2019-2020学年陕西省延安市黄陵中学高新部高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年陕西省延安市黄陵中学高新部高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020 学年陕西省延安市黄陵中学高新部高一上学期期 末数学试题 一、单选题 1．已知集合 ， ，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意先解出集合 A,进而得到结果。 【详解】 解：由集合 A 得 , 所以 故答案选 C. 【点睛】 本题主要考查交集的运算，属于基础题。 2．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是(　 　) A．圆柱 B．圆 C．球体 D．圆柱、圆锥、 球体的组合体 【答案】C 【解析】由各个截面都是圆知是球体． 【详解】 解： 各个截面都是圆， 这个几何体一定是球体， 故选： ． 【点睛】 本题考查了球的结构特征，属于基础题． 3．下图中直观图所表示的平面图形是（　　） { | 1 0}A x x= − ≥ {0,1,2}B = A B = {0} {1} {1,2} {0,1,2} x 1≥ { }A B 1,2∩ =  ∴ C Ａ．正三角形 Ｂ．锐角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．直角三角形 【 答 案 】 D 【 解 析 】 因 为 在 直 观 图 中 三 角 形 的 边 平 行 轴 ， 平 行 轴 ； 所 以 在 平 面 图 形 中 三 角 形 的 边 则 平面图形是直角三角形。 故选 D 4．如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体是下列哪个几何体？(　 　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知中正视图与侧视图和俯视图，我们可以判断出该几何体的形状，逐一和 四个答案中的直观图进行比照，即可得到答案． 【详解】 解：由已知中的三视图我们可以判断出 该几何体是由一个底面面积相等的圆锥和圆柱组合而成 分析四个答案可得 满足条件要求 故选： ． 【点睛】 本题考查的知识点是由三视图还原实物图，其中若三视图中若有两个三角形，则几何体 O′ x′ y′ A′ B′ C′ A C′ ′ y′ B C′ ′ x′ / / / /AC y BC x轴， 轴， D D 为一个锥体，有两个矩形，则几何体为一个柱体，具体形状由另外一个视图的形状决 定． 5．已知平面 α 和直线 l，则 α 内至少有一条直线与 l（　　） A．异面 B．相交 C．平行 D．垂直 【答案】D 【解析】若直线 l∥α，α 内至少有一条直线与 l 垂直， 当 l 与 α 相交时，α 内至少有一条直线与 l 垂直． 当 l⊂α，α 内至少有一条直线与 l 垂直． 故选 D． 6．如图，在三棱锥 中， ，且 ，E，F 分别是棱 ， 的中点，则 EF 和 AC 所成的角等于（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】B 【解析】取 BC 的中点 G，连接 FG、EG，则 为 EF 与 AC 所成的角．解 ． 【详解】 如图所示，取 BC 的中点 G，连接 FG，EG． ，F 分别是 CD，AB 的中点， ， ， 且 ， ． D ABC− AC BD= AC BD⊥ DC AB EFGÐ EFG E FG AC  EG BD∥ 1 2FG AC= 1 2EG BD= 为 EF 与 AC 所成的角． 又 ， ． 又 ， ， ， 为等腰直角三角形， ，即 EF 与 AC 所成的角为 45°． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查异面直线所成的角，找角证角求角，主要是通过平移将空间角转化为平面 角，再解三角形，属于基础题． 7．直线 的倾斜角为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设直线的倾斜角为 α,由题意直线的斜率为 ,即 tanα= , 所以 α= 故选 D. 8．已知三点 A(2，－3)，B(4,3)，C 在同一条直线上，则 k 的值为(　 　) A．12 B．9 C．－12 D．9 或 12 【答案】A 【解析】求出三点的斜率利用斜率相等求出 的值即可． 【详解】 解：三点 ， ， 在同一直线上， 所以 ，即 ， 解得 ． 故选： ． 【点睛】 本题考查直线的斜率，三点共线知识个应用，考查计算能力． EFG∴∠ AC BD= FG EG∴ = AC BD^ FG EG∴ ⊥ 90FGE∴∠ = ° EFG∴△ 45EFG∴∠ = ° 3 1 0x y+ + = 6 π 3 π 2 3 π 5 6 π 3 3 − 3 3 − 5 6 π 5, 2 k     k 3(2, )A − (4,3)B (5, )2 kC AB ACK K= 33 3 2 4 2 5 2 k ++ =− − 12k = A 9．已知互相垂直的平面 交于直线 l.若直线 m，n 满足 m∥α，n⊥β，则 A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n 【答案】C 【解析】试题分析： 由题意知 ， ．故选 C． 【考点】空间点、线、面的位置关系． 【思路点睛】解决这类空间点、线、面的位置关系问题，一般是借助长方体（或正方 体），能形象直观地看出空间点、线、面的位置关系． 10．如图，已知 PA⊥平面 ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为(　 　) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】由在 中， ， 为 所在平面外一点， 平面 ，能推导出 平面 ．由此能求出四面体 中有多少个直角三角 形． 【详解】 解：在 中， ， 为 所在平面外一点， 平面 ， ， ， ， 平面 ． 四面体 中直角三角形有 ， ， ， ．4 个． 故选： ． 【点睛】 本题考查直线与平面垂直的性质的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注 α β， ,l lα β β∩ = ∴ ⊂ ,n n lβ⊥ ∴ ⊥ Rt ABC∆ 90ACB∠ = ° P ABC∆ PA ⊥ ABC BC ⊥ PAC P ABC− Rt ABC∆ 90ACB∠ = ° P ABC∆ PA ⊥ ABC BC PA∴ ⊥ BC AC⊥ PA AC A=  BC∴ ⊥ PAC ∴ P ABC− PAC∆ PAB∆ ABC∆ PBC∆ B 意等价转化思想的灵活运用． 11．若点 P 在直线 上，且 P 到直线 的距离为 ，则点 P 的坐标为 （ ） A． B． C． 或 D． 或 【答案】C 【解析】试题分析：设 ，解方程得 或 ，所以 P 点坐标为 或 【考点】点到直线的距离 12．若圆 C 经过 两点，且与 y 轴相切，则圆 C 的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为圆 C 经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线 x＝2 上，又圆与 y 轴相切， 所以半径 r＝2，设圆心坐标为(2，b)，则(2－1)2＋b2＝4，b2＝3，b＝± ，选 D. 二、填空题 13．若函数 f(x)＝ 则 f(f(－1))＝_____ 【答案】 【解析】根据分段函数解析式，先求出 再求 . 【详解】 解： 故答案为： 3log (2 5), 0 1 , 02 x x xx + >   1− ( )1f − ( )( )1f f − ( ) 3log (2 5), 0 1 , 02 x x f x xx + >=     ( ) ( ) 1 11 2 1 2f∴ − = = −× − ( )( ) 1 11 112 2 2 f f f  ∴ − = − = = −     × −   1− 【点睛】 本题考查分段函数求值，属于基础题. 14．长方体的长，宽，高分别为 3,2,1，其顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为 __________. 【答案】 【解析】长方体的体对角线长为球的直径，则 ， ， 则球 的表面积为 . 15．若平面 α，β 相交，在 α，β 内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定_______ 个平面． 【答案】1 或 4 【解析】此题主要根据平面公理2 以及推论，以及直线的位置关系，还有举出符合条件 的空间几何体进行判断． 【详解】 解：由题意知由两种情况： 当四点确定的两条直线平行或相交时，则四个点确定 1 个平面； 当四点确定的两条直线异面时，四点不共面，则四个点确定 4 个平面，如三棱锥的顶点 和底面上的顶点； 故答案为：1 或 4． 【点睛】 本题的考点是平面公理 2 以及推论的应用，主要利用公理 2 的作用和公理中的关键条件 进行判断，可以借助于空间几何体有助理解，考查了空间想象能力． 16．过点 M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为 _______________________． 【答案】y＝－ x 或 x－y＋8＝0 【解析】需要分类讨论：截距为 0 和截距不为 0 两种情况来解答． 【详解】 解：过点 且在两坐标轴上的截距互为相反数， 当截距为 0，所求直线斜率为 ，方程为 ，即为 ； 当截距不为 0，设所求直线方程为 ，代入 的坐标，可得 ， 14π 2 2 22 3 2 1 14R = + + = 14 2R = 2144 ( ) 142 π π= 5 3 ( 3,5)M − 5 3 − 5 3 = −y x 5 3 0x y+ = x y a− = M 3 5 8a = − − = − 即有直线方程为 ．综上可得所求直线方程为 ． 故答案是： 或 ． 【点睛】 本题考查了直线的截距式方程，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题． 三、解答题 17．已知函数 (a＞0，b∈R，c∈R)．函数 的最小值是 ，且 ， ，求 的值； 【答案】8 【解析】根据函数 的最小值是 ，且 ，建立方程关系，求出 的 解析式，即可求 的值； 【详解】 解：据题意， ，得 ， ， 于是 ， ． 【点睛】 本题考查求二次函数的函数解析式，及求函数值的问题，属于基础题. 18．设 ,且 . （1）求 的值及 的定义域； （2）求 在区间 上的最大值． 【答案】（1） ，定义域为 ；（2）2 【解析】（1）由 ,可求得 的值,结合对数的性质,可求出 的定义域; 8 0− + =x y 5 8 03y x x y= − − + =或 5 3 0x y+ = 8 0− + =x y 2( )f x ax bx c= + + ( )f x ( )1 0f − = 1c = ( ) ( ), 0 ( ), 0 f x xF x f x x >= − < ( ) ( )2 2F F+ − ( )f x ( 1) 0f − = 1c = ( )f x ( ) ( )2 2F F+ − 0 12 1 0 a b a a b > − = −  − + = 1 2 a b =  = 2 2( ) 2 1 ( 1)f x x x x∴ = + + = + 2 2 ( 1) ( 0)( ) ( 1) ( 0) x xF x x x  + >= − + < ( ) 2 22 ( 2) (2 1) ( 2 1) 8F F∴ + − = + − − + = ( ) ( ) ( )log 1 log (3 0, 1)a af x x x a a= + + − > ≠ ( )1 2f = a ( )f x ( )f x 30, 2      2a = ( )1,3− ( )1 2f = a ( )f x （2）先求得 在区间 上的单调性,进而可求得函数的最大值. 【详解】 （1） ,解得 . 故 , 则 ,解得 , 故 的定义域为 . （2）函数 ,定义域为 , , 由函数 在 上单调递增,函数 在 上单调递增, 在 上单调递减,可得函数 在 上单调递增,在 上单调递减. 故 在区间 上的最大值为 . 【点睛】 本题考查了函数的定义域,考查了函数的单调性与最值,考查了学生的计算求解能力,属 于基础题. 19．如图，在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1 的中点，求证： （1）B，C，H，G 四点共面； （2）平面 EFA1∥平面 BCHG． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】试题分析：(1)∵GH 是△A1B1C1 的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC， ( )f x 30, 2      ( )1 log 2 log l2 4 2oga a af = + = = 2a = ( ) ( )2 2log 1 )g 3(lof x x x= + + − 1 0 3 0 x x + >  − > 1 3x- < < ( )f x ( )1,3− ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2log 1 log 3 log 3 1f x x x x x= + + −=− + ( )1,3− ( )130, 2 ,3  ⊆ −  2logy x= ( )0, ∞+ ( )( )3 1y x x= − + [ )0,1 31, 2      ( )f x [ )0,1 31, 2      ( )f x 30, 2      ( ) 21 log 4 2f = = ∴GH∥BC.∴B，C，H，G 四点共面． (2)∵E、F 分别为 AB、AC 的中点，∴EF∥BC.∵EF⊄平面 BCHG，BC⊂平面 BCHG，∴EF∥ 平面 BCHG.∵A1G∥EB 且 A1G=EB，∴四边形 A1EBG 是平行四边形．∴A1E∥GB.∵A1E⊄平 面 BCHG，GB⊂平面 BCHG.∴A1E∥平面 BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面 EF A1∥平面 BCHG. 【考点】本题考查了公理 3 及面面平行的判定 点评：线线、线面、面面间的平行关系的判定和性质，常常是通过线线关系、线面关系、 面面关系的相互转化来表达的． 20．如图所示，E 是以 AB 为直径的半圆弧上异于 A，B 的点，矩形 ABCD 所在平面垂 直于该半圆所在的平面． (1)求证：EA⊥EC； (2)设平面 ECD 与半圆弧的另一个交点为 F.求证：EF∥AB． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】（1）利用面面垂直的性质，可得 平面 ，再利用线面垂直的判定证明 面 ，即可证得结论； （2）先证明 面 ，再利用线面平行的性质，即可证得结论； 【详解】 （1）证明： 平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面 平面 平面 ， 在以 为直径的半圆上， ， ， 面 面 面 ， ； （2）证明：设面 面 ， 面 ， 面 ， BC ⊥ ABE AE ⊥ BCE / /AB CED  ABCD ⊥ ABE ABCD  ABE AB= BC AB⊥ BC ⊂ ABCD BC∴ ⊥ ABE AE ⊂ ABE BC AE∴ ⊥ E AB AE BE∴ ⊥ BE BC B=  BC BE ⊂ BCE AE∴ ⊥ BCE CE ⊂ BCE EA EC∴ ⊥ ABE  CED EF= / /AB CD AB ⊂/ CED CD ⊂ CED 面 ， 面 ，面 面 ； 【点睛】 本题考查面面垂直的性质，线面垂直的判定与性质，考查线面垂直，考查学生分析解决 问题的能力，属于中档题． 21．已知两直线 l1：ax﹣by+4=0，l2：（a﹣1）x+y+b=0，分别求满足下列条件的 a，b 值 （1）l1⊥l2，且直线 l1 过点（﹣3，﹣1）； （2）l1∥l2，且直线 l1 在两坐标轴上的截距相等． 【答案】（1）a=2，b=2（2）a=2，b=﹣2 【解析】试题分析：（1）由直线垂直和直线 l1 过定点可得 ab 的方程组，解方程组可得； （2）由直线平行和直线 l1 截距相等可得 ab 的方程组，解方程组可得 试题解析：（1）∵两直线 l1：ax﹣by+4=0，l2：（a﹣1）x+y+b=0 且 l1⊥l2， ∴a（a﹣1）+（﹣b）×1=0，即 a2﹣a﹣b=0， 又∵直线 l1 过点（﹣3，﹣1），∴﹣3a+b+4=0， 联立解得 a=2，b=2； （2）由 l1∥l2 可得 a×1﹣（﹣b）（a﹣1）=0，即 a+ab﹣b=0， 在方程 ax﹣by+4=0 中令 x=0 可得 y= ，令 y=0 可得 x=﹣ ， ∴ =﹣ ，即 b=﹣a，联立解得 a=2，b=﹣2． 【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系 22．已知圆 和 (1)求证：圆 和圆 相交； (2)求圆 和圆 的公共弦所在直线的方程和公共弦长。 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】(1)本题可先通过圆 和圆 的方程得出它们的圆心和半径长，再通过用圆心 距和两圆的半径之和以及两圆的半径之差作对比，即可得出结果； (2)可先通过两圆方程相减得出公共弦所在直线的方程，再通过圆心到公共弦的距离以及 半径利用勾股定理得出结果。 / /AB∴ CED AB ⊂ ABE ABE  CED EF= / /AB EF∴ 2 2 1 : 2 6 1 0C x y x y+ − − − = 2 2 2 : 10 12 45 0.C x y x y+ − − + = 1C 2C 1C 2C 2 7 1C 2C 【详解】 (1)圆 的圆心 ，半径 ， 圆 的圆心 ，半径 两圆圆心距 所以 ，圆 和 相交； (2)圆 和圆 的方程相减，得 ， 所以两圆的公共弦所在直线的方程为 ， 圆心 到直线 的距离为： 故公共弦长为 【点睛】 本题考查了圆与圆的位置关系及其判定、两圆的公共弦所在直线的方程的求法以及公共 弦长，属中档题。圆和圆的位置关系有：相交，相离，相切几种关系，通过判断圆心的 距离和半径的和与差的关系即可。 1C ( )1 13C ， 1 11r = 2C ( )2 5 6C ， 2 4r = ， 1 2 1 2 1 2d 5 11 4 4 11C C r r r r= = + = + − = −， ， ， 1 2 1 2dr r r r− < < + 1C 2C 1C 2C 4 3 23 0x y+ − = 4 3 23 0x y+ − = ( )2 5 6C ， 4 3 23 0x y+ − = 20 18 23d 3 16 9 + −= = + ， 2 16 9 2 7− = 。