【数学】2019届高考一轮复习北师大版理9-7抛物线学案

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【数学】2019届高考一轮复习北师大版理9-7抛物线学案

第7讲 抛物线 ‎1.抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线:‎ ‎(1)在平面内;‎ ‎(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等;‎ ‎(3)定点不在定直线上.‎ ‎2.抛物线的标准方程和几何性质 标准 方程 y2=2px ‎(p>0)‎ y2=-2px ‎(p>0)‎ x2=2py ‎(p>0)‎ x2=-2py ‎(p>0)‎ p的几何意义:焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0)‎ 对称轴 y=0‎ x=0‎ 焦点 F F F F 离心率 e=1‎ 准线 方程 x=- x= y=- y= 范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,‎ x∈R y≤0,‎ x∈R 开口 方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 ‎(其中 P(x0,‎ y0))‎ ‎|PF|=‎ x0+ ‎|PF|=‎ ‎-x0+ ‎|PF|=‎ y0+ ‎|PF|=‎ ‎-y0+ ‎3.与焦点弦有关的常用结论 ‎(以右图为依据)‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2).‎ ‎(1)y1y2=-p2,x1x2=.‎ ‎(2)|AB|=x1+x2+p=(θ为AB的倾斜角).‎ ‎(3)+为定值.‎ ‎(4)以AB为直径的圆与准线相切.‎ ‎(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切.‎ ‎ 判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.(  )‎ ‎(2)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切.(  )‎ ‎(3)若一抛物线过点P(-2,3),则其标准方程可写为y2=2px(p>0).(  )‎ ‎(4)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.(  )‎ 答案:(1)× (2)× (3)× (4)×‎ ‎ (教材习题改编)抛物线y=-x2的焦点坐标是(  )‎ A.(0,-1)         B.(0,1)‎ C.(1,0) D.(-1,0)‎ 解析:选A.抛物线y=-x2的标准方程为x2=-4y,开口向下,p=2,=1,故焦点为(0,-1).‎ ‎ 顶点在原点,对称轴为坐标轴,且过点P(-4,-2)的抛物线的标准方程是(  )‎ A.y2=-x B.x2=-8y C.y2=-8x或x2=-y D.y2=-x或x2=-8y 解析:选D.设抛物线为y2=mx,代入点P(-4,-2),解得m=-1,则抛物线方程为y2=-x;设抛物线为x2=ny,代入点P(-4,-2),解得n=-8,则抛物线方程为x2=-8y.‎ ‎ (教材习题改编)焦点在直线2x+y+2=0上的抛物线的标准方程为________.‎ 解析:抛物线的标准方程的焦点都在坐标轴上,直线2x+y+2=0与坐标轴的交点分别为(-1,0)与(0,-2),故所求的抛物线的焦点为(-1,0)或(0,-2),当焦点为(-1,0)时,易得抛物线标准方程为y2=-4x.‎ 当焦点为(0,-2)时,易得抛物线标准方程为x2=-8y.‎ 答案:y2=-4x或x2=-8y ‎ 设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是________.‎ 解析:如图所示,抛物线的准线l的方程为x=-2,F 是抛物线的焦点,过点P作PA⊥y轴,垂足是A,延长PA交直线l于点B,则|AB|=2,由于点P到y轴的距离为4,则点P到准线l的距离|PB|=4+2=6,所以点P到焦点的距离|PF|=|PB|=6.‎ 答案:6‎ ‎      抛物线的定义(高频考点)‎ 抛物线的定义是高考的热点,考查时多以选择题、填空题形式出现,个别高考题有一定难度.高考对该内容的考查主要有以下三个命题角度:‎ ‎(1)求抛物线的标准方程;‎ ‎(2)求抛物线上的点与焦点的距离;‎ ‎(3)求距离和的最值.‎ ‎ [典例引领]‎ ‎ 角度一 求抛物线的标准方程 ‎ (2018·天津模拟)已知动圆过定点F,且与直线x=-相切,其中p>0,则动圆圆心的轨迹E的方程为________________.‎ ‎【解析】 依题意得,圆心到定点F的距离与到直线x=-的距离相等,再依抛物线的定义可知,动圆圆心的轨迹E为抛物线,其方程为y2=2px.‎ ‎【答案】 y2=2px 角度二 求抛物线上的点与焦点的距离 ‎ (2017·高考全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=____________.‎ ‎【解析】 法一:依题意,抛物线C:y2=8x的焦点F(2,0),准线x=-2,因为M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N,M为FN的中点,设M(a,b)(b>0),所以a=1,b=2,所以N(0,4),|FN|==6.‎ 法二:依题意,抛物线C:y2=8x的焦点F(2,0),准线x=-2,因为M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N,M为FN的中点,则点M的横坐标为1,所以|MF|=1-(-2)=3,|FN|=2|MF|=6.‎ ‎【答案】 6‎ 角度三 求距离和的最值 ‎ 已知抛物线y2=4x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又有点B(3,2),则|PB|+|PF|的最小值为________.‎ ‎【解析】 如图,过点B作BQ垂直准线于Q,交抛物线于点P1,则|P1Q|=‎ ‎|P1F|,则有|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4.‎ 即|PB|+|PF|的最小值为4.‎ ‎【答案】 4‎ 若本例中的B点坐标改为(3,4),试求|PB|+|PF|的最小值.‎ 解:由题意可知点(3,4)在抛物线的外部.因为|PB|+|PF|的最小值即为B,F两点间的距离,‎ 所以|PB|+|PF|≥|BF|===2.即|PB|+|PF|的最小值为2.‎ 抛物线定义的应用 ‎(1)利用抛物线的定义解决此类问题,应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化.即“看到准线想到焦点,看到焦点想到准线”.‎ ‎(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x,y)到焦点F的距离|PF|=|x|+或|PF|=|y|+.  ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1.已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0=(  )‎ A.1          B.2‎ C.4 D.8‎ 解析:选A.由题意知抛物线的准线为x=-.因为|AF|=x0,根据抛物线的定义可得x0+=|AF|=x0,解得x0=1.‎ ‎2.已知动点P的坐标(x,y)满足方程5 ‎=|3x+4y+12|,则点P的轨迹是(  )‎ A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 解析:选D.由5=|3x+4y+12|⇒=,所以动点P到定点(1,2)的距离等于其到直线l:3x+4y+12=0的距离,所以点P的轨迹是抛物线.‎ ‎3.已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,且|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为(  )‎ A. B.1‎ C. D. 解析:选C.如图所示,设抛物线的准线为l,AB的中点为M,作AA1‎ ‎⊥l于A1,BB1⊥l于B1,MM1⊥l于M1,‎ 由抛物线的定义知p=,|AA1|+|BB1|=|AF|+|BF|=3,‎ 则点M到y轴的距离为|MM1|-=(|AA1|+|BB1|)-=.故选C.‎ ‎      抛物线的性质 ‎ [典例引领]‎ ‎ (1)(2016·高考全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为(  )‎ A.2          B.4‎ C.6 D.8‎ ‎(2)(2018·东北四市模拟)若点P为抛物线y=2x2上的动点,F为抛物线的焦点,则|PF|的最小值为(  )‎ A.2 B. C. D. ‎【解析】 (1)由题意,不妨设抛物线方程为y2=2px(p>0),由|AB|=4,|DE|=2,可取A,D,设O为坐标原点,由|OA|=|OD|,得+8=+5,得p=4,所以选B.‎ ‎(2)由题意知x2=y,则F,设P(x0,2x),则|PF|===2x+,所以当x=0时,|PF|min=.‎ ‎【答案】 (1)B (2)D 抛物线性质的应用技巧 ‎(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时,关键是将抛物线方程化成标准方程.‎ ‎(2)要结合图形分析,灵活运用平面图形的性质以形助数.‎ ‎ [通关练习]‎ ‎1.(2018·河南中原名校联考)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,M为抛物线上一点,且|MF|=4|OF|,△MFO的面积为4,则抛物线的方程为(  )‎ A.y2=6x       B.y2=8x C.y2=16x D.y2= 解析:选B.设M(x,y),因为|OF|=,|MF|=4|OF|,所以|MF|=2p,由抛物线定义知x+=2p,所以x=p,所以y=±p,又△MFO的面积为4,所以××p=4,解得p=4(p=-4舍去).所以抛物线的方程为y2=8x.‎ ‎2.如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m.当水面宽为2 m时,水位下降了________ m.‎ 解析:以抛物线的顶点为坐标原点,水平方向为x轴建立平面直角坐标系,设抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),把(2,-2)代入方程得p=1,即抛物线的标准方程为x2=-2y.将x=代入x2=-2y得:y=-3,又-3-(-2)=-1,所以水面下降了1 m.‎ 答案:1‎ ‎      直线与抛物线的位置关系 ‎ [典例引领]‎ ‎ (2016·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.‎ ‎【解】 (1)由已知得M(0,t),P.‎ 又N为M关于点P的对称点,‎ 故N,‎ ON的方程为y=x,代入y2=2px,‎ 整理得px2-2t2x=0,解得x1=0,x2=.‎ 因此H.‎ 所以N为OH的中点,即=2.‎ ‎(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点.理由如下:‎ 直线MH的方程为y-t=x,‎ 即x=(y-t).‎ 代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,‎ 解得y1=y2=2t,‎ 即直线MH与C只有一个公共点,‎ 所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.‎ 直线与抛物线位置关系的判断 直线y=kx+m(m≠0)与抛物线y2=2px(p>0)联立方程组,消去y,得到k2x2+2(mk-p)x+m2=0的形式.当k=0时,直线和抛物线相交,且与抛物线的对称轴平行,此时与抛物线只有一个交点;当k≠0时,设其判别式为Δ,‎ ‎(1)相交:Δ>0⇔直线与抛物线有两个交点;‎ ‎(2)相切;Δ=0⇔直线与抛物线有一个交点;‎ ‎(3)相离:Δ<0⇔直线与抛物线没有交点.‎ ‎[提醒] 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线.  ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1.过点(-2,1)斜率为k的直线l与抛物线y2=4x只有一个公共点,则由k的值组成的集合为________.‎ 解析:设l的方程为y-1=k(x+2),‎ 由方程组,得ky2-4y+4(2k+1)=0,‎ ‎①当k=0时,y=1,此时x=,l与抛物线仅有一个公共点.‎ ‎②当k≠0时,由Δ=-16(2k2+k-1)=0,得k=-1或k=,所以k的值组成的集合为.‎ 答案: ‎2.(2018·湖南长沙四县联考)如图,已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3.‎ ‎(1)求抛物线E的方程;‎ ‎(2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:GF为∠AGB的平分线.‎ 解:(1)由抛物线定义可得|AF|=2+=3,解得p=2.‎ 所以抛物线E的方程为y2=4x.‎ ‎(2)证明:因为点A(2,m)在抛物线E上,‎ 所以m2=4×2,解得m=2,即A(2,2),‎ 又F(1,0),‎ 所以直线AF的方程为y=2(x-1),‎ 由得2x2-5x+2=0,解得x=2或,所以B.‎ 又G(-1,0),所以kGA=,kGB=-,‎ 所以kGA+kGB=0,所以∠AGF=∠BGF,‎ 所以GF为∠AGB的平分线.‎ ‎ 抛物线定义的实质可归结为“一动三定”;一个动点M,一个定点F(抛物线的焦点),一条定直线l(抛物线的准线),一个定值1(抛物线的离心率).‎ ‎ 抛物线最值问题的求法 ‎(1)求抛物线上一点到定直线的最小距离,可以利用点到直线的距离公式表示出所求的距离,再利用函数求最值的方法求解,亦可转化为抛物线过某点的切线与定直线平行时,两直线间的距离问题.‎ ‎(2)求抛物线上一点到定点的最值问题,可以利用两点间的距离公式表示出所求距离,在利用函数求最值的方法求解时,要注意抛物线上点的设法及变量的取值范围.‎ ‎ 易错防范 ‎(1)区分y=ax2(a≠0)与y2=2px(p>0),前者不是抛物线的标准方程.‎ ‎(2)求标准方程要先确定形式,必要时要进行分类讨论,标准方程有时可设为y2=mx或x2=my(m≠0).                                            ‎ ‎1.已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px(p>0)的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为(  )‎ A.-         B.-1‎ C.- D.- 解析:选C.由已知,得准线方程为x=-2,所以F的坐标为(2,0).又A(-2,3),所以直线AF的斜率为k==-.‎ ‎2.若点A,B在抛物线y2=2px(p>0)上,O是坐标原点,若正三角形OAB的面积为4,则该抛物线方程是(  )‎ A.y2=x B.y2=x C.y2=2x D.y2=x 解析:选A.根据对称性,AB⊥x轴,由于正三角形的面积是4,故AB2=4,故AB=4,正三角形的高为2,故可以设点A的坐标为(2,2),代入抛物线方程得4=4p,解得p=,故所求的抛物线方程为y2=x.故选A.‎ ‎3.(2018·皖北协作区联考)已知抛物线C:x2=2py(p>0),若直线y=2x被抛物线所截弦长为4,则抛物线C的方程为(  )‎ A.x2=8y B.x2=4y C.x2=2y D.x2=y 解析:选C.由得或即两交点坐标为(0,0)和(4p,8p),则=4,得p=1(舍去负值),故抛物线C的方程为x2=2y.‎ ‎4.(2018·湖南省五市十校联考)已知抛物线y2=2x上一点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5∶4,且|AF|>2,则点A到原点的距离为(  )‎ A. B.2 C.4 D.8‎ 解析:选B.令点A到点F的距离为5a,点A到x轴的距离为4a,则点A的坐标为,代入y2=2x中,解得a=或a=(舍),此时A(2,2),故点A到原点的距离为2.‎ ‎5.(2018·太原模拟)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点.若=4,则|QF|等于(  )‎ A. B. C.3 D.2‎ 解析:选C.因为=4,所以||=4||,所以=.如图,过Q作QQ′⊥l,垂足为Q′,设l与x轴的交点为A,则|AF|=4,所以==,所以|QQ′|=3,根据抛物线定义可知|QQ′|=|QF|=3.‎ ‎6.(2018·云南大理州模拟)在直角坐标系xOy中,有一定点M(-1,2),若线段OM的垂直平分线过抛物线x2=2py(p>0)的焦点,‎ 则该抛物线的准线方程是________.‎ 解析:依题意可得线段OM的垂直平分线的方程为2x-4y+5=0,‎ 把焦点坐标代入可求得p=,‎ 所以准线方程为y=-.‎ 答案:y=- ‎7.(2018·河北六校模拟)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点O是坐标原点,过点O,F的圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π,则抛物线的方程为________.‎ 解析:设满足题意的圆的圆心为M.‎ 根据题意可知圆心M在抛物线上,‎ 又因为圆的面积为36π,‎ 所以圆的半径为6,则|MF|=xM+=6,即xM=6-,‎ 又由题意可知xM=,所以=6-,解得p=8.‎ 所以抛物线方程为y2=16x.‎ 答案:y2=16x ‎8.已知抛物线C1:y=x2(p>0)的焦点与双曲线C2:-y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p=________.‎ 解析:抛物线的焦点坐标为,双曲线的右焦点坐标为(2,0),所以上述两点连线的方程为+=1.双曲线的渐近线方程为y=±x.对函数y=x2,y′=x.设M(x0,y0),则x0=,即x0=p,代入抛物线方程得y0=p,由于点M在直线+=1上,所以p+×=1,解得p==.‎ 答案: ‎9.顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线截直线y=2x-4所得的弦长|AB|=3,求此抛物线方程.‎ 解:设所求的抛物线方程为y2=ax(a≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),把直线y=2x-4代入y2=ax,‎ 得4x2-(a+16)x+16=0,‎ 由Δ=(a+16)2-256>0,得a>0或a<-32.‎ 又x1+x2=,x1x2=4,‎ 所以|AB|= ‎= =3,‎ 所以5=45,‎ 所以a=4或a=-36.‎ 故所求的抛物线方程为y2=4x或y2=-36x.‎ ‎10.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4,且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M.‎ ‎(1)求抛物线的方程;‎ ‎(2)若过M作MN⊥FA,垂足为N,求点N的坐标.‎ 解:(1)抛物线y2=2px的准线为x=-,‎ 于是4+=5,‎ 所以p=2.‎ 所以抛物线方程为y2=4x.‎ ‎(2)因为点A的坐标是(4,4),‎ 由题意得B(0,4),M(0,2).‎ 又因为F(1,0),所以kFA=,‎ 因为MN⊥FA,所以kMN=-.‎ 又FA的方程为y=(x-1),①‎ MN的方程为y-2=-x,②‎ 联立①②,解得x=,y=,‎ 所以点N的坐标为.‎ ‎1.(2018·甘肃兰州模拟)设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为(  )‎ A.           B. C. D.1‎ 解析:选C.由题意得F,设P,‎ 显然当y0<0时,kOM<0;当y0>0时,kOM>0.要求kOM的最大值,则y0>0,‎ 则=+=+=+(-)=+=,所以kOM==≤=,‎ 当且仅当y=2p2时,取得等号.‎ ‎2.(2018·福建省普通高中质量检查)过抛物线y2=4x的焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,交其准线于点C,且A,C位于x轴同侧,若|AC|=2|AF|,则|BF|等于(  )‎ A.2 B.3‎ C.4 D.5‎ 解析:选C.设抛物线的准线与x轴交于点D,则由题意,知F(1,0),D(-1,0),分别作AA1,BB1垂直于抛物线的准线,垂足分别为A1,B1,则有=,所以|AA1|=,故|AF|=.又=,即=,亦即=,解得|BF|=4,故选C.‎ ‎3.(2017·高考北京卷)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点(0,)作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A,B,其中O为原点.‎ ‎(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;‎ ‎(2)求证:A为线段BM的中点.‎ 解:(1)由抛物线C:y2=2px过点P(1,1),得p=.所以抛物线C的方程为y2=x.‎ 抛物线C的焦点坐标为,准线方程为x=-.‎ ‎(2)证明:由题意,设直线l的方程为y=kx+(k≠0),l与抛物线C的交点为M(x1,y1),N(x2,y2).‎ 由得4k2x2+(4k-4)x+1=0.‎ 则x1+x2=,x1x2=.‎ 因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为(x1,x1).‎ 直线ON的方程为y=x,点B的坐标为.‎ 因为y1+-2x1= ‎= ‎= ‎= ‎=0,‎ 所以y1+=2x1.‎ 故A为线段BM的中点.‎ ‎4.(2018·湖南六校联考)已知抛物线的方程为x2=2py(p>0),其焦点为F,点O为坐标原点,过焦点F作斜率为k(k≠0)的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B两点分别作抛物线的两条切线,设两条切线交于点M.‎ ‎(1)求·;‎ ‎(2)设直线MF与抛物线交于C,D两点,且四边形ACBD的面积为p2,求直线AB的斜率k.‎ 解:(1)设直线AB的方程为y=kx+,A(x1,y1),B(x2,y2),由得x2-2pkx-p2=0,‎ 则 所以·=x1·x2+y1·y2=-p2.‎ ‎(2)由x2=2py,知y′=,‎ 所以抛物线在A,B两点处的切线的斜率分别为,,‎ 所以直线AM的方程为y-y1=(x-x1),直线BM的方程为y-y2=(x-x2),则可得M.‎ 所以kMF=-,所以直线MF与AB相互垂直.‎ 由弦长公式知,|AB|=|x1-x2|=·=2p(k2+1),‎ 用-代替k得,|CD|=2p,‎ 四边形ACBD的面积S=·|AB|·|CD|=2p2=p2,‎ 解得k2=3或k2=,‎ 即k=±或k=±.‎
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