2013年全国高校自主招生数学模拟试卷3

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2013年全国高校自主招生数学模拟试卷3

‎2013年全国高校自主招生数学模拟试卷三 一、选择题(36分)‎ ‎1.函数在上的最小值是 ( )‎ A.0 B.‎1 C.2 D.3‎ ‎2.设,,若,则实数的取值范围为 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为,乙在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数的期望为     ()‎ A.   B.   C.     D. ‎ ‎4.若三个棱长均为整数(单位:cm)的正方体的表面积之和为‎564 cm2,则这三个正方体的体积之和为 ( )‎ A. ‎764 cm3或‎586 cm3 B. ‎764 cm3   ‎ C. ‎586 cm3或‎564 cm3 D. ‎586 cm3‎ ‎5.方程组的有理数解的个数为 ( )‎ A. 1 B. ‎2 C. 3 D. 4‎ ‎6.设的内角所对的边成等比数列,则的取值范围是 ‎ ( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 二、填空题(54分,每小题9分)‎ ‎7.设,其中为实数,,,,若 ‎,则   .‎ ‎8.设的最小值为,则.‎ ‎9.将24个志愿者名额分配给3个学校,则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有   种.‎ ‎10.设数列的前项和满足:,,则通项=.‎ ‎11.设是定义在上的函数,若 ,且对任意,满足 ‎ ,,则=.‎ ‎12.一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动,则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是. ‎ ‎12.一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动,则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是. ‎ ‎ 14.解不等式 ‎.‎ ‎ 题15图 15.如题15图,是抛物线上的动点,点在轴上,圆内切于,求面积的最小值.‎ ‎2013年全国高校自主招生数学模拟试卷三 参考答案 ‎1[解]当时,,因此 ‎,当且仅当时上式取等号.而此方程有解,因此在上的最小值为2.‎ ‎[解法一] 因有两个实根 ‎ ,,‎ 故等价于且,即 且,‎ 解之得. ‎ ‎[解法二](特殊值验证法)令,排除C,令,排除A、B,故选D。‎ ‎[解法三](根的分布)由题意知的两根在内,令则解之得:‎ ‎ 2[解法一] 依题意知,的所有可能值为2,4,6.‎ 设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为 ‎     .‎ 若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有 ‎    ,‎ ‎    ,‎ ‎    ,‎ 故.‎ ‎[解法二] 依题意知,的所有可能值为2,4,6.‎ 令表示甲在第局比赛中获胜,则表示乙在第局比赛中获胜.‎ 由独立性与互不相容性得 ‎,‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ 故.‎ ‎3[解] 设这三个正方体的棱长分别为,则有,,不妨设,从而,.故.只能取9,8,7,6.‎ 若,则,易知,,得一组解.‎ 若,则,.但,,从而或5.若,则无解,若,则无解.此时无解.‎ 若,则,有唯一解,.‎ 若,则,此时,.故,但 ‎,故,此时无解.‎ 综上,共有两组解或 体积为cm3或cm3.‎ ‎4[解] 若,则解得或 若,则由得. ①‎ 由得. ② ‎ 将②代入得. ③‎ 由①得,代入③化简得.‎ 易知无有理数根,故,由①得,由②得,与矛盾,故该方程组共有两组有理数解或 ‎5[解] 设的公比为,则,而 ‎   .‎ 因此,只需求的取值范围.‎ 因成等比数列,最大边只能是或,因此要构成三角形的三边,必需且只需且.即有不等式组 即 解得 从而,因此所求的取值范围是.‎ ‎6[解] 由题意知 ‎,‎ 由得,,因此,,.‎ ‎7[解] ‎ ‎ ,‎ ‎(1) 时,当时取最小值;‎ ‎(2) 时,当时取最小值1;‎ ‎(3) 时,当时取最小值.‎ 又或时,的最小值不能为,‎ 故,解得,(舍去).‎ ‎8[解法一] 用4条棍子间的空隙代表3个学校,而用表示名额.如 ‎   ‎ 表示第一、二、三个学校分别有4,18,2个名额.‎ 若把每个“”与每个“”都视为一个位置,由于左右两端必须是“|”,故不同的分配方法相当于个位置(两端不在内)被2个“|”占领的一种“占位法”.‎ ‎“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“|”,故有种.‎ 又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种.‎ 综上知,满足条件的分配方法共有253-31=222种.‎ ‎[解法二] 设分配给3个学校的名额数分别为,则每校至少有一个名额的分法数为不定方程 ‎     .‎ 的正整数解的个数,即方程 的非负整数解的个数,它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合:‎ ‎.‎ 又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种.‎ 综上知,满足条件的分配方法共有253-31=222种.‎ ‎9[解] ,‎ 即 2‎ ‎ =,‎ 由此得 2.‎ 令, (),‎ 有,故,所以.‎ ‎10[解法一] 由题设条件知 ‎ ,‎ 因此有,故 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ .‎ ‎[解法二] 令,则 ‎ ‎ ,‎ ‎,‎ 即,‎ 故,‎ 得是周期为2的周期函数,‎ 所以.‎ ‎11[解] 如答12图1,考虑小球挤在一个角时的情况,记小球半径为,作平面//平面,与小球相切于点,则小球球心为正四面体的中心,,垂足为的中心.‎ 因 答12图1‎ ‎ ‎ ‎,‎ 故,从而.‎ 记此时小球与面的切点为,连接,则 ‎.‎ 考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为)相切时的情况,易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形,记为,如答12图2.记正四面体 的棱长为,过作于.‎ 答12图2‎ ‎ 因,有,故小三角形的边长.‎ 小球与面不能接触到的部分的面积为(如答12图2中阴影部分)‎ ‎.          ‎ 又,,所以 ‎.‎ 由对称性,且正四面体共4个面,所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为.‎ 三、解答题(本题满分60分,每小题20分)‎ ‎12[证] 的图象与直线 的三个交点如答13图所示,且在内相切,其切点为,.‎ ‎…5分 ‎ 由于,,所以,即. …10分 因此 ‎ …15分 ‎ ‎ ‎.                     …20分 ‎[解法一] 由,且在上为增函数,故原不等式等价于 ‎.              ‎ 即       .              …5分 分组分解    ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ,‎ ‎,             …10分 所以   ,‎ ‎     . …15分 所以,即或.‎ 故原不等式解集为.   …20分 ‎[解法二] 由,且在上为增函数,故原不等式等价于 ‎.              …5分 即 ‎,‎ ‎ ,   …10分 令,则不等式为 ‎, ‎ 显然在上为增函数,由此上面不等式等价于 ‎ , …15分 即,解得 (舍去),‎ 故原不等式解集为.   …20分 ‎13[解] 设,不妨设.‎ 直线的方程:,‎ 化简得 .‎ 又圆心到的距离为1,‎ ‎ , …5分 故,‎ 易知,上式化简得, ‎ 同理有.               …10分 所以,,则 ‎.‎ 因是抛物线上的点,有,则 ‎ ‎,.        …15分 所以 ‎   .‎ 当时,上式取等号,此时.‎ 因此的最小值为8. …20分 ‎ ‎
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