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文档介绍
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷3
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷三 一、选择题(36分) 1.函数在上的最小值是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 2.设,,若,则实数的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 3.甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为,乙在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数的期望为 () A. B. C. D. 4.若三个棱长均为整数(单位:cm)的正方体的表面积之和为564 cm2,则这三个正方体的体积之和为 ( ) A. 764 cm3或586 cm3 B. 764 cm3 C. 586 cm3或564 cm3 D. 586 cm3 5.方程组的有理数解的个数为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设的内角所对的边成等比数列,则的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 二、填空题(54分,每小题9分) 7.设,其中为实数,,,,若 ,则 . 8.设的最小值为,则. 9.将24个志愿者名额分配给3个学校,则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 种. 10.设数列的前项和满足:,,则通项=. 11.设是定义在上的函数,若 ,且对任意,满足 ,,则=. 12.一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动,则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是. 12.一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动,则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是. 14.解不等式 . 题15图 15.如题15图,是抛物线上的动点,点在轴上,圆内切于,求面积的最小值. 2013年全国高校自主招生数学模拟试卷三 参考答案 1[解]当时,,因此 ,当且仅当时上式取等号.而此方程有解,因此在上的最小值为2. [解法一] 因有两个实根 ,, 故等价于且,即 且, 解之得. [解法二](特殊值验证法)令,排除C,令,排除A、B,故选D。 [解法三](根的分布)由题意知的两根在内,令则解之得: 2[解法一] 依题意知,的所有可能值为2,4,6. 设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为 . 若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有 , , , 故. [解法二] 依题意知,的所有可能值为2,4,6. 令表示甲在第局比赛中获胜,则表示乙在第局比赛中获胜. 由独立性与互不相容性得 , , , 故. 3[解] 设这三个正方体的棱长分别为,则有,,不妨设,从而,.故.只能取9,8,7,6. 若,则,易知,,得一组解. 若,则,.但,,从而或5.若,则无解,若,则无解.此时无解. 若,则,有唯一解,. 若,则,此时,.故,但 ,故,此时无解. 综上,共有两组解或 体积为cm3或cm3. 4[解] 若,则解得或 若,则由得. ① 由得. ② 将②代入得. ③ 由①得,代入③化简得. 易知无有理数根,故,由①得,由②得,与矛盾,故该方程组共有两组有理数解或 5[解] 设的公比为,则,而 . 因此,只需求的取值范围. 因成等比数列,最大边只能是或,因此要构成三角形的三边,必需且只需且.即有不等式组 即 解得 从而,因此所求的取值范围是. 6[解] 由题意知 , 由得,,因此,,. 7[解] , (1) 时,当时取最小值; (2) 时,当时取最小值1; (3) 时,当时取最小值. 又或时,的最小值不能为, 故,解得,(舍去). 8[解法一] 用4条棍子间的空隙代表3个学校,而用表示名额.如 表示第一、二、三个学校分别有4,18,2个名额. 若把每个“”与每个“”都视为一个位置,由于左右两端必须是“|”,故不同的分配方法相当于个位置(两端不在内)被2个“|”占领的一种“占位法”. “每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“|”,故有种. 又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种. 综上知,满足条件的分配方法共有253-31=222种. [解法二] 设分配给3个学校的名额数分别为,则每校至少有一个名额的分法数为不定方程 . 的正整数解的个数,即方程 的非负整数解的个数,它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合: . 又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种. 综上知,满足条件的分配方法共有253-31=222种. 9[解] , 即 2 =, 由此得 2. 令, (), 有,故,所以. 10[解法一] 由题设条件知 , 因此有,故 . [解法二] 令,则 , , 即, 故, 得是周期为2的周期函数, 所以. 11[解] 如答12图1,考虑小球挤在一个角时的情况,记小球半径为,作平面//平面,与小球相切于点,则小球球心为正四面体的中心,,垂足为的中心. 因 答12图1 , 故,从而. 记此时小球与面的切点为,连接,则 . 考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为)相切时的情况,易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形,记为,如答12图2.记正四面体 的棱长为,过作于. 答12图2 因,有,故小三角形的边长. 小球与面不能接触到的部分的面积为(如答12图2中阴影部分) . 又,,所以 . 由对称性,且正四面体共4个面,所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为. 三、解答题(本题满分60分,每小题20分) 12[证] 的图象与直线 的三个交点如答13图所示,且在内相切,其切点为,. …5分 由于,,所以,即. …10分 因此 …15分 . …20分 [解法一] 由,且在上为增函数,故原不等式等价于 . 即 . …5分 分组分解 , , …10分 所以 , . …15分 所以,即或. 故原不等式解集为. …20分 [解法二] 由,且在上为增函数,故原不等式等价于 . …5分 即 , , …10分 令,则不等式为 , 显然在上为增函数,由此上面不等式等价于 , …15分 即,解得 (舍去), 故原不等式解集为. …20分 13[解] 设,不妨设. 直线的方程:, 化简得 . 又圆心到的距离为1, , …5分 故, 易知,上式化简得, 同理有. …10分 所以,,则 . 因是抛物线上的点,有,则 ,. …15分 所以 . 当时,上式取等号,此时. 因此的最小值为8. …20分 查看更多