2020届福建省永安市第一中学高三上学期第二次月考试题 数学（文）

2020届福建省永安市第一中学高三上学期第二次月考试题 数学（文）

永安一中 ‎2019-2020学年第一学期第二次月考 高三数学（文科）试题 ‎（考试时间：120分钟 总分150分）‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每题仅有一个选项是正确的.‎ ‎1．已知集合，则 ‎ A． 　 B． 　 C． 　 D．‎ ‎2．已知双曲线的渐近线方程为，一个焦点，则该双曲线的虚轴长为 A． B． C． D．‎ ‎3．若，则“复数在复平面内对应的点在第三象限”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．已知实数x，y满足，则的最大值为 A．0 B．2 C．4 D．6‎ ‎5．如图所示的流程图中，输出的含义是 A.点到直线的距离 B.点到直线的距离的平方 C.点到直线的距离的倒数 D.两条平行线间的距离 ‎6．设正项等比数列的前项和为，若，则公比 A． B．4 C． D．2‎ ‎7．函数的图象大致为 ‎8.直线截圆所得劣弧所对圆心角为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知等腰梯形中，，，分别为，的中点，为的中点，若记，，则 A． B． C． D．‎ ‎10．已知是奇函数，且当时，则不等式的解集为 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎11．已知函数在上恰有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎12．若曲线与曲线存在公共切线，则实数的取值范围为 A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置.‎ ‎13．已知，，则______．‎ ‎14. 已知是椭圆的两个焦点，是上的一点．若且，则C的离心率为 ．‎ ‎15． 已知数列的前项和为，其首项，且满足，则_______．‎ ‎16．已知四棱锥的底面为矩形，平面平面于点，‎ ‎，则四棱锥外接球的半径为______.‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）设三角形的内角的对边分别为，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求三角形面积的最大值.‎ ‎18．（12分）已知为公差不为的等差数列，，且成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎19.（12分）如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为的中点，，．‎ ‎ （1）证明：；‎ ‎（2）若点为的中点，求三棱锥的体积．‎ ‎20.（12分）已知抛物线的焦点为，经过点作直线与抛物线相交于两点,设．‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)是否存在常数,当点M在抛物线上运动时,直线都与以为直径的圆相切？若存在,求出所有的值；若不存在,请说明理由．‎ ‎21．（12分）已知函数.‎ ‎ （1）若，求的极值和单调区间；‎ ‎ （2）若在区间上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22.[选修4-4：坐标系与参数方程] ‎ 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴非负半轴重合，直线的参数方程为：为参数，)，曲线的极坐标方程为：.‎ ‎（1）写出曲线的直角坐标方程;‎ ‎（2）设直线与曲线相交于两点, 若，求直线的斜率.‎ ‎23.[选修4-5：不等式选讲] ‎ 已知函数 ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若不等式有解，求实数的取值范围.‎ 参考答案 一选择题：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D C C B A D A D B B C C 二、填空题：13．; 14. ; 15．; 16．2‎ 三、解答题：‎ ‎17．解：（1）由正弦定理：可化为 ………1分 ‎ 即 ………………………………2分 即 ………………………………3分 所以 ………………………………4分 又, 所以 ………………………………5分 因为，所以 ………………………………6分 ‎（2）由余弦定理得 ‎ 即 所以，所以 ………………………………10分 所以三角形面积 ………………12分 ‎ 18．解：（1）成等比数列，所以 ………………………………1分 即，即. ………………………………3分 因为，所以， ………………………………4分 所以. ………………6分 ‎（2）由题意得：，， ………………8分 所以. ………………12分 ‎19. 解：（1）证明：因为顶点在底面上的射影恰为AC的中点M，‎ 所以， ………………………………2分 又，所以， …………………3分 又因为，‎ 而，且，…4分 所以平面，又因为，‎ 所以． ………………6分 ‎（2）解：如图，因为是的中点，‎ 所以…………………………10分 ‎………………………12分 ‎20.解：(1)法一：依题意过点的直线可设为，……………………1分 ‎ 由，得， ……………………3分 设，则， …………………4分 ‎∴y1y2＝－16. …………………………………5分 法二:∵A(x1，y1)，B(x2，y2)，H(4,0)，‎ ‎∴(x2－4，y2)． …………1分 ‎∵A(x1，y1)，B(x2，y2)，H(4,0)在一条直线上，‎ ‎∴(x1－4)y2－(x2－4)y1＝0. …………2分 ‎∵A(x1，y1)，B(x2，y2)都在抛物线y2＝4x上，‎ ‎∴x1＝，x2＝， …………3分 ‎∴y2－y1＝0，‎ 即(y1－y2)＝－4(y1－y2)． …………4分 根据已知得y1≠y2，∴y1y2＝－16. …………5分 ‎(2)存在． …………6分 ‎∵F是抛物线P的焦点，‎ ‎∴F(1,0)．‎ 设M(x，y)，则MF的中点为N，|MF|＝1＋x. …………7分 ‎ ‎∵直线x＝a与以MF为直径的圆相切的充要条件是N到直线x＝a的距离等于，‎ 即＝，∴ax＝a2－a. …………9分 ‎∵对于抛物线P上的任意一点M，直线x＝a都与以MF为直径的圆相切，‎ ‎∴关于x的方程ax＝a2－a对任意的x≥0都要成立．‎ ‎∴解得a＝0. …………11分 ‎∴存在常数a，并且仅有a＝0满足“当点M在抛物线P上运动时，直线x＝a都与以MF 为直径的圆相切”． …………12分 ‎21．解：（1）， ………1分 ‎ 令，得 ‎ ‎ 当x变化时，的变化情况如下表：‎ x ‎1‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 减 极小值 增 ‎ ……4分 当时，函数有极小值1；函数的单调减区间为，单调增区间为； ………………5分 ‎（2）若在区间上至少存在一点，使成立，即在区间上的最小值小于0 ………………6分 令，得 …………7分 ‎ ‎ ‎①当时， 函数在区间上单调递减 函数在区间上的最小值为 由得，即 ………8分 ‎②当时，‎ ‎（i）当即时，函数在区间上单调递减 函数在区间上的最小值为 显然，这与在区间上的最小值小于0不符 ……9分 ‎ （ii）当即时 ‎ 当x变化时，的变化情况如下表：‎ x ‎－‎ ‎0‎ ‎+‎ 减 极小值 增 函数在区间上的最小值为 ………10分 由，得，即 ……………11分 综上述，实数a的取值范围是． ………………12分 ‎22.解：（1）， ………1分 由,得. ……… 3分 所以曲线的直角坐标方程为. ………4分 ‎（2）把 代入，整理得 ………5分 设其两根分别为 ，则 ………6分 ‎ ………7分 得，， ………9分 所以直线的斜率为. ………10分 ‎23.解：（1）由已知得 当时， ‎ 当时， ‎ 当时，舍 综上得的解集为 …………5分 ‎（2）‎ 有解 ‎，或 的取值范围是. …………10分