‎ 由①②得 ‎2.‎ 解：（Ⅰ）．‎ ‎，故．‎ ‎（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设：与轴的交点为，‎ 代入椭圆方程得，‎ 设，，则，，‎ 由，得，‎ 得，‎ ‎，得或．　‎ 或，所以过定点或，‎ 点为右端点，舍去，‎ ‎，‎ 令（），‎ ‎，，，‎ 当直线的斜率不存在时，，，‎ ‎，即，解得，，‎ ‎，‎ 所以的最大值为.‎ ‎3.‎ 略 ‎4.‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．‎ ‎【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】（1）由题意把焦点坐标代入圆的方程求出c，再由条件得F1A为圆E的直径求出|AF1|=3，根据勾股定理求出|AF2|，根据椭圆的定义和a2=b2+c2依次求出a和b的值，代入椭圆方程即可；‎ ‎（2）由（1）求出A的坐标，根据向量共线的条件求出直线OA的斜率，设直线l的方程和M、N的坐标，联立直线和椭圆方程消去y，利用韦达定理和弦长公式求出|MN|，由点到直线的距离公式求出点A到直线l的距离，代入三角形的面积公式求出△AMN的面积S的表达式，化简后利用基本不等式求出面积的最大值以及对应的m，代入直线l的方程即可．‎ ‎【解答】解：（1）如图圆E经过椭圆C的左右焦点F1，F2，‎ ‎∴c2+（0﹣）2=，解得c=，…（2分）‎ ‎∵F1，E，A三点共线，∴F1A为圆E的直径，则|AF1|=3，‎ ‎∴AF2⊥F1F2，∴=﹣=9﹣8=1，‎ ‎∵2a=|AF1|+|AF2|=3+1=4，∴a=2‎ 由a2=b2+c2得，b=，…（4分）‎ ‎∴椭圆C的方程是；…‎ ‎（2）由（1）得点A的坐标（，1），‎ ‎∵（λ≠0），∴直线l的斜率为kOA=，…（6分）‎ 则设直线l的方程为y=x+m，设M（x1，y1），N（x2，y2），‎ 由得，，‎ ‎∴x1+x2=，x1x2=m2﹣2，‎ 且△=2m2﹣4m2+8＞0，解得﹣2＜m＜2，…（8分）‎ ‎∴|MN|=|x2﹣x1|=‎ ‎==，‎ ‎∵点A到直线l的距离d==，‎ ‎∴△AMN的面积S==‎ ‎=≤=，…（10分）‎ 当且仅当4﹣m2=m2，即m=，直线l的方程为．…（12分）‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程，韦达定理和弦长公式，向量共线条件，以及直线、圆与椭圆的位置关系等，考查的知识多，综合性强，考查化简计算能力，属于中档题．‎ ‎5.‎ ‎ ‎ 略 ‎6.‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意列关于a，b，c的方程组，求解方程组可得a，b的值，则椭圆C的方程可求；‎ ‎（Ⅱ）由已知求出MN的长度，然后，由直线和圆相切得到m，k的关系，再联立直线方程和椭圆方程，求出A，B的横坐标，代入四边形面积公式，利用基本不等式求得最值，并得到使四边形ACBD的面积有最大值时的m，k的值，从而得到直线l的方程．‎ ‎（Ⅲ）由|AB|=2，得到m，k的关系，再用m，k表示圆心到直线l的距离d，求出d的取值范围即可．‎ ‎【解答】（本小题满分14分）‎ 解：（ I）设椭圆的方程为，由题可知，﹣﹣‎ 解得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 所以椭圆C的方程为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎（ II）令，解得，所以|MN|=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 直线l与圆x2+y2=1相切可得，即k2+1=m2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 联立直线与椭圆的方程，整理得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 所以﹣﹣﹣﹣‎ 将k2+1=m2代入可得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 当且仅当，即时，等号成立，此时．‎ 所以，当时，四边形MANB的面积具有最大值，直线l方程是或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎（ III）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 整理得，所以 设圆心到直线l的距离为d，则﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 设1+k2=t，t≥1，则k2=t﹣1，‎ 所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 当，即时，d2=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 所以当时，直线l与圆相切，当，时，直线l与圆相交．﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎7.‎ ‎8.（1）由椭圆E：，得：，，，‎ 又圆C过原点，所以圆C的方程为．………………………………4分 ‎（2）由题意，得，代入，得，‎ 所以的斜率为，的方程为， …………………8分[‎ ‎（注意：若点G或FG方程只写一种情况扣1分）‎ 所以到的距离为，直线被圆C截得弦长为．‎ 故直线被圆C截得弦长为7．…………………………………………………………10分 ‎（3）设，，则由，得，‎ 整理得①，…………………………12分 又在圆C：上，所以②，‎ ‎②代入①得， …………………………14分 又由为圆C 上任意一点可知，解得．‎ 所以在平面上存在一点P，其坐标为． …………………………16分 ‎9.‎ 考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．‎ 专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题．‎ 分析： （I）设椭圆C的方程为 +=1（a＞b＞0），由条件利用椭圆的性质求得 b和a的值，可得椭圆C的方程．‎ ‎（Ⅱ）（i）设AB的方程为y=x+t，代入椭圆C的方程化简，由△＞0，求得t的范围，再利用利用韦达定理可得 x1+x2‎ ‎ 以及x1+x2 的值．再求得P、Q的坐标，根据四边形APBQ的面积S=S△APQ+S△BPQ=•PQ•|x1﹣x2|，计算求得结果．‎ ‎（ii）当∠APQ=∠BPQ时，PA、PB的斜率之和等于零，PA的方程为y﹣1=k（x﹣2），把它代入椭圆C的方程化简求得x2+2=．再把直线PB的方程椭圆C的方程化简求得x2+2 的值，可得 x1+x2 以及x1﹣x2 的值，从而求得AB的斜率K的值．‎ 解答： 解：设椭圆C的方程为 +=1（a＞b＞0），由题意可得它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点（0，），‎ ‎∴b=．‎ 再根据离心率===，求得a=2，∴椭圆C的方程为 +=1．‎ ‎（Ⅱ）（i）设A（ x1，y1 ），B（ x2，y2），AB的方程为y=x+t，代入椭圆C的方程化简可得 x2+2tx+2t2﹣4=0，‎ 由△=4t2﹣4（2t2﹣4）＞0，求得﹣2＜t＜2．‎ 利用韦达定理可得 x1+x2=﹣2t，x1+x2=2t2﹣4．‎ 在 +=1中，令x=2求得P（2，1），Q（2，﹣1），∴四边形APBQ的面积S=S△APQ+S△BPQ=•PQ•|x1﹣x2|‎ ‎=×2×|x1﹣x2|=|x1﹣x2|===，‎ 故当t=0时，四边形APBQ的面积S取得最小值为4．‎ ‎（ii）当∠APQ=∠BPQ时，PA、PB的斜率之和等于零，设PA的斜率为k，则 PB的斜率为﹣k，‎ PA的方程为y﹣1=k（x﹣2），把它代入椭圆C的方程化简可得（1+4k2）x2+8k（1﹣2k）x+4（1﹣2k）2﹣8=0，‎ ‎∴x2+2=．‎ 同理可得直线PB的方程为y﹣1=﹣k（x﹣2），x2+2=，‎ ‎∴x1+x2=，x1﹣x2=，∴AB的斜率K====‎ ‎==．‎ 点评： 本题主要考查求圆锥曲线的标准方程，圆锥曲线的定义、性质的应用，直线和圆锥曲线相交的性质，直线的斜率公式、韦达定理的应用，属于难题．‎ ‎10.‎ ‎（1）由，得，‎ 点 设切线方程为，由,得，，切点的横坐标为，得 由于、的横坐标相同，垂直于轴．‎ ‎（2），‎ ‎． ．‎ 的面积与、无关，只与有关．‎ ‎（本小题也可以求，切点到直线的距离，相应给分）‎ ‎（3）由（1）知垂直于轴，，由（2）可得、的面积只与有关，将中的换成，可得 ‎．‎ 记，，按上面构造三角形的方法，无限的进行下去，可以将抛物线与线段所围成的封闭图形的面积，看成无穷多个三角形的面积的和，即数列的无穷项和，此数列公比为．‎ 所以封闭图形的面积