2013年全国高校自主招生数学模拟试卷2

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2013年全国高校自主招生数学模拟试卷2

‎2013年全国高校自主招生数学模拟试卷二 一、填空题(64分)‎ ‎1.设集合,若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为,则集合 .‎ ‎2.函数的值域为 .‎ ‎3.设为正实数,,,则 .‎ ‎4.如果,,那么的取值范围是 .‎ ‎5.现安排7名同学去参加5个运动项目,要求甲、乙两同学不能参加同一个项目,每个项目都有人参加,每人只参加一个项目,则满足上述要求的不同安排方案数为 .(用数字作答)‎ ‎6.在四面体中,已知,,,则四面体的外接球的半径为 .‎ ‎7.直线与抛物线交于两点,为抛物线上的一点,,则点的坐标为 .‎ ‎8.已知C,则数列中整数项的个数为 .‎ 二、解答题(56分)‎ ‎9.(16分)设函数,实数满足,,求的值.‎ ‎10.(20分)已知数列满足:R且,‎ N.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)若,试比较与的大小.‎ y x O P A B ‎11.(20分)作斜率为的直线与椭圆:交于两点(如图所示),且在直线的左上方.‎ ‎(1)证明:△的内切圆的圆心在一条定直线上;‎ ‎(2)若,求△的面积.‎ ‎2013年全国高校自主招生数学模拟试卷二 参考答案 ‎1.. 提示:显然,在的所有三元子集中,每个元素均出现了3次,所以 ‎,‎ 故,于是集合的四个元素分别为5-(-1)=6,5-3=2,5-5=0,5-8=-3,因此,集合.‎ ‎2.. 提示:设,且,则 ‎.‎ 设,则,且,所以 .‎ ‎3.-1. 提示:由,得.又 ‎ ‎,‎ 即 ‎ ‎. ①‎ 于是 ‎ ‎ . ②‎ 再由不等式①中等号成立的条件,得.与②联立解得或 故.‎ ‎4.. 提示:不等式 等价于 ‎. ‎ 又是上的增函数,所以,故 Z).‎ 因为,所以的取值范围是.‎ ‎5.15000. 提示:由题设条件可知,满足条件的方案有两种情形: ‎ ‎(1)有一个项目有3人参加,共有种方案;‎ ‎(2)有两个项目各有2人参加,共有种方案;‎ 所以满足题设要求的方案数为.‎ ‎6.. 提示:设四面体的外接球球心为,则在过△的外心且垂直于平面的垂线上.由题设知,△是正三角形,则点为△的中心.设分别为的中点,则在上,且,.‎ 因为,设与平面所成角为,可求得.‎ A B C D O P M N 在△中,.‎ 由余弦定理得 ‎,‎ 故.四边形的外接圆的直径 ‎ ‎.‎ 故球的半径.‎ ‎7.或.提示: 设,由得 ,则,.‎ 又,所以 ‎,‎ ‎.‎ 因为,所以,即有 ‎,‎ 即 ‎,‎ 即 ‎,‎ 即 ‎.‎ 显然,否则,则点在直线上,从而点与点或点重合.所以,解得.‎ 故所求点的坐标为或.‎ ‎8.15. 提示:C.‎ 要使 为整数,必有均为整数,从而.‎ 当2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时,和均为非负整数,所以为整数,共有14个.‎ 当时,C,在C中,中因数2的个数为 ‎,‎ 同理可计算得中因数2的个数为82,中因数2的个数为110,所以C中因数2的个数为,故是整数.‎ 当时,C,在C中,同样可求得中因数2的个数为88,中因数2的个数为105,故C中因数2的个数为,故不是整数.‎ 因此,整数项的个数为.‎ ‎9.因为,所以 ‎,‎ 所以或,又因为,所以,所以. ‎ 又由有意义知,从而 ‎,‎ 于是 ‎.‎ 所以 ‎ ‎.‎ 从而 ‎ ‎.‎ 又 ‎,‎ 所以 ‎,‎ 故 .解得或(舍去).‎ 把代入解得. ‎ 所以 ,. ‎ ‎10.(1)由原式变形得 ‎ ‎,‎ 则 ‎ ‎.‎ 记,则,. ‎ 又 ,从而有 ‎,‎ 故 ,于是有 . ‎ ‎(2)‎ ‎,‎ 显然在时恒有,故. ‎ ‎11.(1)设直线:,.‎ 将代入中,化简整理得 ‎.‎ 于是有,. 则 ‎,‎ 上式中,‎ 分子 ‎,‎ 从而,.‎ 又在直线的左上方,因此,的角平分线是平行于轴的直线,所以△的内切圆的圆心在直线上. ‎ ‎(2)若时,结合(1)的结论可知.‎ 直线的方程为:,代入中,消去得 ‎.‎ 它的两根分别是和,所以,即.所以 ‎.‎ 同理可求得. ‎ 所以 ‎ ‎.‎ ‎ ‎
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