成都市职高对口升学高考数学复习模拟试题一含答案

成都市职高对口升学高考数学复习模拟试题一含答案

数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.‎ ‎1.为虚数单位，则 （ ）‎ A. B. C. D.‎ 答案：C 解析： ‎ ‎2. 若，则＝(　　)‎ A．0　　　　　　　 B． C． D．‎ 解析：选C　∵f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e.‎ ‎3. 已知双曲线的一个焦点坐标是,则双曲线的渐近线方程是 （ 　）‎ A. B. C. D. ‎ 答案：B 解析：知双曲线的焦点在轴，且，又一个焦点是，‎ ‎∴‎ 双曲线的渐近线方程为 ‎4．下列叙述： ‎ ‎①若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反；‎ ‎②若两个向量均为同一个平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行；‎ ‎③若一条直线的方向向量与某一个平面的法向量垂直，则该直线与这个平面平行.‎ 其中正确的个数是 （ ）‎ A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 答案：B 解析：①正确，②③错误.‎ ‎5．学校体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，西侧有2个大门，某学生到该体育场训练，但必须是从南或北门进入，从西门或北门出去，则他进出门的方案有(　　)‎ A.7个 B.12个 C.24个 D.35个 答案：D ‎6. 下列推理中属于归纳推理且结论正确的是(　　)‎ A.设数列的前项和为.由，求出，…，推断：‎ B.由满足对∀∈R都成立，推断：‎ 为奇函数 C.由圆的面积，推断：椭圆的面积 D.由…，推断：对一切∈N*，‎ 答案：A 解析：选项A由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{an}是等差数列，其前n项和等于Sn＝＝n2，选项D中的推理属于归纳推理，但结论不正确．因此选A.‎ ‎7. 已知函数，若函数在上有3个零点，则的取值范围为 (　　)‎ A．(－24,8) B．(－24,1] C．[1,8] D．[1,8)‎ ‎[解析]　f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)·(x－3)，‎ 令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝3.‎ 当x∈[－2，－1)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈(－1,3)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(3,5]时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．‎ 所以函数f(x)的极小值为f(3)＝－24，极大值为f(－1)＝8；‎ 而f(－2)＝1，f(5)＝8，函数图象大致如图所示．故要使方程g(x)＝f(x)－m在x∈[－2,5]上有3个零点，只需函数f(x)在[－2,5]内的函数图象与直线y＝m有3个交点．故即m∈[1,8)．‎ ‎[答案]　D ‎8. 抛物线的焦点为，已知点为抛物线上的两个动点，且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为 A. B. C. D. ‎ 答案：A 解析：试题分析：设，则 二、 填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．‎ ‎9. ‎ 答案：4‎ 解析：‎ ‎10.已知，复数的实部为，虚部为1,则复数对应的点到原点距离的取值范围是 ‎ 答案：‎ 解析：∵，∴‎ ‎11. 曲线C：在点(1，0)处的切线方程是 .‎ 答案：‎ 解析：设f(x)＝，则f′(x)＝.所以f′(1)＝1.所以所求切线方程为y＝x－1.‎ ‎12. 棱长均为3的三棱锥，若空间一点满足，则的最小值为 .‎ 答案：‎ 解析：∵，‎ ‎∴四点共面，的最小值即为点到底面的高.‎ ‎13. 我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼－15”飞机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法数是 .‎ 答案:24‎ 解析：分三步：把甲、乙捆绑为一个元素A，有A种方法；A与戊机形成三个“空”，把丙、丁两机插入空中有A种方法；考虑A与戊机的排法有A种方法．可知共有AAA＝24种不同的着舰方法．‎ ‎14. 椭圆的左、右顶点分别为，点在椭圆上，记直线的斜率为，直线的斜率为，则 ·= .‎ 答案：－ 解析：椭圆的左、右顶点分别为(－2，0)，(2，0)，设P(x0，y0)，‎ 则kPA1kPA2＝·＝，而＋＝1，‎ 即y＝(4－x)，所以kPA1kPA2＝－ ‎15.函数有两个不同的极值点，且，则实数的范围是 ‎ 答案：‎ 解析：定义域为 ‎，令，则在内有两个不同的实数根 ‎，结合图象知 三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16.（本小题满分12分）‎ 设:实数满足, 实数满足.‎ ‎(1)若且为真，求实数的取值范围；‎ ‎(2)若其中且是的充分不必要条件,求实数的取值范围.‎ 解:（1）. 由得 当时，,即为真时实数的取值范围是.……………2分 由, 得, 得 即为真时实数的取值范围是,……………4分 若为真，则真且真，‎ 所以实数的取值范围是. ……………6分 ‎(2) 由得 ‎ 是的充分不必要条件，即,且, ……………8分 设A=,B=,则,‎ 又A==, B=={x|x≥4或x≤2}，……………10分 则,且 所以实数的取值范围是……………12分 ‎17. （本小题满分12分）‎ 如图,在三棱柱中,侧棱垂直底面,，.‎ ‎（1）求证:；‎ ‎（2）求二面角的大小.‎ 解：：方法一： （1）∵‎ ‎∴，又 ‎∴ ∴‎ ‎∴‎ ‎（2）取的中点为，在平面内过作于点，连接 则，∴，而 ‎∴‎ ‎∴是二面角的平面角，又 ‎∴‎ ‎∴二面角为60°.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量（单位：千套）与销售价格（单位：元/套）满足的关系式，其中，为常数.已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大.（保留1位小数）.‎ 解：（1）因为时，， ‎ 代入关系式，得，‎ 解得.……………………4分 ‎（2）由（1）可知，套题每日的销售量，……………5分 ‎ 所以每日销售套题所获得的利润 ‎……………………8分 从而. ‎ 令，得,且在上,，函数单调递增；在上，，函数单调递减， ……………………10分 所以是函数在内的极大值点，也是最大值点，‎ 所以当时，函数取得最大值. ‎ 故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大. …………………12分 ‎19. （本小题满分13分）‎ 设数列的前项和为(即)，且方程有一根为－1，＝1,2,3…….‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法给出严格的证明．‎ 解：(1)当n＝1时，x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，‎ 于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，‎ 解得a1＝.……………3分 当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－，于是2－a2－a2＝0，解得a2＝.……………5分 ‎(2)由题设(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，‎ 即S－2Sn＋1－anSn＝0.‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，‎ 代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0.①‎ 由(1)得S1＝a1＝，‎ S2＝a1＋a2＝＋＝.‎ 由①可得S3＝.由此猜想Sn＝，n＝1,2,3…. ……………7分 下面用数学归纳法证明这个结论．‎ ‎(ⅰ)n＝1时已知结论成立．……………8分 ‎(ⅱ)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，‎ 即Sk＝，‎ 当n＝k＋1时，由①得Sk＋1＝，……………10分 即Sk＋1＝，故n＝k＋1时结论也成立．……………12分 综上，由(ⅰ)(ⅱ)可知Sn＝对所有正整数n都成立．……………13分 ‎20. （本小题满分13分）‎ 已知椭圆：离心率为，且椭圆的长轴比焦距长. ‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点(，)的动直线交椭圆于、两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得无论如何转动，以为直径的圆恒过定点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 解：（1）设椭圆的焦距为，则由题设可知，解此方程组得 ‎，. 所以椭圆C的方程是. ……………………5分 ‎（2）解法一：假设存在点T（u, v）. 若直线l的斜率存在，设其方程为，‎ 将它代入椭圆方程，并整理，得．‎ 设点A、B的坐标分别为，则 ‎ 因为及 所以 ‎ …………………9分 当且仅当恒成立时，以AB为直径的圆恒过定点T，‎ 所以解得 此时以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）. …………………11分 当直线l的斜率不存在，l与y轴重合，以AB为直径的圆为也过点T（0，1）.‎ 综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1），满足条件. …………………13分 解法二：若直线l与y轴重合，则以AB为直径的圆是 ‎ 若直线l垂直于y轴，则以AB为直径的圆是 ……………7分 由解得.‎ 由此可知所求点T如果存在，只能是（0，1）. ………………8分 事实上点T（0，1）就是所求的点. 证明如下：‎ 当直线l的斜率不存在，即直线l与y轴重合时，以AB为直径的圆为，‎ 过点T（0，1）； ‎ ‎ 当直线l的斜率存在，设直线方程为，代入椭圆方程，并整理，得 设点A、B的坐标为，则 …………………10分 因为，‎ 所以，即以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）. ‎ 综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件. …………………13分 ‎21. （本小题满分13分）‎ 已知 ‎ ‎（1）若，时，求证：对于恒成立；‎ ‎（2）若，且存在单调递减区间，求的取值范围；‎ ‎（3）利用（1）的结论证明：若，则．‎ 解：（1）设，‎ ‎ 则………………….2分 ‎（-1，0）‎ ‎0‎ ‎（0，+）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎↗‎ 最大值 ‎↘‎ 当时，有最大值0 恒成立。‎ 即对于恒成立。………………………….4分 ‎（2）时，‎ 有单调递减区间，有解，即有解，‎ 有解， ……………….6分 ‎①时合题意 ‎②时，，即，‎ 的取值范围是 ………………………….8分 ‎ ‎（3）证明：‎ ‎ 当时，，由（1）知 ‎ ‎ 等号在即时成立。‎ 而， 所以成立。…………………….13分