高考数学一轮复习专题10圆、椭圆、抛物线的最值、范围、定值、定点特色训练

高考数学一轮复习专题10圆、椭圆、抛物线的最值、范围、定值、定点特色训练

十、圆、椭圆、抛物线的最值、范围、定值、定点 一、选择题 1．【2017 年云南省第二次统一检测】已知 2, 2a b  ，直线 by x ba    与曲线    2 21 1 1x y    只有一个公共点 ，则 ab 的取值范围为（ ） A.  4,6 4 2 B. 4,6 4 2   C. 6 4 2,   D.  6 4 2,  【答案】C 【解析】直线化简为： 0bx ay ab   ，圆心 1,1 到直线的距离为 2 2 1a b abd a b     ， 整理为：    2 2 2 2 2 2 0a b ab a b ab ab a b         ，即 2 2 2 0ab a b    ， 整理为  2 2 4a b ab ab    ，设 2ab t  ，所以 2 4 2 0t t   ，解得 2 2t   或 2 2t   （舍），即 2 2ab   ，解得： 6 4 2ab   ，故选 C. 2．【2018 届黑龙江省海林市朝鲜中学高三综合卷一】已知两点  ,0A a ，  ,0B a （ 0a  ）， 若曲线 2 2 2 3 2 3 0x y x y     上存在点 P ，使得 90APB  ，则正实数 a 的取值范围 为（ ） A.  0,3 B.  1,3 C.  2,3 D.  1,2 【答案】B 3．设 ,m n R ，若直线   1 1 2 0m x n y     与圆   2 21 1 1x y    相切，则 m n 的取值范围是 （ ） A. 1 3,1 3    B.   ,1 3 1 3,     C. 2 2 2,2 2 2    D.   ,2 2 2 2 2 2,     【答案】D 点睛：与圆有关的最值或值域问题的常见类型及解题策略 (1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几 何性质数形结合求解． (2)与圆上点 ,x y 有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如 y bu x a   型的最值问题，可 转化为过点 ,a b 和点 ,x y 的直线的斜率的最值问题；②形如t ax by  型的最值问题，可 转化为动直线的截距的最值问题；③形如   2 2x a y b   型的最值问题，可转化为动点到 定点  ,a b 的距离平方的最值问题． 4．【2017 届贵州省贵阳市第一中学、凯里市第一中学高三下适应性月考卷七】已知直线    : 2 1 4 4 0l m x m y m      上总存在点 M ，使得过 M 点作的圆 C ： 2 2 2 4 3 0x y x y     的两条切线互相垂直，则实数 m 的取值范围是（ ） A. 1m  或 2m  B. 2 8m  C. 2 10m   D. 2m   或 8m  【答案】C 【解析】 如图，设切点分别为 A，B．连接 AC，BC，MC，由 90AMB MAC MBC       及 MA MB 知，四边形 MACB 为正方形，故 2 2 2MC    ，若直线 l 上总存在点 M 使得过点 M 的两条 切线互相垂直，只需圆心 1 2 ， 到直线l 的距离    2 2 2 2 2 4 4 2 2 1 m m md m m           ，即 2 8 20 0m m   ，∴ 2 10m   ，故选 C． 5．若方程 的任意一组解 都满足不等式 ，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 6．【2017 届河北省衡水中学高三下第二次摸底】椭圆 2 2 2 1(0 1)yx bb     的左焦点为 F ， 上顶点为 A ，右顶点为 B ，若 FAB 的外接圆圆心  ,P m n 在直线 y x  的左下方，则该椭 圆离心率的取值范围为 （ ） A. 2 ,12       B. 1 ,12      C. 20, 2       D. 10, 2      【答案】A 【解析】设      ,0 , 0, , ,0F c A b B a ，且 FAB 的外接圆的方程为 2 2 0x y Dx Ey F     ，将      ,0 , 0, , ,0F c A b B a 分别代入可得 2 ,2 2 c a b acm n b     ，由 0m n  可得 2 02 2 c a b ac b     ，即 1 0 0c b cc b b cb b         ，所以 0b c  ，即 2 2 2 1 2b c e ，所以 2 12 e  ， 应选答案 A. 7．【2017 届山西省实验中学高三下模拟】已知圆C 的方程为   2 23 4 16x y    ，过直线 l ： 6 8 5 0x y a   （ 0a  ）上的任意一点作圆C 的切线，若切线长的最小值为 2 5 ，则 直线l 在 y 轴上的截距为（ ） A. 25 2  B. 25 2 C. 55 4  D. 55 4 【答案】D 【解析】如图,由   2 23 4 16x y    ,得圆心坐标为(3,4)， 要使切线长最小,即圆心到直线 l: 6 8 5 0x y a   (a>0)的距离最小， 8．【2017 届重庆市巴蜀中学高三三诊】设 A 是双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的右顶点，  ,0F c 是右焦点，若抛物线 2 2 4ay xc   的准线l 上存在一点 P ，使 30APF   ，则双曲 线的离心率的范围是（ ） A.  2, B.  1,2 C.  1,3 D.  3, 【答案】A 【解析】抛物线的准线方程为 2ax c  ,正好是双曲的右准线.由于 AF= c a ,所以 AF 弦,圆心  3,2 2 a cO c a       ,半径 R c a  圆上任取一点 P, 30APF   ,现在转化为圆与准线 相交问题.所以   2 2 a c a c ac     ,解得 2e  .填 A. 9．【2017 年湖南省考前演练卷三】中心为原点O 的椭圆焦点在 x 轴上， A 为该椭圆右顶点， P 为椭圆上一点， 090OPA  ，则该椭圆的离心率 e 的取值范围是 （ ） A. 1 ,12     B. 2 ,12       C. 1 6,2 3      D. 20, 2       【答案】B 10．【2018 届广西钦州市高三上第一次检测】抛物线 的焦点为 ，点 为该抛物线上 的动点，点 是抛物线的准线与坐标轴的交点，则 的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 解得：k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0， 所以△=（2k2﹣4）2﹣4k4=0，解得 k=±1， 所以∠NPA=45°， =cos∠NPA= ． 故选 B． 11．【2017 届河北省石家庄市高三二模】已知动点 P 在椭圆 2 2 136 27 x y  上，若点 A 的坐标为  3,0 ，点 M 满足 1AM  ， 0PM AM   ，则 PM  的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 2 2 D. 3 【答案】C 【解析】 结合图形知，当 P 点为椭圆的右顶点时， AP 取最小值 6 3 3a c    ， PM 最小值是 23 1 2 2  故选：C． 12．【2018 届云南省昆明一中高三第一次摸底】设O 为坐标原点， P 是以 F 为焦点的抛物线 2 2y px （ 0p  ）上任意一点， M 是线段 PF 上的点，且 2PM MF ，则直线OM 的 斜率的最大值为（ ） A. 2 2 B. 2 3 C. 3 3 D. 1 【答案】A 【解析】由题意可得 ,02 pF      ，设 2 0 0 0, ,( 0)2 yP y yp       ，则   2 0 01 1 1 2 ,3 3 3 3 6 3 3 y ypOM OF FM OF FP OF OP OF OP OF p                          ，可 得 2 00 0 0 0 1 1 23 2226 3 2 k y py p y p p yp p y      ．当且仅当 0 02 y p p y  时取得等号，选 A. 二、填空题 13．【2018 届河南省中原名校（即豫南九校）高三上第二次联考】直线 与抛物线 交于 两不同点 ， .其中 ， ，若 ，则直线 恒过点的坐标是__________． 【答案】 【解析】设直线为 则 得 , , 直线为 ，恒过 故答案为 . 14．【2018 届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初联考】已知椭圆的方程为 2 2 19 4 x y  ，过 椭圆中心的直线交椭圆于 ,A B 两点， 2F 是椭圆右焦点，则 2ABF 的周长的最小值为 __________， 2ABF 的面积的最大值为__________． 【答案】 10 2 5 . 15．【2017 届浙江省杭州高级中学高三 2 月模拟】设圆 2 2 12x y  与抛物线 2 4x y 相交于 ,A B 两点， F 为抛物线的焦点，若过点 F 且斜率为1的直线与抛物线和圆交于四个不同的点， 从左至右依次为 1 2 3 4, , ,P P P P ，则 1 2 3 4PP P P 的值__________ ，若直线 m 与抛物线相交于 ,M N 两点，且与圆相切，切点 D 在劣弧 AB 上，则 MF NF 的取值范是__________. 【答案】 5 2 2 4 3,22   【解析】如图所示，联立圆与抛物线的方程可得交点坐标为：    2 2,2 , 2 2,2A B ∵点 F 坐标为(0,1),∴kFB= 2 4 ,∴kl>kFB， 所以直线 l 与圆交于 P1、P3 两点,与抛物线交于 P2、P4 两点， 设        1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4, , , , , , ,P x y P x y P x y P x y 把直线 l 方程：y=x+1 代入 x2=4y,得 x2−4x−4=0,∴x2+x4=4； 把直线 l 方程：y=x+1 代入 x2+y2=12,得 2x2+2x−11=0,∴x1+x 3=−1 ∴        1 2 3 4 2 1 4 3 2 4 1 32 2 5 2PP P P x x x x x x x x                ， ∵直线 m 与该圆相切,∴ 2 12 1 b k   ,即 2 2 112 bk   ， 又|MF|=y1+1,|NF|=y2+1， ∴  22 1 2 12 4 2 2 3 53MF NF y y k b b          ， ∵ 2 2,2 2OA OBk k   ,∴分别过 A. B 的圆的切线的斜率为 2, 2 . ∴k∈[ 2, 2 ],∴0 ⩽ k2 ⩽ 2,∴ 2 0 1 1212 b „ „ ， ∵b>0,∴b∈[ 2 3,6] 所以|MF|+|NF|的取值范围为 2 4 3,22   . 16．【2018 届河南省中原名校高三上第一次联考】如图，两个椭圆 2 2 125 9 x y＋ ＝ ， 2 2 125 9 y x＋ ＝ 内部重叠区域的边界记为曲线 C，P 是曲线 C 上的任意一点，给出下列四个判断： ①P 到 F1（－4，0）、F2（4，0）、E1（0，－4）、E2（0，4）四点的距离之和为定值； ②曲线 C 关于直线 y＝x、y＝－x 均对称；③曲线 C 所围区域面积必小于 36． ④曲线 C 总长度不大于 6π．上述判断中正确命题的序号为________________． 【答案】②③ 故答案为：②③． 三、解答题 17．【2018 届南宁市高三摸底】已知抛物线 上一点 到焦点 的距离为 . （l）求抛物线 的方程； （2）抛物线上一点 的纵坐标为 1，过点 的直线与抛物线 交于 两个不同的点（均 与点 不重合），设直线 的斜率分别为 ，求证： 为定值. 【答案】(1) ；(2)证明见解析. 【解析】试题分析：（1）由焦半径定义和点在抛物线上建立两个方程，两个未知数，可求得 抛物线方程。（2）由（1）知抛物线的方程 ，及 ， ，设过点 的直 线 的方程为 ,代入 得 ,由韦达定理可求得 为定值 上。 试题解析：（1）由抛物线的定义可知 ，则 ， 由点 在抛物线上，则 ， ∴ ，则 ， 由 ，则 ， ∴抛物线的方程 . 18．【2018 届广西柳州市高三上摸底】已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在 x 轴上，且抛物线 上有一点  4,P m 到焦点的距离为 5. （1）求该抛物线C 的方程； （2）已知抛物线上一点  ,4M t ，过点 M 作抛物线的两条弦 MD 和 ME ，且 MD ME ， 判断直线 DE 是否过定点？并说明理由. 【答案】（1） 2 4y x .（2） 8, 4 【解析】试题分析：(1)求出抛物线的焦点坐标,结合题意列关于 p 的等式求 p,则抛物线方程 可求; (2)由(1)求出 M 的坐标,设出直线 DE 的方程 x my t  ,联立直线方程和抛物线方程,化为关 于 y 的一元二次方程后 D,E 两点纵坐标的和与积,利用 0MD ME   得到 t 与 m 的关系,进一 步得到 DE 方程,由直线系方程可得直线 DE 所过定点. 试题解析： （1）由题意设抛物线方程为 2 2y px ， 其准线方程为 2 px   ， ∵  4,P m 到焦点的距离等于 A 到其准线的距离， ∴ 4 52 p  ，∴ 2p  . ∴抛物线 C 的方程为 2 4y x . ∵    1 1 2 24, 4 4, 4MD ME x y x y          1 2 1 2 1 2 1 24 16 4 16x x x x y y y y          2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 24 16 4 164 4 4 4 y y y y y y y y                   2 21 2 1 2 1 2 1 23 4 3216 y y y y y y y y       2 216 12 32 16 0t m t m      即 2 212 32 16 16t t m m    ，得：    2 26 4 2 1t m   ， ∴  6 2 2 1t m    ，即 4 8t m  或 4 4t m   ， 代人①式检验均满足 0  ， ∴直线 DE 的方程为：  4 8 4 8x my m m y      或  4 4x m y   . ∴直线过定点  8, 4 （定点 4,4 不满足题意，故舍去）. 19．【2018 届云南省昆明一中高三第一次摸底】已知动点  ,M x y 满足：    2 22 21 1 2 2x y x y      . （1）求动点 M 的轨迹 E 的方程； （2）设过点  1,0N  的直线l 与曲线 E 交于 ,A B 两点，点 A 关于 x 轴的对称点为 C（点C 与 点 B 不重合），证明：直线 BC 恒过定点，并求该定点的坐标. 【答案】（1） 2 2 12 x y  ；（2）直线过定点 2,0 ，证明见解析. 试题解析：（1）由已知，动点 M 到点  1 , 0P  ，  1 , 0Q 的距离之和为 2 2 ， 且 2 2PQ  ，所以动点 M 的轨迹为椭圆，而 2a  ， 1c  ，所以 1b  ， 所以，动点 M 的轨迹 E 的方程： 2 2 12 x y  . （2）设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，则  1 1,C x y ，由已知得直线l 的斜率存在，设斜率为 k ， 则直线l 的方程为：  1y k x  由   2 2 1 { 12 y k x x y     得 2 2 2 21 2 4 2 2 0k x k x k     ， 所以 2 1 2 2 4 1 2 kx x k     ， 2 1 2 2 2 2 1 2 kx x k   ， 直线 BC 的方程为：  2 1 2 2 2 1 y yy y x xx x    ，所以 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 y y x y x yy xx x x x     ， 令 0y  ，则         1 2 1 2 1 2 1 21 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 22 2 kx x k x x x x x xx y x yx y y k x x k x x             ， 所以直线 BC 与 x 轴交于定点  2,0D  . 20．【2018 届湖北省宜昌市葛洲坝中学高三 9 月月考】已知椭圆 经过 点 ， 的四个顶点构成的四边形面积为 . （1）求椭圆 的方程； （2） 为椭圆上的两个动点，是否存在这样的直线 ，使其满足:①直线 的斜率与直 线 的斜率互为相反数；②线段 的中点在直线 上.若存在，求出直线 和 的方程； 若不存在，请说明理由. 【答案】(1) ;(2) 直线 的方程分别为 ， 或 ， . 试题解析： (1)由已知得 ， 解得 ， ∴椭圆 的方程 . (2)设直线 的方程为 ，代入 ，得 .(*) 设 ， ，且 是方程(*)的根， ∴ ， 用 代替上式中的 ，可得 ， 故 中点横坐标为 ， 解得 ， ∴直线 的方程分别为 ， 或 ， . 21．【2018 届重庆市巴蜀中学高三 9 月月考】已知椭圆 的离心率为 ， 过点 的椭圆 的两条切线相互垂直. （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）在椭圆 上是否存在这样的点 ，过点 引抛物线 的两条切线 ，切点分别 为 ，且直线 过点 ？若存在，指出这样的点 有几个（不必求出点的坐标）；若不存 在，请说明理由. 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)满足条件的点 有两个. 试题解析： （Ⅰ）由椭圆的对称性，不妨设在 轴上方的切点为 ， 轴下方的切点为 ， 则 ， 的直线方程为 ， 因为椭圆 的离心率为 ， 所以椭圆 ， 所以 ，则 ， 所以椭圆方程为 . （Ⅱ）设点 ， ， ， 由 ，即 ，得 ， ∴抛物线 在点 处的切线 的方程为 ， 即 ， ∵ ，∴ . ∵点 在切线 上，∴ .① 同理， .② 综合①、②得，点 ， 的坐标都满足方程 . ∵经过 ， 两点的直线是唯一的， ∴直线 的方程为 ， ∵点 在直线 上，∴ ， ∴点 的轨迹方程为 . 又∵点 在椭圆 上，又在直线 上， ∴直线 经过椭圆 内一点 ， ∴直线 与椭圆 交于两点. ∴满足条件的点 有两个. 22．【2018 届江苏省仪征中学高三 10 月检测】椭圆 C： 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的长轴是短轴 的两倍，点 1P 3, 2      在椭圆上.不过原点的直线 l 与椭圆相交于 A、B 两点，设直线 OA、l、 OB 的斜率分别为 1k 、 k 、 2k ，且 1k 、 k 、 2k 恰好构成等比数列，记△ ABO 的面积为 S. （1）求椭圆 C 的方程. （2）试判断 2 2OA OB 是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由？ （3）求 S 的范围. 【答案】(1) 2 2 14 x y  （2）5（3）  0,1S   2 设直线l 的方程为 y kx m  ,代入椭圆方程，消去 y ，根据 1k 、 k 、 2k 恰好构成等比数 列，求出 k ,进而表示出 2 2OA OB ，即可得出结论。  3 表示出 ABO 的面积，利用基本不等式，即可求出 S 的范围。 （2）依题意，直线 斜率存在且 ，设直线 的方程为 （ ）， 、 由 ，因为 、 、 恰好构成等比数列， 所以 ， 即 ； 所以 此时 得 ，且 （否则： ，则 ， 中至少有一个为 ， 直线 、 中 至少有一个斜率不存在，与已知矛盾） 所以 ； 所以 所以 是定值为 5； （3） （ ，且 ） 所以  0,1S  .