2012年江苏省无锡市中考数学试卷

2012年江苏省无锡市中考数学试卷

‎2012年江苏省无锡市中考数学试卷 一．选择题（共10小题）‎ ‎1．（2012无锡）﹣2的相反数是（　　）‎ ‎　 A． 2 B． ﹣2 C． D． ‎ 考点：相反数。‎ 专题：探究型。‎ 分析：根据相反数的定义进行解答即可．‎ 解答：解：由相反数的定义可知，﹣2的相反数是﹣（﹣2）=2．‎ 故选A．‎ 点评：本题考查的是相反数的定义，即只有符号不同的两个数叫做互为相反数．‎ ‎2．（2012无锡）sin45°的值等于（　　）‎ ‎　 A． B． C． D． 1‎ 考点：特殊角的三角函数值。‎ 分析：根据特殊角度的三角函数值解答即可．‎ 解答：解：sin45°=．‎ 故选B．‎ 点评：此题比较简单，只要熟记特殊角度的三角函数值即可．‎ ‎3．（2012无锡）分解因式（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+1的结果是（　　）‎ ‎　 A． （x﹣1）（x﹣2） B． x2 C． （x+1）2 D． （x﹣2）2‎ 考点：因式分解-运用公式法。‎ 分析：首先把x﹣1看做一个整体，观察发现符合完全平方公式，直接利用完全平方公式进行分解即可．‎ 解答：解：（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+1=（x﹣1﹣1）2=（x﹣2）2．‎ 故选：D．‎ 点评：此题主要考查了因式分解﹣运用公式法，关键是熟练掌握完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．‎ ‎4．（2012无锡）若双曲线y=与直线y=2x+1的一个交点的横坐标为﹣1，则k的值为（　　）‎ ‎　 A． ﹣1 B． 1 C． ﹣2 D． 2‎ 考点：反比例函数与一次函数的交点问题。‎ 专题：计算题。‎ 分析：将x=1代入直线y=2x+1，求出该点纵坐标，从而得到此交点的坐标，将该交点坐标代入y=即可求出k的值．‎ 解答：解：将x=﹣1代入直线y=2x+1得，y=﹣2+1=﹣1，‎ 则交点坐标为（﹣1，﹣1），[来源:学科网]‎ 将（﹣1，﹣1）代入y=得，‎ k=﹣1×（﹣1）=1，‎ 故选B．‎ 点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，知道交点坐标符合两函数解析式是解题的关键．‎ ‎5．（2012无锡）下列调查中，须用普查的是（　　）‎ ‎　 A． 了解某市学生的视力情况 B． 了解某市中学生课外阅读的情况 ‎　 C． 了解某市百岁以上老人的健康情况 D． 了解某市老年人参加晨练的情况 考点：全面调查与抽样调查。‎ 专题：常规题型。‎ 分析：由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，对各选项分析判断后利用排除法求解．‎ 解答：解：A．了解某市学生的视力情况，适合采用抽样调查，故本选项错误；‎ B．了解某市中学生课外阅读的情况，适合采用抽样调查，故本选项错误；‎ C．了解某市百岁以上老人的健康情况，人数比较少，适合采用普查，故本选项正确；‎ D．了解某市老年人参加晨练的情况，老年人的标准没有限定，人群范围可能够较大，适合采用抽样调查，故本选项错误．‎ 故选C．‎ 点评：本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．‎ ‎6．（2012无锡）若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（　　）‎ ‎　 A． 6 B． 7 C． 8 D． 9‎ 考点：多边形内角与外角。‎ 分析：首先设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180°（n﹣2），即可得方程180（n﹣2）=1080，解此方程即可求得答案．‎ 解答：解：设这个多边形的边数为n，‎ 根据题意得：180（n﹣2）=1080，‎ 解得：n=8．‎ 故选C．‎ 点评：此题考查了多边形的内角和公式．此题比较简单，注意熟记公式是准确求解此题的关键，注意方程思想的应用．‎ ‎7．（2012无锡）已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是（　　）‎ ‎　 A． 20cm2 B． 20πcm2 C． 15cm2 D． 15πcm2‎ 考点：圆锥的计算。‎ 分析：圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．‎ 解答：解：圆锥的侧面积=2π×3×5÷2=15π．‎ 故选D．‎ 点评：本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．‎ ‎8．（2012无锡）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边 形ABED的周长等于（　　）‎ ‎　 A． 17 B． 18 C． 19 D． 20‎ 考点：梯形；线段垂直平分线的性质。‎ 分析：由CD的垂直平分线交BC于E，根据线段垂直平分线的性质，即可得DE=CE，即可得四边形ABED的周长为AB+BC+AD，继而求得答案．‎ 解答：解：∵CD的垂直平分线交BC于E，‎ ‎∴DE=CE，‎ ‎∵AD=3，AB=5，BC=9，‎ ‎∴四边形ABED的周长为：AB+BE+DE+AD=AB+BE+EC+AD=AB+BC+AD=5+9+3=17．‎ 故选A．‎ 点评：此题考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用是解此题的关键．‎ ‎9．（2012无锡）已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）‎ ‎　 A． 相切 B． 相离 C． 相离或相切 D． 相切或相交 考点：直线与圆的位置关系。‎ 分析：根据直线与圆的位置关系来判定．判断直线和圆的位置关系：①直线l和⊙O相交⇔d＜r；②直线l和⊙O相切⇔d=r；③直线l和⊙O相离⇔d＞r．分OP垂直于直线l，OP不垂直直线l两种情况讨论．‎ 解答：解：当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=2=r，⊙O与l相切；‎ 当OP不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=2＜r，⊙O与直线l相交．‎ 故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交．‎ 故选D．‎ 点评：本题考查直线与圆的位置关系．解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．‎ ‎10．（2012无锡）如图，以M（﹣5，0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A．B两点，P是⊙M上异于A．B的一动点，直线PA．PB分别交y轴于C．D，以CD为直径的⊙N与x轴交于E、F，则EF的长（　　）‎ ‎　 A． 等于4 B． 等于4 C． 等于6 D． 随P点 考点：垂径定理；勾股定理；相似三角形的判定与性质。‎ 专题：计算题。‎ 分析：连接NE，设圆N半径为r，ON=x，则OD=r﹣x，OC=r+x，证△OBD∽△OCA，推出OC：OB=OD：OA，即（r+x）：1=9：（r﹣x），求出r2﹣x2=9，根据垂径定理和勾股定理即可求出答案．‎ 解答：解：连接NE，‎ 设圆N半径为r，ON=x，则OD=r﹣x，OC=r+x，‎ ‎∵以M（﹣5，0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A．B两点，‎ ‎∴OA=4+5=9，0B=5﹣4=1，‎ ‎∵AB是⊙M的直径，[来源:学§科§网Z§X§X§K]‎ ‎∴∠APB=90°，‎ ‎∵∠BOD=90°，‎ ‎∴∠PAB+∠PBA=90°，∠ODB+∠OBD=90°，‎ ‎∵∠PBA=∠OBD，‎ ‎∴∠PAB=∠ODB，‎ ‎∵∠APB=∠BOD=90°，‎ ‎∴△OBD∽△OCA，‎ ‎∴=，‎ 即=，‎ 解得：r2﹣x2=9，‎ 由垂径定理得：OE=OF，OE2=EN2﹣ON2=r2﹣x2=9，‎ 即OE=OF=3，‎ ‎∴EF=2OE=6，‎ 故选C．‎ 点评：本题考查了勾股定理，垂径定理，相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出OE=OF和r2﹣x2=9，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．‎ 二．填空题（共8小题）‎ ‎11．计算：=　﹣2　．‎ 考点：立方根。‎ 专题：计算题。‎ 分析：先变形得=，然后根据立方根的概念即可得到答案．‎ 解答：解：==﹣2．‎ 故答案为﹣2．‎ 点评：本题考查了立方根的概念：如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫a的立方根，记作．‎ ‎12．（2012无锡）2011年，我国汽车销量超过了18500000辆，这个数据用科学记数法表示为　1.85×107　辆．‎ 考点：科学记数法—表示较大的数。‎ 分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ 解答：解：将18500000用科学记数法表示为：1.85×107．‎ 故答案为：1.85×107．‎ 点评：此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎13．（2012无锡）函数y=1+中自变量x的取值范围是　x≥2　．‎ 考点：函数自变量的取值范围。‎ 专题：常规题型。‎ 分析：根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．‎ 解答：解：根据题意得，2x﹣4≥0，‎ 解得x≥2．‎ 故答案为：x≥2．‎ 点评：考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：‎ ‎（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；‎ ‎（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；‎ ‎（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．‎ ‎14．（2012无锡）方程的解为　x=8　．‎ 考点：解分式方程。‎ 分析：观察可得最简公分母是x（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．‎ 解答：解：方程的两边同乘x（x﹣2），‎ 得：4（x﹣2）﹣3x=0，‎ 解得：x=8．‎ 检验：把x=8代入x（x﹣2）=48≠0，即x=8是原分式方程的解．‎ 故原方程的解为：x=8．‎ 故答案为：x=8．‎ 点评：此题考查了分式方程的解法．此题比较简单，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根．‎ ‎15．（2012无锡）若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为　y=﹣x2+4x﹣3　．‎ 考点：待定系数法求二次函数解析式。‎ 专题：计算题。‎ 分析：设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+1，将点B（1，0）代入解析式即可求出a的值，从而得到二次函数解析式．‎ 解答：解：设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+1，‎ 将B（1，0）代入y=a（x﹣2）2+1得，‎ a=﹣1，‎ 函数解析式为y=﹣（x﹣2）2+1，‎ 展开得y=﹣x2+4x﹣3．‎ 故答案为y=﹣x2+4x﹣3．‎ 点评：本题考查了待定系数法求函数解析式，知道二次函数的顶点式是解题的关键，要注意，最后结果要化为一般式．‎ ‎16．（2012无锡） 如图，△ABC中，∠C=30°．将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，AE与BC交于F，则 ‎∠AFB=　90　°．‎ 考点：旋转的性质。‎ 分析：根据旋转的性质可知∠CAF=60°；然后在△CAF中利用三角形内角和定理可以求得∠CFA=90°，即∠AFB=90°．‎ 解答：解：∵△ADE是由△ABC绕点A顺时针旋转60°得到的，‎ ‎∴∠CAF=60°；‎ 又∵∠C=30°（已知），‎ ‎∴在△AFC中，∠CFA=180°﹣∠C﹣∠CAF=90°，‎ ‎∴∠AFB=90°．‎ 故答案是：90．‎ 点评：本题考查了旋转的性质．根据已知条件“将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE”找到旋转角∠CAF=60°是解题的关键．‎ ‎17．（2012无锡） 如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，D是AB的中点．现将△BCD沿BA方向平移1cm，得到△EFG，FG交AC于H，则GH的长等于　3　cm．‎ 考点：直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质；平移的性质。‎ 分析：利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知AD=BD=CD=AB=4cm；然后由平移的性质推知GH∥CD；最后根据平行线截线段成比例列出比例式，即可求得GH的长度．‎ 解答：解：∵△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，D是AB的中点，‎ ‎∴AD=BD=CD=AB=4cm；[来源:学科网]‎ 又∵△EFG由△BCD沿BA方向平移1cm得到的，‎ ‎∴GH∥CD，GD=1cm，‎ ‎∴=，即=，‎ 解得，GH=3cm；‎ 故答案是：3．‎ 点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线、平移的性质．运用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得相关线段的长度是解答此题的关键．‎ ‎18．（2012无锡）如图的平面直角坐标系中有一个正六边形ABCDEF，其中C．D的坐标分别为（1，0）和（2，0）．若在无滑动的情况下，将这个六边形沿着x轴向右滚动，则在滚动过程中，这个六边形的顶点A．B．C．D．E、F中，会过点（45，2）的是点　B　．‎ 考点：正多边形和圆；坐标与图形性质；旋转的性质。‎ 专题：规律型。‎ 分析：先连接A′D，过点F′，E′作F′G⊥A′D，E′H⊥A′D，由正六边形的性质得出A′的坐标，再根据每6个单位长度正好等于正六边形滚动一周即可得出结论．‎ 解答：解：如图所示：‎ 当滚动一个单位长度时E、F、A的对应点分别是E′、F′、A′，连接A′D，点F′，E′作F′G⊥A′D，E′H⊥A′D，‎ ‎∵六边形ABCD是正六边形，‎ ‎∴∠A′F′G=30°，‎ ‎∴A′G=A′F′=，同理可得HD=，‎ ‎∴A′D=2，‎ ‎∵D（2，0）‎ ‎∴A′（2，2），OD=2，‎ ‎∵正六边形滚动6个单位长度时正好滚动一周，‎ ‎∴从点（2，2）开始到点（45，2）正好滚动43个单位长度，‎ ‎∵=7…1，‎ ‎∴恰好滚动7周多一个，‎ ‎∴会过点（45，2）的是点B．‎ 故答案为：B．‎ 点评：本题考查的是正多边形和圆及图形旋转的性质，根据题意作出辅助线，利用正六边形的性质求出A′点的坐标是解答此题的关键．‎ 三．解答题（共10小题）‎ ‎19．（2012无锡）计算：‎ ‎（1）‎ ‎（2）3（x2+2）﹣3（x+1）（x﹣1）‎ 考点：整式的混合运算；实数的运算；零指数幂。‎ 专题：计算题。‎ 分析：（1）先根据有理数的乘方、算术平方根及0指数幂计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可；‎ ‎（2）先算乘法，再合并同类项即可．‎ 解答：解：（1）原式=4﹣+1‎ ‎=；‎ ‎（2）原式=3x2+6﹣3（x2﹣1）‎ ‎=3x2+6﹣3x2+3‎ ‎=9．‎ 点评：本题考查的是实数的运算及整式的混合运算，解答此题的关键是熟知在有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．‎ ‎20．（2012无锡）（1）解方程：x2﹣4x+2=0‎ ‎（2）解不等式组：．‎ 考点：解一元二次方程-公式法；解一元一次不等式组。‎ 分析：（1）首先找出方程中得a、b、c，再根据公式法求出b2﹣4ac的值，计算x=，即可得到答案；‎ ‎（2）先求出其中各不等式的解集，再根据解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到，求出这些解集的公共部分．‎ 解答：解：（1）△=42﹣4×1×2=8，‎ ‎∴，‎ ‎∴，；‎ ‎（2），‎ 由①得x≤2，‎ 由②得x＞﹣2，‎ ‎∴原不等式组的解集是﹣2＜x≤2．‎ 点评：此题主要考查了解一元二次方程，以及解一元一次不等式组，关键是熟练掌握计算公式与计算方法．‎ ‎21．（2012无锡）如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE=CF．求证：∠BAE=∠CDF．‎ 考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质。‎ 专题：证明题。‎ 分析：首先根据平行四边形的性质可得AB=DC，AB∥DC，再根据平行线的性质可得∠B=∠DCF，即可证明△ABE≌△DCF，再根据全等三角形性质可得到结论．‎ 解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB=DC，AB∥DC，‎ ‎∴∠B=∠DCF，‎ 在△ABE和△DCF中，，‎ ‎∴△ABE≌△DCF（SAS），‎ ‎∴∠BAE=∠CDF．‎ 点评：此题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，关键是找到证明△ABE≌△DCF的条件．‎ ‎22．（2012无锡）在1，2，3，4，5这五个数中，先任意选出一个数a，然后在余下的数中任意取出一个数b，组成一个点（a，b），求组成的点 ‎（a，b）恰好横坐标为偶数且纵坐标为奇数的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）‎ 考点：列表法与树状图法。‎ 分析：首先根据题意列出表格，然后根据表格求得所有等可能的情况与组成的点（a，b）恰好横坐标为偶数且纵坐标为奇数的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．‎ 解答：解：列表得：‎ ‎∴组成的点横坐标为偶数、纵坐标为奇数的概率为．…8分 点评：此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法或树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．‎ ‎23．（2012无锡）初三（1）班共有40名同学，在一次30秒打字速度测试中他们的成绩统计如表：‎ ‎（1）将表中空缺的数据填写完整，并补全频数分布直方图；‎ ‎（2）这个班同学这次打字成绩的众数是　64　个，平均数是　63　个．‎ 考点：频数（率）分布直方图；统计表；加权平均数；众数。‎ 分析：（1）根据学生总数可得到打字个数在54.5～59.5之间的人数是5人，再根据每个小组内的总人数计算出打字59个的人数和打字66个的人数；‎ ‎（2）根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数可以直接看出答案；根据平均数公式进行计算即可．‎ 解答：解：（1）∵初三（1）班共有40名同学，‎ ‎∴打字个数在54.5～59.5之间的人数有：40﹣3﹣19﹣13=5，频数分布直方图如图所示：‎ 根据频数分布直方图可得：打字59个的人数有5人，打字66个的有：13﹣5=8（人），‎ 填表如下：‎ 平均数：（50×1+51×2+59×5+62×8+64×11+66×8+69×5）÷40=63．‎ 点评：此题主要考查了看统计图，统计表，众数以及加权平均数，关键是能从图中得到正确信息，中位数的求法：给定n个数据，按从小到大排序，如果n为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果n为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数．任何一组数据，都一定存在中位数的，但中位数不一定是这组数据量的数．给定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数．‎ ‎24．（2012无锡）如图，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A．B．C．D四个顶点正好重合于上底面上一点）．已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=x（cm）．‎ ‎（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V；‎ ‎（2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大，试问x应取何值？‎ 考点：二次函数的应用。‎ 分析：（1）根据已知得出这个正方体的底面边长a=x，EF==2x，再利用AB=24cm，求出x即可得出这个包装盒的体积V；‎ ‎（2）利用已知表示出包装盒的表面，进而利用函数最值求出即可．‎ 解答：解：（1）根据题意，知这个正方体的底面边长a=x，EF==2x，‎ ‎∴x+2x+x=24，‎ 解得：x=6，[来源:学*科*网Z*X*X*K]‎ 则 a=6，‎ V=a3==432（cm3）；‎ ‎（2）设包装盒的底面边长为acm，高为hcm，则a=，h=，‎ ‎∴S=4ah+a2=4x（12﹣x）+=﹣6x2+96x=﹣6（x﹣8）2+384，‎ ‎∵0＜x＜12，‎ ‎∴当x=8时，S取得最大值384cm2．‎ 点评：此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，根据已知得出正方体的边长x+2x+x=24是解题关键．‎ ‎25．（2012无锡）某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：‎ ‎ 投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购，投资者可在以下两种购铺方案中做出选择：‎ ‎ 方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可以获得的租金为商铺标价的10%．‎ ‎ 方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后每年可以获得的租金为商铺标价的10%，但要缴纳租金的10%作为管理费用．‎ ‎（1）请问：投资者选择哪种购铺方案，5年后所获得的投资收益率更高？为什么？（注：投资收益率=×100%）‎ ‎（2）对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益将相差5万元．问：甲、乙两人各投资了多少万元？‎ 考点：一元一次方程的应用；列代数式。‎ 分析：（1）利用方案的叙述，可以得到投资的收益，即可得到收益率，即可进行比较；‎ ‎（2）利用（1）的表示，根据二者的差是5万元，即可列方程求解．‎ 解答：解：（1）设商铺标价为x万元，则 ‎ 按方案一购买，则可获投资收益（120%﹣1）•x+x•10%×5=0.7x ‎ 投资收益率为×100%=70%‎ ‎ 按方案二购买，则可获投资收益（120%﹣0.85）•x+x•10%×（1﹣10%）×3=0.62x ‎ 投资收益率为×100%≈72.9%‎ ‎∴投资者选择方案二所获得的投资收益率更高．‎ ‎ （2）由题意得0.7x﹣0.62x=5‎ ‎ 解得x=62.5万元 ‎∴甲投资了62.5万元，乙投资了53.125万元．‎ 点评：本题考查了列方程解应用题，正确表示出两种方案的收益率是解题的关键．‎ ‎26．（2012无锡）如图1，A．D分别在x轴和y轴上，CD∥x轴，BC∥y轴．点P从D点出发，以1cm/s的速度，沿五边形OABCD的边匀速运动一周．记顺次连接P、O、D三点所围成图形的面积为Scm2，点P运动的时间为ts．已知S与t之间的函数关系如图2中折线段OEFGHI所示．‎ ‎（1）求A．B两点的坐标；‎ ‎（2）若直线PD将五边形OABCD分成面积相等的两部分，求直线PD的函数关系式．‎ 考点：动点问题的函数图象；一次函数综合题。‎ 分析：（1）先连接AD，设点A的坐标为（a，0），由图2得出DO=6﹣AO和S△AOD=4，即可得出DO•AO=4，从而得出a的值，再根据图2得出A的坐标，‎ 再延长CB交x轴于M，根据D点的坐标得出AB=5cm，CB=1cm，即可求出AM==4，从而得出点B的坐标．‎ ‎（2）先设点P（x，y），连PC．PO，得出S四边形DPBC的面积，再进行整理，即可得出x与y的关系，再由A，B点的坐标，求出直线AB的函数关系式，从而求出x、y的值，即可得出P点的坐标，再设直线PD的函数关系式为y=kx+4，求出K的值，即可得出直线PD的函数关系式．‎ 解答：解：（1）连接AD，设点A的坐标为（a，0），‎ 由图2知，DO+OA=6cm，‎ DO=6﹣AO，‎ 由图2知S△AOD=4，‎ ‎∴DO•AO=4，‎ ‎∴a2﹣6a+8=0，‎ 解得a=2或a=4，‎ 由图2知，DO＞3，‎ ‎∴AO＜3，‎ ‎∴a=2，‎ ‎∴A的坐标为（2，0），‎ D点坐标为（0，4），‎ 在图1中，延长CB交x轴于M，‎ 由图2，知AB=5cm，CB=1cm，‎ ‎∴MB=3，‎ ‎∴AM==4．‎ ‎∴OM=6，‎ ‎∴B点坐标为（6，3）；‎ ‎（2）显然点P一定在AB上．设点P（x，y），连PC．PO，则 S四边形DPBC=S△DPC+S△PBC=S五边形OABCD=（S矩形OMCD﹣S△ABM）=9，‎ ‎∴6×（4﹣y）+×1×（6﹣x）=9，‎ 即x+6y=12，‎ 同理，由S四边形DPAO=9可得2x+y=9，‎ 由A（2，0），B（6，3）求得直线AB的函数关系式为y=，‎ 由[或或]‎ 解得x=，y=．‎ ‎∴P（，），‎ 设直线PD的函数关系式为y=kx+4，‎ 则=k+4，‎ ‎∴k=﹣，‎ ‎∴直线PD的函数关系式为y=﹣x+4．‎ 点评：此题考查了动点问题的函数图象，解题的关键是根据题意设出函数关系式，是难点，也是中考的重点，需熟练掌握．‎ ‎27．（2012无锡）对于平面直角坐标系中的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1、P2两点间的直角距离，记作d（P1，P2）．‎ ‎（1）已知O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）=1，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形；‎ ‎（2）设P0（x0，y0）是一定点，Q（x，y）是直线y=ax+b上的动点，我们把d（P0，Q）的最小值叫做P0到直线y=ax+b的直角距离．试求点M（2，1）到直线y=x+2的直角距离．‎ 考点：一次函数综合题。‎ 分析：（1）根据新的运算规则知|x|+|y|=1，据此可以画出符合题意的图形；‎ ‎（2）根据新的运算规则知d（M，Q）=|x﹣2|+|y﹣1|=|x﹣2|+|x+2﹣1|=|x﹣2|+|x+1|，然后由绝对值与数轴的关系可知，|x﹣2|+|x+1|表示数轴上实数x所对应的点到数2和﹣1所对应的点的距离之和，其最小值为3．‎ 解答：解：（1）由题意，得|x|+|y|=1…2分 所有符合条件的点P组成的图形如图所示…4分[来源:学科网]‎ ‎（2）∵d（M，Q）=|x﹣2|+|y﹣1|=|x﹣2|+|x+2﹣1|=|x﹣2|+|x+1|…6分 又∵x可取一切实数，|x﹣2|+|x+1|表示数轴上实数x所对应的点到数2和﹣1所对应的点的距离之和，其最小值为3．‎ ‎∴点M（2，1）到直线y=x+2的直角距离为3…8分 点评：本题考查了一次函数综合题．正确理解新定义运算法则是解题的关键．‎ ‎28．（2012无锡）如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°．点P从A点出发，以cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动．当P运动到C点时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为ts．‎ ‎（1）当P异于A．C时，请说明PQ∥BC；‎ ‎（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？‎ 考点：直线与圆的位置关系；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；切线的性质；相似三角形的判定与性质。‎ 专题：几何综合题。‎ 分析：（1）连接BD交AC于O，构建直角三角形AOB．利用菱形的对角线互相垂直、对角线平分对角、邻边相等的性质推知△PAQ∽△CAB；然后根据“相似三角形的对应角相等”证得∠APQ=∠ACB；最后根据平行线的判定定理“同位角相等，两直线平行”可以证得结论；‎ ‎（2）如图2，⊙P与BC切于点M，连接PM，构建Rt△CPM，在Rt△CPM利用特殊角的三角函数值求得PM=PC=，然后根据PM=PQ=AQ=t列出关于t的方程，通过解方程即可求得t的值；‎ 如图3，⊙P过点B，此时PQ=PB，根据等边三角形的判定可以推知△PQB为等边三角形，然后由等边三角形的性质以及（2）中求得t的值来确定此时t的取值范围；‎ 如图4，⊙P过点C，此时PC=PQ，据此等量关系列出关于t的方程，通过解方程求得t的值．‎ 解答：解：（1）∵四边形ABCD是菱形，且菱形ABCD的边长为2cm，‎ ‎∴AB=BC=2，∠BAC=∠DAB，‎ 又∵∠DAB=60°（已知），‎ ‎∴∠BAC=∠BCA=30°；‎ 如图1，连接BD交AC于O．‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AC⊥BD，OA=AC，‎ ‎∴OB=AB=1（30°角所对的直角边是斜边的一半），‎ ‎∴OA=，AC=2OA=2，‎ 运动ts后，，‎ ‎∴‎ 又∵∠PAQ=∠CAB，‎ ‎∴△PAQ∽△CAB，‎ ‎∴∠APQ=∠ACB（相似三角形的对应角相等），‎ ‎∴PQ∥BC（同位角相等，两直线平行）…5分 ‎（2）如图2，⊙P与BC切于点M，连接PM，则PM⊥BC．‎ 在Rt△CPM中，∵∠PCM=30°，∴PM=PC=‎ 由PM=PQ=AQ=t，即=t 解得t=4﹣6，此时⊙P与边BC有一个公共点；‎ 如图3，⊙P过点B，此时PQ=PB，‎ ‎∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°‎ ‎∴△PQB为等边三角形，∴QB=PQ=AQ=t，∴t=1‎ ‎∴时，⊙P与边BC有2个公共点．‎ 如图4，⊙P过点C，此时PC=PQ，即2t=t，∴t=3﹣．‎ ‎∴当1≤t≤3﹣时，⊙P与边BC有一个公共点，‎ 当点P运动到点C，即t=2时，⊙P过点B，此时，⊙P与边BC有一个公共点，‎ ‎∴当t=4﹣6或1＜t≤3﹣或t=2时，⊙P与菱形ABCD的边BC有1个公共点；‎ 当4﹣6＜t≤1时，⊙P与边BC有2个公共点．‎ 点评：本题综合考查了菱形的性质、直线与圆的位置关系以及相似三角形的判定等性质．解答（2）题时，根据⊙P的运动过程来确定t的值，以防漏解．‎