2020年中考数学一轮复习基础点专题01有理数含解析
专题01有理数
【思维导图】
【知识要点】
知识点一 有理数基础概念
n 有理数（概念理解）
正数：大于0的数叫做正数。
负数：正数前面加上符号“-”的数叫负数。
有理数的分类（两种）（见思维导图）
n 数轴
规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
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ü 数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（重点）
任何有理数都可以用数轴上的点表示，有理数与数轴上的点是一一对应的。
ü 数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数.
【注意】
1. 数轴是一条直线，可向两段无限延伸。
2. 在数轴上原点，正方向，单位长度的选取需根据实际情况而定。
n 相反数
只有符号不同的两个数叫做互为相反数.（绝对值相等，符号不同的两个数叫做互为相反数）
n 绝对值
绝对值的概念：一班数轴上表示a的数与原点之间的距离叫做数a的绝对值。
绝对值的意义：
正数的绝对值是它本身；
负数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0。
（互为相反数的两个数的绝对值相等。）
n 比较大小
1）数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。
2）正数大于0，负数小于0，正数大于负数。
3）两个负数比较，绝对值大的反而小。
4）两个正数比较，绝对值大的反而大。
常用方法：数轴比较法、差值比较法、商值比较法、绝对值比较法等。
1．（2018·海南琼山中学中考模拟）下列各组数中，互为相反数的是 ( )
A．|+2|与|-2| B．-|+2|与+(-2) C．-(-2)与+(+2) D．|-(-3) |与-|-3|
【详解】
解：A、|+2|=2，|-2|=2，故这两个数相等，故此选项错误；
B、-|+2|=-2，+（-2）=-2，故这两个数相等，故此选项错误；
C、-（-2）=2与+（+2）=2，这两个数相等，故此选项错误；
D、|-（-3）|=3，-|-3|=-3，3+（-3）=0，这两个数互为相反数，故此选项正确．
故选：D．
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2．（2019·四川中考真题）一定是
A．正数 B．负数 C． D．以上选项都不正确
【详解】
∵a可正、可负、也可能是0
∴选D.
3．（2018·内蒙古中考模拟）如图，在数轴上表示互为相反数的两数的点是（ ）
A．点A和点C B．点B和点C C．点A和点B D．点B和点D
【详解】
A、B、C、D所表示的数分别是2，1，-2，-3，因为2和-2互为相反数，故选A．
4．（2013·江苏中考真题）如图，数轴上的点A、B分别对应实数a、b，下列结论中正确的是（ ）
A．a＞b B．|a|＞|b| C．﹣a＜b D．a+b＜0
【详解】
根据数轴，a＜0，b＞0，且|a|＜|b|，
A、应为a＜b，故本选项错误；
B、应为|a|＜|b|，故本选项错误；
C、∵a＜0，b＞0，且|a|＜|b|，∴a+b＞0，∴﹣a＜b正确，故本选项正确；
D、应该是a+b＞0，故本选项错误．
故选C．
5．（2019·甘肃中考真题）已知，是2的相反数，则的值为( )
A．-3 B．-1 C．-1或-3 D．1或-3
【详解】
∵，是2的相反数，
∴或，，
当时，；
当时，；
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综上，的值为-1或-3，
故选：C．
考察题型一 绝对值非负性应用
1．（2016·山东中考真题）当1
|a|,故②错误，因为b<0a+b，所以④正确.
故选：B.
4．（2018·湖北中考真题）在0，﹣1，0.5，（﹣1）2四个数中，最小的数是（ ）
A．0 B．﹣1 C．0.5 D．（﹣1）2
【详解】根据有理数比较大小的方法，可得
﹣1＜0＜0.5＜（﹣1）2，
∴在0，﹣1，0.5，（﹣1）2四个数中，最小的数是﹣1．
故选B．
5．（2018·山东中考真题）实数a，b，c，d在数轴上的位置如图所示，下列关系式不正确的是（ ）
A．|a|＞|b| B．|ac|=ac C．b＜d D．c+d＞0
【详解】
从a、b、c、d在数轴上的位置可知：a＜b＜0，d＞c＞1；
A、|a|＞|b|，故选项正确；
B、a、c异号，则|ac|=-ac，故选项错误；
C、b＜d，故选项正确；
D、d＞c＞1，则a+d＞0，故选项正确．
故选：B.
知识点二 有理数四则运算
n 有理数的加法（重点）
有理数的加法法则：（先确定符号，再算绝对值）
1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
2.异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
3.互为相反数的两个数相加得0；（如果两个数的和为0，那么这两个数互为相反数）
4.一个数同0相加，仍得这个数。
有理数的加法运算律：
加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。
即；
加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
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即。
n 有理数的减法
有理数的减法法则：
减去一个数等于加上这个数的相反数。即。
注：两个变化：减号变成加号；减数变成它的相反数。
n 有理数的加减混合运算
规则：运用减法法则将加减混合运算统一为加法进行运算
步骤：（1）减法化加法；
（2）省略括号和加号；
（3）运用加法运算律使计算简便；
（4）运用有理数加法法则进行计算。
注：运用加法运算律时，可按如下几点进行：
（1）同号的先结合；
（2）同分母的分数或者比较容易通分的分数相结合；
（3）互为相反数的两数相结合；
（4）能凑成整数的两数相结合；
（5）带分数一般化为假分数或者分为整数和分数两部分，再分别相加。
n 有理数的乘法（重点）
有理数的乘法法则：
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
（2）任何数同0相乘，都得0.
倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数。0没有倒数。（数的倒数是）
多个有理数相乘的法则及规律：
（1） 几个不是0的数相乘，负因数的个数是奇数时，积是负数；
负因数的个数是偶数时，积是正数。
确定符号后，把各个因数的绝对值相乘。
（2）几个数相乘，有一个因数为0，积为0；反之，如果积为0，那么至少有一个因数是0.
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注：带分数与分数相乘时，通常把带分数化成假分数，再与分数相乘。
n 有理数的乘法运算律
乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。
即。
乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。
即。
乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。
即。
n 有理数的除法
有理数除法法则：
（1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数。即。
（2）两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
0除以任何不为0的数，都得0。
步骤：先确定商的符号，再算出商的绝对值。
n 有理数的乘除混合运算
运算顺序：从左往右进行，将除法化成乘法后，进行约分计算。
（注：带分数应首先化为假分数进行运算）
n 有理数的四则混合运算
运算顺序：先乘除，后加减，有括号要先算括号里面的。
注：除法一般先化为乘法，带分数化为假分数，合理使用运算律
1．（2018·江苏中考模拟）计算：|–5+3|的结果是（ ）
A．–8 B．8 C．–2 D．2
【解析】
原式=|-2|=2，
故选：D．
2.（2019·浙江中考真题）某地一周前四天每天的最高气温与最低气温如右表，则这四天中温差最大的是（ ）
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星期
一
二
三
四
最高气温
10℃
12℃
11℃
9℃
最低气温
3℃
0℃
-2℃
-3℃
A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四
【详解】
星期一温差：10﹣3＝7℃；
星期二温差：12﹣0＝12℃；
星期三温差：11﹣（﹣2）＝13℃；
星期四温差：9﹣（﹣3）＝12℃；
综上，周三的温差最大.
故选C．
3．（2018·四川中考模拟）如果a，b是有理数，那么下列各式中成立的是（ ）
A．如果a<0，b<0，那么a＋b>0 B．如果a>0，b<0，那么a＋b>0
C．如果a>0，b<0，那么a＋b<0 D．如果a>0，b<0，且|a|>|b|，那么a＋b>0
【解析】
解：A、∵同号两数相加取与加数相同的符号，∴a+b<0,故选项错误；
B、如a=1,b=-2时，a+b=-1<0，故选项错误；
C、如a=3,b=-2时，a+b＝１>0，故选项错误；
D、异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，故选项正确．
故选D．
4．（2019·辽宁中考模拟）计算的正确结果是（ ）
A． B．- C．1 D．﹣1
【详解】
原式
故选：D.
5．（2017·山东中考真题）计算－(－1)＋|－1|，其结果为( )
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A．－2 B．2 C．0 D．－1
【解析】
试题分析：由题可得：原式=1+1=2，
故选：B．
6．（2018·辽宁中考模拟）两个非零有理数的和为零，则它们的商是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣1或1
【详解】
∵两个非零有理数的和为零，
∴这两个数是一对相反数，
∴它们符号不同，绝对值相等，
∴它们的商是-1，
故选A．
7．（2019·内蒙古中考模拟）若-12的倒数与m+4互为相反数，则m的值是（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【详解】
-12的倒数与m+4互为相反数，得
m+4=2，
解得m=−2，
故选：D.
8．（2018·天津中考模拟）-6÷的结果等于（ ）
A．1 B．﹣1 C．36 D．﹣36
【详解】
解：原式=﹣6×6=﹣36
故选：D．
8．（2019·平阳县鳌江中学中考模拟）－2×（－5）的值是
A．－7 B．7 C．－10 D．10
【详解】
﹣2×（﹣5）=+(2×5)=10.
21
故选D.
9．（2019·天津中考模拟）计算（–18）÷（–6）的结果等于
A．3 B．–3 C． D．−
【详解】
=3
考查题型三 与绝对值有关的分数化简
1．（2018·福建中考模拟）若a≠0，b≠0，则代数式的取值共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【详解】
由分析知：可分4种情况：
①a＞0，b＞0，此时ab＞0，
所以=1+1+1=3；
②a＞0，b＜0，此时ab＜0，
所以=1﹣1﹣1=﹣1；
③a＜0，b＜0，此时ab＞0，
所以=﹣1﹣1+1=﹣1；
④a＜0，b＞0，此时ab＜0，
所以=﹣1+1﹣1=﹣1；
综合①②③④可知：代数式的值为3或﹣1，
故选A．
2．（2018·南宫市奋飞中学中考模拟）已知a，b，c为非零的实数，则的可能值的个数为（ ）
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A．4 B．5 C．6 D．7
【解析】
解：①a、b、c三个数都是正数时，a＞0，ab＞0，ac＞0，bc＞0，原式=1+1+1+1=4；
②a、b、c中有两个正数时，设为a＞0，b＞0，c＜0，则ab＞0，ac＜0，bc＜0，原式=1+1﹣1﹣1=0；
设为a＞0，b＜0，c＞0，则ab＜0，ac＞0，bc＜0，原式=1﹣1+1﹣1=0；
设为a＜0，b＞0，c＞0，则ab＜0，ac＜0，bc＞0，原式=﹣1﹣1﹣1+1=﹣2；
③a、b、c有一个正数时，设为a＞0，b＜0，c＜0，则ab＜0，ac＜0，bc＞0，原式=1﹣1﹣1+1=0；
设为a＜0，b＞0，c＜0，则ab＜0，ac＞0，bc＜0，原式=﹣1﹣1+1﹣1=﹣2；
设为a＜0，b＜0，c＞0，则ab＞0，ac＜0，bc＜0，原式=﹣1+1﹣1﹣1=﹣2；
④a、b、c三个数都是负数时，即a＜0，b＜0，c＜0，则ab＞0，ac＞0，bc＞0，原式=﹣1+1+1+1=2．
综上所述：的可能值的个数为4．
故选A．
3.．（2019·四川初一期中）有理数a，b．c满足abc＜0，的值为（ ）
A．1或﹣3 B．﹣4 C．0 D．0或﹣4
【详解】
解：∵abc＜0，
∴当有理数a，b，c中有一个数小于0时，，
当有理数a，b，c中三个数都小于0时，，
故选：D．
考察题型四 有理数乘法运算律的应用
1．（2018·贵州中考真题）计算+++++……+的值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】
原式=
21
=，
=1-
=．
故选：B．
2．（2019·河北中考模拟）利用运算律简便计算52×（–999）+49×（–999）+999正确的是
A．–999×（52+49）=–999×101=–100899
B．–999×（52+49–1）=–999×100=–99900
C．–999×（52+49+1）=–999×102=–101898
D．–999×（52+49–99）=–999×2=–1998
【详解】
原式=－999×（52+49-1）=－999×100=－99900．
故选B
3．（2016·河北中考真题）请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算：
（1）999×（-15）；
（2）999×+999×（）-999×.
【详解】
试题分析：根据题目中所给的规律，第一题凑整法，第二题提同数法解决即可.
试题解析：（1）999×（-15）=（1000-1）×（-15）=15-15000=149985;
（2）999×+999×（）-999×=999×[+（）-]=999×100=99900.
知识点三 有理数的乘方
n 乘方（重点）
一般地，个相同的因数相乘，即a×a×a⋯×an个，记作，读作的次方。求个相同因
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数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
在中，叫做底数，叫做指数。读作的次方，也可以读作的次幂。
当底数为分数时，要先用括号将底数括上，再在其右上角写指数，指数要写的小些。
乘方的规律：
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.
有理数乘方的运算方法：
1. 根据乘方的符号规律确定结果的符号。
2. 计算结果的绝对值。
n 有理数的混合运算
运算顺序：（1）先乘方，再乘除，最后加减；
（2）同级运算,从左到右进行；
（3）如有括号，先算括号里的，按小括号、中括号、大括号的顺序。
n 科学记数法
把一个大于10的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数（即），是正整数，这样的记数方法叫科学记数法。（用科学记数法表示一个数时，10的指数比原数的整数位数少1.）
把还原成原数时，只需把的小数点往前移动位。
n 近似数和有效数字
在实际问题中，由“四舍五入”得到的数或大约估计的数都是近似数。（近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0.）
一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字。
精确度：表示一个近似数与准确数的接近程度。一个近似数，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位。
1．（2018·丹东第九中学中考模拟）下列算式中，运算结果为负数的是( )
A．|-1| B．(-2)3 C．(-1)×(-2) D．(-3)2
【解析】
本题涉及乘法、绝对值、乘方等知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算．
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详解：A.|−1|＝1，错误；
B.(-2)3＝−8，正确；
C.（−1）×（−2）＝2，错误；
D.(-3)2＝9，错误；
故选：B．
2．（2018·四川成都外国语学校中考模拟）下列各数|﹣2|，﹣（﹣2）2，﹣（﹣2），（﹣2）3中，负数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【详解】
解：|﹣2|＝2，
﹣（﹣2）2＝﹣4，
﹣（﹣2）＝2，
（﹣2）3＝﹣8，
﹣4，﹣8是负数，
∴负数有2个．
故选：B．
3.（2018·河南中考模拟）若a=﹣4×4，b=﹣|﹣32×1|，c=﹣5+2（﹣22），则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．c＞a＞b
【详解】
因为a=﹣4×4=-16，b=﹣|﹣32×1|=-15，c=﹣5+2（﹣22）=-13.
-13>-15>-16.
所以c＞b＞a
故选：B
考查题型五 有理数混合运算
1．（2018·湖北中考模拟）计算：
（1）5-（-2）+（-3）-（+4）；
（2）（-）×（-24）；
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（3）（-3）÷××（-15）；
（4）-14+|（-2）3-10|-（-3）÷（-1）2017．
【详解】
解：（1）原式=5+2﹣3﹣4
=5﹣3+2﹣4
=2﹣2
=0；
（2）原式=×24+×24﹣×24
=18+15﹣18
=15；
（3）原式=（﹣3）×××（﹣15）
=4×4×5
=80；
（4）原式=﹣1+|﹣8﹣10|﹣（﹣3）÷（﹣1）
=﹣1+18﹣3
=14．
2．（2018·湖北中考模拟）计算：
（1）﹣15+（﹣8）﹣（﹣11）﹣12
（2）
（3）
（4）﹣23+[（﹣4）2﹣（1﹣32）×3]
【详解】
原式
.
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（2）原式
（3）原式
，
，
（4）原式
=32．
3．（2018·海南琼山中学中考模拟）
【详解】
原式
考查题型六 用科学记数法表示绝对值较大的数
1．（2019·河南郑州实验外国语中学中考模拟）我国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界一些国家的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总 人口为4400000000人，这个数用科学记数法表示为
A．44×108 B．4.4×108 C．4.4×109 D．4.4×1010
【详解】
解：4 400 000 000=4.4×109，
21
故选C．
2．（2018·河南中考真题）今年一季度，河南省对“一带一路”沿线国家进出口总额达214.7亿元，数据“214.7亿”用科学记数法表示为（ ）
A．2.147×102 B．0.2147×103 C．2.147×1010 D．0.2147×1011
【解析】
214.7亿，用科学记数法表示为2.147×1010，
故选：C．
3.（2019·安徽中考模拟）据资料显示，地球的海洋面积约为360000000平方千米，请用科学记数法表示地球海洋面积面积约为多少平方千米( )
A． B． C． D．
【解析】
详解：将360000000用科学记数法表示为：3.6×108．
故选：B．
4．（2018·广东中考真题）260000000用科学计数法表示为( )
A． B． C． D．
【详解】260000000的小数点向左移动8位得到2.6，
所以260000000用科学记数法表示为，
故选B.
5．（2019·山东中考模拟）一个整数815550…0用科学记数法表示为8.1555×1010，则原数中“0”的个数为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．10
【详解】∵8.1555×1010表示的原数为81555000000，
∴原数中“0”的个数为6，
故选B．
考查题型七 根据精确度求近似值
1．（2018·山东中考模拟）近似数3.02×106精确到（ ）
A．百分位 B．百位 C．千位 D．万位
【解析】
近似数3.02×106精确到万位．
21
故选D．
2．（2017·安徽中考模拟）用四舍五入法得到近似数4.005万，关于这个数有下列说法，其中正确的是（ ）
A．它精确到万位 B．它精确到0.001
C．它精确到万分位 D．它精确到十位
【解析】
近似数4.005万精确到十位．
故选D．
3．（2019·山东中考模拟）近似数1.23×103精确到（ ）
A．百分位 B．十分位 C．个位 D．十位
【详解】
∵1.23×103=1 230，
∴这个近似数精确到十位．
故选D．
4．（2019·福建中考模拟）30269精确到百位的近似数是( )
A．303 B．30300 C． D．
【详解】
本题考查近似数的概念，按要求对30269取近似值，30269精确到百位的近似数应是303百，选项A明显错误，B选项精确到个位，C选项不是科学记数法的模型，D选项精确到百位，而且是规范的科学记数法.
故选:D.
5．（2019·四川中考真题）用四舍五入法将精确到千位，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
解：130542精确到千位是1.31×105．
故选：C．
6．（2019·河北中考模拟）近似数5.10精确到（ ）
A．个位 B．十分位 C．百分位 D．十位
【详解】
解：5.10精确到百分位．
故选：C．
21
7．（2018·江苏中考模拟）今年无锡马拉松参赛选手91879人，这个数据精确到千位并用科学记数法表示为（ ）
A．91×103 B．92×103 C．9.1×104 D．9.2×104
【详解】
91879≈9.2×104，
故选：D．
8．（2018·广西中考模拟）近似数精确到（ ）
A．十分位 B．个位 C．十位 D．百位
【解析】
根据近似数的精确度：近似数5.0×102精确到十位．
故选：C．
21
