高考试题—锥体与球体的表面积或体积

高考试题—锥体与球体的表面积或体积

‎2016年03月13日沐玖的高中数学组卷 ‎　‎ 一．选择题（共30小题）‎ ‎1．（2015•徐汇区模拟）长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（　　）‎ A．20π B．25π C．50π D．200π ‎　‎ ‎2．（2014•广西模拟）将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥D﹣ABC的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ ‎3．（2014春•滦南县期末）长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（　　）‎ A．25π B．50π C．125π D．都不对 ‎　‎ ‎4．（2000•天津）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ ‎5．（2015•武汉校级模拟）某几何体的三视图如图所示，当xy最大时，该几何体的体积为（　　）‎ A．2 B．4 C．8 D．16‎ ‎　‎ ‎6．（2015•沈阳模拟）若某简单空间几何体的三视图都是边长为1的正方形，则这个空间几何体的内切球的体积为（　　）‎ A．π B．π C． D．π ‎　‎ ‎7．（2016•宝鸡一模）已知三角形PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，PA=PD=AB=2，∠APD=90°，若点P、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的表面积等于（　　）‎ A．4π B．π C．12π D．20π ‎　‎ ‎8．（2016•宿州一模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是（　　）‎ A．208π B．128π C．64π D．32π ‎　‎ ‎9．（2015•新课标II）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（　　）‎ A．36π B．64π C．144π D．256π ‎　‎ ‎10．（2015•哈尔滨校级一模）已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ ‎11．（2015•衡水四模）如图是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图，其俯视图是面积为8的矩形，则该几何体的表面积是（　　）‎ A．20+8 B．24+8 C．8 D．16‎ ‎　‎ ‎12．（2015•沈阳校级模拟）如图，一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积为（　　）‎ A．2 B．6 C．2（+） D．2（+）+2‎ ‎　‎ ‎13．（2015•邢台二模）若三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球O的表面积为（　　）‎ A．64π B．16π C．12π D．4π ‎　‎ ‎14．（2015•厦门模拟）如图1，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，动点M，N，Q分别在线段AD1，B1C，C1D1上，当三棱锥Q﹣BMN的俯视图如图2所示，三棱锥Q﹣BMN正视图的面积等于（　　）‎ A． B．a2 C． D．a2‎ ‎　‎ ‎15．（2015•河池一模）一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A．9 B．10 C．11 D．‎ ‎　‎ ‎16．（2015秋•深圳校级期末）设三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC1，则四棱锥B﹣APQC的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ ‎17．（2015•沈阳一模）已知某几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸 （单位：cm），可得这个几何体的体积是（　　）‎ A． B． C．2cm3 D．4cm3‎ ‎　‎ ‎18．（2015•武昌区模拟）如图，取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R的半球放在同一水平面α上．用一平行于平面α的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）．设截面面积分别为S圆和S圆环，那么（　　）‎ A．S圆＞S圆环 B．S圆=S圆环 C．S圆＜S圆环 D．不确定 ‎　‎ ‎19．（2015•重庆模拟）已知四面体P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=AB，若四面体P﹣ABC的体积为，则该球的体积为（　　）‎ A． B．2π C． D．‎ ‎　‎ ‎20．（2015•河池一模）将一张边长为6cm的纸片按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形，将剩余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心）模型，如图2放置，若正四棱锥的正视图是正三角形（如图3），则正四棱锥的体积是（　　）‎ A．cm3 B．cm3 C．cm3 D．cm3‎ ‎　‎ ‎21．（2015•天津校级模拟）正三棱柱体积为V，则其表面积最小时，底面边长为（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎　‎ ‎22．（2015•石家庄一模）在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P在线段BD1上，且，M为线段B1C1上的动点，则三棱锥M﹣PBC的体积为（　　）‎ A．1 B．‎ C． D．与M点的位置有关 ‎　‎ ‎23．（2015•昌平区二模）已知四面体A﹣BCD满足下列条件：‎ ‎（1）有一个面是边长为1的等边三角形；‎ ‎（2）有两个面是等腰直角三角形．‎ 那么四面体A﹣BCD的体积的取值集合是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ ‎24．（2015•大连二模）已知三棱锥P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=AB，若三棱锥P﹣ABC的体积为，则该三棱锥的外接球的体积为（　　）‎ A．8π B．6π C．4π D．2π ‎　‎ ‎25．（2015•银川校级三模）以下是某个几何体的三视图（单位：cm），则该几何体的体积是（　　）‎ A．2cm3 B．3cm3 C．4cm3 D．5cm3‎ ‎　‎ ‎26．（2015•嘉定区二模）在四棱锥V﹣ABCD中，B1，D1分别为侧棱VB、VD的中点，则四面体AB1CD1的体积与四棱锥V﹣ABCD的体积之比为（　　）‎ A．1：6 B．1：5 C．1：4 D．1：3‎ ‎　‎ ‎27．（2015•赤峰模拟）在正棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1C1=2，AA1=，D为BC的中点，则三棱锥A﹣B1DC1的体积为（　　）‎ A． B．2 C．1 D．3‎ ‎　‎ ‎28．（2015•宁城县一模）某四棱锥的三视图如图所示，其中正（主）视图是等腰直角三角形，侧（左）视图是等腰三角形，俯视图是正方形，则该四棱锥的体积是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ ‎29．（2015•黄山二模）在空间直角坐标系O﹣xyz中，四面体ABCD的顶点坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1）（0，0，0），则该四面体的正视图的面积不可能为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ ‎30．（2015•兰州模拟）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1的各个顶点都在表面积为16π的球面上，且AB=AD，AA1=2AD，则四棱锥D1﹣ABCD的体积为（　　）‎ A． B． C．2 D．4‎ ‎　‎ ‎　‎ ‎2016年03月13日沐玖的高中数学组卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（共30小题）‎ ‎1．（2015•徐汇区模拟）长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（　　）‎ A．20π B．25π C．50π D．200π ‎【考点】球的体积和表面积．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】设出球的半径，由于直径即是长方体的体对角线，由此关系求出球的半径，即可求出球的表面积．‎ ‎【解答】解：设球的半径为R，由题意，球的直径即为长方体的体对角线，则（2R）2=32+42+52=50，‎ ‎∴R=．‎ ‎∴S球=4π×R2=50π．‎ 故选C ‎【点评】本题考查球的表面积，球的内接体，考查计算能力，是基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（2014•广西模拟）将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥D﹣ABC的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】取AC的中点O，连接DO，BO，求出三角形DOB的面积，求出AC的长，即可求三棱锥D﹣ABC的体积．‎ ‎【解答】解：O是AC中点，连接DO，BO，如图，‎ ‎△ADC，△ABC都是等腰直角三角形，‎ DO=B0==，BD=a，‎ ‎△BDO也是等腰直角三角形，DO⊥AC，DO⊥BO，DO⊥平面ABC，‎ DO就是三棱锥D﹣ABC的高，‎ S△ABC=a2三棱锥D﹣ABC的体积：，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查棱锥的体积，是基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（2014春•滦南县期末）长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（　　）‎ A．25π B．50π C．125π D．都不对 ‎【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】由题意长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，就是求出球的直径，然后求出球的表面积．‎ ‎【解答】解：因为长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，‎ 所以长方体的对角线就是确定直径，长方体的对角线为：，‎ 所以球的半径为：，‎ 所以这个球的表面积是：=50π．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题是基础题，考查球的内接多面体的有关知识，球的表面积的求法，注意球的直径与长方体的对角线的转化是本题的解答的关键，考查计算能力，空间想象能力．‎ ‎　‎ ‎4．（2000•天津）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】设圆柱底面积半径为r，求出圆柱的高，然后求圆柱的全面积与侧面积的比．‎ ‎【解答】解：设圆柱底面积半径为r，则高为2πr，‎ 全面积：侧面积=[（2πr）2+2πr2]：（2πr）2‎ ‎=．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查圆柱的侧面积、表面积，考查计算能力，是基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（2015•武汉校级模拟）某几何体的三视图如图所示，当xy最大时，该几何体的体积为（　　）‎ A．2 B．4 C．8 D．16‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有 ‎【专题】空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】首先，根据三视图，得到该几何体的具体的结构特征，然后，建立关系式：，然后，求解当xy最大时，该几何体的具体的结构，从而求解其体积．‎ ‎【解答】解：由三视图，得 该几何体为三棱锥，‎ 有，‎ ‎∴x2+y2=128，‎ ‎∵xy≤，当且仅当x=y=8时，等号成立，‎ 此时，V=××2×6×8=16，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题重点考查了三视图、几何体的体积计算等知识，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎6．（2015•沈阳模拟）若某简单空间几何体的三视图都是边长为1的正方形，则这个空间几何体的内切球的体积为（　　）‎ A．π B．π C． D．π ‎【考点】球的体积和表面积．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】根据几何体的三视图是边长为1的正方形，得几何体是棱长为1的正方体，即可求出这个空间几何体的内切球的体积．‎ ‎【解答】解：根据几何体的三视图是边长为1的正方形，得几何体是棱长为1的正方体，‎ ‎∴几何体的内切球的体积为V=π×（）3=．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了由三视图求这个空间几何体的内切球的体积，判断几何体的形状是关键．‎ ‎　‎ ‎7．（2016•宝鸡一模）已知三角形PAD所在平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，PA=PD=AB=2，∠APD=90°，若点P、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的表面积等于（　　）‎ A．4π B．π C．12π D．20π ‎【考点】球的体积和表面积．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】设球心为O，由点P、A、B、C、D都在同一球面上，可得球的直径就是矩形对角线的长，求得球的半径，从而得出表面积．‎ ‎【解答】解：设球心为O，如图．‎ 由PA=PD=AB=2，∠APD=90°，可求得AD=2，‎ 在矩形ABCD中，可求得对角线BD==2，‎ 由于点P、A、B、C、D都在同一球面上，‎ ‎∴球的半径R=BD=‎ 则此球的表面积等于=4πR2=12π．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题是中档题，考查球的体积和表面积，解题的根据是点P、A、B、C、D都在同一球面上，考查计算能力，空间想象能力．‎ ‎　‎ ‎8．（2016•宿州一模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是（　　）‎ A．208π B．128π C．64π D．32π ‎【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；数形结合；综合法；立体几何．‎ ‎【分析】几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，结合直观图判断外接球半径，代入求得表面积公式计算．‎ ‎【解答】解：由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，高为4，‎ 底面为等腰三角形，底边长为6，高为3．‎ ‎∴△ABC为等边三角形，外接圆的半径r=2，‎ ‎∴几何体的外接球的半径R==4，‎ ‎∴外接球的表面积S=4π×16=64π．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积，根据三视图判断几何体的结构特征，利用几何体的结构特征与数据求得外接球的半径是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎9．（2015•新课标II）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（　　）‎ A．36π B．64π C．144π D．256π ‎【考点】球的体积和表面积．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．‎ ‎【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VO﹣ABC=VC﹣AOB===36，故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．‎ ‎　‎ ‎10．（2015•哈尔滨校级一模）已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】由球的体积可以求出半径，从而得棱柱的高；由球与正三棱柱的三个侧面相切，得球的半径和棱柱底面正△边长的关系，求出边长，即求出底面正△的面积；得出棱柱的表面积．‎ ‎【解答】解：由球的体积公式，得πR3=，‎ ‎∴R=1．‎ ‎∴正三棱柱的高h=2R=2．‎ 设正三棱柱的底面边长为a，则其内切圆的半径为：•a=1，‎ ‎∴a=2．‎ ‎∴该正三棱柱的表面积为：3a•2R+2×=18．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了球的体积，柱体体积公式的应用；本题的解题关键是求底面边长，这是通过正△的内切圆与边长的关系得出的．‎ ‎　‎ ‎11．（2015•衡水四模）如图是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图，其俯视图是面积为8的矩形，则该几何体的表面积是（　　）‎ A．20+8 B．24+8 C．8 D．16‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱柱，底面是等腰直角三角形，且其高为，故先求出底面积，求解其表面积即可．‎ ‎【解答】解：此几何体是一个三棱柱，且其高为=4，‎ 由于其底面是一个等腰直角三角形，直角边长为2，所以其面积为×2×2=2，‎ 又此三棱柱的高为4，故其侧面积为（2+2+2）×4=16+8，‎ 表面积为：2×2+16+8=20+8．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”．‎ ‎　‎ ‎12．（2015•沈阳校级模拟）如图，一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积为（　　）‎ A．2 B．6 C．2（+） D．2（+）+2‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．菁优网版权所有 ‎【专题】空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】根据三视图得出空间几何体的直观图，运用几何体的性质求解侧面积．‎ ‎【解答】解：‎ 根据三视图画出直观图，‎ 得出：PA=2，AC=2，AB=，PB=，‎ PA⊥面ABCD，四边形ABCD为正方形，‎ ‎∴这个四棱锥的侧面积为2××+2×××=2（），‎ 故选：C ‎【点评】本题考查了空间几何体的三视图，空间几何体的性质，关键是确定直观图，恢复得出直线平面的位置关系，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎13．（2015•邢台二模）若三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球O的表面积为（　　）‎ A．64π B．16π C．12π D．4π ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】由三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，知BC，∠ABC=90°，可得△ABC截球O所得的圆O′的半径，利用SA⊥平面ABC，SA=2，此能求出球O的半径，从而能求出球O的表面积．‎ ‎【解答】解：如图，三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，‎ ‎∵AB=1，AC=2，∠BAC=60°，‎ ‎∴BC=，‎ ‎∴∠ABC=90°．‎ ‎∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r=1，‎ ‎∵SA⊥平面ABC，SA=2‎ ‎∴球O的半径R=4，‎ ‎∴球O的表面积S=4πR2=64π．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查球的表面积的求法，合理地作出图形，数形结合求出球半径，是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．（2015•厦门模拟）如图1，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，动点M，N，Q分别在线段AD1，B1C，C1D1上，当三棱锥Q﹣BMN的俯视图如图2所示，三棱锥Q﹣BMN正视图的面积等于（　　）‎ A． B．a2 C． D．a2‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】由三棱锥Q﹣BMN的俯视图可得Q在D1，N在C，所以三棱锥Q﹣BMN正视图为△D1EC（E为D1D的中点），即可求出三棱锥Q﹣BMN正视图的面积．‎ ‎【解答】解：由三棱锥Q﹣BMN的俯视图可得Q在D1，N在C，‎ 所以三棱锥Q﹣BMN正视图为△D1EC（E为D1D的中点），‎ 其面积为=．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查三棱锥Q﹣BMN正视图的面积，考查学生的计算能力，确定三棱锥Q﹣BMN正视图为△D1EC是关键．‎ ‎　‎ ‎15．（2015•河池一模）一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A．9 B．10 C．11 D．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有 ‎【专题】空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】根据得出该几何体是在底面为边长是2的正方形、高是3的直四棱柱的基础上，‎ 截去一个底面积为×2×1=1、高为3的三棱锥形成的，运用直棱柱减去三棱锥即可得出答案．‎ ‎【解答】解：．由三视图可知该几何体是在底面为边长是2的正方形、高是3的直四棱柱的基础上，‎ 截去一个底面积为×2×1=1、高为3的三棱锥形成的，V三棱锥==1，‎ 所以V=4×3﹣1=11．‎ 故选：C ‎【点评】本题考查了空间几何体的性质，求解体积，属于计算题，关键是求解底面积，高，运用体积公式．‎ ‎　‎ ‎16．（2015秋•深圳校级期末）设三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC1，则四棱锥B﹣APQC的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】由已知中三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC1，我们可得SAPQC=，即VB﹣APQC=，再结合同底等高的棱柱的体积为棱锥体积的3倍，即可求出答案．‎ ‎【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V，‎ 又∵P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC1，‎ ‎∴四棱锥B﹣APQC的底面积SAPQC=‎ 又VB﹣ACC1A1=‎ ‎∴VB﹣APQC===‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积、棱锥的体积，其中分析出棱锥与原棱柱之间底面积、高之间的比例关系是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎17．（2015•沈阳一模）已知某几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸 （单位：cm），可得这个几何体的体积是（　　）‎ A． B． C．2cm3 D．4cm3‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有 ‎【专题】空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】由题目给出的几何体的三视图，还原得到原几何体，然后直接利用三棱锥的体积公式求解．‎ ‎【解答】解：由三视图可知，该几何体为底面是正方形，且边长为2cm，高为2cm的四棱锥，‎ 如图，‎ 故，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了棱锥的体积，考查了空间几何体的三视图，能够由三视图还原得到原几何体是解答该题的关键，是基础题．‎ ‎　‎ ‎18．（2015•武昌区模拟）如图，取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R的半球放在同一水平面α上．用一平行于平面α的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）．设截面面积分别为S圆和S圆环，那么（　　）‎ A．S圆＞S圆环 B．S圆=S圆环 C．S圆＜S圆环 D．不确定 ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有 ‎【专题】空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】根据图形得出，S截面圆=π（R2﹣d2），r=d，S圆环=π（R2﹣d2），即可判断．‎ ‎【解答】解：根据题意：∵①半球的截面圆：r=，S截面圆=π（R2﹣d2），‎ ‎②∵取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，‎ ‎∴r=d，S圆环=π（R2﹣d2），‎ 根据①②得出：S截面圆=S圆环，‎ 故选：B ‎【点评】本题考查了球有关的截面问题，判断图形结构，求出半径即可，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（2015•重庆模拟）已知四面体P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=AB，若四面体P﹣ABC的体积为，则该球的体积为（　　）‎ A． B．2π C． D．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=，故AC=R，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，由此能求出球的体积．‎ ‎【解答】解：设该球的半径为R，‎ 则AB=2R，2AC=AB=，‎ ‎∴AC=R，‎ 由于AB是球的直径，‎ 所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，‎ 在Rt△ABC中，由勾股定理，得：‎ BC2=AB2﹣AC2=R2，‎ 所以Rt△ABC面积S=×BC×AC=，‎ 又PO⊥平面ABC，且PO=R，四面体P﹣ABC的体积为，‎ ‎∴VP﹣ABC==，‎ 即R3=9，R3=3，‎ 所以：球的体积V球=×πR3=×π×3=4π．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查四面体的外接球的体积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．‎ ‎　‎ ‎20．（2015•河池一模）将一张边长为6cm的纸片按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形，将剩余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心）模型，如图2放置，若正四棱锥的正视图是正三角形（如图3），则正四棱锥的体积是（　　）‎ A．cm3 B．cm3 C．cm3 D．cm3‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有 ‎【专题】空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】根据图形正四棱锥的正视图是正三角形，正视图的底面边长为a，高为a，正四棱锥的斜高为a，运用图1得出；×6=，a=2，计算计算出a，代入公式即可．‎ ‎【解答】解：‎ ‎∵正四棱锥的正视图是正三角形，正视图的底面边长为a，高为a，‎ ‎∴正四棱锥的斜高为a，‎ ‎∵图1得出：∵将一张边长为6cm的纸片按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形 ‎∴×6=，a=2，‎ ‎∴正四棱锥的体积是a2×a=，‎ 故选：A ‎【点评】本题综合考查了空间几何体的性质，展开图与立体图的结合，需要很好的空间思维能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（2015•天津校级模拟）正三棱柱体积为V，则其表面积最小时，底面边长为（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】设底边边长为a，高为h，利用体积公式V=Sh得出h，再根据表面积公式得S=3ah+2•=+，最后利用导函数即得底面边长．‎ ‎【解答】解：设底边边长为a，高为h，‎ 则V=Sh=a2×h，‎ ‎∴h=，‎ 则表面积为S=3ah+2•=+，‎ 则令S′=a﹣=0，‎ 解得a=即为所求边长．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本小题主要考查棱柱、棱锥、棱台、棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查转化思想．属于基础题．‎ ‎　‎ ‎22．（2015•石家庄一模）在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P在线段BD1上，且，M为线段B1C1上的动点，则三棱锥M﹣PBC的体积为（　　）‎ A．1 B．‎ C． D．与M点的位置有关 ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有 ‎【专题】空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】如图所示，连接BC1，取=，可得PN∥D1C1，=1，由于D1C1⊥平面BCC1B1，可得PN⊥平面BCC1B1，利用三棱锥M﹣PBC的体积=V三棱锥P﹣BCM=即可得出．‎ ‎【解答】解：如图所示，连接BC1，取=，‎ 则PN∥D1C1，，PN=1，‎ ‎∵D1C1⊥平面BCC1B1，‎ ‎∴PN⊥平面BCC1B1，‎ 即PN是三棱锥P﹣BCM的高．‎ ‎∴V三棱锥M﹣PBC=V三棱锥P﹣BCM===．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了正方体的性质、线面垂直的判定与性质定理、三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎23．（2015•昌平区二模）已知四面体A﹣BCD满足下列条件：‎ ‎（1）有一个面是边长为1的等边三角形；‎ ‎（2）有两个面是等腰直角三角形．‎ 那么四面体A﹣BCD的体积的取值集合是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有 ‎【专题】综合题；空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】由题意，分类讨论，（1）△BCD是等边三角形，BA⊥AC，DA⊥AC；（2）△BCD是等边三角形，BA⊥BD，BA⊥BC；△BCD是等边三角形，BA⊥BD，DC⊥AC，求出体积即可．‎ ‎【解答】解：由题意，分类讨论可得 ‎（1）△BCD是等边三角形，BA⊥AC，DA⊥AC，所以四面体A﹣BCD的体积为=；‎ ‎（2）△BCD是等边三角形，BA⊥BD，BA⊥BC，所以四面体A﹣BCD的体积为=；‎ ‎（3）△BCD是等边三角形，BA⊥BD，DC⊥AC，取AD的中点O，可得BO=DO=，所以四面体A﹣BCD的体积为=．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查三棱锥体积的计算，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎24．（2015•大连二模）已知三棱锥P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=AB，若三棱锥P﹣ABC的体积为，则该三棱锥的外接球的体积为（　　）‎ A．8π B．6π C．4π D．2π ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体．菁优网版权所有 ‎【专题】空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】如图所示，由于三棱锥P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，可得PO是三棱锥P﹣ABC的高，OA=OB=OC=OP=x，AC⊥BC．而2AC=AB，可得BC=x，AC=x．利用三棱锥的体积计算公式可得x，再利用球的体积计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：如图所示，‎ ‎∵三棱锥P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，‎ ‎∴PO是三棱锥P﹣ABC的高，OA=OB=OC=OP=x，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ ‎∴AC⊥BC．‎ ‎∵2AC=AB，‎ ‎∴∠ABC=60°，‎ ‎∴BC=x，AC=x．‎ ‎∴VP﹣ABC===，‎ 解得x=．‎ ‎∴该三棱锥的外接球的体积V==．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了线面垂直的性质、三棱锥的体积计算公式、球的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎25．（2015•银川校级三模）以下是某个几何体的三视图（单位：cm），则该几何体的体积是（　　）‎ A．2cm3 B．3cm3 C．4cm3 D．5cm3‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有 ‎【专题】空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】由三视图得到原几何体，然后直接由棱柱的体积公式求得答案．‎ ‎【解答】解：由三视图作出几何体原图形如图，‎ 则原几何体为底面三角形是等腰三角形，高为3的直三棱柱，‎ 且底面三角形ABC的面积为S=．‎ ‎∴该几何体的体积V=S△ABC•EF=1×3=3（cm3）．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查几何体的三视图，关键是能由三视图得到原几何体，是中档题．‎ ‎　‎ ‎26．（2015•嘉定区二模）在四棱锥V﹣ABCD中，B1，D1分别为侧棱VB、VD的中点，则四面体AB1CD1的体积与四棱锥V﹣ABCD的体积之比为（　　）‎ A．1：6 B．1：5 C．1：4 D．1：3‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有 ‎【专题】空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】棱锥A﹣B1CD1的体积可以看成四棱锥P﹣ABCD的体积减去角上的四个小棱锥的体积得到，由B1，D1分别为侧棱VB、VD的中点，得到棱锥B1﹣ABC的体积与棱锥D1﹣ACD的体积和为四棱锥V﹣ABCD的体积的；棱锥B1﹣VAD1的体积与棱锥B1﹣VCD1的体积和为四棱锥V﹣ABCD的体积的．由此可得答案．‎ ‎【解答】解：如图，‎ 棱锥A﹣B1CD1的体积可以看成是四棱锥V﹣ABCD的体积减去角上的四个小棱锥的体积得到，‎ ‎∵B1为PB的中点，D1为PD的中点，‎ ‎∴棱锥B1﹣ABC的体积是棱锥V﹣ABC体积的，棱锥D1﹣ACD的体积是棱锥V﹣ACD的体积的，‎ ‎∴棱锥B1﹣ABC的体积与棱锥D1﹣ACD的体积和为四棱锥V﹣ABCD的体积的；‎ 棱锥B1﹣VAD1的体积是棱锥B﹣VAD体积的，棱锥B1﹣VCD1的体积是棱锥B﹣VCD体积的，‎ ‎∴棱锥B1﹣VAD1的体积与棱锥B1﹣VCD1的体积和为四棱锥V﹣ABCD的体积的．‎ 则中间剩下的棱锥A﹣B1CD1的体积V=四棱锥P﹣ABCD的体积﹣个四棱锥P﹣ABCD的体积 ‎=个四棱锥P﹣ABCD的体积，‎ 则两个棱锥A﹣B1CD1，P﹣ABCD的体积之比是1：4．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，利用分割法进行分割，是解题的关键，是中档题．‎ ‎　‎ ‎27．（2015•赤峰模拟）在正棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1C1=2，AA1=，D为BC的中点，则三棱锥A﹣B1DC1的体积为（　　）‎ A． B．2 C．1 D．3‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】由题意求出底面B1DC1的面积，求出A到底面的距离，即可求解三棱锥的体积．‎ ‎【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，‎ ‎∴底面B1DC1的面积：=，‎ A到底面的距离就是底面正三角形的高：．‎ 三棱锥A﹣B1DC1的体积为：=1．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查几何体的体积的求法，求解几何体的底面面积与高是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎28．（2015•宁城县一模）某四棱锥的三视图如图所示，其中正（主）视图是等腰直角三角形，侧（左）视图是等腰三角形，俯视图是正方形，则该四棱锥的体积是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有 ‎【专题】空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】由三视图还原原直观图，可得三棱锥的底面是正方形，侧棱PA垂直于底面，且PA=2，求出底面积后直接代入棱锥的体积公式得答案．‎ ‎【解答】解：由三视图还原原几何体如图，‎ 底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=2，‎ 底面ABCD的对角线线长为2，‎ 则正方形ABCD的边长为，‎ ‎∴，‎ ‎∴=．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了三视图，考查了棱锥的体积，关键是由三视图还原原直观图，是中档题．‎ ‎　‎ ‎29．（2015•黄山二模）在空间直角坐标系O﹣xyz中，四面体ABCD的顶点坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1）（0，0，0），则该四面体的正视图的面积不可能为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中的点的坐标．菁优网版权所有 ‎【专题】空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】由题意画出几何体的直观图，可知直观图为连接棱长是1的正方体的四个顶点组成的正四面体，其最大正投影面为边长是1的正方形，由此断定其正视图的面积不会超过1，则答案可求．‎ ‎【解答】解：一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是：‎ ‎（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），‎ 几何体的直观图如图，是以正方体的顶点为顶点的一个正四面体，‎ 其正视图的最大投影面是在x﹣O﹣y或x﹣O﹣z或y﹣O﹣z面上，‎ 投影面是边长为1的正方形，∴正视图的最大面积为1，‎ ‎∴不可能为，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本小题主要考查空间线面关系、几何体的三视图等知识，考查数形结合的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．‎ ‎　‎ ‎30．（2015•兰州模拟）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1的各个顶点都在表面积为16π的球面上，且AB=AD，AA1=2AD，则四棱锥D1﹣ABCD的体积为（　　）‎ A． B． C．2 D．4‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有 ‎【专题】空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】设AD=x，长方体的外接球的半为R，利用=（2R2），4πR2=16π，解出x，R，再利用四棱锥的体积计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：设AD=x，长方体的外接球的半为R，‎ 则=（2R2），4πR2=16π，‎ ‎∴+（2x）2=4R2，R2=4．‎ 化为8x2=16，‎ 解得x=，‎ ‎∴四棱锥D1﹣ABCD的体积V===．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质定理、长方体的对角线与外接球的直径直径的关系、四棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎