2013年全国高校自主招生数学模拟试卷3

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷3

‎2013年全国高校自主招生数学模拟试卷三 一、选择题（36分）‎ ‎1．函数在上的最小值是 （ ）‎ A．0 B．‎1 C．2 D．3‎ ‎2．设，，若，则实数的取值范围为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望为 　　　 （）‎ A. 　 B. 　 C. 　 　 D. ‎ ‎4．若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为‎564 cm2，则这三个正方体的体积之和为 （ ）‎ A. ‎764 cm3或‎586 cm3 B. ‎764 cm3 　 ‎ C. ‎586 cm3或‎564 cm3 D. ‎586 cm3‎ ‎5．方程组的有理数解的个数为 （ ）‎ A. 1 B. ‎2 C. 3 D. 4‎ ‎6．设的内角所对的边成等比数列，则的取值范围是 ‎ （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 二、填空题（54分，每小题9分）‎ ‎7．设，其中为实数，，，，若 ‎，则 　 .‎ ‎8．设的最小值为，则．‎ ‎9．将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有　 　种．‎ ‎10．设数列的前项和满足：，，则通项=．‎ ‎11．设是定义在上的函数，若 ，且对任意，满足 ‎ ，，则=．‎ ‎12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是． ‎ ‎12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是． ‎ ‎ 14．解不等式 ‎．‎ ‎ 题15图 15．如题15图，是抛物线上的动点，点在轴上，圆内切于，求面积的最小值．‎ ‎2013年全国高校自主招生数学模拟试卷三 参考答案 ‎1[解]当时，，因此 ‎，当且仅当时上式取等号．而此方程有解，因此在上的最小值为2．‎ ‎[解法一] 因有两个实根 ‎ ，，‎ 故等价于且，即 且，‎ 解之得． ‎ ‎[解法二]（特殊值验证法）令，排除C，令，排除A、B，故选D。‎ ‎[解法三]（根的分布）由题意知的两根在内，令则解之得：‎ ‎ 2[解法一] 依题意知，的所有可能值为2，4，6.‎ 设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为 ‎　　　　 ．‎ 若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有 ‎　　　　，‎ ‎　　　　，‎ ‎　　　　，‎ 故．‎ ‎[解法二] 依题意知，的所有可能值为2，4，6.‎ 令表示甲在第局比赛中获胜，则表示乙在第局比赛中获胜．‎ 由独立性与互不相容性得 ‎，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ 故．‎ ‎3[解] 设这三个正方体的棱长分别为，则有，，不妨设，从而，．故．只能取9，8，7，6．‎ 若，则，易知，，得一组解．‎ 若，则，．但，，从而或5．若，则无解，若，则无解．此时无解．‎ 若，则，有唯一解，．‎ 若，则，此时，．故，但 ‎，故，此时无解．‎ 综上，共有两组解或 体积为cm3或cm3．‎ ‎4[解] 若，则解得或 若，则由得． ①‎ 由得． ② ‎ 将②代入得． ③‎ 由①得，代入③化简得.‎ 易知无有理数根，故，由①得，由②得，与矛盾，故该方程组共有两组有理数解或 ‎5[解] 设的公比为，则，而 ‎ 　　．‎ 因此，只需求的取值范围．‎ 因成等比数列，最大边只能是或，因此要构成三角形的三边，必需且只需且．即有不等式组 即 解得 从而，因此所求的取值范围是．‎ ‎6[解] 由题意知 ‎，‎ 由得，，因此，，．‎ ‎7[解] ‎ ‎ ，‎ ‎(1) 时，当时取最小值；‎ ‎(2) 时，当时取最小值1；‎ ‎(3) 时，当时取最小值．‎ 又或时，的最小值不能为，‎ 故，解得，(舍去)．‎ ‎8[解法一] 用4条棍子间的空隙代表3个学校，而用表示名额．如 ‎　　 ‎ 表示第一、二、三个学校分别有4，18，2个名额．‎ 若把每个“”与每个“”都视为一个位置，由于左右两端必须是“｜”，故不同的分配方法相当于个位置（两端不在内）被2个“｜”占领的一种“占位法”．‎ ‎“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“｜”，故有种．‎ 又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．‎ 综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种．‎ ‎[解法二]　设分配给3个学校的名额数分别为，则每校至少有一个名额的分法数为不定方程 ‎　　　　　．‎ 的正整数解的个数，即方程 的非负整数解的个数，它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合：‎ ‎．‎ 又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．‎ 综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种．‎ ‎9[解] ，‎ 即 2‎ ‎ =，‎ 由此得 2．‎ 令， ()，‎ 有，故，所以．‎ ‎10[解法一] 由题设条件知 ‎ ，‎ 因此有，故 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．‎ ‎[解法二] 令，则 ‎ ‎ ，‎ ‎，‎ 即，‎ 故，‎ 得是周期为2的周期函数，‎ 所以．‎ ‎11[解] 如答12图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为，作平面//平面，与小球相切于点，则小球球心为正四面体的中心，，垂足为的中心．‎ 因 答12图1‎ ‎ ‎ ‎，‎ 故，从而．‎ 记此时小球与面的切点为，连接，则 ‎．‎ 考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为)相切时的情况，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为，如答12图2．记正四面体 的棱长为，过作于．‎ 答12图2‎ ‎ 因，有，故小三角形的边长．‎ 小球与面不能接触到的部分的面积为（如答12图2中阴影部分）‎ ‎．　　　　　　　　　 ‎ 又，，所以 ‎．‎ 由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为．‎ 三、解答题（本题满分60分，每小题20分）‎ ‎12[证] 的图象与直线 的三个交点如答13图所示，且在内相切，其切点为，．‎ ‎…5分 ‎ 由于，，所以，即． …10分 因此 ‎ …15分 ‎ ‎ ‎．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …20分 ‎[解法一] 由，且在上为增函数，故原不等式等价于 ‎．　　　　　　　　　　　　　　‎ 即　　　　　　 ．　　　　　　　　　　　　　　…5分 分组分解　　　 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎，　　　　　　　　　　 　　…10分 所以　　　，‎ ‎　　　　　． …15分 所以，即或．‎ 故原不等式解集为． 　 …20分 ‎[解法二] 由，且在上为增函数，故原不等式等价于 ‎．　　　　　　　　　　　　　　…5分 即 ‎，‎ ‎ ， 　 …10分 令，则不等式为 ‎， ‎ 显然在上为增函数，由此上面不等式等价于 ‎ ， …15分 即，解得　(舍去)，‎ 故原不等式解集为． 　 …20分 ‎13[解] 设，不妨设．‎ 直线的方程:，‎ 化简得 ．‎ 又圆心到的距离为1，‎ ‎ ， …5分 故，‎ 易知，上式化简得， ‎ 同理有． 　　　　　　　　　　　　　 …10分 所以，，则 ‎．‎ 因是抛物线上的点，有，则 ‎ ‎，． 　　　　　　 …15分 所以 ‎ 　　．‎ 当时，上式取等号，此时．‎ 因此的最小值为8． …20分 ‎ ‎