2020_2021学年新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2
2.2 基本不等式
第1课时 基本不等式
必备知识·自主学习
导思 1.基本不等式的应用条件是什么？
2.基本不等式有哪些基本用途？
1.重要不等式：
如果a，b∈R，那么__________(当且仅当a=b时，等号成立).
2.基本不等式
(1)公式：
①条件：a>0，b>0；
②结论： ；
③等号成立：当且仅当a=b时.
(2)本质：基本不等式表明，两个正数的算术平均数 不小于它们的几何平
均数 .
a2+b2≥2ab
【思考】
(1)重要不等式与基本不等式成立的条件相同吗？基本不等式成立的条件能省略
吗？
提示：两个不等式成立的条件是不同的：前者要求a，b都是实数，而后者要求a
，b都是正数.基本不等式成立的条件“a>0，b>0”不能省略，
例如 是不成立的.
(2)“当且仅当a=b时，等号成立”的含义是什么？
提示：一方面是当a=b时取等号，即a=b⇒ ；另一方面是仅当a=b时
取等号，即 ⇒a=b.
3.用基本不等式求最值的结论
已知x，y都是正数，
(1)如果积xy等于定值P，那么当x=y= 时，和x+y有最___值为 (积定和最
小)；
(2)如果和x+y等于定值S，那么当x=y= 时，积xy有最___值为 (和定积最大
).
(3)应用：求和式的最小值，乘积式的最大值.
小
大
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)对任意a，b∈R，a2+b2≥2ab，a+b≥2 均成立. ( )
(2)若a≠0，则 =4. ( )
(3)若a>0，b>0，则ab≤ . ( )
提示：(1)×.任意a，b∈R，有a2+b2≥2ab成立，当a，b都为正数时，不等式
a+b≥2 成立.
(2)×.只有当a>0时，根据基本不等式，才有不等式 =4成立.
(3)√.因为 ，所以ab≤ .
2.不等式(x-2y)+ ≥2成立的前提条件为 ( )
A.x≥2y B.x>2y C.x≤2y D.x<2y
【解析】选B.因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x-2y>0，即x>2y.
3.(教材二次开发：例题改编)设x，y满足x+y=40，且x，y都是正数，则xy的最
大值为_______.
【解析】因为x，y都是正数，且x+y=40，所以xy≤ =400，当且仅当
x=y=20时取等号.
答案：400
关键能力·合作学习
类型一 利用基本不等式比较大小(逻辑推理)
【题组训练】
1.已知m=a-2+ (a>2)，n=2-b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是 ( )
A.m>n B.m
0且a≠1，又M= ， 则M，N，P的大小关系是
_______.
【解析】1.选A.因为a>2，所以a-2>0.
又因为m=(a-2)+ ，所以m≥ =2，当且仅当a-2= ，即
a=3时取“=”.
由b≠0，得b2≠0，所以n=2-b2<2，
综上可知m>n.
2.选B.因为00且a≠1，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以
即P0，b>0，同时注意能否
取等号.
【补偿训练】
若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是 ( )
A.a2+b2>2ab B.a+b≥2
C. D.
【解析】选D.对于A项，当a=b时，应有a2+b2=2ab，所以A项错；对于B，C，条
件ab>0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D项，因为
ab>0，所以
所以 ，当且仅当a=b时取等号.
类型二 利用基本不等式求简单问题的最值(逻辑推理、数学运算)
【典例】1.当x>1时，(x-1)+ +2的最小值为_____.
2.若x>0，y>0，且x+y=18，则xy的最大值是_____.
3.已知x<0，则3x+ 的最大值为_______.
【思路导引】1.利用基本不等式求“和的最小值”.
2.利用基本不等式求积的最大值.
3.当项为负数时，可以通过提取负号化为正数.
【解析】1.令t=(x-1)+ +2，
因为x-1>0，所以t≥ +2=8，当且仅当x-1= ，即x=4时，t的
最小值为8.
答案：8
2.由于x>0，y>0，则x+y≥2 ，所以xy≤ =81，当且仅当x=y=9时，xy
取到最大值81.
答案：81
3.因为x<0，所以-x>0.
则 当且仅当 =-3x，即x=-2时，
3x+ 取得最大值为-12.
答案：-12
【解题策略】
基本不等式的使用条件
(1)一正：a>0，b>0，即：所求最值的各项必须都是正值；
(2)二定：ab或a+b为定值，即：含变量的各项的和或积必须是常数；
(3)三相等：当且仅当a=b时取等号；即：等号能否取得.
在应用基本不等式求最值时，要逐一验证三个条件是否成立.
【跟踪训练】
1.式子 的最小值为 ( )
A.3 B.4 C.6 D.8
【解析】选B. =|x|+ ≥2 =4，
当且仅当x=±2时，等号成立.
2.已知m=x+ -2(x<0)，则m有 ( )
A.最大值为0 B.最小值为0
C.最大值为-4 D.最小值为-4
【解析】选C.因为x<0，所以m=- -2
≤-2-2=-4，当且仅当-x= ，即x=-1时取等号.
类型三 拼凑法利用基本不等式求最值(逻辑推理、数学运算)
【典例】1.已知01时，不等式x+ ≥a恒成立，则实数a的最大值为_______.
【思路导引】通过凑项或凑系数的方法把“不定”问题进行转化，再用基本不
等式求解.
【解析】1.选B.因为00.
所以x(3-3x)=3x(1-x)≤ .当x=1-x，即x= 时取等号.
2.因为x< ，所以5-4x>0，令y=4x-2+ ，
所以y=4x-2+ =- +3≤-2+3=1，
当且仅当5-4x= ，即x=1时，上式等号成立，
故当x=1时，ymax=1.
答案：1
3.因为x>1，所以x-1>0.
又x+ =x-1+ +1≥2+1=3，当且仅当x=2时等号成立，则a≤3，所以a的
最大值为3.
答案：3
【解题策略】通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法
求解最值应注意以下几个方面的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，
做到等价变形.
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标.
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.
【跟踪训练】1.若00，即x>1时，y= ，
因为t+ =4(当且仅当t=2时取等号)，
所以y=
即y的最大值为 (当t=2，即x=5时y取得最大值).
答案：
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1.已知ab=4，a>0，b>0，则a+b的最小值为 ( )
A.1 B.2 C.4 D.8
【解析】选C.因为a>0，b>0，所以a+b≥2 =4，当且仅当a=b=2时取等号，
故a+b的最小值为4.
2.若x2+y2=2，则xy的最大值是 ( )
A. B.1 C.2 D.4
【解析】选B.xy≤ =1，当且仅当x=y时取“=”.
3.设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是 ( )
A.a-b<0 B.0< <1
C. D.ab>a+b
【解析】选C.因为a>b>0，由基本不等式知 一定成立.
4.若00，
故 =
当且仅当x= 时，上式等号成立.
所以0< ≤ .
答案：0< ≤
5.(教材二次开发：练习改编)已知a，b是不相等的正数，x= ，
则x，y的大小关系为_______.
【解析】因为a，b是不相等的正数，
所以
又x>0，y>0，所以x
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