2021高考数学新高考版一轮习题：专题7 第58练 向量法求解空间角和距离问题 Word版含解析

2021高考数学新高考版一轮习题：专题7 第58练 向量法求解空间角和距离问题 Word版含解析

‎1.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成角为(　　)‎ A．30° B．150°‎ C．60° D．120°‎ ‎2．(2020·山西省长治市第二中学期末)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD1所成角的余弦值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎4．如图，圆锥的高SO＝，底面直径AB＝2，C是圆O上一点，且AC＝1，则SA与BC所成角的余弦值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎5．(2019·安徽定远二中期末)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是AB，CC1的中点，则直线A1E与平面B1D1F所成角的正弦值是(　　)‎ A. B. C. D. ‎6．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝AA1＝2，点P为CC1的中点，则异面直线AP与C1D1所成角的正切值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎7．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，M为棱A1B1上的一点，且A1M＝λ(0<λ<2)，设点N为ME的中点，则点N到平面D1EF的距离为(　　)‎ A.λ B. C.λ D. ‎8．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1，中，底面边长为2，直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为(　　)‎ A．2 B．3‎ C．4 D．5‎ ‎9．在空间直角坐标系中，点P(0,0,1)为平面ABC外一点，其中A(1,1,0)，B(0,2,3)，若平面ABC的一个法向量为n＝(1，m,1)，则点P到平面ABC的距离为________．‎ ‎10．(2019·安徽定远二中期末)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝，PA＝2，则异面直线AC与PB所成角的余弦值为________．‎ ‎11．(2019·江西南昌二中月考)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，在空间中到三条棱AB，CC1，A1D1所在直线距离相等的点的个数为(　　)‎ A．0 B．2 C．3 D．无数个 ‎12．(2019·厦门实验中学期末)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AA1＝4，P是侧面BCC1B1内的动点，且AP⊥BD1，记AP与平面BCC1B1所成的角为θ，则tan θ的最大值为(　　)‎ A. B. C．2 D. ‎13．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB，AC，AA1两两互相垂直，AB＝AC＝AA1，M，N是线段BB1，CC1上的点，平面AMN与平面ABC所成锐二面角为，当B1M最小时，∠AMB等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎14．如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为4的菱形，且∠BAD＝60°，点A1在底面的投影O是AC的中点，且A1O＝4，点C关于平面C1BD的对称点为P，则三棱锥P－ABD的体积是(　　)‎ A．4 B．3 C．4 D．8‎ ‎15．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，O是平面ABCD的中心，点P在棱C1D1上移动，则OP取最小值时，点P的坐标为________，直线OP与对角面A1ACC1‎ 所成的线面角的正切值为________．‎ ‎16．如图所示的正方体是一个三阶魔方(由27个全等的棱长为1的小正方体构成)，正方形ABCD是上底面正中间一个正方形，正方形A1B1C1D1是下底面最大的正方形，已知点P是线段AC上的动点，点Q是线段B1D上的动点，则线段PQ长度的最小值为______．‎ 答案精析 ‎1．C　2.A　3.B　4.A　5.D　6.A ‎7．D　8.C　9.　10. ‎11．D　12.B ‎13．B　[以A为原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，‎ 设|AB|＝|AC|＝|AA1|＝1，‎ 设CN＝b，BM＝a，则N(0,1，b)，M(1,0，a)，A(0,0,0)，B(1,0,0)，‎ ＝(1,0，a)，＝(0,1，b)，‎ 设平面AMN的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 则 取z＝1，得n＝(－a，－b,1)，‎ 又平面ABC的法向量为m＝(0,0,1)，‎ ‎∵平面AMN与平面ABC所成锐二面角为，‎ ‎∴cos ＝＝，解得3a2＋3b2＝1，‎ ‎∴当|B1M|最小时，‎ b＝0，|BM|＝a＝，‎ ‎∴tan∠AMB＝＝＝，‎ ‎∴∠AMB＝.故选B.]‎ ‎14．C　[因为平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为4的菱形，所以OA⊥OB，‎ 因为点A1在底面的投影O是AC的中点，‎ 所以OA1⊥OB，OA1⊥OA，‎ 故以O点为原点，分别以OA，OB，OA1所在直线为x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，‎ 则O(0,0,0)，A(2，0,0)，B(0,2,0)，‎ C(－2，0,0)，A1(0,0，4)，‎ C1(－4，0,4)，D(0，－2,0)，‎ 则＝(－4，2,4)，＝(0,4,0)，‎ 设平面C1BD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，‎ 故 即 令x＝1，解得n1＝(1,0，)，‎ 设点P(x2，y2，z2)，‎ 则＝(x2＋2，y2，z2)，‎ 因为点C关于平面C1BD的对称点为P，所以∥n1，‎ 所以＝λn1，‎ 即(x2＋2，y2，z2)＝λ(1,0，)，‎ 解得 即P(λ－2，0，λ)，‎ 又因为点C到平面C1BD的距离等于点P到平面C1BD的距离，‎ 所以＝，‎ 即|2λ－|＝，解得λ＝或λ＝0，‎ 当λ＝0时，点P与点C重合，不符合题意，‎ 当λ＝时，点P(－，0,3)，‎ 显然，平面ABD的法向量为n＝(0,0,1)，‎ 故点P到平面ABD的距离为＝＝3，‎ 所以三棱锥P－ABD的体积为VP－ABD＝×3××4×2＝4，故选C.]‎ ‎15．(1,2,2)　 解析　由题意，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则O(1,1,0)，‎ 设P(x,2,2)(0≤x≤2)．‎ 则|OP|＝＝，‎ 所以当x＝1，即P为C1D1中点时，OP取最小值，‎ 此时点P(1,2,2)，所以＝(0,1,2)，‎ 又由BD⊥平面A1ACC1，且＝(－2,2,0)，‎ 即平面A1ACC1的一个法向量为＝(－2,2,0)，‎ 设OP与平面A1ACC1所成的角为θ，‎ 由线面角的公式可得 sin θ＝|cos〈，〉|＝＝＝，‎ 因为θ∈，‎ 由三角函数的基本关系式，可得tan θ＝.‎ ‎16. 解析　以B1为坐标原点，B1C1，B1A1所在直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系，‎ 则B1(0,0,0)，A(1,2,3)，C(2,1,3)，D(2,2,3)，‎ 设＝λ，＝μ，λ，μ∈[0,1]．‎ 则＝(2λ，2λ，3λ)，＝＋＝＋μ＝(1＋μ，2－μ，3)．‎ 所以＝－＝(1＋μ－2λ，2－μ－2λ，3－3λ)，‎ ‎||2＝(1＋μ－2λ)2＋(2－μ－2λ)2＋(3－3λ)2＝17λ2－30λ＋2μ2－2μ＋14‎ ‎＝172＋22＋，‎ 当λ＝且μ＝时，||2取到最小值，‎ 所以线段PQ长度的最小值为.‎