初三数学上册基础知识讲解练习 配方法求解一元二次方程

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初三数学上册基础知识讲解练习 配方法求解一元二次方程

配方法求解一元二次方程 【知识点总结】 一、直接开平方法求一元二次方程的解 定义:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法,叫做直接开平方法. 直接开平方法的理论依据是平方根的定义. 直接开平方法适用于解形如 2()x a b(b≥0)的一元二次方程. 根据平方根的定义可知,x+a 是 b 的平方根,当 b≥0 时,x+a=± b ,即 x= —a± ;当 b<0时,方 程没有实数根. 拓展 方程(x+a)2=b,当 b>0 时,有两个不相等的实数根; 当 b=0 时,有两个相等的实数根.从而可知,若 a= b 时,有一根为 0,另一根为-2a,千万不要把 0 这个根漏掉.在解决实际问题时,要考虑使实际问题有意义. 二、配方法解一元二次方程解法 用配方法解一元二次方程 的一般步骤 1)一化:化二次项系数化为 1:方程两边都除以二次项系数;x2+ a b x+ a c =0[来源:学科网 ZXXK] 2)二移:移项,使方程左边为二次项与一次项,右边为常数项;x2+ a b x=– a c 3)三配:[来源:学科网 ZXXK] ①配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方, 把方程化为 x2+ x+( a b 2 )2 =– +( a b 2 )2 的形式; ②方程左边变形为一次二项式的完全平方式, 右边合并为一个常数;(x+ a2 b )2= 24 42 a acb  4)四解: ①用直接开平方法解变形后的方程,此时需保证方程右边是非负数, 否则原方程无解。x+ = a acb 2 42  ②分别解这两个一元二次方 程,求出两根。 2 0(0)axbxca 2 4 2 b b acx a    特别提示:(1)配方法的理论依据是完全平方公式 a2+2ab+b2=(a+b)2 (2)配方法解方程的步骤可以灵活运用,有时可不比将二次项系数化为 1,而是将方程配成(mx+n) 2=c 的形式,再直接开平方降次求解。[来源:学科网 ZXXK] (3)一元二次方程的配方是两边同时除以 a,而二次三项式的配方是提取 a,要注意区别。 【例题精讲】 1、解方程 4(x-1)2=9. 【解析】先把方程化为 2()xa =b 的形式,再开平方. 解:方程两边都除以 4,得(x-1)2= 9 4 .[来源:Zxxk.Com] 开平方得 x-1=± 3 2 解得 x1= 5 2 ,x2=- 1 2 【点睛】用直接开平方法求一元二次方程的根,一定要正确运用平方根的性质,即正数的平方根有两个, 它们互为相反数,零的平方根是零,负数没有平方根. 2、方程 x2-6x+8=0 的两个根分别是等腰三角形的底和腰的长,则这个三 角形的周长为 A.8 B.10 C.8 或 10 D.不能确定[来源:学.科.网] 【解析】本题考查一元二次方程的解法和等腰三角形的性质.方程 x2-6x+8=0 的两根分别是 2 和 4,若 2 是底,4 是腰,则周长为 2+4+4=10,若 2 是腰,4 是底,而 2+2=4,不能构成三角形,不存在这种情 况.故选 B.[来源:Zxxk.Com] 3、已知 x2-4x+y2+6y+13=0,求 x-y 的值. 【解析】本题主要考查配方法.注意“若几个非负数相加和为 0,则各非负数的值均为 0”的运用. 解:由原式,得(x2-4x+4)+(y2+6y+9)=0, 即(x-2)2+(y+3)2=0. ∴x=2 且 y=-3.∴x-y=2-(-3)=5. 【点睛】当一个方程中含有两个或多个未知数时,通常用配方法,将其写成几个非负数的和等于 0 的形式, 再用非负数的性质解题.[来源:Z*xx*k.Com] 4、解方程:x2+8x―9=0 【解析】先把它变成(x+m)2=n (n≥0)的形式再用直接开平方法求解。 解:移项,得:x2+8x=9 配方,得:x2+8x+42=9+42 (两边同时加上一次项系数一半的平方) 即:(x+4)2=25 开平方,得:x+4=±5 即:x+4=5 ,或 x+4=―5[来源:学*科*网] 所以:x1=1,x2=―9 5、一元二次方程 x2+3﹣2 x=0 的解是 x1=x2= . 【解析】先分解因式,即可得出完全平方式,求出方程的解即可. 解答: 解:x2+3﹣2 x=0 (x﹣ )2=0 ∴x1=x2= . 故答案为:x1=x2= . 【点睛】此题考查了解一元二次方程,熟练掌握求根的方法是解本题的关键. 6、用配方法解一元二次方程 x2﹣6x﹣10=0 时,下列变形正确的为( ) A. (x+3)2=1 B. (x﹣3)2=1 C. (x+3)2=19 D. (x﹣3)2=19 【解析】方程移项变形后,利用完全平方公式化简得到结果,即可做出判断. 解答: 解:方程移项得:x2﹣6x=10, 配方得:x2﹣6x+9=19,即(x﹣3)2=19, 故选 D. 【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣配方法,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.[来源:学科网 ZXXK] 7、 用配方法解方程 x2-2x-2=0. 【解析】首先把常数-2 移到等号右边,再两边同时加上一次项系数一半的平方,把左边配成完全平方公式, 再开方,解方程即可.[来源:学+科+网 Z+X+X+K] 解: x2-2x-2=0, 移项得:x2-2x=2, 配方得:x2-2x+1=2+1, (x-1)2 =3, 两边直接开平方得:x-1=± 3 , 则 x1= +1,x2=- +1. 【点睛】此题主要考查了配方法解一元二次方程,配方法的一般步骤:(1)把常数项移到等号的右边;(2) 把二次项的系数化为 1;( 3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.
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