2012年江苏省无锡市中考数学试卷

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2012年江苏省无锡市中考数学试卷

‎2012年江苏省无锡市中考数学试卷 一.选择题(共10小题)‎ ‎1.(2012无锡)﹣2的相反数是(  )‎ ‎  A. 2 B. ﹣2 C. D. ‎ 考点:相反数。‎ 专题:探究型。‎ 分析:根据相反数的定义进行解答即可.‎ 解答:解:由相反数的定义可知,﹣2的相反数是﹣(﹣2)=2.‎ 故选A.‎ 点评:本题考查的是相反数的定义,即只有符号不同的两个数叫做互为相反数.‎ ‎2.(2012无锡)sin45°的值等于(  )‎ ‎  A. B. C. D. 1‎ 考点:特殊角的三角函数值。‎ 分析:根据特殊角度的三角函数值解答即可.‎ 解答:解:sin45°=.‎ 故选B.‎ 点评:此题比较简单,只要熟记特殊角度的三角函数值即可.‎ ‎3.(2012无锡)分解因式(x﹣1)2﹣2(x﹣1)+1的结果是(  )‎ ‎  A. (x﹣1)(x﹣2) B. x2 C. (x+1)2 D. (x﹣2)2‎ 考点:因式分解-运用公式法。‎ 分析:首先把x﹣1看做一个整体,观察发现符合完全平方公式,直接利用完全平方公式进行分解即可.‎ 解答:解:(x﹣1)2﹣2(x﹣1)+1=(x﹣1﹣1)2=(x﹣2)2.‎ 故选:D.‎ 点评:此题主要考查了因式分解﹣运用公式法,关键是熟练掌握完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2.‎ ‎4.(2012无锡)若双曲线y=与直线y=2x+1的一个交点的横坐标为﹣1,则k的值为(  )‎ ‎  A. ﹣1 B. 1 C. ﹣2 D. 2‎ 考点:反比例函数与一次函数的交点问题。‎ 专题:计算题。‎ 分析:将x=1代入直线y=2x+1,求出该点纵坐标,从而得到此交点的坐标,将该交点坐标代入y=即可求出k的值.‎ 解答:解:将x=﹣1代入直线y=2x+1得,y=﹣2+1=﹣1,‎ 则交点坐标为(﹣1,﹣1),[来源:学科网]‎ 将(﹣1,﹣1)代入y=得,‎ k=﹣1×(﹣1)=1,‎ 故选B.‎ 点评:本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,知道交点坐标符合两函数解析式是解题的关键.‎ ‎5.(2012无锡)下列调查中,须用普查的是(  )‎ ‎  A. 了解某市学生的视力情况 B. 了解某市中学生课外阅读的情况 ‎  C. 了解某市百岁以上老人的健康情况 D. 了解某市老年人参加晨练的情况 考点:全面调查与抽样调查。‎ 专题:常规题型。‎ 分析:由普查得到的调查结果比较准确,但所费人力、物力和时间较多,而抽样调查得到的调查结果比较近似,对各选项分析判断后利用排除法求解.‎ 解答:解:A.了解某市学生的视力情况,适合采用抽样调查,故本选项错误;‎ B.了解某市中学生课外阅读的情况,适合采用抽样调查,故本选项错误;‎ C.了解某市百岁以上老人的健康情况,人数比较少,适合采用普查,故本选项正确;‎ D.了解某市老年人参加晨练的情况,老年人的标准没有限定,人群范围可能够较大,适合采用抽样调查,故本选项错误.‎ 故选C.‎ 点评:本题考查了抽样调查和全面调查的区别,选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用,一般来说,对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时,应选择抽样调查,对于精确度要求高的调查,事关重大的调查往往选用普查.‎ ‎6.(2012无锡)若一个多边形的内角和为1080°,则这个多边形的边数为(  )‎ ‎  A. 6 B. 7 C. 8 D. 9‎ 考点:多边形内角与外角。‎ 分析:首先设这个多边形的边数为n,由n边形的内角和等于180°(n﹣2),即可得方程180(n﹣2)=1080,解此方程即可求得答案.‎ 解答:解:设这个多边形的边数为n,‎ 根据题意得:180(n﹣2)=1080,‎ 解得:n=8.‎ 故选C.‎ 点评:此题考查了多边形的内角和公式.此题比较简单,注意熟记公式是准确求解此题的关键,注意方程思想的应用.‎ ‎7.(2012无锡)已知圆锥的底面半径为3cm,母线长为5cm,则圆锥的侧面积是(  )‎ ‎  A. 20cm2 B. 20πcm2 C. 15cm2 D. 15πcm2‎ 考点:圆锥的计算。‎ 分析:圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2,把相应数值代入即可求解.‎ 解答:解:圆锥的侧面积=2π×3×5÷2=15π.‎ 故选D.‎ 点评:本题考查了圆锥的计算,解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法,特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长.‎ ‎8.(2012无锡)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3,AB=5,BC=9,CD的垂直平分线交BC于E,连接DE,则四边 形ABED的周长等于(  )‎ ‎  A. 17 B. 18 C. 19 D. 20‎ 考点:梯形;线段垂直平分线的性质。‎ 分析:由CD的垂直平分线交BC于E,根据线段垂直平分线的性质,即可得DE=CE,即可得四边形ABED的周长为AB+BC+AD,继而求得答案.‎ 解答:解:∵CD的垂直平分线交BC于E,‎ ‎∴DE=CE,‎ ‎∵AD=3,AB=5,BC=9,‎ ‎∴四边形ABED的周长为:AB+BE+DE+AD=AB+BE+EC+AD=AB+BC+AD=5+9+3=17.‎ 故选A.‎ 点评:此题考查了线段垂直平分线的性质.此题比较简单,注意掌握数形结合思想与转化思想的应用是解此题的关键.‎ ‎9.(2012无锡)已知⊙O的半径为2,直线l上有一点P满足PO=2,则直线l与⊙O的位置关系是(  )‎ ‎  A. 相切 B. 相离 C. 相离或相切 D. 相切或相交 考点:直线与圆的位置关系。‎ 分析:根据直线与圆的位置关系来判定.判断直线和圆的位置关系:①直线l和⊙O相交⇔d<r;②直线l和⊙O相切⇔d=r;③直线l和⊙O相离⇔d>r.分OP垂直于直线l,OP不垂直直线l两种情况讨论.‎ 解答:解:当OP垂直于直线l时,即圆心O到直线l的距离d=2=r,⊙O与l相切;‎ 当OP不垂直于直线l时,即圆心O到直线l的距离d=2<r,⊙O与直线l相交.‎ 故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交.‎ 故选D.‎ 点评:本题考查直线与圆的位置关系.解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定.‎ ‎10.(2012无锡)如图,以M(﹣5,0)为圆心、4为半径的圆与x轴交于A.B两点,P是⊙M上异于A.B的一动点,直线PA.PB分别交y轴于C.D,以CD为直径的⊙N与x轴交于E、F,则EF的长(  )‎ ‎  A. 等于4 B. 等于4 C. 等于6 D. 随P点 考点:垂径定理;勾股定理;相似三角形的判定与性质。‎ 专题:计算题。‎ 分析:连接NE,设圆N半径为r,ON=x,则OD=r﹣x,OC=r+x,证△OBD∽△OCA,推出OC:OB=OD:OA,即(r+x):1=9:(r﹣x),求出r2﹣x2=9,根据垂径定理和勾股定理即可求出答案.‎ 解答:解:连接NE,‎ 设圆N半径为r,ON=x,则OD=r﹣x,OC=r+x,‎ ‎∵以M(﹣5,0)为圆心、4为半径的圆与x轴交于A.B两点,‎ ‎∴OA=4+5=9,0B=5﹣4=1,‎ ‎∵AB是⊙M的直径,[来源:学§科§网Z§X§X§K]‎ ‎∴∠APB=90°,‎ ‎∵∠BOD=90°,‎ ‎∴∠PAB+∠PBA=90°,∠ODB+∠OBD=90°,‎ ‎∵∠PBA=∠OBD,‎ ‎∴∠PAB=∠ODB,‎ ‎∵∠APB=∠BOD=90°,‎ ‎∴△OBD∽△OCA,‎ ‎∴=,‎ 即=,‎ 解得:r2﹣x2=9,‎ 由垂径定理得:OE=OF,OE2=EN2﹣ON2=r2﹣x2=9,‎ 即OE=OF=3,‎ ‎∴EF=2OE=6,‎ 故选C.‎ 点评:本题考查了勾股定理,垂径定理,相似三角形的性质和判定的应用,解此题的关键是求出OE=OF和r2﹣x2=9,主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力.‎ 二.填空题(共8小题)‎ ‎11.计算:= ﹣2 .‎ 考点:立方根。‎ 专题:计算题。‎ 分析:先变形得=,然后根据立方根的概念即可得到答案.‎ 解答:解:==﹣2.‎ 故答案为﹣2.‎ 点评:本题考查了立方根的概念:如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫a的立方根,记作.‎ ‎12.(2012无锡)2011年,我国汽车销量超过了18500000辆,这个数据用科学记数法表示为 1.85×107 辆.‎ 考点:科学记数法—表示较大的数。‎ 分析:科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.‎ 解答:解:将18500000用科学记数法表示为:1.85×107.‎ 故答案为:1.85×107.‎ 点评:此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.‎ ‎13.(2012无锡)函数y=1+中自变量x的取值范围是 x≥2 .‎ 考点:函数自变量的取值范围。‎ 专题:常规题型。‎ 分析:根据被开方数大于等于0列式计算即可得解.‎ 解答:解:根据题意得,2x﹣4≥0,‎ 解得x≥2.‎ 故答案为:x≥2.‎ 点评:考查了函数自变量的取值范围,函数自变量的范围一般从三个方面考虑:‎ ‎(1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;‎ ‎(2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0;‎ ‎(3)当函数表达式是二次根式时,被开方数为非负数.‎ ‎14.(2012无锡)方程的解为 x=8 .‎ 考点:解分式方程。‎ 分析:观察可得最简公分母是x(x﹣2),方程两边乘最简公分母,可以把分式方程转化为整式方程求解.‎ 解答:解:方程的两边同乘x(x﹣2),‎ 得:4(x﹣2)﹣3x=0,‎ 解得:x=8.‎ 检验:把x=8代入x(x﹣2)=48≠0,即x=8是原分式方程的解.‎ 故原方程的解为:x=8.‎ 故答案为:x=8.‎ 点评:此题考查了分式方程的解法.此题比较简单,注意掌握转化思想的应用,注意解分式方程一定要验根.‎ ‎15.(2012无锡)若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(2,1),且经过点B(1,0),则抛物线的函数关系式为 y=﹣x2+4x﹣3 .‎ 考点:待定系数法求二次函数解析式。‎ 专题:计算题。‎ 分析:设抛物线的解析式为y=a(x﹣2)2+1,将点B(1,0)代入解析式即可求出a的值,从而得到二次函数解析式.‎ 解答:解:设抛物线的解析式为y=a(x﹣2)2+1,‎ 将B(1,0)代入y=a(x﹣2)2+1得,‎ a=﹣1,‎ 函数解析式为y=﹣(x﹣2)2+1,‎ 展开得y=﹣x2+4x﹣3.‎ 故答案为y=﹣x2+4x﹣3.‎ 点评:本题考查了待定系数法求函数解析式,知道二次函数的顶点式是解题的关键,要注意,最后结果要化为一般式.‎ ‎16.(2012无锡) 如图,△ABC中,∠C=30°.将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE,AE与BC交于F,则 ‎∠AFB= 90 °.‎ 考点:旋转的性质。‎ 分析:根据旋转的性质可知∠CAF=60°;然后在△CAF中利用三角形内角和定理可以求得∠CFA=90°,即∠AFB=90°.‎ 解答:解:∵△ADE是由△ABC绕点A顺时针旋转60°得到的,‎ ‎∴∠CAF=60°;‎ 又∵∠C=30°(已知),‎ ‎∴在△AFC中,∠CFA=180°﹣∠C﹣∠CAF=90°,‎ ‎∴∠AFB=90°.‎ 故答案是:90.‎ 点评:本题考查了旋转的性质.根据已知条件“将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE”找到旋转角∠CAF=60°是解题的关键.‎ ‎17.(2012无锡) 如图,△ABC中,∠ACB=90°,AB=8cm,D是AB的中点.现将△BCD沿BA方向平移1cm,得到△EFG,FG交AC于H,则GH的长等于 3 cm.‎ 考点:直角三角形斜边上的中线;等腰三角形的判定与性质;平移的性质。‎ 分析:利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知AD=BD=CD=AB=4cm;然后由平移的性质推知GH∥CD;最后根据平行线截线段成比例列出比例式,即可求得GH的长度.‎ 解答:解:∵△ABC中,∠ACB=90°,AB=8cm,D是AB的中点,‎ ‎∴AD=BD=CD=AB=4cm;[来源:学科网]‎ 又∵△EFG由△BCD沿BA方向平移1cm得到的,‎ ‎∴GH∥CD,GD=1cm,‎ ‎∴=,即=,‎ 解得,GH=3cm;‎ 故答案是:3.‎ 点评:本题考查了直角三角形斜边上的中线、平移的性质.运用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得相关线段的长度是解答此题的关键.‎ ‎18.(2012无锡)如图的平面直角坐标系中有一个正六边形ABCDEF,其中C.D的坐标分别为(1,0)和(2,0).若在无滑动的情况下,将这个六边形沿着x轴向右滚动,则在滚动过程中,这个六边形的顶点A.B.C.D.E、F中,会过点(45,2)的是点 B .‎ 考点:正多边形和圆;坐标与图形性质;旋转的性质。‎ 专题:规律型。‎ 分析:先连接A′D,过点F′,E′作F′G⊥A′D,E′H⊥A′D,由正六边形的性质得出A′的坐标,再根据每6个单位长度正好等于正六边形滚动一周即可得出结论.‎ 解答:解:如图所示:‎ 当滚动一个单位长度时E、F、A的对应点分别是E′、F′、A′,连接A′D,点F′,E′作F′G⊥A′D,E′H⊥A′D,‎ ‎∵六边形ABCD是正六边形,‎ ‎∴∠A′F′G=30°,‎ ‎∴A′G=A′F′=,同理可得HD=,‎ ‎∴A′D=2,‎ ‎∵D(2,0)‎ ‎∴A′(2,2),OD=2,‎ ‎∵正六边形滚动6个单位长度时正好滚动一周,‎ ‎∴从点(2,2)开始到点(45,2)正好滚动43个单位长度,‎ ‎∵=7…1,‎ ‎∴恰好滚动7周多一个,‎ ‎∴会过点(45,2)的是点B.‎ 故答案为:B.‎ 点评:本题考查的是正多边形和圆及图形旋转的性质,根据题意作出辅助线,利用正六边形的性质求出A′点的坐标是解答此题的关键.‎ 三.解答题(共10小题)‎ ‎19.(2012无锡)计算:‎ ‎(1)‎ ‎(2)3(x2+2)﹣3(x+1)(x﹣1)‎ 考点:整式的混合运算;实数的运算;零指数幂。‎ 专题:计算题。‎ 分析:(1)先根据有理数的乘方、算术平方根及0指数幂计算出各数,再根据实数的运算法则进行计算即可;‎ ‎(2)先算乘法,再合并同类项即可.‎ 解答:解:(1)原式=4﹣+1‎ ‎=;‎ ‎(2)原式=3x2+6﹣3(x2﹣1)‎ ‎=3x2+6﹣3x2+3‎ ‎=9.‎ 点评:本题考查的是实数的运算及整式的混合运算,解答此题的关键是熟知在有乘方、乘除的混合运算中,要按照先乘方后乘除的顺序运算,其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似.‎ ‎20.(2012无锡)(1)解方程:x2﹣4x+2=0‎ ‎(2)解不等式组:.‎ 考点:解一元二次方程-公式法;解一元一次不等式组。‎ 分析:(1)首先找出方程中得a、b、c,再根据公式法求出b2﹣4ac的值,计算x=,即可得到答案;‎ ‎(2)先求出其中各不等式的解集,再根据解集的规律:同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到,求出这些解集的公共部分.‎ 解答:解:(1)△=42﹣4×1×2=8,‎ ‎∴,‎ ‎∴,;‎ ‎(2),‎ 由①得x≤2,‎ 由②得x>﹣2,‎ ‎∴原不等式组的解集是﹣2<x≤2.‎ 点评:此题主要考查了解一元二次方程,以及解一元一次不等式组,关键是熟练掌握计算公式与计算方法.‎ ‎21.(2012无锡)如图,在▱ABCD中,点E在边BC上,点F在BC的延长线上,且BE=CF.求证:∠BAE=∠CDF.‎ 考点:平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质。‎ 专题:证明题。‎ 分析:首先根据平行四边形的性质可得AB=DC,AB∥DC,再根据平行线的性质可得∠B=∠DCF,即可证明△ABE≌△DCF,再根据全等三角形性质可得到结论.‎ 解答:证明:∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴AB=DC,AB∥DC,‎ ‎∴∠B=∠DCF,‎ 在△ABE和△DCF中,,‎ ‎∴△ABE≌△DCF(SAS),‎ ‎∴∠BAE=∠CDF.‎ 点评:此题主要考查了平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质,关键是找到证明△ABE≌△DCF的条件.‎ ‎22.(2012无锡)在1,2,3,4,5这五个数中,先任意选出一个数a,然后在余下的数中任意取出一个数b,组成一个点(a,b),求组成的点 ‎(a,b)恰好横坐标为偶数且纵坐标为奇数的概率.(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程)‎ 考点:列表法与树状图法。‎ 分析:首先根据题意列出表格,然后根据表格求得所有等可能的情况与组成的点(a,b)恰好横坐标为偶数且纵坐标为奇数的情况,然后利用概率公式求解即可求得答案.‎ 解答:解:列表得:‎ ‎∴组成的点横坐标为偶数、纵坐标为奇数的概率为.…8分 点评:此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法或树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件;解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.‎ ‎23.(2012无锡)初三(1)班共有40名同学,在一次30秒打字速度测试中他们的成绩统计如表:‎ ‎(1)将表中空缺的数据填写完整,并补全频数分布直方图;‎ ‎(2)这个班同学这次打字成绩的众数是 64 个,平均数是 63 个.‎ 考点:频数(率)分布直方图;统计表;加权平均数;众数。‎ 分析:(1)根据学生总数可得到打字个数在54.5~59.5之间的人数是5人,再根据每个小组内的总人数计算出打字59个的人数和打字66个的人数;‎ ‎(2)根据众数的定义:一组数据中出现次数最多的数据叫做众数可以直接看出答案;根据平均数公式进行计算即可.‎ 解答:解:(1)∵初三(1)班共有40名同学,‎ ‎∴打字个数在54.5~59.5之间的人数有:40﹣3﹣19﹣13=5,频数分布直方图如图所示:‎ 根据频数分布直方图可得:打字59个的人数有5人,打字66个的有:13﹣5=8(人),‎ 填表如下:‎ 平均数:(50×1+51×2+59×5+62×8+64×11+66×8+69×5)÷40=63.‎ 点评:此题主要考查了看统计图,统计表,众数以及加权平均数,关键是能从图中得到正确信息,中位数的求法:给定n个数据,按从小到大排序,如果n为奇数,位于中间的那个数就是中位数;如果n为偶数,位于中间两个数的平均数就是中位数.任何一组数据,都一定存在中位数的,但中位数不一定是这组数据量的数.给定一组数据,出现次数最多的那个数,称为这组数据的众数.‎ ‎24.(2012无锡)如图,在边长为24cm的正方形纸片ABCD上,剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形,再沿图中的虚线折起,折成一个长方体形状的包装盒(A.B.C.D四个顶点正好重合于上底面上一点).已知E、F在AB边上,是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=BF=x(cm).‎ ‎(1)若折成的包装盒恰好是个正方体,试求这个包装盒的体积V;‎ ‎(2)某广告商要求包装盒的表面(不含下底面)面积S最大,试问x应取何值?‎ 考点:二次函数的应用。‎ 分析:(1)根据已知得出这个正方体的底面边长a=x,EF==2x,再利用AB=24cm,求出x即可得出这个包装盒的体积V;‎ ‎(2)利用已知表示出包装盒的表面,进而利用函数最值求出即可.‎ 解答:解:(1)根据题意,知这个正方体的底面边长a=x,EF==2x,‎ ‎∴x+2x+x=24,‎ 解得:x=6,[来源:学*科*网Z*X*X*K]‎ 则 a=6,‎ V=a3==432(cm3);‎ ‎(2)设包装盒的底面边长为acm,高为hcm,则a=,h=,‎ ‎∴S=4ah+a2=4x(12﹣x)+=﹣6x2+96x=﹣6(x﹣8)2+384,‎ ‎∵0<x<12,‎ ‎∴当x=8时,S取得最大值384cm2.‎ 点评:此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法,根据已知得出正方体的边长x+2x+x=24是解题关键.‎ ‎25.(2012无锡)某开发商进行商铺促销,广告上写着如下条款:‎ ‎ 投资者购买商铺后,必须由开发商代为租赁5年,5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购,投资者可在以下两种购铺方案中做出选择:‎ ‎ 方案一:投资者按商铺标价一次性付清铺款,每年可以获得的租金为商铺标价的10%.‎ ‎ 方案二:投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款,2年后每年可以获得的租金为商铺标价的10%,但要缴纳租金的10%作为管理费用.‎ ‎(1)请问:投资者选择哪种购铺方案,5年后所获得的投资收益率更高?为什么?(注:投资收益率=×100%)‎ ‎(2)对同一标价的商铺,甲选择了购铺方案一,乙选择了购铺方案二,那么5年后两人获得的收益将相差5万元.问:甲、乙两人各投资了多少万元?‎ 考点:一元一次方程的应用;列代数式。‎ 分析:(1)利用方案的叙述,可以得到投资的收益,即可得到收益率,即可进行比较;‎ ‎(2)利用(1)的表示,根据二者的差是5万元,即可列方程求解.‎ 解答:解:(1)设商铺标价为x万元,则 ‎ 按方案一购买,则可获投资收益(120%﹣1)•x+x•10%×5=0.7x ‎ 投资收益率为×100%=70%‎ ‎ 按方案二购买,则可获投资收益(120%﹣0.85)•x+x•10%×(1﹣10%)×3=0.62x ‎ 投资收益率为×100%≈72.9%‎ ‎∴投资者选择方案二所获得的投资收益率更高.‎ ‎ (2)由题意得0.7x﹣0.62x=5‎ ‎ 解得x=62.5万元 ‎∴甲投资了62.5万元,乙投资了53.125万元.‎ 点评:本题考查了列方程解应用题,正确表示出两种方案的收益率是解题的关键.‎ ‎26.(2012无锡)如图1,A.D分别在x轴和y轴上,CD∥x轴,BC∥y轴.点P从D点出发,以1cm/s的速度,沿五边形OABCD的边匀速运动一周.记顺次连接P、O、D三点所围成图形的面积为Scm2,点P运动的时间为ts.已知S与t之间的函数关系如图2中折线段OEFGHI所示.‎ ‎(1)求A.B两点的坐标;‎ ‎(2)若直线PD将五边形OABCD分成面积相等的两部分,求直线PD的函数关系式.‎ 考点:动点问题的函数图象;一次函数综合题。‎ 分析:(1)先连接AD,设点A的坐标为(a,0),由图2得出DO=6﹣AO和S△AOD=4,即可得出DO•AO=4,从而得出a的值,再根据图2得出A的坐标,‎ 再延长CB交x轴于M,根据D点的坐标得出AB=5cm,CB=1cm,即可求出AM==4,从而得出点B的坐标.‎ ‎(2)先设点P(x,y),连PC.PO,得出S四边形DPBC的面积,再进行整理,即可得出x与y的关系,再由A,B点的坐标,求出直线AB的函数关系式,从而求出x、y的值,即可得出P点的坐标,再设直线PD的函数关系式为y=kx+4,求出K的值,即可得出直线PD的函数关系式.‎ 解答:解:(1)连接AD,设点A的坐标为(a,0),‎ 由图2知,DO+OA=6cm,‎ DO=6﹣AO,‎ 由图2知S△AOD=4,‎ ‎∴DO•AO=4,‎ ‎∴a2﹣6a+8=0,‎ 解得a=2或a=4,‎ 由图2知,DO>3,‎ ‎∴AO<3,‎ ‎∴a=2,‎ ‎∴A的坐标为(2,0),‎ D点坐标为(0,4),‎ 在图1中,延长CB交x轴于M,‎ 由图2,知AB=5cm,CB=1cm,‎ ‎∴MB=3,‎ ‎∴AM==4.‎ ‎∴OM=6,‎ ‎∴B点坐标为(6,3);‎ ‎(2)显然点P一定在AB上.设点P(x,y),连PC.PO,则 S四边形DPBC=S△DPC+S△PBC=S五边形OABCD=(S矩形OMCD﹣S△ABM)=9,‎ ‎∴6×(4﹣y)+×1×(6﹣x)=9,‎ 即x+6y=12,‎ 同理,由S四边形DPAO=9可得2x+y=9,‎ 由A(2,0),B(6,3)求得直线AB的函数关系式为y=,‎ 由[或或]‎ 解得x=,y=.‎ ‎∴P(,),‎ 设直线PD的函数关系式为y=kx+4,‎ 则=k+4,‎ ‎∴k=﹣,‎ ‎∴直线PD的函数关系式为y=﹣x+4.‎ 点评:此题考查了动点问题的函数图象,解题的关键是根据题意设出函数关系式,是难点,也是中考的重点,需熟练掌握.‎ ‎27.(2012无锡)对于平面直角坐标系中的任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1、P2两点间的直角距离,记作d(P1,P2).‎ ‎(1)已知O为坐标原点,动点P(x,y)满足d(O,P)=1,请写出x与y之间满足的关系式,并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形;‎ ‎(2)设P0(x0,y0)是一定点,Q(x,y)是直线y=ax+b上的动点,我们把d(P0,Q)的最小值叫做P0到直线y=ax+b的直角距离.试求点M(2,1)到直线y=x+2的直角距离.‎ 考点:一次函数综合题。‎ 分析:(1)根据新的运算规则知|x|+|y|=1,据此可以画出符合题意的图形;‎ ‎(2)根据新的运算规则知d(M,Q)=|x﹣2|+|y﹣1|=|x﹣2|+|x+2﹣1|=|x﹣2|+|x+1|,然后由绝对值与数轴的关系可知,|x﹣2|+|x+1|表示数轴上实数x所对应的点到数2和﹣1所对应的点的距离之和,其最小值为3.‎ 解答:解:(1)由题意,得|x|+|y|=1…2分 所有符合条件的点P组成的图形如图所示…4分[来源:学科网]‎ ‎(2)∵d(M,Q)=|x﹣2|+|y﹣1|=|x﹣2|+|x+2﹣1|=|x﹣2|+|x+1|…6分 又∵x可取一切实数,|x﹣2|+|x+1|表示数轴上实数x所对应的点到数2和﹣1所对应的点的距离之和,其最小值为3.‎ ‎∴点M(2,1)到直线y=x+2的直角距离为3…8分 点评:本题考查了一次函数综合题.正确理解新定义运算法则是解题的关键.‎ ‎28.(2012无锡)如图,菱形ABCD的边长为2cm,∠DAB=60°.点P从A点出发,以cm/s的速度,沿AC向C作匀速运动;与此同时,点Q也从A点出发,以1cm/s的速度,沿射线AB作匀速运动.当P运动到C点时,P、Q都停止运动.设点P运动的时间为ts.‎ ‎(1)当P异于A.C时,请说明PQ∥BC;‎ ‎(2)以P为圆心、PQ长为半径作圆,请问:在整个运动过程中,t为怎样的值时,⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点?‎ 考点:直线与圆的位置关系;等边三角形的判定与性质;菱形的性质;切线的性质;相似三角形的判定与性质。‎ 专题:几何综合题。‎ 分析:(1)连接BD交AC于O,构建直角三角形AOB.利用菱形的对角线互相垂直、对角线平分对角、邻边相等的性质推知△PAQ∽△CAB;然后根据“相似三角形的对应角相等”证得∠APQ=∠ACB;最后根据平行线的判定定理“同位角相等,两直线平行”可以证得结论;‎ ‎(2)如图2,⊙P与BC切于点M,连接PM,构建Rt△CPM,在Rt△CPM利用特殊角的三角函数值求得PM=PC=,然后根据PM=PQ=AQ=t列出关于t的方程,通过解方程即可求得t的值;‎ 如图3,⊙P过点B,此时PQ=PB,根据等边三角形的判定可以推知△PQB为等边三角形,然后由等边三角形的性质以及(2)中求得t的值来确定此时t的取值范围;‎ 如图4,⊙P过点C,此时PC=PQ,据此等量关系列出关于t的方程,通过解方程求得t的值.‎ 解答:解:(1)∵四边形ABCD是菱形,且菱形ABCD的边长为2cm,‎ ‎∴AB=BC=2,∠BAC=∠DAB,‎ 又∵∠DAB=60°(已知),‎ ‎∴∠BAC=∠BCA=30°;‎ 如图1,连接BD交AC于O.‎ ‎∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴AC⊥BD,OA=AC,‎ ‎∴OB=AB=1(30°角所对的直角边是斜边的一半),‎ ‎∴OA=,AC=2OA=2,‎ 运动ts后,,‎ ‎∴‎ 又∵∠PAQ=∠CAB,‎ ‎∴△PAQ∽△CAB,‎ ‎∴∠APQ=∠ACB(相似三角形的对应角相等),‎ ‎∴PQ∥BC(同位角相等,两直线平行)…5分 ‎(2)如图2,⊙P与BC切于点M,连接PM,则PM⊥BC.‎ 在Rt△CPM中,∵∠PCM=30°,∴PM=PC=‎ 由PM=PQ=AQ=t,即=t 解得t=4﹣6,此时⊙P与边BC有一个公共点;‎ 如图3,⊙P过点B,此时PQ=PB,‎ ‎∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°‎ ‎∴△PQB为等边三角形,∴QB=PQ=AQ=t,∴t=1‎ ‎∴时,⊙P与边BC有2个公共点.‎ 如图4,⊙P过点C,此时PC=PQ,即2t=t,∴t=3﹣.‎ ‎∴当1≤t≤3﹣时,⊙P与边BC有一个公共点,‎ 当点P运动到点C,即t=2时,⊙P过点B,此时,⊙P与边BC有一个公共点,‎ ‎∴当t=4﹣6或1<t≤3﹣或t=2时,⊙P与菱形ABCD的边BC有1个公共点;‎ 当4﹣6<t≤1时,⊙P与边BC有2个公共点.‎ 点评:本题综合考查了菱形的性质、直线与圆的位置关系以及相似三角形的判定等性质.解答(2)题时,根据⊙P的运动过程来确定t的值,以防漏解.‎
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